离散数学习题解+代数系统
离散数学习题解 代数系统
习题四 第四章代数系统
1．设I 为整数集合。判断下面的二元关系是否是I 上的二元运算
a ）+={（x ，y ），z|x ，y ，zI 且z=x+y}
b ）－={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x －y}
c ）3={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x 3y}
d ）/={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x/y}
e ）R={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x y }
f ）
={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=y
x }
g ）min = {（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=max （x ，y ）} h ）min = {（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=min （x ，y ）} i ）GCD = {（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z= GCD （x ，y ）} j ）LCM={（（x ，y ），z ）|x ，y ，z ∈I 且z= LCM （x ，y ）}
[解] a ）是。由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：I 2→I 是I 上的一个二元运算。 b ）是。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：I 2→I 是I 上的一个二元运算。 c ）是。由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知x ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。 d ）不是：例如若x=5，y=6，则z=x/y=5/6?I ；当y=0时z=x|y=x/0无定义。 e ）不是。例如若x=2，y= -2，则z=x y =2 –2=
2
2
1=I 41
?；若x=y=0，则z=x y =0，则z=I 2x ?=
χ；
g ）是。由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。故知max ：I 2→I 是I 上的一个二
元运算。
h ）是。由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。故知min ：I 2→I 是I 上的一个二
元运算。
i ）是。由于两个整数的最大公约数仍为整数，且结果唯一。故知GCD ：I 2→I 是I 上的一
个二元运算。
j ）是。由于两个整数的最小公倍数仍为整数，且结果唯一。故知LCD ：I 2→I 是I 上的一
个二元运算。
注：两个整数a 和b 的最大公约数GCD （a ，b ）定义为同时除尽a 和b 的正整数中最大
的一个；两个数a 数b 的最小公倍数LCM （a ，b ）定义为同时是a 和b 的正倍数中最小的一个。
2．设X={x | x=2n ，n ∈N}问普通数的加法是否是X 上的二元运算？普通数的乘法呢？ [答] 普通的加法运算不是X 是X 上的二元运算，因为存在着x 1=2∈X ，x 2=22∈X ，使
x 1+x 2=2+22=6?X 。
普通的乘法运算是X 上的二元运算，因为对于任意的x 1=1n
2?X ，x 2=2
n 2?X ，这里n 1，
n 2?N ，都有x 12x 2=1n
222
n 2
=∈+=2
1n n 2
X （因为n 1+n 2∈N ）。
3．设
a) 试举出公含有左幺的代数系统的例子。 b) 试举出仅含有左幺的代数系统的例子。
c) 证明：在代数系统中，若关于*有左幺元和右幺元，则左幺元等于右幺元。 [解] ：a) 构造代数系统
令X={a ，b ，c ，d}，*：X 3→X →X ，其运算表如下：
则此代数系统含有左幺元b ，d ，但不含右幺元。 b) 构造代数系统
令X={1，2，3，4} *： X 3→X →X ，其运算表如下：
则此代数系统含有右幺元1，但不含左幺元。
c) [证] 因为代数系统
e l = e l * e r = e r∈
4．设
a) 试举出公含有左零元的代数系统的例子。
b) 试举出仅含有左零元的代数系统的例子。
c) 证明：在代数系统中，若关于*有左零元和右右零元，则左零元等于右零元。
[解] a) 构造代数系统
令X={a，b，c}，*：X3X→X，其运算表如下：
则a和b都是左零元，但没有右零元。
b) 构造代数系统
令X={1，2，3}，*：X3→X→X，其运算表如下：
则3是右零元，但没有左零元。
c) [证] 因为代数系统
O l=O l*O r=O r
5．当给出一个代数系统的二元运算表时，如何从表上判断这个二元运算是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。
[答] 在一个代数系统
1）运算*满足结合律，当且仅当在运算表中，对任何x，y∈X，x行每个元素与y的*积对应的等于x与y列每个元素的*积。
2）运算*满足交换律，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。
3）运算*有幺元，当且仅当存在一元素，它所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。
4）运算*有零元，当且仅存在一元素，它所对应的行和列中每个元素都是蛇自己。
5）若运算*有幺元，X中每个元素x有逆元，当且仅当存在一元素y∈Y，使得x所在行，y所在列的元素以及y所在行，x所在列的元素都是幺元。
6．设
[解] a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c；即b和c互为逆元；d的左逆元是c而左逆元是b；b有两个左逆元c和d；e的右逆元是c，但e没有左逆元；c有两个左逆元b 和e有两个右逆元b，d。
7．设
[解] a) *运算满足结合律
因为对任何x，y，z∈X，都有
x*（y*z）=x*y=x=x*y=（x*y）*z
b) *运算不满足交换律
因为对于二个元素x，y∈X，有x*y=x，而y*x=y。所以当X包含多于一个元素时，能使x≠y，从而x*y≠y * x。
c) 没有幺元
因为若有幺元e∈X存在，则对任何x∈X，应有e * x * e，但是e * x= e，x * e=x，于是推得x=e，当X中包含多于一个元素时，就会有x ≠e，矛盾。
d) 没有零元，仿c) 保证。
e) 对于每个元素都没有逆元。因为没有幺元存在。
并且若存在一个元素a∈X，使得对每个元素x∈X，都有一个元素y∈X，使y * x=x * y=a，则有y=x=a，当X中包含多一个元素时，这将不总是成立的（只在x=a，且a具有幂等性时才成立）
8．设
因为，对于任何x，y，z∈N，
（x*y）* z =LCM (（x * y），z)
= LCM (LCM（x，y），z)
= LCM (（x，y，z）
= LCM (（x，（y * z）
= LCM (（x * y），z)
= x * (y * z)
注：关于LCM（LCM（x，y），z）= LCM（x，y，z）我们可证明如下：
设C1=LCM（x，y，z），d= LCM（x，y），从而C1=LCM（d，z），
C2= LCM（x，y，z），因此只需证C1=C2即可，为此
由于C2= LCM（x，y，z），故此x | C2，y |C2，z | C2，因此由d= LCM（x，y）及x | C2，y |C2，从d2的最小性有d≤C2于是d |C2（否则C2=kd+r，0＜r＜d，由于x |d，y | d及x | C2，y | C2，故有x | r，y | r，这与d=LCM（x，y）的最小性矛盾）。即d|C2且z|C2故此由C1=LCM （d，z）的最小性，可知C1≤C2。
另一方面，由C1= LCM（d，z）知d |C1，z|C1，又由d=LCM（x，y）知x |d，y | d，y | d，因此有x|C1，y|C1，并且z | C1。因而C2=LCM（x，y，z）的最小性可知C2≤
C1。
所以，C1=C2。同理可证LCM（x，LCM（y，z））=LCM（x，y，z）。
b) *运算满足交换律
因为对于任何x，y∈N，
x * y=LCM（x，y）
= LCM（y，x）
=y * x
（c）*运算有幺元1∈N。
因为，对于任何x∈N，
x * 1=LCM（x，1）
=x
=LCM（1，x）
=1 * x
（d）*运算没有零元。因为0? N。
（e）对于每个元素x∈X，若x≠1，则对每个元素y∈N，都有x*y=y*x=LCM（x，y）≥x≠1，故此没有逆元素。
9．设
．．．。
若*是可结合的，且?x，y X，当x*y=y*x时，有x=y。
证明：X中每个元素都是幂等元。
[证] 对于任何x∈X，令x i=x*x，x j=x，于是
x i*x j=（x*x）*x
=x*（x*x）（结合律）
=x j*x i
从而由怕给性质，有x i=x j，即x*x=x。
因此，由x的任意性，可知X中每个元素都是幂等元。
10．设
证明?关于⊕是可分配的。
[证] 对于任何x，y，z∈X
x?（y⊕z）=x?y
=（x?y）⊕
=（y⊕z）?x=y?x=（y?x）（z?x）
因此代数系统
11．设
e1?e1=e1⊕（e1?e1）（e1是⊕幺元）
=（e2?e1）⊕（e1?e1）（e2是?幺元）
=（e2⊕e1）?e1（?对⊕的分配）
=（e2?e1）（e1是⊕幺元）
= e1（e2是?幺元）
（b）次证e2⊕e2 = e2
e2⊕e2 =e2?（e2⊕e2）（e2是?幺元）
=（e1⊕e2）? (e2⊕e2) （e1是⊕幺元）
=（e1?e2）⊕e2（○+对?的分配）
= e1⊕e2（e2是?幺元）
=e2（e1是⊕幺元）
（c）最后，我们来证x⊕x=x，x?x=x
x⊕x=（x?e2）⊕（x?e2）（e2是?幺元）
=x ?（e2⊕e2）（?对⊕的分配）
=x?e2（利用（b））
=x （e2是?幺元）
x?x=（x⊕e1）?（x⊕e1）（e1是⊕幺元）
=x⊕（e1?e1）（⊕对?的分配）
=x⊕e1（利用（a））
=x （e1是⊕幺元）
证法二：
x=x⊕e2 （e2为?的幺元）
=x?（e2⊕e1）（e1为幺?元）
=x? [e2⊕（e1?e2）] （e2为?幺元）
=x? [（e2⊕e1）?（e2⊕e2）] （⊕对?的分配律）
= x? [（e2?（e2⊕e2））（e1为⊕幺元）
= x?（e2⊕e2）（e2为?幺元）
=（x?e2）⊕（x?e2）（?对⊕分配律）
=x⊕x （e2为?幺元）
x=x⊕e1（e1为?的幺元）
=x⊕（e1?e2）（e2为?幺元）
=x⊕ [e1?（e1⊕e2）] （e2为⊕幺元）
=x⊕ [（e1?e1）⊕（e1?e2）] （?对⊕的分配律）
= x⊕ [（e1?e1）⊕e1] （e2为?幺元）
= x⊕（e1?e1）（e1为?幺元）
=（x⊕e1）⊕（x⊕e1）（⊕对?分配律）
=x?x （e1为⊕幺元）
12．设X={a，b，c，d}，⊕和?分别是X上的两个二元运算，其运算表如下：算表如下：
d a b c d
取S 1={b ，d}，S
，么？ [解]
13a *a = a 且（a *b ）*（c *d ）
a *（
b *
c ）=（a *b ）*（a *c ）
[证] 对任何a ，b ，c ∈X ，
a *（
b *
c ）=（a *a ）*（b *c ）（幂等性a *a=a ）
=(（a *b ）*（a *c ）=（（a *b ）*（c *d ））=（a *c ）*（b *d ）利用) 14．设
c ，
d ∈X 当（a ，b ）∈R 且（c ，d ）∈R 时，有（a *c ，b *d ）∈R ，则称R 是X
因此< S 3，⊕，?>是
上关于*的同余关系，称R产生的等价类是关于*的同余类。
考察代数系统
a)R={（x，y）|x，y∈I且（（x＜0且y＜0)或（x≥0且y≥0））}
b){（x，y）|x，y∈I且（（x＜0且|x—y|＜10
c){（x，y）|x，y∈I且（（x=0且y=0）或（x≠0且y≠0））}
d){（x，y）|x，y∈I且x≥y}
[解] a) 这不是一个同余关系，因为
（-1，-2）∈R且（1，1）∈R，但（-1+1，-2+1）=（0，-1）?R。
b) 这不是一个同余关系，因为它不是一个等价关系。实际上它是自反的和对称
的，但不是传递的，例如取x=-8，y=1，z=8，由于| -8-1 | =9＜0，| 1-8 | = 7＜
10，故有（-8，1）∈R且（1，8）∈R。但| -8-8 | =6＞10，所以[-8，8]?R
c) 这不是一个同余关系，因为（-1，-2）∈R且（1，1）∈R，但（-1+1，-2+1）
=（0，-1）?R
d) 这不是一个同余关系，因为它不是一个等价关系。实际上它是自反的和传递
的，但不是对称的，例如取x=8，y=7，于是有8≥7，从而（8，7）∈R，但
7≠8，故（7，8）?R。
15．设S={a，b}，X=＜25，∩，∪，＞，Y=〈{0，1}，∧，∨，－〉。
证明：Y是X的同态象。
[证] 如下构造的函数h是一个从X到Y的同态：
h：2S→{0，1}
h（?）=0
h（{a}）=0，h（{b}）=1，h（S）=1
容易验证：h（A∩B）=h（A）∧h（B）
h（A∪B）= h（A）∨h（B）（A，B?S）
h（A′）=)
(h
A
并且h显然是满射的，因此Y是X同态象。
16．设R是实数集合，十和X是实数的加法和乘法。X=〈R，+〉，Y=〈R，x〉，问Y 是否是X的同态象。
[答] Y不是X的同态象。否则将存在着从X到Y的满同态函数h，从而对于0∈R，由h是满射的，可知存在着r0∈R，使h（r0）=0，于是对任何r∈R，由于r-r0=r+（-r0）∈R，所以h（r）=h（r0+（r-r0））={r′| r′∈R∧（Er∈R）（h(r)= r′）} ={0}≠R
17．设N 是自然数集合，x 是自然数乘法，X=〈N ，x 〉，Y=〈{0，1}，x 〉，证明：Y
是X 的同态象。
[证] 如下构造的函数h 是一个从X 到Y 的同态
h ：N →{0，1}
N n ,1
)1n 2(h 0
)n 2(h ∈=-=
于是 h （2m 32n ）=h （222mn ）=0=030=h （2m ）3h （2n ）
h （2m 3（2n-1））=h （22m （2n-1））=0=031=h （2m ）3h （2n-1） h （（2m-1）3（2n-1））=h （2（mn-m-n+1）-1） =1=131=h （2m-1）3h （2n-1） 所以h 满足同态公式，另外h 显然是满射，因而Y 是X 的同态象。
18．设S={a ，b ，c}，X=〈{ ?，S}，∩，∪，′〉，Y=〈{a ，b}，S ，∩，∪，′〉。
问X 和Y 是否同构，为么？
[答] X 和Y 不同构。因为Y=〈{{a ，b}，S}，∩，∪，′〉不是代数系统，补运算 ′
关于{{a ，b}，S}不封闭，这可见下表：
而如果存在着X 和Y 的同构，则从X 是代数系统，知Y 也应该是代数系统，
矛盾。
19．设〈X ，*〉和〈Y ，⊕〉是两个代数系统，*和⊕分别是X 和Y 上的二元运算，
且满足交换律，结合律。f 1和f 2都是从〈X ，*〉到〈Y ，⊕〉的同态函数。 令h ：X →Y
h （x ）=f 1（x ）⊕f 2（x ）
证明：h 是从〈X ，*〉到〈Y ，⊕〉的同态函数。
[证] 对于任何a ，b ∈X ，h （a *b ）=f 1（a *b ）⊕f 2（a *b ）（h 的定义） =（f 1（a ）⊕f 1（b ））⊕（f 2（a ）⊕f 2（b ））（f 1和f 2是同态函数） =（f 1（a ）⊕f 1（b ））⊕（f 2（a ）⊕f 2（b ））（⊕的结合律） =（f 1（a ）⊕f 2（a ））⊕（f 1（b ）⊕f 2（b ））（⊕的结合律） =（f 1（a ）⊕f 2（a ））⊕（f 1（b ）⊕f 2（b ））（⊕的结合律） =h （a ）⊕h （b ） （h 的定义）
20．设〈X ，f 1〉，〈Y ，f 2〉，〈Z ，f 3〉是三个代数系统。f 1，f 2，f 3分别是X ，Y ，Z 上
的二元运算。证明：若h1是从〈X，f1〉到〈Y，f2〉的同态函数，h2是从〈Y，f2〉到〈Z，f3〉的同态函数，则h2oh1是从〈X，f1〉到〈Z，f3〉的同态函数。[证] 对于任何x，y∈X，
（h2οh1）（xf1y）= h2（h1（xf1y））
= h2（h1（x）f2h1（y））（h1是〈X，f1〉到〈Y，f2〉的同态）
= h2（h1（x）f3h2（h1（y））（h2是〈X，f2〉到〈Y，f3〉的同态）
=（h2οh1）（x）f3（h2 h1）（y）
所以h2οh1是从〈X，f1〉到〈Z，f3〉的同态函数。
21．设〈S，*〉是有限含幺半群。证明：在*的运算表中，任何两行或任何两列均不相同。
[证] 因为〈S，*〉是有限含幺半群，故可设
s={s0=e，s1，…，s n-1}
则在*的运算表中，对庆于任何s i，s j∈s（s i≠s j，0≤i，j≤n-1）的两行为：
s i*s0，s i*s1，…，s i*s n-1；
s j*s0，s j*s1，…，s j*s n-1
为证此两行互不相同，只需证明（?k）（0≤k≤n-1∧s i * s k≠s j * s k）即可。而这样的k是存在的，只需取k=0即得：
s i*s0=s i*e=s i≠s j=s j*e=s j*s0
从而，由s i，s j∈s的任意性，可知，在*运算表中，任何两行均互不相同。
关于列的结论，同理可证。
22．设k是一正数，N k={0，1，2，…，k-1}，*k是N k上的一个二元运算。 a，b∈N k，a*k b=（a3b）modk。
a)当k=6时，写出*6的运算表；
b)证明：对任意的正整数k，〈N k，*k〉是半群。
a) [解]
b) [证] 1）*k是N k上的二元运算
bN k，即*k关于N k封闭，并且运算结果唯一（因由于0≤（a3b）modk＜k，故a*
k
为若有i=（a3b）modk，j=（a3b）modk，则0≤k＜k，0≤j＜k，a3b=kr1+i，a3b=kr2+j，于是有kr1+I=kr2+j不妨设ji从而k（r1-r2）=j-i，故此k|j-i，但是0≤j-i＜k（因为j≥i）故只能j-i=0，因此j=i＝。
2）*k满足结合律
因为对于任何a，b，c∈N k
（a *
b）*k c=[（a3b）modk] *k c
k
={[（a3b）modk] 3c}modk
=（（a3b3c））modk
={a3[（b3c）modk]} modk
=a*k [（b3c）modk]
==a*k（b*k c）
〉是半群
综合1），2）可得〈N k，*
k
23．设〈S，*〉是半群，a∈s。在s上定义二元运算⊕如下
?x，y∈s，x⊕y=x * a * y
证明：〈S，⊕〉是半群。
[证] （a）⊕是s 上的二元运算
由于〈S，*〉是半群，故*是s上的二元运算，因此*运算具有封闭性和运算结果唯一性。因此由⊕的定义可知⊕具有封闭性和运算结果唯一性。
（b）⊕满足结合律
对于任何x，y，z∈s
（x⊕y）⊕z =（x * a * y）⊕z
=（y）* a* z
= x * a *（y * a * z）（*运算的结合律）
= x * a *（y ⊕ z）
=x⊕（y ⊕ z）
综合（a），（b）可知〈S，⊕〉是半群。
24．设〈S，*〉是半群。证明：s中至少有一个幂等元。
[证] 因为〈S，*〉是半群，所以*运算具有封闭性，因而可知对于任何元素y∈s，都有y2=y*y∈s，y3=y2*y∈s,…。又由〈S，*〉是有限的，可知s是有限集，所以存在着j＞i，使得y j=y i，从而令P=j-i，那么就有y i=y j=y p+I=y p*y i，因此可得y i+1=y p*y i+1，…，也就是对任何g≥i，都有y g=y p*y g。所以，从p1总可找到k≥
1，使kp≥i。故此，令x=y kp∈s，则x就是s中的一个幂等元，推证如下：x * x=y kp * y kp
=（y P+ * y(k-1) p）*y kp（利用上述性质）
=y(k-1) p * y kp
=……
=y p * y kp
=y kp
=x
25．设R是实数集合。在R上定义二元运算*如下
?x，y∈R，x*y=x+y+xy
证明：〈R，*〉是含幺半群。
[证] （1）*运算是实数集R上的二元运算。
因为普通实数加法+和乘法3都是封闭的和运算结果唯一的，因此由它们定义的*运算也是封闭的、运算结果唯一。
（2）*运算满足结合律。
对于任何x，y，z∈R，因为
（x*y）*z=(x*y)+z+(x*y)z=（x+y+xy）+z+（x+y+xy）z
=x+y+z+xy+xz+yz+xyz
(x*y) *z=x+（y*z）+x（y*z）=x+（y+z+yz）+x（y+z+yz）
=x+y+z+xy+xz+yz+xyz
所以（x*y）*z=x（y*z）
（3）o∈R为幺元
对于任何x∈R 因为
o*x=o+x+o2x=x
x*o=x+o+x2o=x
故此o*x=x*o=x
综合（1）（2）（3）证得〈R，*〉是含幺半群。
26．设〈S，*〉是可交换半群。证明：?x，y∈S，若x，y是幂等元，则有（x*y）*（x*y）=x*y。
[证] （x*y）*（x*y）=x*（y*x）*y （*可结合）
=x*（x*y）*y （*可交换）
=（x*x）*（y*y）（*可结合）
=x*y （x，y为幂等元）
27．设〈S，*〉是半群。，y∈s，若x≠y，则x*y≠y*x。证明：
a)?x∈s，有x*x=x
b)?x，y∈s，有x*y*x=x；
c)?x，z∈s，有x*y*z=x*z；
[证] 对任何x，y∈s若x*y=y*x，则x=y（否则x≠y，于是x*y≠y*x，矛盾）。
a)对任何x∈s，因为（x*x）*x=x*（x*x）（*可结合）
所以x*x=x
b) 对任何x，y∈s，（x*y*x）*x
=x*y*（x*x）（*可结合）
=x*y*x （由a））
=（x*x）*y*x （由a））
=x*（x*y*x）（*可结合）
所以x*y*x=x
c) 对任何x，y，z∈s，有（x*y*z）*（x*z）
=x*y*（z*x*z）（*可结合）
=x*y*z （由b））
=（x*z*x）*y*z（由b））
=（x*z）*（x*y*z）（*可结合）
所以x*y*z=x*z
28．设〈S，*〉是半群。证明：?x，y，z∈s，若x*z=z*x且
y*z=z*y，则（x*y）*z=z*（x*y）。
[证] 对任何x，y，x∈s （x*y）*z
=x*（y*z）（*可结合）
=x*（z*y）（y与z可交换）
=（x*z）*y （*可结合）
=（z*x）*y （x与z可交换）
=z*（x*y）（*可结合）
29．设〈{x，y}，*〉是半群，x*x=y。证明：
a)x*y=y*x；
b)y*y=y。
[证] a) x*y = x*（x*x）（因x*x=y）
=（x*x）*x （*可结合）
=y*x （因x*x=y）
b) y*y=（x*x）*y （因x*x=y）
=x*（x*y）（*可结合）
根据*运算的封闭性，可知x*y=x或者x*y=y
若x*y=x，则y*y=x* （x*y）
=x*x （由x*y=x）
=y （由x*x=y）
若x*y=y，则y*y=x*（x*y）
=x*y（由x*y=y）
=y（由x*y=y）
因此无论如何，y*y=y 。
30．〈S，*〉是半群。若有a∈s，?x∈s，?u，Q∈S，使得
a*u=v*a=x
证明：〈S，*〉是含幺半群。
[证] 只需证明半群〈S，*〉中含有幺元即可。
取x= a，那么，存在u a，v a∈s，使a*u a=v a*a=a
对于s中任一元素b，那么存在u b，v b∈s，使得
a*u b=v b*a=b
于是bu a=（v b*a）*u a （因v b*a=b）
=v b（a*u a）（*可结合）
=v b*a （因au a=a）
=b （因u b*a=b）
所以u a是右幺元。
并且v a b=v a*（a*u b）（因a*u b=b）
=（v a*a）*u b（*可结合）
=a*u b （因u a*a=a）
=b （因a*u b=b）
所以v a是左幺元。但是
将b*u a=b中的b取为u a，则有v a* u a =v a；
将u a*b=b中的b取为u a，则有v a*u a=u a；
故此，可得u a=v a。所u a（=v a）是〈S，*〉的幺元。
从而，〈S，*〉是含幺半群。
31．设〈S，*〉是含幺半群。Zs，z是关于*的左零元。证明：?x∈s，x*z也是关于*的左零元。
[证] 由于z是关于*的左零元，所以对于任意a∈s，都有
z * a=z
因而对任何x∈s，对任何a∈s，都有
（x*z）*a=x*（z*a）（*可结合）
=x*z（z为左零元，z*a=z）
这说明x*z也为左零元。
32．设〈S，*〉是含幺半群。S s={f | f :s→s}，）ο是函数的合成运算。
a)证明：〈S s，*〉是半群；
b)证明：存在从〈S，*〉到〈S s，ο〉的同态函数。
[证] a) 由于ο是函数的合成运算，而S s={f | f:s→s}是所有从s到s的函数的集合，因此ο运算封闭且运算结果唯一；并且ο运算当然具有结合律，故此〈S s，ο〉是一半群。
b) 令h : s→s s，对于所有的a∈s
h（a）=f a；这时f a : s→s，对于任何x∈s
有f a（a）=a*x
由于〈S，*〉是半群，故*是s上的二元运算。因此*运算封闭，且运算结果唯一，因此如上定义的f a后者唯一，是从s到s的函数，即f a s s。因此h的定义是良定义的。
对于任何a，b∈s h（a*b）=f a
*b
（x）
而对于任何x∈s，（x）f a
*b
=（a*b）*x
=a*（b*x）（*的结合律）
= a*（f b（x））
= f a（f b（x））
=（f aοf b）（x）
= f aοf b，因此，h（a*b）=f aοf b=h（a）οh（b）。故此h满足同所以，有f a
*b
态公式。
因而存在从到〈S s，ο〉的同态函数。
33．设f是从半群〈X，*〉到〈Y，⊕〉的同态函数，证明：若x是X中的幂等元，则Y中也存在幂等元。
[证] 由于f（x）⊕f（x）=f（x*x）（f是同态函数，满足同态公式）
=f（x）（因x是幂等元，故x*x=x）
且f（x）∈Y，故此f（x）是Y中的幂等元。即Y中也存在幂等元。
34．设f是从半群〈X，*〉到〈Y，⊕〉的同态函数，问下列结论是否为真。
a) 〈X，*〉在f下的同态象是〈Y，⊕〉的子代数系统；
b) 〈X，*〉在f下的同态象是半群；
c) 若〈X，*〉是含幺交换半群，则〈X，*〉在f下的同态象也是含幺可交换半
群。
[解] a) 真。因为1）f（X）?Y。这点是根据事实f : X→Y得出的。2）集合f（X）在运算⊕下是封闭的，即，如果a，b∈f（X），那么a⊕b∈f（X）。因为若a，b∈f f（X），那么存在着x，y∈X，使得f（x）=a且f（y）=b。进一步，由X 在*运算下封闭（因〈X，*〉为半群）可知存在着某一z∈X，使z=x*y因此
a⊕b=f（x）⊕f（y）
=f（x*y）（f是同态函数，满足同态公式）
=f（z）
∈f（Ｘ）
运算结果的唯一性是自动遗传，因为〈Y，⊕〉至少是一代数系统，故⊕应是Y上的二元运算，具有运算结果唯一性。
故由1）和2），可知〈X，*〉在f下的同态象〈f（X），⊕〉是〈Y，⊕〉的子代数系统。
b) 真。因为3）运算⊕在集合f（X）上满足结合律，即，如果a、b、c∈f（X），
那么（a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c）。因若a，b，c∈f（X），那么存在着x，y，z∈X，使f（x）=a且f（y）=b及f（z）=c，故此
（a⊕b）⊕c=（f（x）⊕f（y））f（z）
=f（x*y）⊕f（z）（f满足同态公式）
=f（（x*y）*z）（f满足同态公式）
=f（x*（y*z））（〈X，*〉为半群，*运算有结合律）
=f（x）⊕f（y*z）（f满足同态公式）
=f（x）⊕（f（y）○+f（z））（f满足同态公式）
=a⊕（b⊕c）
于是由a)的1），2）及这里的3），可知〈X，*〉在f下的同态象〈f（X），
⊕〉是半群。
c) 真。因为4）〈f（X），⊕〉含有幺元，即若e∈X是含幺半群〈X，*〉的幺
元，那么f（e）∈f（X）就是〈f（X），⊕〉的幺元。因为对任何a∈f（X），存在着x∈X，使f（x）=a，故此
a⊕f（e）=f（x）⊕f（e）
=f（x*e）（f满足同态公式）
=f（x）（x*e=x）
=a
同理可证f（e）⊕a=a，因而a⊕f（e）=f（e）⊕a=a。5）运算⊕在f（X）上满足交换律，即，对任何a，b∈f（X），都有a⊕b=b⊕a。因若a，b∈f（X）则存在着x，y∈X，使f（x）=a且f（y）=b，因此
a⊕b=f（x）⊕f（y）
=f（x*y）（f满足同态公式）
=f（y*x）（〈X，*〉是含幺可交换半群，故*有交换律）
=f（y）f（x）（f满足同态公式）
=b⊕a
综合a) 的1）2），b）的3），和这里的4）和5），可知，若〈X，*〉是含幺可交换半群，则〈X，*〉在f下的同态象〈f（X），⊕〉也是含幺可交换半群。35．设N6={0，1，2，3，4，5}，N6上的+6运算定义如下
?a，b∈N6，a+6b=（a+b）mod6
求了半群〈N6，+6〉的运算表如下：
从运算表看出〈N6，+6〉是一循环半群，生成元是1，5。因而除两个平凡子半群〈{0}，+6〉及〈N6，+6〉外，任何包含1或5的子集都不能构成真子半群。所以考虑{0，2，3，4}的子集，由于2+63=5，3+64=1，故此任何包含2或4的子集中不能包含3。另外2+62=4，3+63=0，4+64=2，故此单元素集上运算+6不封闭。因而〈N6，+6〉的真子半群只有二个〈{0，3}，+6〉及〈{0，2，4}，+6〉，它们的运算表如下：
36．证明：含幺半群的子半群可以是一 个含幺半
群，但不
是子含幺半群。
[证] 〈N 6，+6〉是一 个含幺半群，其幺元为1。运算表如下：
〈{4，2}，x 6〉是〈N 6，+6〉的子半群，并且是含幺半群，其幺元为4 运算为 但是它不是〈N 6，+6〉的子含幺半群，因为〈N
，+〉的幺元| ?{4，2}。
37．设〈S ，*〉是含幺半群，幺元为e
S 1={x| x ∈S 1且?y （y *x ）=e}
证明：〈S 1，*〉是〈S 1，*〉的子含幺半群。
[证] 1）集合S 1在运算*下是封闭的，即，若x 1，x 2∈S 1，则x 1*x 2∈S 1。因若x 1，x 2
∈S 1则x 1，x 2∈S ，存在着y 1，y 2使y 1*x 1=e ，y 2*x 2=e 。于是有x 1*x 2∈S （S 在*运算下封闭，因〈S ，*〉是半群），并且存在着z=y 2*y 1，使
z *（x 1*x 2）=（y 2*y 1）（x 1*x 2）
=y 2*（y 1*x 1）*x 2 （的结合律） =y 2*（e *x 2）
=y 2*x 2（e 是幺元，e *x 2=x 2） =e
故此x 1*x 2∈s 。
幺元不遗传
2）*运算在S 1上满足结合律，这点由*运算在S 上的结合律遗传而来。 3）〈S 1，*〉含有〈S ，*〉的幺元e 。因为e ∈S ，且存在着e 使e *e=e ，所以e ∈S 1。
综合上述1），2），3），证得〈S 1，*〉是〈S ，*〉的子含幺半群。
38．写出所有不同构的一阶，二阶，三阶，四阶，五阶，六阶，七阶，八阶群。 [解] 由于素数阶群是循环群，故此一阶，二阶，三阶，五阶，七阶群各只有一个，其
运算表分别如下：
一阶群 二阶群 三阶群
五阶群 七阶群
四阶群已知有两个，一个是循环群，一个是Kiein4群，其运算表如下：
《离散数学》考试题库及答案(三)
《离散数学》考试题库及答案 一、 填空 10% （每小题 2分） 1、 若P ，Q 为二命题，Q P ?真值为1，当且仅当 。 2、 对公式),()),(),((y x xR z x zQ y x yP ?∨?∧?中自由变元进行代入的 公 式 为 。 3、 )) (()(x xG x xF ??∧?的 前 束 范 式为 。 4、 设x 是谓词合式公式A 的一个客体变元，A 的论域为D ，A （x ）关于y 的自由的， 则 被称为全称量词消去规则，记为US 。 5、 与非门的逻辑网络为 。 二、 选择 30% （每小题 3分） 1、 下列各符号串，不是合式公式的有（ ）。 A 、R Q P ?∧∧)(； B 、)()((S R Q P ∧→→； C 、R Q P ∧∨∨； D 、S R Q P ∨∧∨?))((。 2、 下列语句是命题的有（ ）。 A 、2是素数； B 、x+5 > 6； C 、地球外的星球上也有人； D 、这朵花多好看呀！。 3、 下列公式是重言式的有（ ）。 A 、)(Q P ??； B 、Q Q P →∧)(； C 、P P Q ∧→?)(； D 、P Q P ?→)( 4、 下列问题成立的有（ ）。 A 、 若C B C A ∨?∨，则B A ?； B 、若C B C A ∧?∧，则B A ?； C 、若B A ???，则B A ?； D 、若B A ?，则B A ???。 5、 命题逻辑演绎的CP 规则为（ ）。 A 、 在推演过程中可随便使用前提； B 、在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果； C 、如果要演绎出的公式为C B →形式，那么将B 作为前提，设法演绎出C ；
专项训练(一)数与代数4.解决问题
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3．7＋4＝11或4＋7＝11 4．7＋7＝14(条) 5．9＋6＝15(本)或6＋9＝15(本) 6．9－5＝4(杯) 7．16－6＝10(个) 8．16－5＝11(个) 9．18－10－1＝7(只) 10．9－5＋1＝5(人) 11．思路分析：思路一用大苹果的个数加上小苹果的个数，求出一共有多少个苹果；思路二用左边苹果的个数加上右边苹果的个数，求出一共有多少个苹果。 解答：8＋10＝18或10＋8＝18或9＋9＝18 12．(1)114＋7＝11或7＋4＝11 (2)197＋12＝19或12＋7＝19
离散数学试题及答案精选版
离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
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离散数学习题
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小升初数学知识数与代数 专项训练（一） 一、选择题 1．下列各数中，去掉0后大小不变的是（） A．300 B．3.03 C．3.300 2．一个两位小数，四舍五入后约是1.2，这个数最大是（）。 A．1.19 B．1.21 C．1.24 D．1.25 3．读803024900时，读出了（）个零。 A．1 B．2 C．3 4．一个九位数的密码，最高位是最大的一位数，千万位上是2和3的最小公倍数，十万位上是最小的质数，万位上是16和24的最大公因数，百位上是最小的合数，其余各位是最小的自然数，这个九位数是（） A．960180200 B．990240400 C．960280400 5．下面的积约是2400的算式是（） A．4×595 B．393×8 C．6×484 6．把5000克、1吨、3000千克从小到大排列是（） A.1吨＜3000千克＜5000克 B.5000克＜1吨＜3000千克 C.5000克＜3000千克＜1吨 7．下列说法正确的是（）
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常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={
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离散数学题库及答案
数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。
离散数学题目大汇总
离散数学试题一（A 卷答案） 一、（10分）证明(A ∨B )(P ∨Q )，P ，(B A )∨P A 。 二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4 种判断都是正确的： (1)甲和乙只有一人参加； (2)丙参加，丁必参加； (3)乙或丁至多参加一人； (4)丁不参加，甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误为什么给出正确的推理形式。 (1)x (P (x ) Q (x )) P (2)P (y )Q (y ) T (1)，US (3)xP (x ) P (4)P (y ) T (3)，ES (5)Q (y ) T (2)(4)，I (6)xQ (x ) T (5)，EG 四、（10分）设A ＝{a ，b ，c}，试给出A 上的一个二元关系R ，使其同时不满足自反性、反自反性、 五、（15分）设函数g ：A →B ，f ：B →C ， (1)若f o g 是满射，则f 是满射。 (2)若f o g 是单射，则g 是单射。 六、（15分）设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系，T 是A 上的关系，使得T R 且R ，证明T 是一个等价关系。 七、（15分）若
离散数学 代数系统
第三部分：代数系统 1.在代数系统,S *中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算*必定可结合。( ) 2.每一个有限整环一定是域，反之也对。( ) 3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。( ) 4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨一定为有补分配格。( ) 5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。( ) 6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。( ) 7.群中可以有零元（对阶数大于一的群）。( ) 8.循环群一定是阿贝尔群。( ) 9.每一个链都是分配格。( ) 1. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈ ( ) A. min(,)a b a b *= B. 2a b a b *=+ C. 3a b a b *=+- D. a b a b *=+ (mod 3) 2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( ) A. 不能构成群 B. 不一定能构成群 C. 不能构成交换群 D. 能构成交换群 3. 循环群33,Z +的生成元为[][]1,2，它们的周期为 ( ) A. 5 B. 6 C. 3 D. 9 4. 设
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P
离散数学试题与答案
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P ：你努力，Q ：你失败。 2、 “除非你努力，否则你将失败”符号化为 ； “虽然你努力了，但还是失败了”符号化为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式x ??真值为 。 3设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则 R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系 R= ；A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 5、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 6、4阶群必是 群或 群。 7、下面偏序格是分配格的是 。
8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 二、选择 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生 的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为 则R 具有（ ）性质。 A ．自反性、对称性、传递性； B ．反自反性、反对称性； C ．反自反性、反对称性、传递性； D ．自反性 。
离散数学代数系统练习
一、填空 1.下列集合中， 对普通加法和普通乘法都封闭。 （ ） （A ）{}1,0 （B ）{}2,1 （C ）{}N n n ∈2 （D ）{} N n n ∈2 2、在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的？ （ ） （A ）b a - （B ）),max(b a （C ）b a 2+ （D ）b a - 3、有理数集Q 关于下列哪个运算能构成代数系统？ （ ） （A ）b a b a =* （B ）()1ln 22++=*b a b a （C ）()b a b a +=*sin （D ）ab b a b a -+=* 4、下列运算中，哪种运算关于整数集I 不能构成半群？ （ ） （A ）()b a b a ,max =* （B ）b b a =* （C ）ab b a 2=* （D ）b a b a -=* 5．设代数系统?A ，·?，则（ ）成立. A ．如果?A ，·?是群，则?A ，·?是阿贝尔群 B ．如果?A ，·?是阿贝尔群，则?A ，·?是循环群 C ．如果?A ，·?是循环群，则?A ，·?是阿贝尔群 D ．如果?A ，·?是阿贝尔群，则?A ，·?必不是循环群 6．设?L ,∧∨,?是格，?L ，≤?是由这个格诱导的偏序集，则（ ）不成立. A ．对任意a L b a ,,∈≤b b a b =∨? B ．∧∨对是可分配 C ．∧∨,都满足幂等律 D ．?L,≤?的每对元素都有最小上界与最大下界 7．在下列四个哈斯图表示的偏序集中（ ）是格.
8. 已知偏序集的哈斯图，如图所示，是格的为( ) 9. 6阶有限群的任何子群一定不是（）。 (A) 2阶(B) 3 阶(C) 4 阶(D) 6 阶 10. 下列哪个偏序集构成有界格（） (1) （N,≤）(2) （Z,≥） (3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系））(4) (P(A),?) 11. 下面代数系统中（G、＊）中（）不是群 A、G为整数集合＊为加法 B、G为偶数集合＊为加法 C、G为有理数集合＊为加法 D、G为有理数集合＊为乘法 12. 设
离散数学题库
离散数学 1.在自然推理系统P 中构造下面推理的证明： 前提：,,p q r q r s ?∨∨?→ 结论：p s →. 3设一阶逻辑公式 ((,)(()()))G x yP x y zQ z R x =???→?→ 试将G 化成与其等价的前束范式。 4.判断下面推理是否正确，并证明你的结论。 如果小王今天家里有事，则他不会来开会。 如果小张今天看到小王，则小王今天来开会了。 小张今天看到小王。所以小王今天家里没事。 5、构造下面推理的证明 前提： ))()(()),()()((x R x F x x H x G x F x ∧?∧→? 结论: ))()()((x G x R x F x ∧∧? 6用等值演算法和真值表法判断公式)())()((Q P P Q Q P A ??→∧→=的类型。 7分别用真值表法和公式法求(P →(Q ∨R ))∧(?P ∨(Q ?R ))的主析取范式 ，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。 8用逻辑推理证明： 所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。 9、设A ＝{?，1，{1}}，B ＝{0，{0}}，求P (A )、P (B )－{0}、P (B )⊕B 。 10、设X ＝{1，2，3，4}，R 是X 上的二元关系，R ＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>} (1)画出R 的关系图。 (2)写出R 的关系矩阵。 (3)说明R 是否是自反、反自反、对称、传递的。 11、集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<
离散数学题库简答题
编 号 题目 答案 题型 分值 大纲 难度 1 1 设集合A={a ，b ，c ，d}上的关系R={ ,< b , a > ,< b, c > , < c , d >}用矩阵运算求出R 的传递闭包t (R)。 答: ?? ? ???? ??=0000100001010010R M ， ???? ?? ? ??==00000000101 0010 12R R R M M M ?? ? ?? ? ? ? ?==000000000101 1010 23R R R M M M ?? ? ?? ? ? ? ?==000000001010 0101 3 4R R R M M M ?? ? ? ? ? ? ? ?=+++=0000100011111111 4 32)(R R R R R t M M M M M ∴t (R)={ , , < a , c> , , , < b ,b > , < b , c . > , < b , d > , < c , d > } 简答题 8 4.3 3 2 如下图所示的赋权图表示某七个城市721,,,v v v 及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。 答: 用Kruskal 算法求产生的最优树。算法略。结果如图： 树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价。 简答题 8 7.2 3
3设
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝_____{3}______________; ρ(A) - ρ(B)＝ ____{{3}，{1，3}，{2,3},{1,2,3}}__________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = ___2^(n^2)________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是____A1 = {(a,1), (b,1)}, A2 = {(a,2), (b,2)}, A3 = {(a,1), (b,2)}, A4 = {(a,2), (b,1)},_________ _____________, 其中双射的是______A3, A4__________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取式是____P∧?Q∧R (m5)____. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为___12______，分枝点数为_______3_________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝______{4}______; A?B＝____{1,2,3,4}_________;A－B＝______{1,2}_______ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______自反性____________, _________对称性_________, _________传递性_____________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有_____（1,0,0）__________， ______(1,0,1)________, ________(1,1,0)________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1?R2= ___{(1,3),(2,2),(3,1)}____,R2?R1 =_____{(2,4), (3,3), (4,2)}_____, R12=_______{(2,2), (3,3)}_________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = ______2^(m*n)___________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = _____{x | -1 ≤x < 0, x ∈R}_______ , B-A = ______{x | 1 < x < 2, x ∈R}_____ , A∩B = ______{x | 0 ≤x ≤1, x ∈R}__________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ ________{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}_________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束式是_____?y?x(P(y)→Q(x))________ _____.
最新离散数学试题库
15.设D的结点数大于1，D=
内蒙古大学离散习题代数系统部分答案
《离散数学》代数系统 1.以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有 可逆元素的逆元. 1)P(B)关于对称差运算⊕，其中P(B)为幂集. 构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元φ；无零元；逆元为自身。 2)A={a,b,c}，*运算如下表所示：构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b. 2.设集合A={a,b}，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算？（2）在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元 运算？24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算 3.设A={1,2},B是A上的等价关系的集合. 1)列出B的元素. 2元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B={I A，E A} 2)给出代数系统V=
离散数学期末练习题(带答案)
离散数学复习注意事项： 1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统 复习一遍。 2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。 3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做，检验一下第一遍与第二遍复习情况，要认真理解,注意做题思路与方法。 离散数学综合练习题 一、选择题 1．下列句子中，（）是命题。 A．2是常数。 B．这朵花多好看呀！ C．请把门关上！D．下午有会吗 2．令p: 今天下雪了，q:路滑，r:他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（）。 A. p q r ∨→ ∧→ B. p q r C. p q r ∨? ∧∧ D. p q r 3．令:p今天下雪了，:q路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不
滑”可符号化为（）。 A.p q ∧ ∧? B.p q C.p q →? ∨? D. p q 4．设() Q x:x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为P x:x是鸟，() （）。 A. ()(()()) Q x ??∧()) x P x ??→ B. ()(() x P x Q x C. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x x P x ??→ D. ()(() 5.设() L x y：x大于等于y；命题 f x:x的绝对值，(,) P x:x是整数，() “所有整数的绝对值大于等于0”可符号化为（）。 A. (()((),0)) ?→ x P x L f x x P x L f x ?∧B. (()((),0)) C. ()((),0) ?→ xP x L f x xP x L f x ?∧ D. ()((),0) 6.设() G x:x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号 F x:x是人，() 化为（）。 A．(()()) x F x G x ??→? x F x G x ?∧B．(()()) C．(()()) x F x G x ??∧? ??∧D．(()()) x F x G x 7.下列命题公式不是永真式的是（）。 A. () p q p →→ p q p →→ B. () C. () p q p →∨ ?∨→ D. () p q p 8．设() Q x:x为实数。命题“任何有理数都是实数” R x:x为有理数；() 的符号化为（） A．()(()()) ?∧ x R x Q x x R x Q x ?∧B．()(()()) C．()(()()) ?→ x R x Q x ?→ x R x Q x D．(()())