重积分练习题含答案

第十章 重积分练习

结论1：如果积分区域D 关于y 对称，}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D 则

??

?????

??=--=-=D

D y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1

),(),(),(2),(),(0),(时

当时当σ

σ

结论2：如果积分区域D 关于x 轴对称，}0,),(),{(1≥∈=y D y x y x D 则

??

?????

??=--=-=D

D y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1

),(),(),(2),(),(0),(时

当时当σ

σ

结论3：如果积分区域D 关于坐标原点O 对称，则

??

?????

??=---=--=D

D y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1

),(),(),(2),(),(0),(时

当时当σ

σ

其中}0,

),(),{(1≥∈=x D y x y x D

结论4：如果积分区域D 关于直线=y x 对称，则

????

=D

D

d x y f d y x f σσ),(),(

练习1

1.求σ-=??

d x y I D

2

，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-

2.证明??

?-=

x

a

b a

b

a

dy y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）

3. 设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明?

?->b a

b

a a

b dx x f dx x f 2

)()

(1)(

4.计算[]??++D

dxdy y x yf x )(12

2，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。

5.计算???

+=

v

dv y x I )(2

2，v 是由yOz 平面上曲线z y 2=

绕z 轴旋转所得平面

2=z ，8=z 所围区域。

6. 设函数)(x f 连续，[]

d v y x f z

t F v

???++=

)()(2

22

，其中

{

}

H z t y

x z y x V ≤≤≤+=0,),,2

2

2（，试求

dt

dF 和2

)(lim

t

t F t →

7. 求曲面2

2

1y x z ++=在点)3,1,1(0-M 的切平面与曲面22y x z +=所围立体的体积

V

8.设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(2

2

2

2

>=++a a z y x 上，问当R 取何值

时，∑在定球面内部的那部分1∑的面积最大？

练习2

1． 计算??D

xyd σ，其中区域D 是由抛物线12-=x y 及直线x y -=1所围成的区域

??? ?

?-827

2． 计算??+D

y

x d e

σ，其中D 是由1≤+y x 所确定的区域 ??? ?

?

-e e 1

3． 计算??+D

dxdy y x )sin(，其中D 为正方形区域：ππ≤≤≤≤y x 0,0 )2(π

4． 更换积分次序

① ??21

1),(x x

dy y x f dx ② ??

-π0sin sin

2

),(x

x dy y x f dx

5．计算由平面0,0,6===++y x z y x 及42=+y x 所围成的立体的体积 ??

?

??364

6. 球体2222

+x y z R +≤

与Rz z y x 2222≤++的公共部分为一立体，求其体积

??

?

??3125R π

7. 计算三重积分???Ω

zdxdydz ，其中Ω为由圆锥面的2

2y

x z +=

及平面1=z 所围成区

域 ??

?

??4π

8. 分别用柱面坐标、球面坐标和直角坐标计算三重积分???

Ω

=

zdv x I 2

，其中Ω是由球面

22

22=++z y x 及圆锥面2

2y x z +=

所围成（含z 轴部分） ??

? ??12π

9. 求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+2

2内部的那部分面积（0>a ）

))2(2(2

-πa

重积分练习一参考答案

1.求σ-=

??

d x y I D

2

，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-

解： 如图，曲线2x y =把区域D 分为1D 和2D ，其中1x 1D 1≤≤-：，2

x y 0≤≤；

2y x

,1x 1:D 2

2≤≤≤≤-

σ

-+

σ-=

σ-=

??

??

??

d x y d y x

d x y I 21

D 2

D 2

D

2

()()??

?

?

--=-?+-?=

1

1

22

11

2

2

2

15

13x

x dy

x y dx dy y x

dx

2.证明??

?-=

x a

b a

b

a

dy y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）

证： 左端=??x

a

b

a

dy y f dx )(，??

?≤≤≤≤b

x a x y a D ，作出积分域交换积分顺序，??

?≤≤≤≤b

y a b x y D

左端==

??x

a

b a

dy y f dx )(??

b

y b a

dx y f dy )(?

=-=

b a

dy y b y f ))((右端，证毕！

注： 本题还可这样证明：

令?

??

--

=

t a

x

a

t a

dx x t x f dy y f dx t F ))(()()(，证明0)(0)(=?='t F t F

3.设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明?

?->b a

b

a

a b dx x f dx x f 2

)()

(1)(

证： 设平面区域},),({b y a b x a y x D ≤≤≤≤=，D 关于直线x y =对称

?

??

?=∴

b a

b a

b a

b a

dy y f dx x f dx x f dx x f )

(1)()

(1)(

2

2

2

)

()

()()()(22

1

)

()()()(2

1

)()()

()(21)

()()

()(a b d x d y d x d y

y f x f y f x f d x d y y f x f y f x f d x d y x f y f y f x f d x d y

x f y f d x d y y f x f D

D

D D

D

D

-==

≥

+=???

???+=

=

=

??

??????

??

??

4.计算[]??++D

dxdy y x yf x )(122，其中D 由3

x y =，1=y ，1-=x 围成。

解： 作曲线3

x y =，则积分区域被分为1D 和2D ，1D 关于x 轴对称，2D 关于y 轴对称。

由于被积函数是x 的奇函数，故有[]0)(12

22=++??D dxdy y x yf x ，由于)(22y x xyf +的奇

函数，故有

[

]

=

++??1

)(12

2D dxdy y x yf x ???

??

----=-==+0

1

4

1

5

2

)(2203

1

dx x dy xdx

xdxdy x

D

5.计算???+=

v

dv y x I )(2

2，v 是由yOz 平面上曲线z y 2=

绕z 轴旋转所得平面

2=z ，8=z 所围区域。

解： 旋转面方程为z y x 222=+，积分区域{}

82,2),,(22≤≤≤+=z z y x z y x V

???

?

??+=

+=

v

D z

dxdy y x dz dv y x I 8

2

2

22

2)()( ππ

θπ

33628

2

2

8

2

20

20

3

===

?

?

?

?

dz z dr r d dz z

注： 本题若采用先一后二法，将较麻烦! 6.设函数)(x f 连续，[]

d v y x f z

t F v

???++=

)()(2

22

，其中

{

}

H z t y

x z y x V ≤≤≤+=0,),,2

2

2（，试求

dt

dF 和2

)(lim

t

t F t →

解： V 在xOy 平面上投影D 为圆222t y x ≤+，于是

???++=

v

dv y x f z

t F ))(()(2

22

?

?

?

?

??+=

??

? ??+=

++=

t t H D

d f H

t H d H f H d dz

y x f z dxdy 0

2

2

3

20

2

3

2

22)(23

)(31))((ρ

ρππρρρθ

π

当0>t 时有： )(2322

3

t H t f t H dt dF ππ+= 当0

22

3

t H t f t H dt

dF ππ+=

且0=t 时，有dt

dF F t 0

lim

)0(→='，所以

)(23

22

3t Htf t H dt

dF ππ+=

从而 t

t f H t H t

t F t t 2)

(23

2

lim )(lim

2

30

2

++=→→ππ )0(3)(lim 3

3

2

3

Hf H

t Hf H t ππ

ππ

+=

+=

→

7. 求曲面2

21y x z ++=在点)3,1,1(0-M 的切平面与曲面2

2y x z +=所围立体的体积

V

解： 不难想象，该立体的上、下底曲面一个是曲面22y x z +=的一块，一个是切平面的

一块，首先确定立体在xOy 平面上投影区域y x D ,

由于切平面的法向量是}1,2,2{}1,,{0

--=-=M y x z z n

，切平面方程：

0)3()1(2)1(=--+--z y x z ，即122--=y x z

从而切平面与曲面2

2

y x z +=的交线是???--=+=1

222

2y x z y x z ，消去z ，可得投影

1)1()1(:2

2≤++-y x D xy ，注意到在D 上，22122y x y x +≥--，所以

()[][]

????+---=+---=

D

D

dxdy y x dxdy y

x

y x V 2

2

2

2

)1()

1(1122

?

?

=

-=

π

π

θ

20

1

2

2

)1(rdr r d

8. 设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(2222>=++a a z y x 上，问当R 取何值

时，∑在定球面内部的那部分1∑的面积最大？

解： 可设∑的方程为2

222)R a z y x =-++（，从而两球面的交线是

()

???

????-=-=+a R a z R a a

R y x 22442

22

22

2

22，于是1∑的方程为2

22y

x R a z ---=

1∑在xy 在投影为()2

2

2

22

244:R

a

a

R

y x D -≤

+

1

∑的面积为 ??

??

--=

++=

D

D

y x dxdy y

x R R dxdy z z R S 2

2

2

2

2

1)(

a

R R rdr r

R R d R

a a

R

3

2

20

4202

222

2ππθ

π

-

=-=

?

?

-

2

34)(R a

R R S ππ-

=' ，得驻点01=R ，a R 3

42=

R a

R S ππ64)(-

=''，04)(2<=''πR S

∴当a R 3

4=

时，1∑的面积最大。