图形地初步认识讲义及练习

图形的初步认识

一、 几何图形

柱体（圆柱、棱柱） 立体图形（体） 锥体（圆锥、棱锥）

球体

点

几何图形（点、线、面、体） 直线（射线、线段）

线

平面图形 曲线

平面（角、三角形、平行四边形、圆等） 面

曲面

点动成线，线动成面，面动成体。

二、线段、射线和直线

1、概念及记法的区别

线段：（1）有两个端点（2）可以度量（3）A a B 记作：线段AB 或线段BA 或线段a

射线：（1）有一个端点（2）向一方无限延伸（3）

A B 记作：射线AB 直线：（1）无端点（2）向两方无限延伸（3）

A B l 记作：直线AB 或

直线BA 或直线l

2、相关概念

两点间的距离：连接两点的线段的长度 线段的中点：分一条线段为两条相等的线段的点。如 A C B C 为线段AB 上一点，且 AC ＝BC ，则C 为线段AB 的中点，记作AB ＝2AC ＝2BC 或AC ＝BC 或AC ＝BC ＝2

1AB 3、线段大小的比较

线段长短的比较有两种方法：（1）度量法（用刻度尺量出两线段的长度再比较）（2）叠合法（用

圆规）

4、相关性质公理

直线公理：过两点有且只有一条直线

线段公理：两点之间，线段最短

三、角的认识

1、 角的概念

静止角度：由公共端点的两条射线组成的图形（公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边）

运动角度：由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形（起始位置的射线称为角的始边，终止位

置称为角的终边）

2、 角的表示方法

（1）可以用三个大写字母来表示，如AOB ∠

（2）在不引起混淆的情况下，可以只用顶点大写字母来表示，如O ∠

（3）可以用一个数学或小写希腊字母来表示，如2,1∠∠或βα∠∠,

3、角的大小

角的大小不是看角的两边的长与短，而是由两条射线的位置（口大小）来决定。

(1) 计量单位：度，分，秒（时钟的分针，经过一分转?6，时针经过一小时转?30） )"601('1,'601==? )'60

1("1,"60'1== (2) 角的大小比较

两种方法：①度量法（用量角器）②叠合法（保持顶点和其中一条边重合）

（3）两个角的和或差

两个角的和是把两个角中的两条边重合后另两条边形成的一个角；两个角的差是在一个较

大角中去掉一个较小角后的角。

（4）角平分线

概念：从角顶点发出的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分

线

表示方法：如图，若OC 是AOB ∠的平分线，则①BOC AOC ∠=∠②AOB AOC BOC ∠=∠=∠21③BOC AOC AOB ∠=∠=∠22 B O C A 性质：角平分线的点到这个角两边的距离相等；到一个角两边距离相等的点在这个角的

平分线上

（5）角的分类

锐角（大于?0小于?90的角）

直角（等于?90的角）

钝角（大于?90小于?180的角）

平角（?180的角，定义：一条射线绕着它的端点旋转，当终边与始边成一条直线时所形

成的角）

周角（?360的角，定义：一条射线绕着它的端点旋转到起始位置所形成的角）

1周角＝2平角＝4个直角

注：不能说“一个平角是一条直线，一条射线就是周角”

（6）补角、余角、对顶角和邻补角

补角和余角属于数量关系角，对顶角和邻补角属于位置关系角。

①如果两个角的和是一个平角，则这两个角互为补角，即?=∠+∠18021，则2,1∠∠互

为补角，简称互补，1∠是2∠的补角或2∠是1∠的补角。同角或等角的补角相等。

②如果两个角的和是一个直角，则这两个角互为余角，即?=∠+∠9021，则2,1∠∠互

为余角，简称互余，1∠是2∠的余角或2∠是1∠的余角。同角或等角的余角相等。

③两条直线相交形成两类角：一是对顶角，一是邻补角。对顶角相等，邻补角是特殊位

置上的补角。

如图(a)，两直线AB 、CD 相交于O ，则对顶角有两组：COB AOD BOD AOC ∠=∠∠=∠,；

邻补角有四组：AOC ∠和BOC ∠，AOC ∠和AOD ∠，AOD ∠和BOD ∠，BOD ∠和

BOC ∠

( b ) ( a ) ( c )

（7）方位角

方位角是表示方向的角，是确定物体位置的重要因素之一。具体表示时，是南（或北）在先，

再说偏东（或偏西）。

如上图(b)，OA 的方向为北偏东?30，OB 的方向为南偏西?45（即西南方向）

四、相交线和平行线

同一平面，两直线的位置关系：相交或平行。

1、 相交线

（1）相关概念

两直线相交：若两直线有且只有一个公共点，则称两直线相交，公共点叫做交点。

垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其

中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如上图（c ），直线AB ，CD 互相垂直，垂足为O ，记作AB ⊥CD 或CD ⊥AB 于O ，读作“AB 垂直于CD ，垂足为O ”。

注：垂线是直线而不是线段。

点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这点和垂足之间的垂线段的长度，叫做

点到这条直线的距离。

线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（亦叫中垂线）。

比例尺＝实际距离

图上距离 （2）相关性质

①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

②直线外一点与直线上各点联结的线段中，垂线段最短

③线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等，和一条线段两个端点距离相等的

点在这条线段的垂直平分线上。

2、 平行线

（1）相关概念

两直线平行：在同一平面不相交的两条直线。如在同一平面a 与b 不相交，即a 平行于b ，

记作a ∥b 。

两平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离。

（2）平行公理及推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果同一平面有两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即

“a c b c a 则,,⊥⊥∥b ”

五、作图

1、过直线l 外一点A 画直线l 的垂线

方法一：用三角尺（作法：如下图，三角尺一条直角边和l 重合，并移动使得另一直角边过A 点，再用铅笔沿另一条边画直线即为所求）

方法二：用量角器（作法：如下图，量角器的?90线与l 重合，并移动使得零刻度线过A 点，

零刻度线所在直线即为所求）

2、过直线a 外一点P 画一条直线b ，使得a ∥b

方法一：如图，①任意画一条直线l ，使a l ⊥②过点P 画直线l b ⊥，则a ∥b ，b 即为所求

方法二：如图，用三角尺和直尺画a ∥b

3、 画已知AOB ∠的角平分线OP

方法一：用量角器量出AOB ∠的度数，以OB 为始边用量角器量出AOB ∠2

1，终边为OP ，则

OP 即为所求

方法二：尺规法（同4、（4））

4、 尺规作图

（1）比较两已知线段a 和b 的大小

作法：①将圆规的两脚和线段a 的两端点重合 ②此圆规的一脚和b 的一端点重合，进行叠合

后若另一脚落在b 上，则b a ；若落在b 外，则b a ；若则好跟b 另一端点重合，则b a =

（2）画一线段等于已知线段a 和b （b a ）的长度的和或差

①记c 为a 和b 长度的和，则b a c +=

作法：如下图，用直尺延长a （AB ）到一定长度，再用圆规往右顺次截取BC ＝b ，则AC 即为所

求

②记d 为a 和b 长度的差，则b a d -=

作法：如下图，用圆规在a 上截取AC ＝b ，则BC 即为所求

（3）画一已知线段AB 的垂直平分线

作法：如图（3）①分别以AB 为圆心，大于AB 2

1长为半径在AB 上下画弧，上面两条弧的交点为C ，下面两条弧的交点为D ②连接CD ，则直线CD 即为所求

（4）画一已知AOB ∠的角平分线OP

作法：如图（4）①以O 为圆心，任意长为半径画弧分别交OA ，OB 于C ，D ②分别以C ，D 为圆

心，大于CD 2

1长为半径在AOB ∠画弧，两弧交点为P ③连结OP ，则OP 即为所求

图(3) 图(4)

【探索】

1、已知直线l 上有n 个点，问共有多少条线段和多少条射线？

答案：线段有：2

)1(123)3()2()1(-=++++-+-+-n n n n n 射线有：n 2

2、如果以O 为端点有n 条射线（构成的角都小于平角），组成的角有多少个？

答案：角有：2)1(123

)3()2()1(-=++++-+-+-n n n n n 3、利用一副三角板可以拼出多少个角（不包括?0和?180角）？

答案：可以拼出11个角（这11个角分别以?15递增：??????165,150,135,45,30,15

【练习】

单元测试 ( A )

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．不在同一直线上的四点最多能确定 条直线.

2．如图，从A 地到B 地走 条路线最近，它根据的是 .

3．如图，是用对顶角的量角器测量圆锥形零件的锥角的示意图，则此零件的锥角等于

度.

4．当图中的∠1和∠2满足_________时，能使OA ⊥OB （只需填上一个条件即可）.

5．从A 市开往B 市的特快列车，途中要停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不相同，那么有 种不同的票价

6．小明每天下午5:30回家，这时分针与时针所成的角的度数为___________．

7．在同一平面，1个圆把平面分成0×1+2=2个部分，2个圆把平面最多分成1×2+2=4个部分，3个圆把平面最多分成2×3+2=8个部分，4个圆把平面最多分成3×4+2=14个部分，那么10个圆把平面最多分成 个部分.

8．有边长为1的等边三角形卡片若干，使用这些三角形卡片拼出边长分别是2，3，4，…的等边三角形 (如图所示)．根据图形推断，每个等边三角形所用卡片总数s 与边长n 的关系式是 .

9．如图所示的4×4正方形网格中，∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= ．

二、选择题（每小题3分，共30分）

10．若∠α=30°，则∠α的补角为( )．

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

11. 平面上有三点A 、B 、C ，如果AB=8，AC=5，BC=3，则（ ）

A ．点C 在线段A

B 上 B ．点B 在线段AB 的延长线上

C ． 点C 在直线AB 外

D ．点C 可能在直线AB 上，也可能在直线AB 外

12.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ）

A ．南偏西50度方向

B ．南偏西40度方向

C ．北偏东50度方向

D ．北偏东40度方向

13．如图，115?∠=,90AOC ?∠=,点B 、O 、D 在同一直线上，则2∠的度数为（ ）

A ． 75?

B ．15?

C ．105?

D ．165?

A B

① ② ③