湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考2020年2月高考数学(理)试卷附答案详析

湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考

2020年2月高考数学（理）试卷

一、单选题 1．已知集合{}

2

20A x x

x =∈-++≥N ，则满足条件A B A ?=的集合B 的个数为( )

A ．3

B ．4

C ．7

D ．8

2．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数

12i

i a bi i

+-=+-，则a bi -=（ ） A ．

1255

i - B ．

1255

i + C ．

21

55i -

D ．21i 55+ 3．已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2

AC =u u u r ( )

A ．6

B ．25

C ．16

D ．20

4．已知数列

{}n a 满足211n

n n a

a a -+=（2n ≥），2480

4sin 2a a xdx π

?=?

，且40a >，则

6tan 3a π??

?= ???

( )

A ．3

3

-

B ．

33

C ．3-

D ．3

5．将函数

()2sin 1f x x π=-的图象向左平移?（1

02?<<

）个单位长度后得到函数()g x 的图象，若使

()()4f a g b -=成立的a 、b 有min

3

4

a b -=，则下列直线中可以是函数()y g x =图象的对称轴的是( )

A ．14

x =- B ．12x

=

C ．3

4x = D ．54

x =

6．《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三

视图如图所示（单位：尺，1尺0.33≈米），已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为( )

A ．43斛

B ．45斛

C ．47斛

D ．49斛

7．已知点G 在ABC ?内，且满足2340GA GB GC

++=u u u v u u u v

u u u v v

，现在ABC ?内随机取一点，此点

取自,,GAB GAC GBC ???的概率分别记为123,,P P P ，则（ ） A ．123P P P ==

B ．321P P P >>

C ．123P P P >>

D ．213P P P >>

8．已知双曲线C ：22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的右焦点为(),0F c ，点A 、B 分别在直线

2

a x c

=-和双曲线C 的右支上，若四边形OABF （其中O 为坐标原点）为菱形且其面积为

315，则a =( )

A ．3

B ．5

C ．2

D ．6

9．当x 为实数时，()trunc x 表示不超过x 的最大整数，如()trunc 3.13=.已知函数

()()trunc f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-、()()11g x g x +=-，

且[]0,3x ∈时，()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的所有根的个数为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

10．对四位数abcd （19a ≤≤，0b ≤、c ，9d ≤），若a b >、b c <、c d >，称abcd 为“吉祥数”，则“吉祥数”的个数为( ) A ．1695 B ．1696 C ．1697

D ．1698

11．ABC ?中，所有内角都不是钝角，有以下命题：①sin 2sin 2A B A B =?=；①

sin 2sin 2A B A B >?<；①cos2cos2A B A B >?<；①sin cos A B ≥.其中正确命题的个数是( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

12．如图所示，将3333?方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )

A ．33

B ．56

C ．64

D ．78

二、填空题

13．若2

12n

x x ??- ???

的展开式中第

1r +项为常数项，则r n =______. 14．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”

是几何

体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数

()[)()(]2sin ,2,0211,0,2x

x f x x x π?∈-?=??--∈?

的图象与x 轴围成一个封闭区域A （阴影部分），将区域A （阴影部分）沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.

15．已知变量x 、y 满足约束条件0280260y x y x y ≥??

+-≤??+-≥?

，在实数x 、y 中插入7个实数，使这9个数

构成等差数列

{}n a 的前9项，则1a x =、9a y =，则数列{}n a 的前13项和的最大值为______.

16．若有且仅有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线3

y x ax =+上，则实数a =______.

三、解答题

17．如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，其中平面ABC 为原正三棱柱的底面，12BC CC ==，

点D 为1AA 的中点.

(1)求证：1BC ⊥平面1B CD ；

(2)求二面角1C BD C --的平面角的余弦值.

18．已知椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)我们称圆心在椭圆上运动，半径为22

2

a b +的圆是椭圆的“卫星圆”.过原点O 作椭圆C 的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C 于A 、B 两点，若直线OA 、OB 的斜率为1k 、2k ，当

12210k k +=时，求此时“卫星圆”的个数.

19．已知首项为1a 的数列{}n a 各项均为正数，且()()211224n n n n n n a a a a a +++-=，n *∈N .

(1)若数列

{}n b 的通项n b 满足2n n b a =，且11a =，求数列{}n b 的前n 项和为n

T

；

(2)若数列{}n c 的通项n c 满足()

4n

n n

b c S =

，前n 项和为n Q ，当数列

{}n c 是等差数列时，对任

意的n *∈N ，均存在m *∈N ，使得2

4

2

11816n a Q a n cm -=成立，求满足条件的所有整数1a 构成的集合.

20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以

1

2

的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第

3个空隙处，再以

1

2的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以1

2

的概率向右滚下.

(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；

(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X 号球槽得到的奖金为ξ元，其中205X ξ=-.

（i ）求X 的分布列：

（ii ）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？

21．已知函数

2()()a

f x x ax a R x

=+-∈.

（1）当1a =且1x >-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当2

1

e a e ≥

+时，若函数2

()()ln g x f x x x =--的两个极值点分别为1x 、2x ，证明122

4

0()()1

g x g x e <-<+.

22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 62sin x y α

α

?=??=+??（α为参数），以坐标原

点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2

1019sin ρθ

=

+.

(1)求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； (2)若M ，N 分别为曲线1C 和曲线2C 上的动点，求MN 的最大值.

23．已知函数()2725f x x x =-+-.

(1)解不等式

()6f x ≥；

(2)设函数()f x 的最小值为m ，已知正实数a ，b ，且221max ,a b k a b a b ??

+=??++??

，

证明：21k m ≥.

解析

湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考

2020年2月高考数学（理）试卷

一、单选题 1．已知集合{}

2

20A x x

x =∈-++≥N ，则满足条件A B A ?=的集合B 的个数为( )

A ．3

B ．4

C ．7

D ．8

【答案】D

【解析】可以求出集合{}0,1,2A =，由A B A ?=可得B A ?，从而求集合A 的子集个数即

可. 解：{}

{}2

200,1,2A x x

x =

∈-++≥=N ，

∵A B A ?=，∵B A ?，∵集合A 的子集个数为328=个.故选：D.

【点睛】

本题考查并集的运算及理解，是基础题. 2．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数

12i

i a bi i

+-=+-，则a bi -=（ ） A ．

1255

i - B ．

1255i + C ．

2155

i - D ．

21i 55

+ 【答案】B

【解析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12

(2)(2)55

i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得

到答案． 由题意，复数

12i

i a bi i

+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=

i i i i i i ++++-=-=--+， 所以12

55

a b i=i -+，故选B ． 【点睛】

本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

3．已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2

AC =u u u r ( )

A ．6

B ．25

C ．16

D ．20

【答案】D

【解析】代入坐标可求出(4,4),(2,2)BA BC m BA BC m +=---=-u u u r u u u r u u u r u u u r

，利用模的坐标运算

列方程可得6m =，进而可求出AC u u u r 的坐标，则2

AC u u u r 可求.