初三中考数学复习天天练--折弦定理
初三天天练-折弦定理5.2
1.小明学习了垂径定理,做了下面的探究,请根据题目要求帮小明完成探究.
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在⊙O中,C是劣弧AB的中点,直线CD⊥AB于点E,则AE=BE.请证明此结论;
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,成为该圆的一条折弦.如图2,PA,PB 组成⊙O的一条折弦.C是劣弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F,再连接AD证明结论成立.请写出证明过程;
(3)如图3,PA.PB组成⊙O的一条折弦,若C是优弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE,PE与PB之间存在怎样的数量关系?写出结论,不必证明.
11.小明学习了垂径定理,做了下面的探究,请根据题目要求帮小明完成探究.
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在⊙O中,C是劣弧AB的中点,直线CD⊥AB于点E,则AE=BE.请证明此结论;
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,成为该圆的一条折弦.如图2,PA,PB 组成⊙O的一条折弦.C是劣弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F,再连接AD证明结论成立.请写出证明过程;
(3)如图3,PA.PB组成⊙O的一条折弦,若C是优弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE,PE与PB之间存在怎样的数量关系?写出结论,不必证明.
【解答】证明:(1)如图1,连接AD,BD,
∵C是劣弧AB的中点,
∴∠CDA=∠CDB,
∴△ADB为等腰三角形,
∵CD⊥AB,
∴AE=BE;
(2)如图2,延长DB、AP相交于点F,再连接AD,
∵ADBP是圆内接四边形,
∴∠PBF=∠PAD,
∵C是劣弧AB的中点,
∴∠CDA=∠CDF,
∵CD⊥PA,
∴△AFD为等腰三角形,
∴∠F=∠A,AE=EF,
∴∠PBF=∠F,
∴PB=PF,
∴AE=PE+PB
(3)AE=PE﹣PB.
连接AD,BD,AB,DB、AP相交于点F,∵弧AC=弧BC,
∴∠ADC=∠BDC,
∵CD⊥AP,
∴∠DEA=∠DEF,∠ADE=∠FDE,
∵DE=DE,
∴△DAE≌△DFE,
∴AD=DF,AE=EF,
∴∠DAF=∠DFA,
∴∠DFA=∠PFB,∠PBD=∠DAP,
∴∠PFB=∠PBF,
∴PF=PB,
高级中学数学公式定理汇总
高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个;真子集有个;非空子集有个;非空的真子集有 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时,设为此式 (3)零点式;当已知抛物线与轴的交点坐标为时,设为此式 4切线式:。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时,设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,具体如下:
(1)当a>0时,若,则; ,,. (2)当a<0时,若,则, 若,则,. 9.一元二次方程=0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或; 2方程在区间内有根的充要条件为 或或; 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如,,不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是 。
(3) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是 。 (4) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是 。 对于参数及函数.若恒成立,则;若恒成立,则;若有解,则 ;若 有解,则 ;若 有解,则 . 若函数无最大值或最小值的情况,可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有 个 对所有,成立 存在某,不成立 或 且 对任何,不成立 存在某,成立 且 或 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假
著名数学定理
著名数学定理 15定理15-定理是由约翰·何顿·康威(John Horton Conway ,1937-)和W.A.Schneeberger 于1993年证明的定理,内容为:如果一个二次多项式可以通过变量取整数值而表示出1~15的值(更严格的结论是只要表示出1,2,3,5,6,7,10,14,15)的话(例如a 2+b 2+c 2+d 2),该二次多项式可以通过变量取整数值而表示出所有正整数. 6714(黑洞数)定理 黑洞数又称陷阱数,是类具有奇特转换特性的整数.任何一个数字不全相同整数,经有限“重排求差”操作,总会得某一个或一些数,这些数即为黑洞数.“重排求差”操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数.或者是冰雹原理中的“1”黑洞数.举个例子,三位数的黑洞数为495.简易推导过程:随便找个数,如297,三个位上的数从小到大和从大到小各排一次,为972和279,相减,得693.按上面做法再做一次,得到594,再做一次,得到495.之后反复都得到495.再如,四位数的黑洞数有6174. 阿贝尔-鲁菲尼定理 定理定义:阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解.事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根.然而代数基本定理并没有说明根的具体形式.通过数值方法可以计算多项式的根的近似值,但数学家也关心根的精确值,以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示.例如, 任意给定二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0),它的两个解可以用方程的系数来表示:a ac b b r 2422,1-±-=. 这是一个仅用有理数和方程的系数,通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式,称为其代数解.三次方程,四次方程的根也可以使用类似的方式来表示.阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是:任意给定一个五次或以上的多项式方程:()0,500111≠≥=++???++--n n n n n a n a x a x a x a ,那么不存在一个通用的公式(求根公式),使用 n a a a ,,,10??? 和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解.或者说,当n 大于等于5时,存在n 次多项式,它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到.换一个角度说,存在这样的实数或复数,它满足某个五次或更高次的多项式方程,但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式.这并不是说每一个五次或以上的多项式方程,都 无法求得代数解.比如025=-x 的解就是52.具体区分哪些多项式方程可以有代数解而哪些不能的方法由伽罗瓦 给出,因此相关理论也被称为伽罗瓦理论.简单来说,某多项式方程有代数解,等价于说它对应的域扩张上的伽罗瓦群是一个可解群.对于一般的二次,三次和四次方程,它们对应的伽罗瓦群是二次,三次和四次对称群: 432,,σσσ ,它们都是可解群.但一般的五次方程对应的是五次对称群5σ,这是一个不可解群.当次数n 大于等于5时,情况也是如此. 阿贝尔二项式定理 二项式定理可以用以下公式表示:()∑=-=+n r r r n r n n b a C b a 0.其中,()!!!r n r n C r n -= ,又有 ??? ? ??r n 等记法,称为二项式系数,即取的组合数目.此系数亦可表示为杨辉三角形.它们之间是互通的关系. 艾森斯坦因判别法 艾森斯坦判别法是说:给出下面的整系数多项式 ()011a x a x a x f n n n n +++=-- 如果存在素数p ,使得p 不整除a n ,但整除其他a i (i=0, 1,...,n -1);p2 不整除a 0 ,那么f (x )在有理数域上是不可约的. 奥尔定理 离散数学中图论的一个定理)如果一个总点数至少为3的简单图G 满足:G 的 任意两个点u 和v 度数之和至少为n ,即deg (u )+deg (v )≥n ,那么G 必然有哈密顿回路 . 阿基米德折弦定理
高中数学公式定理大集中
高中的数学公式定理大集中 三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系:平方关系: tanα 2cotα=1 sinα 2cscα=1 cosα 2secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα
sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ tan(α+β)=—————— 1-tanα 2tanβ tanα-tanβ tan(α-β)=—————— 1+tanα 2tanβ 2tan(α/2) sinα=—————— 1+tan2(α/2) 1-tan2(α/2) cosα=—————— 1+tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα=—————— 1-tan2(α/2)
中考常见公式定理
中考数学常用公式定理 1、整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:-3,,0.231,0.737373…,,.无限不环循小数叫做无理数.如:π,-,0.1010010001…(两个1之间依次多1个0).有理数和无理数统称为实数. 2、绝对值:a≥0丨a丨=a;a≤0丨a丨=-a.如:丨-丨=;丨3.14-π丨=π-3.14. 3、一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法.如:-40700=- 4.07×105,0.000043=4.3×10-5. 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式):①(a+b)(a-b)=a2-b2.②(a±b)2=a2±2ab+b2.③(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.④(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;a2+b2=(a+b)2-2ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab. 6、幂的运算性质:①a m×a n=a m+n.②a m÷a n=a m-n.③(a m)n=a mn.④(ab)n=a n b n.⑤()n=n. ⑥a-n=1 n a ,特别:()-n=()n.⑦a0=1(a≠0).如:a3×a2=a5,a6÷a2=a4,(a3)2=a6,(3a3)3=27a9, (-3)-1=-,5-2==,()-2=()2=,(-3.14)o=1,(-)0=1. 7、二次根式:①()2=a(a≥0),②=丨a丨,③=×,④=(a>0,b≥0).如:①(3-)2=45.②=6.③a<0时,=-a.④的平方根=4的平方根=±2.(平方根、立方根、算术平方根的概念) 8、一元二次方程:对于方程:ax2+bx+c=0: ①求根公式是x△=b2-4ac叫做根的判别式. 当△>0时,方程有两个不相等的实数根; 当△=0时,方程有两个相等的实数根; 当△<0时,方程没有实数根.注意:当△≥0时,方程有实数根. ②若方程有两个实数根x1和x2,并且二次三项式ax2+bx+c可分解为a(x-x1)(x-x2). ③以a和b为根的一元二次方程是x2-(a+b)x+ab=0. 9、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距).当k>0时,y随x的增大而增大(直线从左向右上升);当k<0时,y随x的增大而减小(直线从左向右下降).特别:当b=0时,y=kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例),图象必过原点.
切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解
切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解 南江石 2018年4月7日星期六 圆的切线,与圆(圆弧)只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。 圆的割线,与圆(圆弧)有两个公共点的直线叫做圆的割线。 圆的弦,圆(圆弧)上两点的连接线段叫做圆(圆弧)的弦。 弦是割线的部分线段。 公共弦线:两圆相交,两交点的连线为公共弦线——共弦线,共割线。 公共切线:两圆相切,过两圆切点的公切线为公共切线——共切线。 几何原理 几何原理 共弦线垂直于连心线共切线垂直于连心线共割线平分公切线 共切线平分公切线 4切线长度相等—— 4切点共圆,圆心在两线交点 3切线长度相等——3切点共圆,圆心在两线交点 共割线上任意一点到圆的 4个切线的长度相等,4切点共圆 共切线上任意一点到圆的3个切线的长度相等,3切点共圆 圆幂定理 是平面几何中的一个定理,是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)的统一。 圆幂定理及相交弦定理、切割线定理和割线定理的实质是相似三角形。 点对圆的幂 P 点对圆O 的幂定义为 2 2 R OP F B 性质
点P 对圆O 的幂的值,和点P 与圆O 的位置关系有下述关系: 点P 在圆O 内→P 对圆O 的幂为负数; 点P 在圆O 外→P 对圆O 的幂为正数; 点P 在圆O 上→P 对圆O 的幂为0。 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 PB PT PT PA = PB PA PT ?=2 222Am Pm PT -= 割线定理(切割线定理的推论) 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 PD PC PB PA ?=? 2222Cn Pn Am Pm -=- 相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等,或经过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两线段的积相等。 PD PC PB PA ?=? 2222A Pn Cn Pm m -=- 垂径定理(相交弦定理推论) 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。 PB PC PC PA = PB PA PC ?=2 222OP R PC -= P 点在圆外,切割线定理、割线定理 2222222Cn Pn Am Pm R OP PD PC PB PA PT -=-=-=?=?= P 点在圆内,相交弦定理、垂径定理 222222Pn Cn Pm Am OP R PD PC PB PA -=-=-=?=? 222OP R PB PA PC -=?=
2020年中考数学二轮核心考点讲解第15讲非常规思维问题解析版
【中考数学二轮核心考点讲解】 第15讲非常规思维问题 一、轴对称/翻折的性质 1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形; 2. 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任意一对对应点连线段的垂直平分线; 3. 对称轴上的任意一点与每一对对应点所连线段相等; 4. 若对应线段或对应线段的延长线相交,则交点一定在对称轴上. 二、梯形常见辅助线的作法 三、圆幂定理
四、正弦定理与余弦定理 五、阿基米德折弦定理
【例题1】(1)如图1,四边形ABCD是菱形,∠BAD=∠BCD=60°,当AC=12时,则△BCD的周长=______. (2)如图2,若四边形ABCD不是菱形,∠BAD=2∠ACB=2∠ACD=60°,AC=12,判断△BCD的周长是否发生变化,并说明理由。 (3)如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=∠ACD=45°,AC=12,求△BCD的周长。
【归纳,本题重点巧用作轴对称/翻折的方法进行解题】 【变式1】已知:如图(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45°. (1)探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系; (2)已知:如图(2),等边三角形ABC中,点D、E在边AB上,且∠DCE=30°,请你找出一个条件,使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶角的度数. 图(1) 图(2) 【解析】(1)DE2=BD2+EC2; (2)当AD=BE时,线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形. 如图,与(2)类似,以CE为一边,作∠ECF=∠ECB,在CF上截取CF=CB, 可得△CFE≌△CBE,△DCF≌△DCA. ∴AD=DF,EF=BE.∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°. 若使△DFE为等腰三角形,只需DF=EF,即AD=BE, ∴当AD=BE时,线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,且顶角∠DFE为120°.
2020高中数学概念公式大全
高中数学概念公式大全 一、 三角函数 1、以角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系,在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ,点P 到原点的距离记为r ,则 sin α= r y ,cos α=r x ,tg α=x y ,ctg α=y x ,sec α=x r ,csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中,平方关系是:1cos sin 22=+αα, αα22sec 1=+tg ,αα22csc 1=+ctg ; 倒数关系是:1=?ααctg tg ,1csc sin =?αα,1sec cos =?αα; 相除关系是:αααcos sin = tg ,α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。如: =-)23sin(απαcos -,)215(απ -ctg =αtg , =-)3(απtg αtg -。 4、函数B x A y ++=)sin(?ω),(其中00>>ωA 的最大值是 B A +,最小值是A B -,周期是ω π 2= T ,频率是π ω 2= f ,相位是?ω+x ,初相是?;其图象的对称轴是直线 )(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω,凡是该图象与直线B y =的交点都 是该图象的对称中心。 5、三角函数的单调区间:
x y sin =的递增区间是?????? +-2222ππππk k ,)(Z k ∈,递减区间是?? ???? ++23222ππππk k ,)(Z k ∈;x y cos =的递增区间是[]πππk k 22,-)(Z k ∈,递减区间是[]πππ+k k 22, )(Z k ∈,tgx y =的递增区间是?? ? ? ?+ - 22 πππ πk k ,)(Z k ∈,ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ,)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos(βαβαβαsin sin cos cos μ = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?±μ1 7、二倍角公式是:sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 212tg tg -。 8、三倍角公式是:sin3α=αα3 sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43 - 9、半角公式是:sin 2α=2cos 1α-± cos 2α=2 cos 1α +± tg 2α=α αcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。
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中考数学必会模型全汇总! 全等变换 平移:平行等线段(平行四边形)。 对称:角平分线或垂直或半角。 旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转。 对称全等模型 说明: 以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换,产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型 说明: 上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
半角:有一个角含1/2角及相邻线段。 自旋转:有一对相邻等线段,需要构造旋转全等。 共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等。 中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。 旋转半角模型 说明: 旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。 自旋转变换 构造方法: 遇60度旋60度,造等边三角形; 遇90度旋90度,造等腰直角; 遇等腰旋顶点,造旋转全等; 遇中点旋180度,造中心对称。
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说明: 两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。 几何最值模型 对称最值(两点间线段最短)