八年级数学压轴题 期末复习试卷易错题(Word版 含答案)
八年级数学压轴题期末复习试卷易错题(Word版含答案)
一、压轴题
1.已知ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,点M是AC的中点,延长BM至点D,使DM =BM,连接AD.
(1)如图①,求证:DAM≌BCM;
(2)已知点N是BC的中点,连接AN.
①如图②,求证:ACN≌BCM;
②如图③,延长NA至点E,使AE=NA,连接,求证:BD⊥DE.
2.如图,已知等腰△ABC 中,AB=AC,∠A<90°,CD 是△ABC 的高,BE 是△ABC 的角平分线,CD 与BE 交于点P.当∠A 的大小变化时,△EPC 的形状也随之改变.
(1)当∠A=44°时,求∠BPD 的度数;
(2)设∠A=x°,∠EPC=y°,求变量y 与x 的关系式;
(3)当△EPC 是等腰三角形时,请直接写出∠A 的度数.
3.问题背景:(1)如图1,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.求证:DE=BD+CE.
拓展延伸:(2)如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC.请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系.(不需要证明)
实际应用:(3)如图,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(-2,0),点A的坐标为(-6,3),请直接写出B点的坐标.
4.已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,直线l经过点A(不经过点B或点C),点C关于直线l的对称点为点D,连接BD,CD.
(1)如图1,
①求证:点B,C,D在以点A为圆心,AB为半径的圆上;
②直接写出∠BDC的度数(用含α的式子表示)为;
(2)如图2,当α=60°时,过点D作BD的垂线与直线l交于点E,求证:AE=BD;
(3)如图3,当α=90°时,记直线l与CD的交点为F,连接BF.将直线l绕点A旋转的过程中,在什么情况下线段BF的长取得最大值?若AC=22a,试写出此时BF的值.
?中,线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时,以5.如图,在等边ABC
?,连结BE.
CD为一边在CD的下方作等边CDE
∠的度数;
(1)求CAM
???;
(2)若点D在线段AM上时,求证:ADC BEC
∠是否(3)当动点D在直线AM上时,设直线BE与直线AM的交点为O,试判断AOB
为定值?并说明理由.
6.如图,在平面直角坐标系中,直线3
34
y x =-+分别交,x y 轴于A B ,两点,C 为线段
AB 的中点,(,0)D t 是线段OA 上一动点(不与A 点重合),射线//BF x 轴,延长DC
交BF 于点E . (1)求证:AD BE =;
(2)连接BD ,记BDE 的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式;
(3)是否存在t 的值,使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的t 的值;若不存在,请说明理由.
7.学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”)后,我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. (初步思考)
我们不妨将问题用符号语言表示为:在△DEF 中,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E ,然后,对∠B 进行分类,可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究. (深入探究)
第一种情况:当∠B 是直角时,△ABC ≌△DEF .
(1)如图①,在△ABC 和△DEF 中,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E =90°,根据______,可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF .
第二种情况:当∠B 是钝角时,△ABC ≌△DEF .
(2)如图②,在△ABC 和△DEF 中,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E ,且∠B 、∠E 都是钝角.求证:△ABC ≌△DEF .
第三种情况:当∠B 是锐角时,△ABC 和△DEF 不一定全等.
(3)在△ABC 和△DEF 中,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E ,且∠B 、∠E 都是锐角.请你用直尺在图③中作出△DEF ,使△DEF 和△ABC 不全等,并作简要说明. 8.(1)填空
①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠,EM ,FM 为折痕,折叠后的C 点落在
1B M 或1B M 的延长线上,那么EMF ∠的度数是________;
②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠,B 点与M 点重合,EM ,FM 为折痕,折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上,那么EMF ∠的度数是_______. (2)解答:①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠,EM ,FM 为折痕,折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧,且80EMF ∠=?,求11C MB ∠的度数; ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠,B 点与M 点重合,EM ,FM 为折痕,折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧,且60EMF ∠=?,求11C MA ∠的度数.
(3)探究:把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠,EB ,FB 为折痕,设
ABC α∠=?,EBF β∠=?,11A BC γ∠=?,求α,β,γ之间的数量关系.
9.在等腰△ABC 与等腰△ADE 中,AB =AC ,AD =AE ,∠BAC =∠DAE ,且点D 、E 、C 三点在同一条直线上,连接BD .
(1)如图1,求证:△ADB ≌△AEC
(2)如图2,当∠BAC =∠DAE =90°时,试猜想线段AD ,BD ,CD 之间的数量关系,并写出证明过程;
(3)如图3,当∠BAC =∠DAE =120°时,请直接写出线段AD ,BD ,CD 之间的数量关系式为: (不写证明过程)
10.在ABC 中,AB AC =,D 是直线AB 上一点,E 在直线BC 上,且DE DC =. (1)如图1,当D 在AB 上,E 在CB 延长线上时,求证:EDB ACD ∠=∠; (2)如图2,当ABC 为等边三角形时,D 是BA 的延长线上一点,E 在BC 上时,作
//EF AC ,求证:BE AD =;
(3)在(2)的条件下,ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ,连AF ,过A 点作
AH CD ⊥于点H ,当30EDC ∠=?,6CF =时,求DH 的长度.
11.在《经典几何图形的研究与变式》一课中,庞老师出示了一个问题:“如图1,等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ,2l ,3l 上,90BAC ∠=?,且每两条平行线之间的距离为1,求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中,同学们提出了很多想法:
(1)小明说:我只需要过B 、C 向1l 作垂线,就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. (2)小林说:“我们可以改变ABC 的形状.如图2,AB AC =,120BAC ∠=?,且每两条平行线之间的距离为1,求AB 的长.”
(3)小谢说:“我们除了改变ABC 的形状,还能改变平行线之间的距离.如图3,等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ,2l ,3l 上,且1l 与2l 之间的距离为1,2l 与3l 之间的距离为2,求AB 的长、”
请你根据3位同学的提示,分别求出三种情况下AB 的长度.
12.如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB =∠ECD =90°,点D 在边AB 上,点E 在边AC 的左侧,连接AE .
(1)求证:AE=BD;
(2)试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系;
(3)过点C作CF⊥DE交AB于点F,若BD:AF=1:2,CD36,求线段AB 的长.
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一、压轴题
1.(1)见解析;(2)①见解析;②见解析
【解析】
【分析】
(1)由点M是AC中点知AM=CM,结合∠AMD=∠CMB和DM=BM即可得证;
(2)①由点M,N分别是AC,BC的中点及AC=BC可得CM=CN,结合∠C=∠C和BC=AC 即可得证;
②取AD中点F,连接EF,先证△EAF≌△ANC得∠NAC=∠AEF,∠C=∠AFE=90°,据此知∠AFE=∠DFE=90°,再证△AFE≌△DFE得∠EAD=∠EDA=∠ANC,从而由
∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM即可得证.
【详解】
解:(1)∵点M是AC中点,
∴AM=CM,
在△DAM和△BCM中,
∵
AM CM
AMD CMB
DM BM
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△DAM≌△BCM(SAS);
(2)①∵点M是AC中点,点N是BC中点,
∴CM=1
2
AC,CN=
1
2
BC,
∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC,
∴CM=CN,
在△BCM和△ACN中,
∵
CM CN
C C
BC AC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△BCM≌△ACN(SAS);
②证明:取AD中点F,连接EF,
则AD=2AF,
∵△BCM≌△ACN,
∴AN=BM,∠CBM=∠CAN,
∵△DAM≌△BCM,
∴∠CBM=∠ADM,AD=BC=2CN,
∴AF=CN,
∴∠DAC=∠C=90°,∠ADM=∠CBM=∠NAC,由(1)知,△DAM≌△BCM,
∴∠DBC=∠ADB,
∴AD∥BC,
∴∠EAF=∠ANC,
在△EAF和△ANC中,
AE AN
EAF ANC
AF NC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△EAF≌△ANC(SAS),
∴∠NAC=∠AEF,∠C=∠AFE=90°,
∴∠AFE=∠DFE=90°,
∵F为AD中点,
∴AF=DF,
在△AFE和△DFE中,
AF DF
AFE DFE
EF EF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△AFE≌△DFE(SAS),
∴∠EAD=∠EDA=∠ANC,
∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°, ∴BD ⊥DE . 【点睛】
本题是三角形的综合问题,解题的关键是掌握中点的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点. 2.(1)56°;(2)y=454x +;(3)36°或
180
7
°. 【解析】 【分析】
(1)根据等边对等角求出等腰△ABC 的底角度数,再根据角平分线的定义得到∠ABE 的度数,再根据高的定义得到∠BDC=90°,从而可得∠BPD ;
(2)按照(1)中计算过程,即可得到∠A 与∠EPC 的关系,即可得到结果; (3)分①若EP=EC ,②若PC=PE ,③若CP=CE ,三种情况,利用∠ABC+∠BCD=90°,以及
y=454x
+
解出x 即可. 【详解】
解:(1)∵AB=AC ,∠A=44°, ∴∠ABC=∠ACB=(180-44)÷2=68°, ∵CD ⊥AB , ∴∠BDC=90°, ∵BE 平分∠ABC , ∴∠ABE=∠CBE=34°, ∴∠BPD =90-34=56°; (2)∵∠A =x °,
∴∠ABC=(180°-x°)÷2=(902
x
-)°, 由(1)可得:∠ABP=1
2∠ABC=(454
x -)°,∠BDC=90°,
∴∠EPC =y °=∠BPD=90°-(454x -)°=(454
x
+)°, 即y 与 x 的关系式为y=454
x +; (3)①若EP=EC , 则∠ECP=∠EPC=y ,
而∠ABC=∠ACB=902
x
-
,∠ABC+∠BCD=90°, 则有:902x -+(902x --y )=90°,又y=454
x
+,
∴902x -
+902x --(454x
+)=90°, 解得:x=36°; ②若PC=PE ,
则∠PCE=∠PEC=(180-y )÷2=902
y
-,
由①得:∠ABC+∠BCD=90°,
∴902x -+[902x --(902y
-)]=90,又y=454
x +,
解得:x=
180
7
°; ③若CP=CE ,
则∠EPC=∠PEC=y ,∠PCE=180-2y , 由①得:∠ABC+∠BCD=90°,
∴902x -
+902x --(180-2y )=90,又y=454x +, 解得:x=0,不符合,
综上:当△EPC 是等腰三角形时,∠A 的度数为36°或180
7
°. 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质,二元一次方程组的应用,高与角平分线的定义,有一定难度,关键是找到角之间的等量关系.
3.(1)证明见解析;(2)DE =BD +CE ;(3)B(1,4) 【解析】 【分析】
(1)证明△ABD ≌△CAE ,根据全等三角形的性质得到AE=BD ,AD=CE ,结合图形解答即可;
(2)根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ,证明△ABD ≌△CAE ,根据全等三角形的性质得到AE=BD ,AD=CE ,结合图形解答即可;
(3)根据△AEC ≌△CFB ,得到CF=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,根据坐标与图形性质解答. 【详解】
(1)证明:∵BD ⊥直线m ,CE ⊥直线m , ∴∠ADB =∠CEA =90° ∵∠BAC =90° ∴∠BAD +∠CAE =90° ∵∠BAD +∠ABD =90° ∴∠CAE =∠ABD ∵在△ADB 和△CEA 中
ABD CAE
ADB CEA
AB CA
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△ADB≌△CEA(AAS)
∴AE=BD,AD=CE
∴DE=AE+AD=BD+CE
即:DE=BD+CE
(2)解:数量关系:DE=BD+CE
理由如下:在△ABD中,∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD,
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD,∠BDA=∠AEC,
∴∠ABD=∠CAE,
在△ABD和△CAE中,
ABD CAE
BDA AEC
AB CA
∠∠
?
?
∠∠
?
?
?
=
=
=
∴△ABD≌△CAE(AAS)
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AD+AE=BD+CE;
(3)解:如图,作AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,
由(1)可知,△AEC≌△CFB,
∴CF=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,
∴OF=CF-OC=1,
∴点B的坐标为B(1,4).
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
4.(1)①详见解析;②
1
2
α;(2)详见解析;(3)当B、O、F三点共线时BF最长,102a
【解析】
【分析】
(1)①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB,即可证点B,C,D在以点A为圆心,
AB 为半径的圆上;
②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC ,可求∠BDC 的度数; (2)连接CE ,由题意可证△ABC ,△DCE 是等边三角形,可得AC=BC ,∠DCE=60°=∠ACB ,CD=CE ,根据“SAS”可证△BCD ≌△ACE ,可得AE=BD ;
(3)取AC 的中点O ,连接OB ,OF ,BF ,由三角形的三边关系可得,当点O ,点B ,点F 三点共线时,BF 最长,根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求10BO a =,
2OF OC a ==,即可求得BF 【详解】
(1)①连接AD ,如图1.
∵点C 与点D 关于直线l 对称, ∴AC = AD . ∵AB = AC , ∴AB = AC = AD .
∴点B ,C ,D 在以A 为圆心,AB 为半径的圆上. ②∵AD=AB=AC ,
∴∠ADB=∠ABD ,∠ADC=∠ACD ,
∵∠BAM=∠ADB+∠ABD ,∠MAC=∠ADC+∠ACD , ∴∠BAM=2∠ADB ,∠MAC=2∠ADC ,
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α
∴∠BDC=
12α 故答案为:1
2
α.
(2连接CE ,如图2.
∵∠BAC=60°,AB=AC , ∴△ABC 是等边三角形, ∴BC=AC ,∠ACB=60°,
∵∠BDC=
1
2
α, ∴∠BDC=30°, ∵BD ⊥DE , ∴∠CDE=60°,
∵点C 关于直线l 的对称点为点D , ∴DE=CE ,且∠CDE=60° ∴△CDE 是等边三角形, ∴CD=CE=DE ,∠DCE=60°=∠ACB , ∴∠BCD=∠ACE ,且AC=BC ,CD=CE , ∴△BCD ≌△ACE (SAS ) ∴BD=AE ,
(3)如图3,取AC 的中点O ,连接OB ,OF ,BF ,
,
F 是以AC 为直径的圆上一点,设AC 中点为O , ∵在△BOF 中,BO+OF≥BF , 当B 、O 、F 三点共线时BF 最长; 如图,过点O 作OH ⊥BC ,
∵∠BAC=90°,2a , ∴24BC AC a =
=,∠ACB=45°,且OH ⊥BC ,
∴∠COH=∠HCO=45°, ∴OH=HC , ∴2OC HC =, ∵点O 是AC 中点,AC 2a , ∴2OC a =
,
∴OH HC a ==, ∴BH=3a , ∴10BO a =,
∵点C 关于直线l 的对称点为点D , ∴∠AFC=90°,
∵点O 是AC 中点,
∴OF OC ==,
∴BF a =
,
∴当B 、O 、F 三点共线时BF 最长;最大值为
)a . 【点睛】
本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,勾股定理,三角形的三边关系,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键. 5.(1)30°;(2)证明见解析;(3)AOB ∠是定值,60AOB ∠=?. 【解析】 【分析】
(1)根据等边三角形的性质可以直接得出结论;
(2)根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =,DC EC =,,
60ACB DCE ∠=∠=?,由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠,根据SAS 就可以得出ADC BEC ???;
(3)分情况讨论:当点D 在线段AM 上时,如图1,由(2)可知ACD BCE ???,就可以求出结论;当点D 在线段AM 的延长线上时,如图2,可以得出ACD BCE ???而有
30CBE CAD ∠=∠=?而得出结论;当点D 在线段MA 的延长线上时,如图3,通过得出ACD BCE ???同样可以得出结论. 【详解】
(1)ABC ?是等边三角形, 60BAC ∴∠=?.
线段AM 为BC 边上的中线,
1
2
CAM BAC ∴∠=∠,
30CAM ∴∠=?.
(2)ABC ?与DEC ?都是等边三角形,
AC BC ∴=,CD CE =,60ACB DCE ∠=∠=?, ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠, ACD BCE ∠∠∴=. 在ADC ?和BEC ?中 AC BC ACD BCE CD CE =??
∠=∠??=?
, ()ACD BCE SAS ∴???;
(3)AOB ∠是定值,60AOB ∠=?, 理由如下:
①当点D 在线段AM 上时,如图1,
由(2)可知ACD BCE ???,则30CBE CAD ∠=∠=?, 又60ABC ∠=?,
603090CBE ABC ∴∠+∠=?+?=?,
ABC ?是等边三角形,线段AM 为BC 边上的中线
AM ∴平分BAC ∠,即11
603022BAM BAC ∠=∠=??=?
903060BOA ∴∠=?-?=?.
②当点D 在线段AM 的延长线上时,如图2,
ABC ?与DEC ?都是等边三角形,
AC BC ∴=,CD CE =,60ACB DCE ∠=∠=?,
ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠, ACD BCE ∠∠∴=, 在ACD ?和BCE ?中 AC BC ACD BCE CD CE =??
∠=∠??=?
, ()ACD BCE SAS ∴???,
30CBE CAD ∴∠=∠=?,
同理可得:30BAM ∠=?, 903060BOA ∴∠=?-?=?.
③当点D 在线段MA 的延长线上时,
ABC ?与DEC ?都是等边三角形,
AC BC ∴=,CD CE =,60ACB DCE ∠=∠=?, 60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=?, ACD BCE ∠∠∴=, 在ACD ?和BCE ?中 AC BC ACD BCE CD CE =??
∠=∠??=?
, ()ACD BCE SAS ∴???,
CBE CAD ∴∠=∠,
同理可得:30CAM ∠=? 150CBE CAD ∴∠=∠=?
30CBO ∴∠=?,
∵30BAM ∠=?, 903060BOA ∴∠=?-?=?.
综上,当动点D 在直线AM 上时,AOB ∠是定值,60AOB ∠=?.
【点睛】
此题考查等边三角形的性质,全等三角形的判定及性质,等边三角形三线合一的性质,解题中注意分类讨论的思想解题.
6.(1)详见解析;(2)36(04)2BDE
t t S
-+≤<=;(3)存在,当78t =或43
时,使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形. 【解析】 【分析】
(1)先判断出EBC DAC ∠=∠,CEB CDA ∠=∠,再判断出BC AC =,进而判断出△BCE ≌△ACD ,即可得出结论;
(2)先确定出点A ,B 坐标,再表示出AD ,即可得出结论;
(3)分两种情况:当BD BE =时,利用勾股定理建立方程2223(4)t t +=-,即可得出结论;当BD DE =时,先判断出Rt △OBD ≌Rt △MED ,得出DM OD t ==,再用
OM BE =建立方程求解即可得出结论.
【详解】 解:(1)证明:射线//BF x 轴,
EBC DAC ∴∠=∠,CEB CDA ∠=∠,
又
C 为线段AB 的中点, BC AC ∴=,
在△BCE 和△ACD 中, CEB CDA EBC DAC BC AC ∠=∠??
∠=∠??=?
, ∴△BCE ≌△ACD (AAS ),
BE AD ∴=;
(2)解:在直线3
34
y x =-+中,
令0x =,则3y =,
令0y =,则4x =,
A ∴点坐标为(4,0),
B 点坐标为(0,3),
D 点坐标为(,0)t ,
4AD t BE ∴=-=,
113
(4)36(04)222
BDE
ABD
B S
S
AD y t t t ∴==
?=-?=-+<;
(3)当BD BE =时,
在Rt OBD ?中,90BOD ∠=?, 由勾股定理得:222OB OD DB +=, 即2223(4)t t +=- 解得:78
t =
; 当BD DE =时,
过点E 作EM x ⊥轴于M , 90BOD EMD ∴∠=∠=?, //BF OA ,
OB ME ∴=
在Rt △OBD 和Rt △MED 中,
==BD DE
OB ME ??
?
, ∴Rt △OBD ≌Rt △MED (HL ),
OD DM t ∴==,
由OM BE =得:24t t =- 解得:4
3
t =, 综上所述,当78t =
或4
3
时,使得△BDE 是以BD 为腰的等腰三角形.
【点睛】
本题是一次函数综合题,主要考查了平行线的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,用方程的思想解决问题是解本题的关键.
7.(1)HL;(2)见解析;(3)如图②,见解析;△DEF就是所求作的三角形,△DEF和△ABC不全等.
【解析】
【分析】
(1)根据直角三角形全等的方法“HL”证明;
(2)过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H,根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH,再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等,根据全等三角形对应边相等可得CG=FH,再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等,根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D,然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等;
(3)以点C为圆心,以AC长为半径画弧,与AB相交于点D,E与B重合,F与C重合,得到△DEF与△ABC不全等;
(4)根据三种情况结论,∠B不小于∠A即可.
【详解】
(1)在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL.
(2)证明:如图①,分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH,其中G、H为垂足.∵∠ABC、∠DEF都是钝角
∴G、H分别在AB、DE的延长线上.
∵CG⊥AG,FH⊥DH,
∴∠CGA=∠FHD=90°.
∵∠CBG=180°-∠ABC,∠FEH=∠180°-∠DEF,∠ABC=∠DEF,
∴∠CBG=∠FEH.
在△BCG和△EFH中,
∵∠CGB=∠FHE,∠CBG=∠FEH,BC=EF,
∴△BCG≌△EFH.
∴CG=FH.
又∵AC=DF.∴Rt△ACG≌△DFH.
∴∠A=∠D.
在△ABC和△DEF中,
∵∠ABC=∠DEF,∠A=∠D,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF.
(3)如图②,△DEF 就是所求作的三角形,△DEF 和△ABC 不全等.
【点睛】
本题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,应用与设计作图,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键,阅读量较大,审题要认真仔细. 8.90?,45?;20?,30?;2a γβ+=,2a γβ-=. 【解析】 【分析】
(1)①如图①知1112EMC BMC ∠=
∠,111
2
C MF C MC ∠=∠得 ()111
2
EMF BMC C MC ∠=
∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠得()111
2
EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.
(2)①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠,可推出
11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠,即可求出解.
②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠,可推出
()
112906090A MC ???-+∠=,即可求出解.
(3)如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知,a ββγ-=-、a ββγ-=+,即可求得
2a γβ+=、2a γβ-=.
【详解】
解:(1)①如图①中,
1112EMC BMC ∠=∠,111
2C MF C MC ∠=∠,
()111111
180022
9EMF EMC C MF BMC C MC ??∴∠=∠+∠=
∠?=+∠=, 故答案为90?. ②如图②中,
111111
,22
EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠,
()111111
904522
EBF EBC C BF ABC C BC ??∴∠=∠+∠=
∠+∠=?=, 故答案为45?.
(2)①如图③中由折叠可知,
11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠, 1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠, 11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠, 11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠, 111808020C MB ???∴-=∠=;
②如图④中根据折叠可知,
11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠, 112290CMF ABE A MC ?∠+∠+∠=, 112()90CMF ABE A MC ?∴∠+∠+∠=,
()
1129090EMF AMC ??
∴-∠+∠=,
()1
1
2906090AMC ?
?
?
∴-+∠=,
1130A MC ?∴∠=;
(3)如图⑤-1中,由折叠可知,a ββγ-=-,
2a γβ∴+=;
如图⑤-2中,由折叠可知,a ββγ-=+,
2a γβ∴-=.
【点睛】
本题考查了图形的变换中折叠属全等变换,图形的角度及边长不变及一些角度的计算问
题,突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力,本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.
9.(1)见解析;(2)CD=2AD+BD,理由见解析;(3)CD=3AD+BD
【解析】
【分析】
(1)由“SAS”可证△ADB≌△AEC;
(2)由“SAS”可证△ADB≌△AEC,可得BD=CE,由直角三角形的性质可得DE=2AD,可得结论;
(3)由△DAB≌△EAC,可知BD=CE,由勾股定理可求DH=3
AD,由AD=AE,
AH⊥DE,推出DH=HE,由CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD,即可解决问题;【详解】
证明:(1)∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△ADB≌△AEC(SAS);
(2)CD=2AD+BD,
理由如下:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△ADB≌△AEC(SAS);
∴BD=CE,
∵∠BAC=90°,AD=AE,
∴DE=2AD,
∵CD=DE+CE,
∴CD=2AD+BD;
(3)作AH⊥CD于H.
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△ADB≌△AEC(SAS);
∴BD=CE,
∵∠DAE=120°,AD=AE,
最新人教版数学八年级上册易错题及答案
八年级上册易错题集 第十一章三角形 1. 一个三角形的三个内角中() A. 至少有一个等于90° B. 至少有一个大于90° C. 不可能有两个大于89° D. 不可能都小于60° 2. 如图,△ABC中,高CD、BE、AF相交于点O,则△BOC?的三条高分别为. 3、三角形的一个外角大于相邻的一个内角,则它的形状;三角形的一个外角小于于相邻的一个内角,则它的形状;三角形的一个外角等于相邻的一个内角,则它的形状。 4、三角形内角中锐角至少有个,钝角最多有个,直角最多有个,外角中锐角最多有个,钝角至少有个,直角最多有个。一个多边形中的内角最多可以有个锐角。 5.已知一个三角形的三边长3、a+2、8,则a的取值范围是。 6.如图②,△ABC中,∠C=70°,若沿虚线截去∠C,则∠1+∠2= 。 7.如图③,一张△ABC纸片,点D、E分别在边AB、AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A′重合,若∠A=70°,则∠1+∠2= 。 8.△ABC中,∠A=80°,则∠B、∠C的内角平分线相交所形成的钝角为;∠B、∠C的外角平分线相交所形成的锐角为;∠B的内角平分线与∠C
的外角平分线相交所形成的锐角为;高BD与高CE相交所形成的钝角为;若AB、AC边上的垂直平分线交于点O,则∠BOC为。 9.一个多边形除去一个内角外,其余各角之和为2750°,则这个多边形的 11.如图,在△ABC中,画出AC边上的高和BC边上的中线。 第十二章全等三角形 1.有以下条件:①一锐角与一边对应相等;②两边对应相等;③两锐角对 应相等;④斜边和一锐角对应相等;⑤两条直角边对应相等;⑥斜边和一条直角边对应相等。其中能判断两直角三角形全等的是 2.已知△ABC与△A′B′C′中,AB=A′B′,BC=B′C′,下面五个条件: ①AC=A′C′;②∠B=∠B′;③∠A=∠A′;④中线AD=A′D′;⑤高AH=A′H′,能使△ABC≌△A′B′C′的条件有。 3.判断正误: ①两条边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等() ②两条边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等() ③两条边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等() ④两条边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等()
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初中数学 易错题专题 一、选择题(本卷带*号的题目可以不做) 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千M/小时,逆流航行时(m-6)千M/小时,则水流速度( ) A 、2千M/小时 B 、3千M/小时 C 、6千M/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,图像有一个交点 B 、1±≠m 时,肯定有两个交点 C 、当1±=m 时,只有一个交点 D 、图像可能与x 轴没有交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b