行测数量关系49个常见问题公式法巧解

行测数量关系49个常见问题公式法巧解

一.页码问题

对多少页出现多少1或2的公式

如果是X千里找几，公式是1000+X00*3 如果是X百里找几，就是100+X0*2，X有多少个0 就*多少。依次类推!请注意，要找的数一定要小于X ，如果大于X就不要加1000或者100一类的了，

比如，7000页中有多少3 就是1000+700*3=3100(个)

20000页中有多少6就是2000*4=8000 (个)

友情提示，如3000页中有多少3，就是300*3+1=901，请不要把3000的3忘了

二，握手问题

N个人彼此握手，则总握手数

S=(n-1){a1+a(n-1)}/2=(n-1){1+1+(n-2)}/2=『n^2-n』/2 =N×(N-1)/2

例题：

某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次，请问这个班的同学有( )人

A、16

B、17

C、18

D、19

【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的多边形对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人则Cx取3=152 但是在计算X时却是相当的麻烦。我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这

的队阵最外围有32人，若以长和宽作为边长排出2个正方形的方阵需要180人。则原来长方形的队阵总人数是( )

A、64，

B、72

C、96

D、100

【解析】这个题目经过改编融合了代数知识中的平方和知识点。长方形的(长+宽)×2=32+4 得到长+宽=18。可能这里面大家对于长+宽=18 有些难以计算。你可以假设去掉4个点的人先不算。长+宽(不含两端的人)×2+4(4个端点的人)=32 ，则计算出不含端点的长+宽=14 考虑到各自的2端点所以实际的长宽之和是14+2+2=18 。求长方形的人数，实际上是求长×宽。根据条件长×长+宽×宽=180 综合(长+宽)的平方=长×长+宽×宽+2×长×宽=18×18 带入计算即得到B。其实在我们得到长宽之和为18时，我们就可以通过估算的方法得到选项B

七，青蛙跳井问题

例如：①青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井?(6)

②单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠?(7)

总解题方法：完成任务的次数=井深或绳长- 每次滑下米数(遇到半米要将前面的单位转化成半米)

例如第二题中，每次下滑半米，要将前面的4米转换成8个半米再计算。

完成任务的次数=(总长-单长)/实际单长+1

八，容斥原理

总公式：满足条件一的个数+满足条件2的个数-两个都满足的个数=总个数-两个都不满足的个数

【国2006一类-42】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人?

A.27人

B.25人

C.19人

D.10人

上题就是数学运算试题当中经常会出现的“两集合问题”，这类问题一般比较简单，使用容斥原理或者简单画图便可解决。但使用容斥原理对思维要求比较高，而画图浪费时间比较多。鉴于此类问题一般都按照类似的模式来出，下面华图名师李委明给出一个通解公式，希望对大家解题能有帮助：

例如上题，代入公式就应该是：40+31-x=50-4，得到x=25。我们再看看其它题目：【国2004A-46】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是多少?A.22 B.18 C.28 D.26 代入公式：26+24-x=32-4，得到x=22

九，传球问题

这道传球问题是一道非常复杂麻烦的排列组合问题。

【李委明解三】不免投机取巧，但最有效果(根据对称性很容易判断结果应该是3的倍数，如果答案只有一个3的

倍数，便能快速得到答案)，也给了一个启发----

传球问题核心公式

N个人传M次球，记X=[(N-1)^M]/N，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。大家牢记一条公式，可以解决此类至少三人传球的所有问题。

四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式：

A.60种

B.65种

C.70种

D.75种

x=(4-1)^5/4 x=60

十，圆分平面公式：

N^2-N+2,N是圆的个数

十一，剪刀剪绳

对折N次，剪M刀，可成M*2^n+1段

将一根绳子连续对折3次,然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操作后,原来的绳子被剪成了几段?

A.18段

B.49段

C.42段

D.52段

十二，四个连续自然数，

性质一，为两个积数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除

性质二，他们的积+1是一个奇数的完全平方数

十三，骨牌公式

公式是：小于等于总数的2的N次方的最大值就是最后剩下的序号

十四，指针重合公式

关于钟表指针重合的问题，有一个固定的公式：61T=S(S为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格书，确定S后算出T的最大值知道相遇多少次。) 十五，图色公式

公式：(大正方形的边长的3次方)—(大正方形的边长—2)的3次方。

十六，装错信封问题

小明给住在五个国家的五位朋友分别写信，这些信都装错的情况共有多少种44种

f(n)=n!(1-1/1!+1/2!!-1/3!......+(-1)n(1/n!))

或者可以用下面的公式解答

装错1信0种

装错2信：1种

3 2

4 9

5 44

递推公式是S(n)=n.S(n-1)+(-1)^n~~~~~

如果是6封信装错的话就是265~~~~

★十七，伯努利概率模型

某人一次涉及击中靶的概率是3/5，设计三次，至少两

次中靶的概率是

集中概率3/5，则没集中概率2/5，即为两次集中的概率+三次集中的概率

公式为C(2,3)*[(3/5)^2]*[(2/5)^1]+C(3,3)[(3/5)^3]*[(2/5)^0] 81/125

十八，圆相交的交点问题

N个圆相交最多可以有多少个交点的问题分析N*(N-1)

★十九，约数个数问题

M=A^X*B^Y ，则M的约数个数是：(X+1)(Y+1) 360这个数的约数有多少个?这些约数的和是多少?

如果一个数字A若可以写成A=M^a*N^b*Q^C....的形式，其中M,N,Q为数字A的质数约数，a，b，c，为正整数，为质约数指数。任意正整数均可以写成此形式。

那么他的约数就是从（M^0,M^1,M^2....M^a),

(N^0,N^1,N^2......N^b),

(Q^0,Q^1,Q^2......Q^c).............这几组数中每组任取一数相乘，所得之数便是数字A的约数，所有约数相加的和就

是

（M^0+M^1+M^2....M^a)*(N^0+N^1+N^2......N^b)*(Q^ 0+Q^1+Q^2......+Q^c).............

仔细看看也不难理解

比如：720=2^4*3^2*5^1 他的约数之和就是（1+2+2^2+2^3+2^4）*（1+3+3^2）（1+5）=2418 360=2^3*3^2*5=(1+2+2^2+2^3)*(1+3+3^2)*(1+5)=1170

甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少?

解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数。

2800=24×52×7.

在它含有的约数中是完全平方数，只有

1，22，24，52，22×52，24×52.

在这6个数中只有22×52=100，它的约数是(2+1)×(2+1)=9(个).

2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100=22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7=112恰好有(4+1)×(1+1)=10(个)约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112.

二十，吃糖的方法

当有n块糖时，有2^(n-1)种吃法。

二十一，隔两个划数

1987=3^6+1258

1258÷2×3+1=1888

即剩下的是1888

减去1能被3整除

★二十二，边长求三角形的个数

三边均为整数，且最长边为11的三角形有多少个?

[asdfqwer]的最后解答：

11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;

11,10,10;11,10,9;...11,10,2;

11,9,9;...11,9,3;

11,8,8;...11,8,4;

11,7,7,...11,7,5;

11,6,6;

1+3+5+7+9+11=6^2=36

如果将11改为n的话，

n=2k-1时，为k^2个三角形;

n=2k时，为(k+1)k个三角形。

二十三，2乘以多少个奇数的问题

如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积?

解：因2^10=1024，2^11=2048>2000，每个不大于2000的自然数表示为质因数相乘，其中2的个数不多于10个，而1024=2^10，所以，N等于10个2与某个奇数的积。

二十四，直线分圆的图形数

设直线的条数为N 则总数=1+{N(1+N)}/2

将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线?请说明.

〔解〕我们来一条一条地画直线。画第一条直线将圆形纸片划分成2块.画第二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成4块(增加了2块)，否则只能划分成3块.类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同(即没有3条直线交于一点)，则将圆形纸片划分成7块(增加了3块)，否则划分的块数少于7块.下图是画3条直线的各种情形

由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交，且交点互不相同.这时增加的块数等于直线的条数。(为什么?)这样划分出的块数，我们列个表来观察：

直线条数纸片最多划分成的块数

1 1+1

2 1+1+2

3 1+1+2+3

4 1+1+2+3+4

5 1+1+2+3+4+5

不难看出，表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。(为什么?)我们把问题化为：自第几行起右

边的数不小于50?我们知道

1+1+2+3+…+10=56，1+1+2+3+…+9=46，可见

9行右边还不到50，而第10行右边已经超过50了。答：至少要画10条直线。

★二十五，公交车超骑车人和行人的问题

一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车?

此类题通解公式：

a=超行人时间，b=超自行车时间，m=人速，n=自行车速

则每隔t分钟发车;t=(abn-abm)/(bn-am)，令M=1 N=3，解得T=8。

★二十六，公交车前后超行人问题

小明放学后,沿某公交路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以不变速度不停的运行,每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他,每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,问该路公共汽车每隔多少分钟发一辆车?

此类题有个通解公式：如果a分钟追上，b分钟相遇，则是2ab/(a+b)分钟发一次车

二十七，象棋比赛人数问题

象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局胜者记2分，负者记0分，和棋各记1分，四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是:1979，1980，1984，1985，经核实只有一位观众统计正确，则这次比赛的选手共有多少名?

A.44

B.45

C.46

D.47

解析：44*43=1892，45*44=1980 ，46*45=2070 所以选B

二十八，频率和单次频度都不同问题

猎犬发现在离它9米远的前方有一只奔跑着的兔子，立刻追赶，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子跑3步。猎犬至少跑多少米才能追上兔子?()

A. 67

B. 54

C. 49

D. 34 答案b

分析：猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子跑3步.可知猎犬和兔子的速度比是6:5，s/(s-9)=6/5，s=54

二十九，上楼梯问题

一般来说上电梯有a1=1 a2=2 a3=4 a4=a1+a2+a3

所以一般公式是an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)

三十，牛吃草公式

核心公式:草场草量=(牛数-每天长草量)*天数

例如:10牛可吃20天,15牛可吃10天,则25牛可吃多少天?

解:可用公式,设每天恰可供X头牛吃一天,25牛可吃N 天

则(10-X)*20=(15-X)*10=(25-X)*N ，可得X=5,Y=5

三十一，十字相乘法

十字相乘法使用时要注意几点：

第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。

(2007年国考)某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：

A .84 分

B . 85 分

C . 86 分

D . 87 分答案：A

分析：假设女生的平均成绩为X，男生的平均Y。男生与女生的比例是9：5。

男生：Y 9

75

女生：X 5

根据十字相乘法原理可以知道

X=84

6. (2007年国考).某高校2006 年度毕业学生7650 名，比上年度增长2 % . 其中本科毕业生比上年度减少2 % . 而研究生毕业数量比上年度增加10 % , 那么，这所高校今年

毕业的本科生有：

A .3920 人

B .4410 人

C .4900人

D .5490 人

答案：C

分析：去年毕业生一共7500人。7650/(1+2%)=7500人。

本科生：-2% 8%

2%

研究生：10% 4%

本科生：研究生=8%：4%=2：1。

7500*(2/3)=5000

5000*0.98=4900

此方法考试的时候一定要灵活运用

三十二，兔子问题

An=A(n-1)An(n-2)

已知一对幼兔能在一月内长成一对成年兔子，一对成年兔子能在一月内生出一对幼兔。如果现在给你一对幼兔，问一年后共有多少对兔子?

析：

1月:1对幼兔

2月:1对成兔

3月;1对成兔.1对幼兔

4;2对成兔.1对幼兔

5;;3对成兔.2对幼兔

6;5对成兔.3对幼兔.......

可看出规律:1,1,2,3,5,8(第三数是前两数之和),可求出第12项

为:13,21,34,55,89,144，答:有144只兔

三十三，称重量砝码最少的问题

例题：要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码?这些砝码的重量分别是多少?

分析与解：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。

(1)称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。

(2)称重2克，有3种方案：

①增加一个1克的砝码;

②用一个2克的砝码;

③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看，就是利用3-1=2。

(3)称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。

(4)称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。总之，用1克、3克两个砝码就可以称出(3+1)克以内的任意整数克重。

(5)接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用

9-(3+1)=5，即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13(克)以内的任意整数克重。

而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为

14+13=27(克)，

可以称到1+3+9+27=40(克)以内的任意整数克重。

总之，砝码重量为1，3，32，33克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。

三十三，文示图

红圈：球赛。蓝圈：电影绿圈：戏剧。

X表示只喜欢球赛的人; Y表示只喜欢电影的人; Z表示只喜欢戏剧的人

a表示喜欢球赛和电影的人。仅此2项。不喜欢戏剧

b表示喜欢电影和戏剧的人。仅此2项。不喜欢球赛

c表示喜欢球赛和戏剧的人。仅此2项不喜欢电影。

中间的阴影部分则表示三者都喜欢的。我们用T表示。

回顾上面的7个部分。X，y，z，a，b，c，T 都是相互独立。互不重复的部分

现在开始对这些部分规类。

X+y+z=是只喜欢一项的人我们叫做 A

a+b+c=是只喜欢2项的人我们叫做B

T 就是我们所说的三项都喜欢的人

x+a+c+T=是喜欢球赛的人数构成一个红圈

y+a+b+T=是喜欢电影的人数构成一个蓝圈

z+b+c+T=是喜欢戏剧的人数构成一个绿圈

三个公式。

(1) A+B+T=总人数

(2) A+2B+3T=至少喜欢1个的人数和

(3) B+3T=至少喜欢2个的人数和

例题：学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧(但不喜欢看电影)的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧(但不喜欢看球赛)的有4人，三种都喜欢的有12人。

通过这个题目我们看因为每个人都至少喜欢三项中的一项。则我们用三个圈红，绿，蓝代表球赛。戏剧、和电影。

A+B+T=100 A+2B+3T=148 T=12

则可以直接计算只喜欢一项的和只喜欢两项的

A=64 B=24

典型例题：甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多( )题?

A、6

B、5

C、4

D、3

【解析】第三题需要结合文氏图来理解了，画图会很

清楚的

我们设a表示简单题目，b表示中档题目c表示难题a+b+c=20

c+2b+3a=12×3 这个式子式文氏图中必须要记住和理解的

将a+b+c=20变成2a+2b+2c=40 减去上面的第2个式子

得到：c-a=4 答案出来了

可能很多人都说这个方法太耗时了，的确。在开始使用这样方法的时候费时不少。当当完全了解熟练运用a+2b+3c这个公式时，你会发现再难的题目也不会超过1分钟。

三十四，九宫图问题

此公式只限于奇数行列

步骤1：按照斜线的顺序把数字按照从小到大的顺序，依次斜线填写!

步骤2：然后将3×3格以外格子的数字折翻过来，

最左边的放到最右边，最右边的放到最左边

最上边的放到最下边，最下边的放到最上边

这样你再看中间3×3格子的数字是否已经满足题目的要求了呵呵!

★三十五，用比例法解行程问题

行程问题一直是国家考试中比较重要的一环，其应用