专升本高等数学 第七章向量代数与空间解析几何
第七章 向量代数与空间解析几何
【考试要求】
1．理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦． 2．掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法． 3．掌握两向量垂直、平行的条件．
4．会求平面的点法式方程、一般式方程．会判定两平面的垂直、平行． 5．会求点到平面的距离．
6．了解直线的一般式方程，会求直线的对称式方程、参数方程．会判定两直线平行、垂直． 7．会判定直线与平面的关系（垂直、平行、直线在平面上）．
【考试内容】
一、向量及其运算
（一）向量的相关概念
1．向量
既有大小又有方向的量称为向量（或矢量），用有向线段AB （起点为A 终点为B ）或小写字母a 表示． 2．向量的模
向量的大小称为向量的模，记为AB 或a ．
3．向量的坐标表示
向量的坐标表示法有两种：a
xi y j zk =++或(,,)a x y z =．
（二）向量的运算
1．线性运算 设111(,,)a
x y z =，222(,,)b x y z =，则有：
加法：121212(,,)a b
x x y y z z +=+++；
减法：121212(,,)a b x x y y z z -=---；
数乘：111(,,)a
x y z λλλλ=．
2．向量的数量积（点乘积）
向量a 、b 的数量积记为cos(,)a b
a b a b ?=．
设
111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则 121212a b x x y y z z ?=++．
3．向量的向量积（叉乘积）
向量a 、b 的向量积是一个向量，记为a b ?，它的模和方向分别定义为： （1）sin(,)a b
a b a b ?=；
（2）a b ?同时垂直于a 和b ，且a 、b 、a b ?成右手系．
设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则 1
112
22
i
j k a b x y z x y z ?= ．
4．基本性质
（1）交换律和反交换律
交换律：a b b a +=+，a b b a ?=?； 反交换律：a b b a ?=-?． （2）结合律
()()a b c a b c ++=++，()()()a a a λμλμμλ==，
()()a b a b λλ?=?，()()()a b a b a b λλλ?=?=?．
（3）分配律 ()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+，
()a b c a c b c +?=?+?，()a b c a c b c +?=?+?．
（三）平行与垂直的充要条件
设向量
111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，
1．向量b 与非零向量a 平行的充要条件是存在一个实数λ，使得b a λ=． 2．向量b 与非零向量a 平行的充要条件是存在一个实数λ，使得
21x x λ=，21y y λ=，21z z λ=．
或者说，向量a 与b 平行的充要条件是它们的对应坐标成比例． 3．两个向量a ，b 平行的充要条件是0a b ?= 或 111
222
x y z x y z ==．
4．两个向量a ，b 垂直的充要条件是0a b ?= 或
1212120x x y y z z ++=．
二、平面及其方程
1．点法式方程
设平面π过点0000(,,)M x y z ，(,,)n A B C =为其一法向量，则平面π的点法式
方程为：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=．
2．一般式方程
0Ax By Cz D +++= （A ，B ，C 不同时为零）．
3．截距式方程
1x y z
a b c
++= （a ，b ，c 均不为零）
． 其中
a ，
b ，
c 分别称为平面在x ，y ，z 轴上的截距．
4．两平面之间的关系
设有两个平面1π和2π，它们相应的方程为
1π：11110A x B y C z D +++=，
2π：22220A x B y C z D +++=，
它们的法向量分别为 1111(,,)n A B C =，2222(,,)n A B C =．
若
12//n n ，即
111
222
A B C A B C ==（若式中分母为零，则规定分子也为零），则两平面1π
与2π平行． 若
12n n ⊥，即 1212120A A B B C C ++=，则两平面1π与2π垂直．
两平面的夹角θ就是它们的法向量的夹角，即
1212
cos n n n n θ?=
，
02
π
θ≤≤
．
三、直线及其方程
1．点向式方程
设直线L 过点0000(,,)M x y z ，(,,)s m n p =为其一方向向量，则直线L 的点向
式方程为：
000
x x y y z z m n p
---== ．
2．一般式方程
空间直线可以看成是两个平面的交线：
111122220
A x
B y
C z
D A x B y C z D +++=??
+++=? ． 3．参数方程
设直线L 过点0000(,,)M x y z ，(,,)s m n p =为其一方向向量，则直线L 的参数
方程为
000x x mt y y nt z z pt
=+??
=+??=+?
， t -∞<<+∞ ． 其中 t 称为参数． 4．两直线之间的关系
设有两条直线1L 和2L ，它们的方程分别为
1L ：
111
111
x x y y z z m n p ---==， 方向向量 1111(,,)s m n p =，
2L ：
222
222
x x y y z z m n p ---==， 方向向量
2222(,,)s m n p =，
两直线的方向向量的夹角θ叫做两直线的夹角（通常指锐角），
1212
cos s s s s θ?=
，
02
π
θ≤≤
．
若
12//s s ，即
111
222
m n p m n p ==， 则两直线1L 与2L 平行．
若
12s s ⊥，即 1212120m m n n p p ++=，则两直线1L 与2L 垂直．
5．直线与平面的关系 设平面π的方程为
π：0Ax By Cz D +++=，法向量 (,,)n A B C =，
直线L 的方程为
L ：
000
x x y y z z m n p
---==，方向向量
(,,)s m n p =，
直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角θ，即
sin n s n s
θ?=
，
02
π
θ≤<
．
若
//n s ，即
A B C
m n p
==，则直线L 与平面π垂直． 若 n s ⊥，即 0Am Bn Cp ++=，则直线L 与平面π平行．
【典型例题】
【例7-1】在z 轴上求与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离的点． 解：因所求的点M 在z 轴上，所以设该点为(0,0,)M z ，依题意有MA MB =，
即
=
两边去根号，解得
149
z = ．
因此，所求的点为
14(0,0,
)9
M 【例7-2】已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB 同方向的单位向量e ． 解：因为(3,1,2)AB
=-
，所以23AB == 故2)14
AB e AB
=
=
-． 【例7-3】已知两点1M 和2(1,3,0)M ，计算向量1
2M M
的模、方向余弦和
方向角． 解：因
12(12,32,0(1,1,M M =---=-， 故
12(2M M =-=，
方向余弦 1cos 2
α=-，1
cos 2
β=，cos 2γ=-
，
方向角 23
π
α=
，3π
β=，34
π
γ=
．
【例7-4】设(2,1,1)a
=-，(1,1,2)b =-，计算a b ? 和 a b ?．
解：
211(1)(1)21a b ?=?+?-+-?=-，
211(1,5,3)112
i j k
a b ?=-=---．
【例7-5】已知三角形
ABC 的三个顶点分别是(1,2,3)A =、(3,4,5)B =和
(2,4,7)C =，求三角形ABC 的面积．
解： 根据向量积的定义可知，三角形的面积
11
sin 22
ABC S AB AC A AB AC ?=
∠=?， 由于
(2,2,2)AB =，(1,2,4)AC =，因此
222(4,6,2)124
i j k
AB AC ?==
-，
于是
112ABC
S AB AC ?=?==． 【例7-6】已知向量
3a =，向量4b =，向量a 和b 的夹角3
π
θ=
，求
23a b -．
解：因为
2
23(23)(23)4669a b a b a b a a a b b a b b -=-?-=?-?-?+?
2
2
46cos 6cos 9a a b b a b
θθ=--+
2
2431234cos
943633
π
=?-???+?=?，
故
2363a b -=．
【例7-7】求过三点(2,1,4)A -、(1,3,2)B --和(0,2,3)C 的平面方程． 解：先找出这平面的法向量n ．由于n 与向量AB 、AC 都垂直，而(3,4,6)AB
=--，
(2,3,1)AC =--，所以可取它们的向量积作为法向量n ，即
346(14,9,1)231
i j k
n AB AC =?=--=---，
根据平面的点法式方程，所求平面方程为 14(2)9(1)(4)0x y z -++--=，
即 149150x y z +-
-= ．
说明：此题也可用平面的一般方程求解，步骤如下： 设所求的平面方程为
0Ax By Cz D +++=，将(2,1,4)A -、(1,3,2)B --、
(0,2,3)C 三点的坐标值代入可得方程组
240320230
A B C D A B C D B C D -++=??-+-+=??++=? ， 解之得 149953A B
B C D B ?
=??
?
=-???
=-??
，
代入原方程，得 1415
0993
Bx By Bz B +--=， 将B 约掉（0B
≠）并化简可得平面方程为 149150x y z +--= ．
【例7-8】求平行于平面1π：(6,3,2)A -，且与平面428x y z -+=垂直，求此平面
的方程．
解法1： 设所求的平面方程为 0Ax By Cz D +++=，由平面过原点可知0D =，
由平面过点
(6,3,2)A -可知，6320A B C -+=，又因为(4,1,2)n ⊥-，所以
420A B C -+=，故2
3
A B C ==-，所求平面方程为2230x y z +-=．
解法2：设平面的法向量为n ．由于n 与向量(6,3,2)OA =-、平面428
x y z -+=的法向量1
(4,1,2)n =-都垂直，所以可取与它们的向量积平行的向量作为法向量n ，而
1632(4,4,6)2(2,2,3)412
i j k
OA n ?=-=---=--，
故可取法向量 (2,2,3)n =，平面方程为2(0)2(0)3(0)0x y z -+-+-=，
即
2230x y z +-= ．
【例7-9】求平行于平面1π：2340x y z +++=，且与球面2229x y z ++=相切
的平面方程．
解：因所求平面平行于已知平面1π：2340x y z
+++=，故可设所求平面方程为π：
230x y z D +++=
，又π与球面2229x y z ++=相切，可得球心(0,0,0)到平
面π的距离等于半径3，故
3
=，即
D =D =±
故所求平面π的方程为230x y z +++= 和 230x y z ++-=．
【例7-10】求过两点(3,2,4)M -和(2,1,1)N --的直线方程． 解：因向量(1,3,3)(1,3,3)MN
=--=--，故可取直线的方向向量(1,3,3)s =-，
故所求直线方程为
211
133
x y z -++==
- ． 【例7-11】求过点(1,1,1)且平行于直线12212
x y -+==的直线方程．
解：因所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s 可取为 (2,1,2)s =，所求
直线又过点(1,1,1)，故所求直线的方程为
1121x y --== ． 【例7-12】求直线L ：132
321
x y z --+==
-与平面π：53160x y z -+-=的交点．
解法
1：根据直线L 的对称式方程可得直线L 的参数方程为 13322x t y t z t =+??
=-??=-+? ，故可设交
点坐标为
(13,32,2)t t t +--+，然后代入平面方程可得
5(13)3(32)2160t t t +--+--=，得 1t =，故交点坐标为 (4,1,1)-．
解法2：直线方程与平面方程联立，可得三元一次方程组13
32
12
3153160x y x z x y z --?=?-?
-+?=
??
-+-=???
， 解此方程组得 411x y z =??
=??=-?
，即交点坐标为 (4,1,1)-．
【例7-13】求与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的
直线的方程．
解法1：因为所求直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s 一定同时与两平面的法向量1n 、2n 垂直，所以可以取
12104(4,3,1)215
i j k
s n n =?=-=---，
因此所求直线方程为
325
431
x y z +--==
． 解法2：过点(3,2,5)-且与平面43x z
-=平行的平面方程为 423x z -=-，过点
(3,2,5)-且与平面251x y z --=平行的平面方程为 2533x y z --=-，所求
直线为上述两平面的交线，故其方程为 423
2533
x z x y z -=-??--=-? ．
【例
7-14】确定直线L ：310
2230
x y z x y z +-+=??--+=? 与平面π：250x y z +++=的
位置关系． 解：因为直线
L
的一般方程中的两个平面的法向量分别为
1(3,1,1)
n =-和
2(2,1,2)n =--，
而直线L 的方向向量s 同时垂直于1n 和2n ，故直线L 的方向向量s 可取为12311(3,4,5)212
i j k
s n n =?=-=----，
而平面π的法向量(1,2,1)n =， 由
(3)142(5)10s n ?=-?+?+-?= 可知，s n ⊥，故//L π
．又
L 上一点
14
(0,,)33
不在平面π上，故//L π但L 不在π上．
【历年真题】
一、选择题
1．（2010年，1分）已知向量(1,2,1)a
=--与向量(1,2,)b t =垂直，则t 等于（ ）
（A ）1- （B ）1 （C ）5- （D ）5 解：因向量
a
与
b 垂直，故0a b ?=，即(1)1(2)210t -?+-?+?=，也即
50t -+=，故5t =．选项（D ）正确．
2．（2009年，1分）直线l ：34273
x y z ++==--与平面π：42230x y z ---=的
位置关系是（ ）
（A ）平行 （B ）垂直相交 （C ）l 在π上 （D ）相交但不垂直 解：直线l 的方向向量
(2,7,3)s =--，平面π的法向量(4,2,2)n =--，由于
81460s n ?=-+-=，故s n ⊥，所以直线与平面的关系为//l π．又直线上的点
(3,4,0)--不在平面π上，故直线与平面的关系为//l π但l 不在π上．选（A ）．
3．（2008年，3分）过点(,0,0)a 且垂直于x 轴的平面方程为（ ） （A ）z a = （B ）y
a = （C ）z y = （D ）x a =
解：垂直于x 轴的平面方程可设为x
C =，又平面过点(,0,0)a ，故所求的平面方程为
x a =．选项（D ）正确．
4．（2008年，3分）直线121
122
x y z --+==
--与下列 平面垂直（ ） （A ）4100x y z +
-+= （B ）2350x y z -++=
（C ）24460x y z -+-= （D ）90x y z ++-=
解：直线与平面垂直，故直线的方向向量(1,2,2)s =--与平面的法向量n 平行，s 的
分量与
n 的分量对应成比例．对比四个选项中的法向量，选项（C ）的法向量
(2,4,4)n =-，且
122
244
--==
-，故选项（C ）正确． 5．（2007年，3
分）直线221
314
x y z -+-==
-与平面62870x y z -+-=的位置关系是（ ）
（A ）平行但不共面 （B ）直线垂直于平面 （C ）直线在平面上 （D ）两者斜交 解：直线的方向向量
(3,1,4)s =-，平面π
的法向量
(6,2,8)n =-，由于
314
628
-==-，即s 与n 的对应分量成比例，故//s n ，所以直线与平面垂直．选（B ）
． 二、填空题
1．（2009年，2分）通过点(0,0,0)，(1,0,1)和(2,1,0)三点的平面方程是 ． 解：设平面的一般方程为0Ax By Cz D +
++=，将以上三点代入该方程可得，
0020D A C D A B D =??++=??++=? ， 即 02D A C B C =??
=-??=? ， 代入一般方程可得， 20Cx Cy Cz -++=，即平面方程为 20x y z --=．
2．（2009年，2
分）设a ，b 为向量，若2a =，3b =，a 与b 的夹角为
3
π
，则
a b += ．
解：根据2
()()
a b a b a b
+?+=+ 及
cos
3
a b a b π
?= 可得，
2
2
2
()()22cos 3
a b a b a b a a a b b b a a b b
π
+=+?+=?+?+?=++
221
22233192
=+???+=，故 19a b +=．
3．（2006年，
2分）点(1,2,3)到平面2
36x y z -
+
=的距离是 ．
解：根据点到平面的距离公式，点(1,2,3)到平面236x y z -+
=的距离为
2d =
=
=．
三、计算题
1．（2010年，5分）求平行于
y 轴且过点(1,2,3)P 和(3,2,1)Q -的平面方程．
解：设平面的法向量为n ．因平面与y 轴平行，且沿y 轴正向的单位向量为(0,1,0)k =，
故n
k ⊥；又平面过点(1,2,3)P 和(3,2,1)Q -，且(2,0,4)PQ =-，故n PQ ⊥，
所以n 可取为与 k PQ ? 平行的向量．因 010(4,0,2)204
i j k
k PQ ?==---
2(2,0,1)=-，故可取 (2,0,1)n =，又平面过点(1,2,3)P （也可用点(3,2,1)Q -），
故平面方程为
2(1)0(3)0x z -++-=，即250x z +-=．
说明：此题也可用平面的一般方程来解． 2．（2009年，5分）求通过点
1(3,5,1)
M -和
2(4,1,2)M 且垂直于平面
8310x y z -+-=的平面方程．
解：设所求平面的法向量为
n ．因平面过点1(3,5,1)M -和2(4,1,2)M ，且
12(1,6,1)M M =，故12n M M ⊥；又所求平面垂直于已知平面，且已知平面的法向
量1
(1,8,3)n =-，故1n n ⊥．所以n 可取为与 121M M n ? 平行的向量．因
121161(26,2,14)2(13,1,7)183
i j k
M M n ?==--=---，
故可取(13,1,7)n
=--，又平面过点1(3,5,1)M -，故所求平面的方程为
13(3)(5)7(1)0x y z --+--=，即 137370x y z ---=．
说明：此题也可用平面的一般方程来解．
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专升本高等数学公式大全 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ
§ 7 空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及；及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.
3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 __ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2 x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、
空间解析几何与向量代数论文
空间解析几何与向量代数 呼伦贝尔学院 计算机科学与技术学院 服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员： 宋宝文 柏杨白鸽 李强白坤龙
空间解析几何与向量代数 摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。 关键词：向量；向量代数；空间几何 第一部分：向量代数 第一节：向量 一.向量的概念： 向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。 表示法：有向线段a 或a 。 向量的模:向量的打小，记作|a |。 向径（矢径）：起点为原点的向量。 自由向量：与起点无关的向量。 单位向量：模为1的向量。 零向量：模为0的向量，记作.0或0 若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b ； 若向量a 与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b 规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a 的负向量， 记作-a ；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。 二.向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则： b a +b a 三角形法则： a + b b
a 运算规律：交换律a + b =b +a a 与b 结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ） 三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +（a ） a b -a b b -a a 特别当b =a 时，有a -a =a （a ）=0 ； 三角不等式：|b +a |； |a -b |； 3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a 。 规定： a 与a 同向时，|a |=|a |； 总之：|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式 设r （x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得： |r | |OM| B A 对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积 向量积
高等数学(同济五版)第七章-空间解析几何与向量代数-练习题册
第七章空间解析几何 第一节作业 一、选择题(单选)： 1. 点M(2,-3,1)关于xoy平面的对称点是： (A)( -2,3,1 )；( B)( -2,-3,-1 )；(C)( 2,-3,-1 )；( D)( -2,-3,1 ) 答：() 2. 点M(4,-3,5)到x轴距离为： (A).. 42—(—3)2—52; (B) 3)2—52; (cr. 4252; (D) ： 4252. 答：() 、在yoz面上求与A(3,1,2),B(4,-2,-2) 和C(0,5,1)等距离的点。 第二节作业 设u a b c, v a b 2c.试用a, b, c表示2u 3v. 第三节作业 一、选择题(单选)： 已知两点M'2,2，?一2)和M2(1,3,0),则MM2的三个方向余弦为: 1 1 V 2 1 1 <2 1 1 42 1 1 V2 (A) , , ; (B) , , ; (C) —, , . (D) —，,. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 答：() 二、试解下列各题： 1. 一向量的终点为B( 2，-1，7),它在x轴，y轴，z轴上的投影依次为4, -4，4，求这向量的起点A的坐标。
2. 设m 3i 5 j 3k, n 2i j 4k, p 5i j 4k 求向量 a 4m 3n p 在x 轴 上的投影及在y 轴上的分向量. 3. 求平行于向量a 6,7, 6的单位向量 第四节作业 一、选择题（单选）： 1. 向量a 在b 上的投影为： 答:（） 2. 设a 与b 为非零向量，则a b 0是： （A ）a//b 的充要条件； （B ）a b 的充要条件； （C ） a b 的充要条件； （D ） a //b 的必要但不充分条件 答:（） 3.向量a,b,c 两两垂直，w —1- — a 1, b —1- J )2, C 3,则s a b c 的长度 为 (A)1 2 3 6; 2 2 2 (B)1 2 3 14; (C)J12 22 32 ; (D) J1 2 3 勺6. 答:（） (A) (B) -a a b (D)
《空间解析几何2》教学大纲.
《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：Interspace Analytic Geometry（2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1．教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2．教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3．教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4. 教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。
高等数学第七章向量
第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1 空间直角坐标系 §7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法 一、判断题。 1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量, =则=同向。 ( ) 4． 若二向量, ,则,同向。 （ ） 5． 若二向量b a ,满足关系b a -=a +b ，则b a ,反向。 （ ） 6． 若 +=+,则 = ( ) 7． 向 量 ,满 足 = ，则 ,同向。 （ ） 二、填空题。 1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。 4． 设向量与有共同的始点，则与,共面且平分与的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且||2||a b =，则b 由a 表示为b = 。 6．设b a ,有共同的始点，则以b a ,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。 三、选择题。 1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2 225)3(4+-+ （B ） 225)3(+- （C ）2 2)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB // OA 且= 2 1 a ，OC = b ，则AB = （A ） 2 1 - （B ）21- （C ）-21 （D ）21- 3．设有非零向量,，若a ⊥ b ，则必有
（A+（B+ （C<-（D+> 三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直 角三角形。 四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的 点D。 六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。
空间解析几何教学大纲
《空间解析几何》课程教学大纲 一课程说明 1.课程基本情况 课程名称：空间解析几何 英文名称：Analytic geometry 课程编号：2411207 开课专业：数学与应用数学 开课学期：第1学期 学分/周学时：3/3 课程类型：专业基础课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用） 本课程是数学与应用数学及信息与计算机科学专业的一门专业基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是高等数学的基石，线性代数，数学分析，微分方程，微分几何，高等几何等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识及研究方法。空间解析几何是用代数的方法研究几何图形的一门学科，是从初等数学进入高等数学的转折点，是沟通几何形式与数学关系的一座桥梁。 3．本课程的教学目的和任务 通过本课程的学习，学生在掌握解析几何的基本概念的基础上，树立起空间观念。使学生受到几何直观及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，培养空间想象能力以及运用向量法与坐标法计算几何问题和证明几何问题的能力，并且能用解析方法研究几何问题和对解析表达式给予几何解释，为进一步学习其它课程打下基础；另一方面加深对中学几何理论与方法的理解，从而获得在比较高的观点下处理几何问题的能力，借助解析几何所具有的较强的直观效果提高学生认识事物的能力。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求
本课程的教学，要求学生熟练掌握用代数的方法在空间直角坐标系下，研究平面、空间直线、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面等几何图形的性质，能对坐标化方法运用自如，从而达到数与形的统一。了解二次曲线的一般理论和二次曲面的一般理论。以培养学生掌握解析几何的基础知识为主，着力培养学生运用解析几何的思想和方法解决实际问题的能力，以及娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力，为后续课程的学习打下良好的基础。 5．教学时数及课时分配 二教材及主要参考书 1.李养成，《空间解析几何》，科学出版社。 2.吴光磊、田畴编，《解析几何简明教程》，高等教育出版社。 3.丘维声，《解析几何》，北京大学出版社。 4.南开大学《空间解析几何引论》编写组编，《空间解析几何引论》，高教出版社。 5.吕林根许子道等编《解析几何》（第三版）,高等教育出版社出版 三教学方法和教学手段说明 1．启发式教学，课堂教学与课后练习相结合。 2．可考虑运用多媒体教学软件辅助教学。
空间解析几何与向量代数习题
第七章 空间解析几何与向量代数习题 (一)选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ; A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ ） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ） A ）5焦耳 B ）10焦耳 C ）3焦耳 D ）9焦耳 6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 21 3+=-=z y x 的距离是：（ ） A ）138 B 118 C ）158 D ）1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ? 是：（ ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k 9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ） A ） 3 62 B ） 3 64 C ）3 2 D ）3 10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0
空间解析几何与向量代数
空间解析几何与向量代 数 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //，则 B （A ）、x= y=6 (B)、x= y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2．平面x -2z = 0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{04404=--=--y x z x （D ）?? ???==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 （A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3 0 1)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解 所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x 7y 5z 40 2. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为
高等数学空间解析几何练习
高等数学空间解析几何 练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
向量代数与空间解析几何 第一部分 向量代数___线性运算 [内容要点]: 1. 向量的概念. 2. 向量的线性运算. 3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算. [本部分习题] 1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限. (2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C --- 2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标. 3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离. 4. 一向量的起点为(1,4,2)A -,终点为(1,5,0)B -,求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。 5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M ??→的模、方向余弦和方向角. 6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量. 7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→ =+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.
第二部分 向量代数___向量的“积” [内容要点]: 1.向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。 2.向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。 3.向量垂直、平行、共面的条件. [本部分习题] 1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→ =--=-求： （1）;(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→?? 2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→?????? 3． 112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件. 4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值,使得: （1）a b λ→→+与z 轴垂直； （2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。 5．已知||3,||36,||72,a b a b →→→→==?=求a b →→ ?。 6．判断向量,,a b c →→→是否共面。 (1){3,2,5},{1,1,2},{9,7,16};a b c →→→===- (2){1,2,3},{3,3,1},{1,7,5};a b c →→→=-==-
第六节 常用空间曲面
第三节 曲面及其方程 [教学目的]掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程，会用“截痕法”画出其简图 [教学重点]曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程 [教学难点]空间想象能力和曲面图形的描绘 [教学过程] 一、问题的提出 在日常生活中，我们经常遇到各种曲面，例如反光镜的镜面、管道的外表面以及锥面等等。那这些曲 面相应的方程是什么呢，怎样才能准确地画出准确的图形呢？ 二、曲面方程的概念 （一）曲面方程的基本概念 在一般情况下，如果曲面S 与三元方程 (,,)0F x y z = （1） 有下述关系： （1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程（1）； （2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程（1） 那么方程（1）就叫做曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程（1）的图形。 象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹。 （二）建立几个常见的曲面方程 例1 若球心在点0000(,,)M x y z ，半径为R ，求该球面方程。 解：设(,,)M x y z 是球面上任一点，那么 0M M R = 又 0M M = 故 2222000()()()x x y y z z R -+-+-= （2） 这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以该方程就是以
0000(,,)M x y z 为球心，R 为半径的球面方程。 如果球心在原点，那么0000x y z ===，从而球面方程为 2222x y z R ++= 将（2）式展开得 222222 0000002220x y z x x y y z z x y z R ++---+++-= 所以，球面方程具有下列两个特点： （1） 它是,,x y z 之间的二次方程，且方程中缺,,xy yz zx 项； （2） 2 2 2 ,,x y z 的系数相同且不为零。 （三）曲面研究的两个基本问题 以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量,,x y z 间的方程通常表示一个曲面。因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下面两个基本问题。 （1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程。 （2） 已知坐标,,x y z 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面形状。 例2 方程2 2 2 40x y z x y ++-+=表示怎样的曲面？ 解：配方，得 222117 (2)()24x y z -+++= 所以所给方程为球面，球心为1(2,,0) 2-，半径为2。 三、旋转曲面 （一）旋转曲面的定义 一条平面曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面。旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。 （二）旋转曲面的方程 设在y z O 坐标面上有一条已知曲线C ，它的方程为(,)0f y z =，曲线C 绕z 轴旋转一周，得到一个以z 轴为轴的旋转曲面
空间解析几何与向量代数
第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//，则B （A ）、x=0.5y=6(B)、x=-0.5y=6 (C)、x=1y=-7(D)、x=-1y=-3 2．平面x-2z=0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1(Ｂ)、x+2z+3y+4=0(C)、3(x-1)-y+(y+3)=0(D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x+y-11=0,π2:3x+8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{ 4404=--=--y x z x （D ）?????==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是B 。 （A ）、L 1⊥L 2（B ）、L 1//L 2（C ）、L 1与L 2相交但不垂直。（D ）、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题
1.点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l =-4,及m=3时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1·求过点(301)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解所求平面的法线向量为n (375)所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0即3x 7y 5z 40 2.求过点(230)且以n (123)为法线向量的平面的方程 解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 (x 2)2(y 3)3z 0 即x 2y 3z 80 3·求过三点M 1(214)、M 2(132)和M 3(023)的平面的方程 解我们可以用→→3121M M M M ?作为平面的法线向量n 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M →)1 ,3 ,2(31--=M M 所以 根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 14(x 2)9(y 1)(z 4)0 即14x 9yz 150 4·求过点(413)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程 解所求直线的方向向量为s (215)所求的直线方程为 5·求过两点M 1(321)和M 2(102)的直线方程 解所求直线的方向向量为s (102)(321)(421)所求的直线方程为
[专升本类试卷]专升本高等数学二(向量代数与空间解析几何)模拟试卷2.doc
[专升本类试卷]专升本高等数学二（向量代数与空间解析几何）模拟试 卷2 一、选择题 1 设a、b为两个非零向量，λ为非零常数，若向量a+λb垂直于向量b，则λ等于( ) （A） （B） （C）1 （D）a．b 2 设有单位向量a0，它同时与b=3i+j+4k，c=i+k垂直，则a0为 ( ) （A） （B）i+j—k （C） （D）i－j+k 3 在空间直角坐标系中，若向量a与Ox轴和Oz轴的正向夹角分别为45°和60°，则向量a与Oy轴正向夹角为 ( )
（A）30° （B）45° （C）60° （D）60°或120° 4 若两个非零向量a与b满足｜a+b｜=｜a｜+｜b｜，则 ( ) （A）a与b平行 （B）a与b垂直 （C）a与b平行且同向 （D）a与b平行且反向 5 直线 ( ) （A）过原点且与y轴垂直 （B）不过原点但与y轴垂直 （C）过原点且与y轴平行 （D）不过原点但与y轴平行 6 平面2x+3y+4z+4=0与平面2x－3y+4z－4=0的位置关系是 ( ) （A）相交且垂直
（B）相交但不重合，不垂直 （C）平行 （D）重合 7 已知三平面的方程分别为π1：x－5y+2z+1=0，π2：3x－2y+3z+1=0，π3： 4x+2y+3z－9=0，则必有 ( ) （A）π1与π2平行 （B）π1与π2垂直 （C）π2与π3平行 （D）π1与π3垂直 8 平面π1：x－4y+z－2=0和平面π2：2x－2y－z－5=0的夹角为 ( ) 9 设球面方程为(x－1)2+(y+2)2+(z－3)2=4，则该球的球心坐标与半径分别为 ( ) （A）(一1，2，一3)，2 （B）(一1，2，一3)，4 （C）(1，一2，3)，2 （D）(1，一2，3)，4 10 方程一=z在空间解析几何中表示 ( )
高等数学期末复习-向量代数与空间解析几何
高等数学期末复习 第八章 向量代数与空间解析几何 一、容要求 1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标 2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系 3、会运用定义和运算性质求向量数量积 4、会运用定义和运算性质求向量的向量积 5、掌握向量数积和向量积的定义形式 6、掌握向量模的定义与向量数量积关系 7、掌握向量的方向余弦概念 8、掌握向量的平行概念 9、掌握向量的垂直概念 10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲 面 11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距 12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量 13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量 14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量 15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数 16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量 二、例题习题 1、点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )； （容要求1） A. )2,4,1(-Q B. )2,0,1(-Q C. )0,4,1(-Q D. )2,4,0(Q 解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D 2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2 ,,0321π θθθ≤ ≤），则 =++322212cos cos cos θθθ（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，222 123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。（容要求2） 3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2 ,,0321π θθθ≤ ≤），则 =++322212cos cos cos θθθ ; 解：222 123cos cos cos 2θθθ++=，所以填2。（容要求2） 4、向量)3,1,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，则=?b a ( )； A. 0 B. 1 C. 2 D. )2,11,5(---
专升本高数大纲
上海第二工业大学专升本考试大纲 《高等数学一》 《高等数学》专升本入学考试注重考察学生基础知识、基本技能和思维能力、运算能力、以及分析问题和解决问题的能力，考试时间2小时，满分150分。 考试内容 一、函数、极限与连续 （一）考试内容 函数的概念与基本特性；数列、函数极限；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小的概念与阶的比较；函数的连续性和间断点；闭区间上连续函数的性质。 （二）考试要求 1．理解函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。了解反函数的概念；理解复合函数的概念。理解初等函数的概念。会建立简单实际问题的函数关系。 2．理解数列极限、函数极限的概念（不要求做给出ε，求N或δ的习题）；了解极限性质（唯一性、有界性、保号性）和极限的两个存在准则（夹逼准则和单调有界准则）。 3．掌握函数极限的运算法则；熟练掌握极限计算方法。掌握两个重要极限，并会用两个重要极限求极限。 4．了解无穷小、无穷大、高阶无穷小、等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。 5．理解函数连续的概念；了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型（第一类可去、跳跃间断点与第二类间断点）。 6．了解初等函数的连续性；了解闭区间上连续函数的性质，会用性质证明一些简单结论。二、导数与微分 （一）考试内容 导数概念及求导法则；隐函数与参数方程所确定函数的导数；高阶导数；微分的概念与运算法则。 （二）考试要求 1．理解导数的概念及几何意义，了解函数可导与连续的关系，会求平面曲线的切、法线方程；
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；掌握基本初等函数的求导公式，会熟练求函数的导数。 3．掌握隐函数与参数方程所确定函数的求导方法（一阶）；掌握取对数求导法。 4．了解高阶导数的概念，掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法。会求简单函数的n 阶导数。 5．理解微分的概念，了解微分的运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分。 三、中值定理与导数应用 （一）考试内容 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理；洛必达法则；函数单调性与极值、曲线凹凸性与拐点。 （二）考试要求 1．理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理（对定理的分析证明不作要求）；会用中值定理证明一些简单的结论。 2．掌握用洛必达法则求00，∞ ∞，0?∞，∞-∞，∞1，0∞，∞0等不定式极限的方法。 3．理解函数极值概念，掌握用导数判定函数的单调性和求函数极值的方法；会利用函数单调性证明不等式；会求较简单的最大值和最小值的应用问题。 4．会用导数判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 四、不定积分 （一）考试内容 原函数与不定积分概念，不定积分换元法，不定积分分部积分法。 （二）考试要求 1．理解原函数与不定积分的概念和性质。 2．掌握不定积分的基本公式、换元积分法和分部积分法（淡化特殊积分技巧的训练，对于有理函数积分的一般方法不作要求，对于一些简单有理函数可作为两类积分法的例题作适当训练）。 五、定积分及其应用 （一）考试内容 定积分的概念和性质，积分变上限函数，牛顿－莱布尼兹公式，定积分的换元积分法和分部积分法，无穷区间上的广义积分；定积分的应用——求平面图形的面积与旋转体体积。 （二）考试要求
高等数学(同济五版)第七章 空间解析几何与向量代数 练习题册
姓名： 学号： 班级： 《高等数学》第七章作业 60 第七章 空 间 解 析 几 何 第 一 节 作 业 一、选择题（单选）： 1. 点M(2,-3,1)关于xoy 平面的对称点是： （A ）（-2,3,1）； （B ）（-2,-3,-1）； （C ）（2,-3,-1）； （D ）（-2,-3,1） 答：（ ） 2. 点M(4,-3,5)到x 轴距离为： （A ）.54)(;54)(;5)3()(; 5)3(42222222 22+++-+-+D C B 答：（ ） 二、在yoz 面上求与A （3,1,2）,B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。 第 二 节 作 业 设.32,,.2,v u c b a c b a v c b a u -+-=++=表示试用 第 三 节 作 业 一、选择题（单选）： 已知两点:),0,3,1()2,2,2(2121的三个方向余弦为则和M M M M .2 2 ,21,21) (.2 2 ,21,21) (; 2 2 ,21,21)(;2 2,21,21)(------- D C B A 答：（ ） 二、试解下列各题： 1. 一向量的终点为B （2，-1，7），它在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为4，-4，4，求这向量的起点A 的坐标。
姓名： 学号： 班级： 《高等数学》第七章作业 61 {}. 6,7,6.3. 34.45,42,353.2的单位向量求平行于向量轴上的分向量上的投影及在轴 在求向量设-=-+=-+=-+=++=a y x p n m a k j i p k j i n k j i m 第 四 节 作 业 一、选择题（单选）： )() ()()(: .1D C B A b a 上的投影为在向量 答：（ ） . //)(;)(; )(;//)(: 0,.2的必要但不充分条件的充要条件的充要条件的充要条件是则为非零向量与设b a D b a C b a B b a A b a b a =⊥=? 答：（ ） . 6321)(; 14321)(;14321)(;6321)(: ,321,,.3222222=++=++=++=++++====D C B A c b a s c b a 的长度为则两两垂直向量 答：（ ）
空间解析几何与向量代数
第八章 空间解析几何与向量代数 一、选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //，则 B （A ）、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2．平面x -2z = 0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{ 4404=--=--y x z x （D ）?????==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 （A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1//L 2 （C ）、L 1与L 2相交但不垂直。（D ）、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题 1. 点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为 3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0. 2. 求过点(2, -3, 0)且以n =(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x -2)-2(y +3)+3z =0, 即 x -2y +3z -8=0.
高等数学 空间解析几何与向量代数练习题与答案
空间解析几何与矢量代数小练习 一 填空题 5’x9=45分 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________ 3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 5、方程22x y z +=表示______________曲面. 6、222x y z +=表示______________曲面. 7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形. 二 计算题 11’x5=55分 1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点(1,2,3)且平行于直线51 132-=-=z y x 的直线方程. 4、求过点(2,0,-3)且与直线???=+-+=-+-012530 742z y x z y x 垂直的平面方 5、已知：k i 3+=，k j 3+=，求OAB ?的面积。
参考答案 一 填空题 1、?????? -±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22 cos ,21 cos ==-=γβα,3 ,43,32π γπ βπ α=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x 4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、04573=-+-z y x 2、029=--z y 3、53 1221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x 5 219 ==?S
高等数学向量代数与空间解析几何复习
第五章 向量代数与空间解析几何 向量 既有大小又有方向的量 表示：→ -AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：??? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2 22z y x ++ 2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ a 模为1的向量。 3． 模 → →→ ?=++= a a z y x a 2 22|| 4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6． 叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a ?? a ?b= - b ?a ) ? 2 1 2121z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ，→a 与→ b 夹角为3 π ，求||→ →+b a 。 解 22 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ →→→→→→→→→→→ →++=?+?+?=+?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222=+???+= π 例2 设2)(=??c b a ，求)()]()[(a c c b b a +?+?+。