数学必修直线方程五种形式

学堂

直线方程五种形式

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b

③两点式：

112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b

+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。 ⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）

注意：特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）；

平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；

1．写出下列直线的点斜式方程：

(1)经过点A(2，5)，斜率是4；

(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；

(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°．

2．写出下列直线的斜截式方程：

(2)倾斜角是135°，y 轴上的截距是3．

3．求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程．

(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；

(2)A(0，5)、B(5，0)；

(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)．

直线方程的一般形式

直线方程的一般形式教师：前边，我们研究了直线方程的两点式、斜截式、点斜式和截距式，现在请同学们思考这样一个问题：［投影显示问题1］问题1 已知点P 的坐标为（2，m ），点Q 的坐标为（n ，3）。试求直线PQ 的方程。学生1：此题有误，因为当m ＝3，且n ＝2时，点P 和点Q 重合，所求的直线不确定。教师：很好，那么我们考虑点P 和点Q 不重合时直线AB 的方程。学生2：应用直线方程的两点式可知直线PQ 的方程为 2 23--=--n x m m y 。学生3：（1）当m ≠3时，且n ≠2时，方程才是223--=--n x m m y ； ① （2）当m ＝3时，且n ≠2时，方程是y ＝3； ② （3）当n ＝2时，且m ≠3时，方程是x ＝2。 ③ 学生4：运用方程的两点式可知当n ≠2时，直线PQ 的方程为 )2(2 3---=-x n m m y ④ 教师：很好，我们将方程①和方程④作一比较，你会有何发现？学生5：方程④优于方程①，因为④比①的作用范围广；方程④实际上包括了方程①和方程②。教师：从考虑①和④的联系与区别出发，你有何想法？（留给学生少许思考时间后，个别学生已经有了想法，举手要求发言）教师：我们能否将①、②、③予以综合，给出一个在点P 和点Q 不重合的条件下都成立的方程呢？（此时，举手的学生更多了。）学生6：可以，将方程①变为下列方程即可（n －2）（y －m ）＝（3－m ）（x －2） ⑤ 教师：很好，在m ＝3和n ＝2不同时成立的条件下，表示直线的方程⑤属于哪种类型的方程呢？

（对于此问题学生有点茫然，不知从哪个角度给出方程的归属）教师：大家可以从方程两边的代数式类型的角度出发。学生7：是整式方程。教师：几元几次？学生7：二元一次或一元一次方程。教师：为什么？学生7：因为⑤等价于（m－3）x＋（n－2）y－mn＝0⑥ 而其中m、n为常数，当x－3、n－2都不为0时，⑥显然是关于x和y的二元一次方程；当x－3、n－2中仅有一个为0时，则⑥为关于x或y的一元一次方程。教师：很好，为了统一起见，当m－3、n－2中仅有一个为0时，我们将⑥也可以看作关于x和y的二元一次方程，这就表明，直线PQ的方程是关于x、y 的二元一次方程。那么，是否任意一条直线L的方程都是二元一次方程呢？学生众：应该是的。教师：为什么呢？……对于直线L我们如何确定它的方程呢？学生8：我们可在L的边上找出两个不同的点A和B。然后借助于A、B的坐标确定出该直线的方程，然后，考察这个方程是否为二元一次方程。教师：哪位同学能将学生8的想法落到实处？学生9：若A、B两点的横坐标相同，高为a，则L的方程为x＝a，显然可以看作二元一次方程；当A、B的纵坐标相同时，设为b，则AB的方程为y＝b，这也可以看作二元一次方程；当A、B的横坐标和纵坐标均不相同时，设A、B 的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则…… 教师：能否将A、B的坐标简化一下呢？（等学生沉默片刻后，教师将手指向投影中的问题1）学生10：当A、B的横坐标和纵坐标均不相同时，必可在直线L上取点P（2，m），Q（n，3），则L的方程为⑥，显然是二元一次方程。教师：还有没有其他的想法？学生11：可以从点斜式去考虑，由于直线L一定存在斜率…… 学生齐喊：不一定！

人教版数学必修2直线与方程知识点专题讲义全

必修二直线与方程专题讲义 1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角 ① 关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 0. ③ 倾斜角α的围00 0180α≤<. ④ 090,tan 0k αα?≤

注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定）（1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =；（2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =；（3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） 3、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行斜截式：对于两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则有 121212//,l l k k b b ?=≠ 注：当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行. 一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则 1212211221//,l l A B A B AC A C ?=≠ 注：1212211221=,l l A B A B AC A C ?=与重合 1l 与2l 相交01221≠-?B A B A （2）两条直线垂直斜截式：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.

直线方程--直线方程的几种形式

课题：直线方程教学目标：（1）知识与技能：掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程王新敞（2）过程方法与能力：通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力王新敞（3）情感态度与价值观：在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。教学重点：直线方程的点斜式、两点式、截距式的推导及运用教学难点：直线与方程对应关系的说明以及运用各种形式的直线方程时，应考虑使用范围并进行分类讨论王新敞授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体教学过程：一、复习： 1、直线的方程 2、直线的斜率与倾斜角。二、新授 1. 直线的点斜式方程：已知直线的斜率及直线经过一已知点，求直线的方程问题一：已知直线l 经过点111(,)P x y ，且斜率为k 则直线方程：11()y y k x x -=- 解：设直线上任意一点(),P x y ，则k x x y y =--1 1要把它变成方程)(11x x k y y -=-.因为前者表示的直线上缺少一个点1P ，而后者才是整条直线的方程. 直线的斜率0=k 时，直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1x x =. 注：斜率不存在，不能用点斜式方程。 2．直线的斜截式方程：已知直线l 经过点P （0,b ），并且它的斜率为k ，求直线l 的方程：b kx y += 注:⑴斜截式与点斜式存在什么关系？斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便. ⑵斜截式b kx y +=在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间有什么差别？只有当0≠k 时，斜截式方程才是一次函数的表达式. ⑶斜截式b kx y +=中，k ，b 的几何意义是什么？ 3. 直线方程的两点式：已知直线上两点),(11y x A ，B （),22y x )(21x x ≠，求直线方程. )(11 2121x x x x y y y y ---=-

人教版高中数学必修二直线与方程题库

（数学2必修）第三章直线与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（） A ．0 45,1 B ．0 135,1- C ．090，不存在 D ．0 180，不存在 6．若方程014)()32(2 2 =+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（） A ．0≠m B ．2 3 - ≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3 - ≠m ，0≠m 二、填空题 1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________. 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;

必修2初中数学第三章直线与方程知识点

直线与方程知识点一、基础知识回顾 1.倾斜角与斜率知识点1：当直线l 与x 轴相交时， x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角. 注意: 当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度. 知识点2：直线的倾斜角(90)αα≠?的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=. 注意: 当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的王新敞知识点3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：21 21 y y k x x -= -. 知识点4：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ?1k =2k 王新敞．知识点5：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直. 即12l l ⊥?12 1 k k =-?121k k =- 王新敞注意： 1．1212//l l k k ?=或12,l l 的斜率都不存在且不重合. 2．12121l l k k ⊥?=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在. 2.直线的方程知识点6：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 注意： ⑴x 轴所在直线的方程是，y 轴所在直线的方程是 . ⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 . ⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 . 知识点7：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程. 注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标. 知识点8：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为11 12122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程. 知识点9：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程为 1=+b y a x ，叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0, b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距. 知识点10：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程. 注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线（2）点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上?00Ax By +0C += 王新敞 3、直线的交点坐标与距离知识点11：两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组111222 0A x B y C A x B y C ++=?? ++=?，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.

直线方程的几种建立方式及其适用范围

直线方程的几种建立方式及其适用范围罗村高级中学黄勉确定在不同条件下的直线方程，是高考试题重点考查的内容之一。因此，需要熟练掌握直线方程的各种形式，以及各自的适用范围，以便在不同的情况下灵活地选用。下面直线方程的几种建立方式及其适用范围列出，以供大家参考：一、点斜式若直线l 过定点),(00y x P ，斜率为k ，则直线l 的方程为)(00x x k y y -=-；它不适用平行于y 轴（包括y 轴）的直线，换句话说就是不适用于斜率不存在（即倾斜角为090）的直线。当斜率不存在时，直线l 的方程为：0x x =；特别地，当k ＝0时，其方程为0y y =。例1、已知直线l 过点A （1，2）,B(3,m )，求直线l 的方程。分析：因为直线l 经过点B(3,m ),且m 是一个参数，因此需要对m 进行分情况讨论。解：当m ＝1时，直线l 的倾斜角为090，其斜率是不存在的，故此直线l 的方程为1=x 。当m ≠1时，直线l 的斜率为11-= m k ，又因为直线l 通过点A （1，2），所以直线l 的方程为：)1(1 12--=-x m y 。例2、已知直线l 经过点P （—3，4），且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程。分析：不难看出，直线l 在经过原点和斜率为—1的两种情况下在两坐标轴上的截距相等。因此，需要对这两种情况分类讨论。解：若直线l 经过原点，则直线l 的斜率为3 4-=k ，从而直线l 的方程为：x y 3 4-=，即034=+y x 。若直线l 不经过原点，由于它在两坐标轴上的截距相等，所以直线l 的斜率为1-=k ，从而直线l 的方程为：),3(4--=-x y 即01=-+y x 。二、斜截式若直线l 的斜率为k 且在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为：b kx y +=；它不适用于平行于y 轴（包括y 轴斜率）的直线，即不适用于斜率不存在（倾斜

高中数学-直线方程的几种形式练习

高中数学-直线方程的几种形式练习 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.过点A(-2，1)且与x 轴垂直的直线的方程是( ) A.x=-2 B.y=1 C.x=1 D.y=-2 解析：过点(x 0,y 0)与x 轴垂直的直线的方程是x=x 0，所以所求直线的方程为x=-2. 答案：A 2.已知直线l 过点P(3,2),且斜率为5 4 - ,则下列点不在直线l 上的是( ) A.(8,-2) B.(4,-3) C.(-2,6) D.(-7,10) 解法一：由斜率公式k= 1 21 2x x y y --(x 1≠x 2)，知选项A 、C 及D 中的点与点P 确定的直线斜率都为5 4- . 解法二：由点斜式方程，可得直线l 的方程为y-2=5 4 - (x-3),即4x+5y-22=0. 分别将A 、B 、C 、D 中的点代入方程,可知点(4,-3)不在直线上. 答案：B 3.过点P(3,2)和点Q(4,7)的直线方程为____________. 解：过两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线的两点式方程 1 21 121x x x x y y y y --=--，代入点P(3,2)和点Q(4,7)，求得直线方程为 3 43 272--= --x y ，整理得5x-y-13=0. 答案：5x-y-13=0 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax 与y=x+a 的图象正确的是( ) 图2-2-2 解析：结合四个图象,a 在两方程中分别表示斜率和纵截距,它们的符号应一致.逐一判断知A 、B 、D 均错,只有C 正确. 答案：C 2.下列命题中： ① x x y y --=k 表示过定点P(x 0,y 0)且斜率为k 的直线; ②直线y=kx+b 和y 轴交于B 点,O 是原点,那么b=|OB|; ③一条直线在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,那么该直线的方程为 b y a x +=1; ④方程(x 1-x 2)(y-y 1)+(y 2-y 1)(x-x 1)=0表示过P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)两点的直线.

新课标高中数学必修2直线与方程

3.1知识表直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率（1）直线的方程：如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．（2）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角．倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．（3）直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．倾斜角是90°的直线的斜率不存在．过P 1（x 1，y 1），P 2（x 2， y 2）（x 2≠x 1）两点的直线的斜率特别地是，当12x x =， 12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当 090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?<

人教版高一数学必修2第三章直线与方程单元测试题及答案

必修2第三章《直线与方程》单元测试题（时间：90 满分：120分）班别座号姓名成绩一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（）Ａ３０° Ｂ４５° Ｃ６０° Ｄ９０° 2．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（） A.21 3, B.-- 213, C.--1 2 3, D.－2，－3 3. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、2 3- D 、3 2 4.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（）（A ）2 （B ）2 1 （C ）1 （D ）2 7 5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（）Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0 6.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2） 8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是（A ）平行（B ）垂直（C ）相交但不垂直（D ）不能确定 9. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有 A. k 1

一、直线方程的五种形式

§1直线方程的点斜式和斜截式一、选择题： 1．直线的点斜式方程00()y y k x x -=-（） A ．可以表示任何一条直线 B. 不能表示过原点的直线 C ．不能表示与y 轴垂直的直线 D. 不能表示与x 轴垂直的直线 2．经过点(2,1)P -，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍的直线l 的方程为（） A ．22x y += B. 24x y += C. 23x y += D. 23x y +=或20x y += 3．直线cos sin 10,(0, )2x y πααα++=∈的倾斜角是（） A ．α B. 2π α- C. πα- D. 2π α+ 4．等腰AOB ?中，||||=，点),3,1(),0,0(A O 点B 在x 轴的正半轴上，则此直线AB 的方程为（） A ．)3(31-=-x y B ．)3(31--=-x y C ．)1(33-=-x y D ．)1(33--=-x y 5．若0,0,0A B C >><，则直线0Ax By C ++=必经过（） A ．一、二、三象限 B. 二、三、四象限 C ．一、三、四象限 D. 一、二、四象限 6．直线20x y b -+=与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是（） A ．[2,2]- B. (,2][2,)-∞-+∞ C ．[2,0)(0,2]- D. [2,)+∞ 二、填空题： 7．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成45°角的直线方程是 . 8．若y 轴绕点(0,2)M -顺时针方向旋转30°，所得直线的方程是 . 9．直线过点(3,2)P -，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，若AP ：PB = 2，则此直线方程是 . 三、解答题： 10．已知两点A （4，3）、B （2，1），直线l 过AB 的中点，且倾斜角是直线430x y -+= 的倾斜角的2 倍，求直线l 的方程.

【教材分析】直线方程的几种形式_数学_高中_孙健鹏_3707820001

教材分析本节内容在教材中的地位和作用：“直线方程的几种形式”是人教版B版数学必修2的第二章第二节的内容。课程分析:本节课是在学习了直线斜率和倾斜角基础上，对直线方程几种形式的探究。直线方程的几种形式是以后研究直线与圆、直线与圆锥曲线的基础，是今后学习整个解析几何的基础，因此，本节课必须重视基础知识、基本方法的学习和掌握，在激发学生学习兴趣、提高学生学习能力上下功夫。教学重点：各种直线方程的推导，直线的点斜式方程是直线方程的重中之重；教学难点：理解各式直线方程形式的局限性，求直线方程的灵活性，理解直线方程与二元一次方程的对应关系。学情分析：通过前面内容的学习，学生已经对解析几何这一数学学科有了基本的了解，知道了解析几何是用代数方法研究几何问题。由于这一节学生基础不是很好，但学习积极性较高，思维活跃，所以教学中既要放手给学生，又要注意引导学生，让学生始终是课堂的主人。设计理念：本节课的课型为“新授课”，采用“问题探究式”的教学方法。遵循“探索---研究---运用”的三个层次，提出问题，采用多角度、不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中，让学生动脑思、动口议、动手做，充分发挥学生的主体地位，而且教师要启发的恰到好处。采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。学习目标：掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程，并能根据条件熟练地求出直线的方程。通过由一点和斜率导出直线方程的方法的研究，体会数形结合思想，锻炼用代数方法解决几何问题的能力；通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创新的历程。发扬学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，增强学习数学的兴趣和信心。

直线方程的几种形式

23 直线方程的几种形式教材分析这节内容介绍了直线方程的几种主要形式：点斜式、两点式和一般式，并简单介绍了斜截式和截距式．直线方程的点斜式是其他直线方程形式的基础，因此它是本节学习的重点．在推导直线方程的点斜式时，要使学生理解：（1）建立点斜式的主要依据是，经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的，其斜率等于k．（2）在得出方程后，要把它变成方程y－y1＝k（x－x1）．因为前者表示的直线缺少一个点P1（x1，y1），而后者才是这条直线的方程．（3）当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为x＝x1．在学习了点斜式的基础上，进一步介绍直线方程的其他几种形式：斜截式、两点式、截距式和一般式，并探索它们的适用范围和相互联系与区别．通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方程，都可以写成关于x，y的一次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础．因为这部分内容较为抽象，所以它是本节学习的难点．教学目标 1. 在“直线与方程”和直线的斜率基础上，引导学生探索由一个点和斜率推导出直线方程，初步体会直线方程建立的方法． 2. 理解和掌握直线方程的点斜式，并在此基础上研究直线方程的其他几种形式，掌握它们之间的联系与区别，并能根据条件熟练地求出直线方程． 3. 理解直线和二元一次方程的关系，并能用直线方程解决和研究有关问题． 4. 通过直线方程几种形式的学习，初步体会知识发生、发展和运用的过程，培养学生多向思维的能力．任务分析这节内容是在学习了直线方程的概念与直线的斜率基础上，具体地研究直线方程的几种形式，而这几种形式的关键是推导点斜式方程．因此，在推导点斜式方程时，要使学生理解：已知直线的斜率和直线上的一个点，这条直线就确定了，进而直线方程也就确定了．求直线方程就是把直线上任一点用斜率和直线上已知点来表示，这样由两点的斜率公式即可推出直线的点斜式方程．在直线的点斜式方程基础上，由学生推出直线方程的其他几种形式，并使学生明确直线方程各种形式的使用范围，以及它们之间的联系与区别．对于直线和方程的一一对应关系是本节课的难点，在论证直线和方程的关系时，一方面分斜率存在与斜率不存在两类，另一方面又分B≠0与B＝0两类．这种“两分法”的分类，科学严密，可培养学生全面系统和周密地讨论问题的能力．

高一数学必修二直线与方程

数学必修二——直线与方程（一）直线的斜率 1. 坡度：是指斜坡起止点间的高度差与水平距离的比值。 2. 直线的斜率：已知两点如果，那么直线PQ的斜率为练习：直线都经过点P（2,3），又分别经过试计算的斜率。（1）当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜（2）当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜。（3）当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合说明： 1、如果，那么直线PQ的斜率不存在（与x轴垂直的直线不存在斜率） 2、由直线上任意两点确定的斜率总是相等的。 3、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤＜180°。 4、直线倾斜角与斜率的关系：当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角，此时有当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角，此时有

概念辨析：为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的题。关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的： A. 任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C. 平行于x轴的直线的倾斜角是0或180°； D. 两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等； E. 直线斜率的范围是（－∞，＋∞）。辨析：上述说法中，E正确，其余均错误，原因是： A. 与x轴垂直的直线倾斜角为90°，但斜率不存在； B.举反例说明， C. 平行于轴的直线的倾斜角为0； D. 如果两直线的倾斜角都是90°，但斜率不存在，也就谈不上相等. 说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是； ③倾斜角是90°的直线没有斜率。（二）直线方程 1. 直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。问题一：已知直线经过点，且斜率为，如何求直线的方程？因为经过直线上一个定点与经过这条直线上任意一点的直线是都惟一的，其斜率都等于。所以，要把它变成方程. 因为前者表示的直线上缺少一个点，而后者才是整条直线的方程. 2. 直线的点斜式方程已知直线经过点，且斜率为，直线的方程：为直线方程的点斜式。直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为。问题二：已知直线经过点P（0，b），并且它的斜率为，求直线的方程？ 3. 直线的斜截式方程已知直线经过点P（0，b），并且它的斜率为k，直线的方程：为斜截式。说明：（1）斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间有什么差别？只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式。（2）斜截式中，表示直线的斜率，b叫做直线在y轴上的截距。 4. 直线方程的两点式已知直线上两点，B（，求直线方程。首先利用直线的斜率公式求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程为：由可以导出，由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式。注意：倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示。 5. 直线方程的截距式定义：直线与轴交于一点（,0）定义为直线在轴上的截距；直线与y轴交于一点（0,）定义为直线在轴上的截距。叫做直线方程的截距式。，表示截距，它们可以是正，也可以是负，也可以为0。当截距为零时，不能用截距式。

2.2.2直线方程的几种形式

2.2.2直线方程的几种形式伽利略铁球的轨迹伽利略是伟大的意大利物理学家和天文学家，科学革命的先驱! 历史上他首先在科学实验的基础上融会贯通了数学、物理学和天文学三门知识，扩大、加深并改变了人类对物质运动和宇宙的认识。为了证实和传播哥白尼的“日心说”，伽利略献出了毕生精力. 由此，他晚年受到教会迫害，并被终身监禁。他以系统的实验和观察推翻了以亚里士多德为代表的、纯属思辨的传统的自然观，开创了以实验事实为根据并具有严密逻辑体系的近代科学. 因此，他被称为“ 近代科学之父”。他的工作，为牛顿的理论体系的建立奠定了基础. 据说科学家伽利略为向亚里士多德宣战，曾手拿一大一小两个铁球，站在高高的比萨斜塔上，将一大一小两个铁球同时扔下，结果人们发现，两个铁球同时落地，于是亚里士多德的那个“物体下落速度与其重量成正比”的论断立刻被推翻了. 一个铁球可以看作是一个质点，那么铁球运动所形成的轨迹可以看做是满足某种运动规律的点的集合。我们将之推广在平面直角坐标系中，这样的点的集合被称为直线，直线的位置既可以由两个点来惟一确定，也可以由一个点和一个方向来确定. 课程学习目标［课程目标］目标重点：各种直线方程的推导，点斜式是直线方程的重中之重；根据所给条件灵活选取适当的形式和方法，熟练地求出直线的方程. 目标难点：清楚各种直线方程的局限性；把握求直线方程的灵活性；运用数形结合、分类讨论等数学方法和特殊———一般———特殊的思维方式理解直线与二元一次方程的对应关系. ［学法关键］ 1．直线是点的集合，求直线方程实际上是求直线上点的坐标之间满足的一个等量关系； 2．求直线方程的过程中，既要说明直线上的点的坐标满足方程，也要说明以方程的解为坐标的点在直线上，只有满足了这两点，我们才可以说这个方程是直线的方程或直线是这个方程的直线； 3．通过二元一次方程与直线关系的认识和理解，培养数形结合、数形转化的能力，能正确运用直线方程的各种形式解决问题。研习点1．直线的点斜式方程 1．点斜式方程设直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则直线的方程为y－y0=k(x －x0)，由于此方程是由直线上一点P0(x0，y0)和斜率k所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程. 注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否. （1）当直线l的倾斜角α=90°时，斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l恰与y轴平行或重合，这时直线l上

高中数学必修二 4直线与方程

高中数学必修二 4、直线与方程知识点复习：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当[) 90,0∈α时，0≥k ；当() 180,90∈α时，0

人教版数学必修2直线与方程单元测试题

第三章《直线与方程》单元测试题一、选择题 1. 直线l 经过原点和点（ 1，1），则它的倾斜角是（）Ａ．3Ｂ．5Ｃ．或5Ｄ． 4 4 4 4 4 2. 斜率为2的直线过（3，5），（ a，7），（－1，b）三点，则a，b的值是（）Ａ． a 4 ， b 0 Ｂ． a 4 ， b 3 Ｃ． a 4 ， b 3 Ｄ． a 4 ， b 3 3. 设点A（2，3），B（ 3，2），直线过P（1，1）且与线段AB相交，则l 的斜率k的取值范围是（） 3 3 3 Ａ．k≥ 3或k≤ 4 Ｂ．4≤ k≤ 3Ｃ．3≤k≤4 Ｄ．以上都不对 4 4 4 4. 直线（a 2）x （1 a）y 3 0与直线（a 1）x （2a 3）y 2 0互相垂直，则 a （） 3 Ａ． 1 Ｂ． 1 Ｃ． 1 Ｄ． 2 5. 直线l过点A 1，2 ，且不过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（）Ａ．0，2 Ｂ．0，1 Ｃ．0，1Ｄ．0，1 22 6. 到两条直线3x 4y 5 0 与5x 12y 13 0 的距离相等的点P（ x，y）必定满足方程（）Ａ．x 4y 4 0 Ｂ．7x 4y 0 Ｃ．x 4y 4 0或4x 8y 9 0 Ｄ．7x 4y 0 或32x 56y 65 0 7. 已知直线3x 2y 3 0 和6x my 1 0 互相平行，则它们之间的距离是（）Ａ． 4 Ｂ． 2 13Ｃ．5 13 Ｄ．7 13 13 26 26 8. 已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x y 2 0 ，直角顶点是C（3，2），则两条直角边AC，BC 的方程是（）Ａ．3x y 5 0，x 2y 7 0 Ｂ．2x y 4 0，x 2y 7 0 Ｃ．2x y 4 0，2x y 7 0 Ｄ．3x 2y 2 0，2x y 2 0 9. 入射光线线在直线l1：2x y 3 0 上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y 轴反射到直线Ａ．x 2y 3 0 Ｂ．2x y 3 0 Ｃ．2x y 3 0 Ｄ．2x y 6 0 l3上，则直线l3 的方程为（）

《直线方程的几种形式》习题

《直线方程的几种形式》习题 1．直线x a y b 221-=在y 轴上的截距是（） A ．b B ．－b 2 C ．b 2 D ．±b 2.经过点P (-2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值是（） A ．4 B ．1 C ．1或3 D ．1或4 3．若方程(2m 2+m -3)x +(m 2-m )y -4m +1=0表示一条直线，则实数m 满足（） A ．m B ．2 3 - ≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3 -≠m ，0≠m 4．如果AC ＜0且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．一直线过点（－3，4），并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_____ _____． 6．经过点(－3，－2)，在两坐标轴上截距相等的直线方程为_____ _____． 7．已知直线Ax +By +C =0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；（3）系数满足什么条件时只与x 轴相交；（4）系数满足什么条件时是x 轴；（5）设P (x 0,y 0)为直线Ax +By +C =0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A (x -x 0)+B (y -y 0)=0． 8.已知两直线a 1x +b 1y +1=0和a 2x +b 2y +1 =0的交点为P (2，3)，求过两点Q 1(a 1，b 1) , Q 2(a 2，b 2)的直线方程.

答案： 1、B 2、B 3、C 4、C 5、x +3y -9=0或4x -y +16=0 6、2x －3y =0，x +y +5=0 7、解：（1）采用“代点法”，将O （0，0）代入Ax +By +C =0中得C =0，A 、B 不同为零. （2）直线Ax +By +C =0与坐标轴都相交，说明横纵截距a 、b 均存在.设x =0，得B C b y - ==；设y =0，得A C a x -==均成立，因此系数A 、B 应均不为零. （3）直线Ax +By +C =0只与x 轴相交，就是指与y 轴不相交——平行、重合均可。因此直线方程将化成x =a 的形式，故B =0且为所求.A 0 （4）x 轴的方程为y =0，直线方程Ax +By +C =0中A =0 C =0 B 0即可.注意B 可以不为1，即By =0也可以等价转化为y =0. （5）运用“代点法”.因p (x 0,y 0)在直线Ax +By +C =0上， ()00y x ，∴满足方程Ax +By +C =0, 即Ax 0+By 0+C =0所以C =-Ax 0-By ，故Ax +By +C =0可化为，Ax +By - Ax 0- By 0=0 即A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，得证. 8.解：P (2，3)在已知直线上，所以两式相减得2(a 1－a 2)+3(b 1－b 2)=0，即故所求直线方程为y －b 1=－2 3 (x －a 1)，即2x +3y －3b 1－2a 1=0 而2a 1+3b 1=－1，所以，所求直线方程为2x +3y +1=0.