导数与等价转换
龙文教育一对一个性化辅导教案
学生杨冰学校广附年级高二次数第 18次科目数学教师薛磊日期4月27号时段7:00-9:00 课题导数与等价转换
教学
重点
把极值问题、零点问题、恒成立问题存在问题转化为导数问题
教学
难点
恒成立与存在问题与导数
教学目标1、掌握基础知识点与基础题型
2、掌握导数解答题解题技巧
教学步骤及教学内容一、课前热身：
回顾上次课内容
二、内容讲解：
1、二次函数根的情况
2、二次函数的最值
3、恒成立问题与存在问题
4、分类讨论、分离变量、主参换位、数形结合
5、等价转化
三、课堂小结：
导数与等价转换：
题型1：极值转化问题
题型2：交点、零点、根的个数的转化问题
题型3：讨论交点、零点个数问题的转化
题型4：存在问题的转化
四、作业布置：
导数常规题型
管理人员签字：日期：年月日
作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
备注：
2、本次课后作业：
课
堂
小
结
家长签字：日期：年月日
导数与等价转化
例题选讲：
题型1：极值转化问题(极值问题转化为导函数为0的根的情况)
1、已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,0)-∞
B ．1(0,)2
C ．(0,1)
D ．(0,)+∞
2、已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ,若112()f x x x =<,则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3、已知函数32()331f x x ax x =-++
（1）讨论()f x 的单调区间；
（2）设()f x 在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围。
题型2：交点、零点、根的个数的转化问题
零点个数转化为极值与0的大小关系
与直线y=t 的交点个数，用数形结合求极值即可
(12广州一模)已知函数32
()f x x ax b =-++(),a b ∈R （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围。
2、已知函数2()sin cos f x x x x x =++。
(1)若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切,求a 与b 的值；
(2)若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点,求b 的取值范围。
3、设a R ∈,函数()ln f x x ax =-.
（1）讨论函数()f x 的单调区间和极值;
（2）已知1( 2.71828)x e e ==L 和2x 是函数()f x 的两个不同的零点,求a 的值并证明:32
2x e >.
4、已知a,b 为常数，且0≠a ，函数x ax b ax x f ln )(++-=，2)(=e f （e=2.71828……是自然对数的
底数）
（1）求实数b 的值；求函数)(x f 的单调区间；
（2）当1=a 时，是否同时存在实数m 和M （m ???????∈e e x ,1都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，请说明理由。 题型3：讨论交点、零点个数问题的转化 零点个数的讨论主要讨论两点: 1、极值点是否在区间内的讨论，讨论极值与两个端点之间的大小关系，通常分成三段去讨论 若不在区间内，则讨论两端点的函数值即可 2、若极值点在区间内，就讨论极值与0的大小关系 1已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （1）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （2）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 2、设()ln ()a f x x a x =+为常数 （1）讨论()f x 的单调性； （2）判断()f x 在定义域内是否有零点？若有，有几个？ 题型4：存在问题的转化 运用导数求单调性，从而求最值，在运用恒成立问题与存在问题解题 导数求最值时，要注意分类讨论极值点与区间的大小关系 解非常规不等式运用估值法去尝试 3、已知函数)(11ln )(R a x a ax x x f ∈--+ -=(分离参数与存在问题的结合) （1）当2 1≤a 时，讨论)(x f 的单调性； （2）设,42)(2+-=bx x x g 当4 1=a 时，若对任意的),2,1(1∈x 总存在]2,1[2∈x ，使得)()(21x g x f ≥，求实数b 的取值范围。 4、已知函数21()(21)2ln ().2 f x ax a x x a R =-++∈ （1）求()f x 的单调区间 （2）设()g x =22x x -,若对任意的1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围。 5、已知函数1()ln ,()()a f x x a x g x a R x +=-=- ∈ （1）若1,a =求函数()f x 的极值 （2）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间 （3）若在[1,]e 上存在一点0x ,使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围。 导数概念及其几何意义 1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量满足（） A .>0 B .<0 C D. =0 2、设函数，当自变量由改变到时，函数值的改变量是（） A B C D 3、已知函数的图像上一点（1，2）及邻近一点，则等于（） A 2 B 2x C D 2+ 5．函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 6．在曲线y=2x2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx,1+Δy）,则等于（） A．4Δx+2Δx2 B．4+2Δx C．4Δx+Δx2 D．4+Δx 7．若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y－1=0，则（） A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)=0 D．f′(x0)不存在 8．已知命题p：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q：函数y=f(x)是一次函数，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设函数f(x)在x0处可导，则等于（） A．f′(x0) B．0 C．2f′(x0) D．－2f′(x0) 10．设f(x)=x(1+|x|),则f′(0)等于（） A．0 B．1 C．－1 D．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x轴，则此曲线的函数必是______ 函数．（填增、减、常函数） 13．设f(x)在点x处可导，a、b为常数，则=_____． 16．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率．(2)点A处的切线方程． 17．已知函数f(x)=，试确定a、b的值，使f(x)在x=0处可导． 专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法； 2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题； 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取 值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值； （3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点，求证：221>+x x 【答案】（1）6n =（2）1ln m n --（3）见解析 【解析】（1）由， ，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行， 故 2 14 n -=，解得6n =。 （2） ，由()0f x '<时，x n >；()0f x '>时，x n <，所以 ①当1n ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ； 用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值范围。 3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2 +-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 求实数a 的取值范围. 4．（2016届惠州二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①求实数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围． 5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围． §1．3．2函数的极值与导数（1课时） 【学情分析】： 在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。 【教学目标】： （1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤 【教学重点】： 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】： 极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤 教学 环节 教学活动设计意图 创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数() h t在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大t a =附近函数() h t的图像，如图3.3-9．可以看出() h a '；在t a =，当t a <时，函数() h t单调递增，()0 h t'>；当t a >时，函数() h t单调递减，()0 h t'<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0 h t'>）后减（t a >，()0 h t'<）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，() h t'先正后负，且() h t'连续变化，于是有()0 h a '=． 对于一般的函数() y f x =，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 小题对点练(一) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(1) (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．已知集合A ＝{x ∈N |x <3}，B ＝{x |x ＝a －b ，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{1,2} B ．{－2，－1,1,2} C ．{1} D ．{0,1,2} D [因为A ＝{x ∈N |x <3}＝{0,1,2}，B ＝{x |x ＝a －b ，a ∈A ，b ∈A }＝{－2，－1,0,1,2}， 所以A ∩B ＝{0,1,2}．] 2．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3 ＋(a －1)x 2 ＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝－x C ．y ＝2x D ．y ＝x D [法一：因为函数f (x )＝x 3 ＋(a －1)x 2 ＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以(－x )3 ＋(a －1)(－x )2 ＋a (－x )＝－[x 3 ＋(a －1)x 2 ＋ax ]，所以2(a －1)x 2 ＝0，因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3 ＋x ，所以f ′(x )＝3x 2 ＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线 y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D. 法二：因为函数f (x )＝x 3 ＋(a －1)x 2 ＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3 ＋x ，所以f ′(x )＝3x 2 ＋1，所以 f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D. 法三：易知f (x )＝x 3 ＋(a －1)x 2 ＋ax ＝x [x 2 ＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2 ＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3 ＋x ，所以 f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选 D.] 3．已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( ) A ．?x ∈R ，f (－x )≠f (x ) B ．?x ∈R ，f (－x )≠－f (x ) C ．?x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0) D ．?x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) C [∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴?x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴? x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题，故选C.] 4．定积分x 2－x d x 的值为( ) A ．π4 B ．π2 导数中的任意性与存在性问题探究 函数中任意性和存在性问题探究 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究 一、相关结论： 结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图一】 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图二】 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图三】 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图四】 结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空；【如图五】 例题1：已知两个函数232()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈; (1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； 解：（1）设32()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,（1）中的问题可转化为：[3,3]x ∈-时，()0h x ≥恒成立，即min [()]0h x ≥。 '2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+； 当x 变化时，'(),()h x h x 的变化情况列表如下： x -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么． 高考数学真题汇编——函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，， ， 据此可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则 导 数 一.知识梳理 1．导数的概念及几何意义. 2．求导的基本方法 ①定义法：()x f '=()()x x f x x f x y x ?-?+=??→?0lim ②公式法：0c ='（c 为常数）;)(x n ' = 1-n nx (n ∈N) ; )v (u '±=v u '±' 3．导数的应用 ①求曲线切线的斜率及方程； ②研究函数的单调性、极值、最值； ③研究函数的图象形态、性状； ④导数在不等式、方程根的分布（个数）、解析几何等问题中的综合应用． 二．基础训练 1.(04湖北高考)函数()13++=x ax x f 有极值的充要条件是 ( ) A.0>a B.0≥a C.a<0 D.0≤a 2．（04江苏高考）函数()133+-=x x x f 在闭区间[]03， -上的最大值、最小值分别是 （ ） A.1，-1 B.1，-17 C.3，-17 D.9，-19 3.(05南通示范高中联考)a>3,则方程x 3-ax 2+1=0在(0,2)上恰好有 A 0个根 B 1个根 C 2个根 D 3个根 4. (05南通四县市联考)设函数y=f(x)在其定义域上可导,若)(x f '的图象如图所示,下列判断: ①f(x)在(-2,0)上是减函数 ②x=-1时, f(x)取得极小值; ③x=1时, f(x)取得极小值; ④f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数其中正确的是 A ①② B ②③ C ③④ D ②③④ 5.(05宿迁三模) 函数f(x) =-x 3+3x 2+ax+c 在(-∞,1]上是单调减函数,则a 的最大值是 A -3 B-1 C1 D3 6．（05湘.19）设t≠0，点P(t ，0)是函数f(x)=x 3+ax 与y=bx 2+c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线． (I)用t 表示a ，b ，c ； (Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x)在(-l ，3)上单调递减，求 t 的取值范围． q x () = -2?cos x () 1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在 的解，附近，如 果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点， 2. 【 2015 高考福建，文A．充分而不必要条 件12】“对任意 B．必要而不充分条件 ，”是“ C ．充分必要条件 D ”的（） ．既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时，，构造函数，则 ．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数 ，则，故在递增，故 ”是“，则．综上 ”的必要不充分条件，选 所述，“ 对任 意B． ， 【考点定位】导数的应用． 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用， 根 据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 3. (2014 课标全国Ⅰ，文 12) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 3 － 3 2 ＋ 1，若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x x x 0＞0，则 a 的取值范围是 ( ) ． A ． (2 ，＋∞ ) B ． (1 ，＋∞) C ． ( －∞，－ 2) D ．( －∞，－ 1) 答案： C 解析：当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 3x 2＋ 1 存在两个零点，不合题意； 当 a ＞0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 ′( ) ＝ 0，得 x 1 ＝ 0， ， fx 所以 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一的零点，需 ，但这时零点 x 0 一定小于 0，不合题意； 当 a ＜0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 f ′(x ) ＝ 0，得 x 1＝0， ，这时 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一零点，应满足 ，解得 a ＜－ 2( a ＞ 2 舍去 ) ，且这时 零点 x 0 一定大于 0，满足题意，故 a 的取值范围是 ( －∞，－ 2) ． 名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想， 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时，不等式 恒成立，则实数 a 的取 值范围是（） 导数的定义及几何意义 编辑整理：烟花四月 注：①函数应在点X o 的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中， x 趋近 于0可正、可负、但不为 0,而 y 可能为0。③一y 是函数y f (x)对自变量x 在x 范 x 围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线 y f (x)上点(X 0 , f(x °))及点(x °+ x , 点X 0的处瞬时变化率，它反映的函数y f (x)在X 0点处变化的快慢程度， 它的几何意义是 曲线y f (x)上点(X 0, f(x °))处的切线的斜率。 ⑤若极限lim 丄^°__X)―不 X 0 X 存在，则称函数y f (x)在点X 0处不可导。⑥如果函数y f (x)在开区间(a,b)内每一点 都有导数，则称函数 y f (x)在开区间(a,b)内可导；此时对于每 一个x € (a,b)，都对应 着一个确定的导数 f lx)，从而构成了一个新的函数 f lx)，称这个函数 f / (x)为函数 y f (x)在开区间(a,b)内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数， 这要加以区分： 求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数 在给定点的导数，就是 求导函数值。 [举例 1]若 f /(x °) 2，则 lim f(X0 k) 一等于： k 0 2k (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2 1 - f /(x o ) lirf x 0 X )f(X o )叫函数y x f (x)在 x x o 处的导数，记作y / |x x 0 f(X 0 X 0))的割线斜率。④导数f /(X 。) lim f(X0 x) f(X0) 是函数 x 0 x f (x)在 解析：??? f /(x 0) 2，即 lim f[X o ( k)] f(X o ) =2 k 0 x0 /V -T 叫 Hk ［举例2］已知a 0,n 为正整数?设y (x a)n ，证明 y' n(x a)n 解析：本题可以对 y (x a)n 展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明: lim a x 0 n x a) n (x a)= x0 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】 试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为 函数与导数练习题（高二理科） 1．下列各组函数是同一函数的是 （ ） ①()f x = ()g x =()f x x = 与()g x =； ③0()f x x =与01 ()g x x = ；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--. A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 2．函数2 4 ++= x x y 的定义域为 . 3．若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = . 4．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 5．下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ） A ．12 log (1)y x =+ B ．2 log y =C ．2 1log y x = D ．2 log (45)y x x =-+ 6．)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当0>x 时，,1 )(x x f =则当2- 1．导数与导函数的概念 (1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时， 比值Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可 导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作f ′(x 0)． (2)若f (x )对于区间(a ，b )任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )． 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f (x )＝C (C 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α为常数) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝ln x f ′(x )＝1x f(x)＝log a x(a>0，a≠1)f′(x)＝ 1 x ln a 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)[f x g x]′＝ f′x g x－f x g′x g2x( g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( ) 1．(教材改编)f′(x)是函数f(x)＝1 3 x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________． 2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是________． 第5讲导数的计算及其几何意义 考点1：导数基本知识 导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率： 已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx=x1?x0，Δy=y1?y0= f(x1)?f(x0)=f(x0+Δx)?f(x0)，则当Δx≠0时，商f(x0+Δx)?f(x0) Δx =Δy Δx 称作函数y=f(x) 在区间[x0，x0+Δx]（或[x0+Δx，x0]）的平均变化率． 2. 函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为Δx时，函数值相应的改变Δy=f(x0+Δx)?f(x0)． 如果当Δx趋近于0时，平均变化率Δy Δx =f(x0+Δx)?f(x0) Δx 趋近于一个常数l（也就是说平均变 化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率． “当Δx趋近于零时，f(x0+Δx)?f(x0) Δx 趋近于常数l”可以用符号“→”记作：“当Δx→0时， f(x0+Δx)?f(x0) Δx →l”，或记作“lim Δx→0 f(x0+Δx)?f(x0) Δx =l”，符号“→”读作“趋近于”．函数在x0的 瞬时变化率，通常称为f(x)在x=x0处的导数，并记作f′(x0)．这时又称f(x)在x=x0处是 可导的．于是上述变化过程，可以记作“当Δx→0时，f(x0+Δx)?f(x0) Δx →f′(x0)”或 “lim Δx→0f(x0+Δx)?f(x0) Δx =f′(x0)”． 3. 可导与导函数： 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数．记为f′(x)或y′（或y x′）． §1.3.2函数的极值与导数 教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．复习与思考 已知函数 3 2 ()267f x x x =-+ (1)求f(x)的单调区间,并画出其图象; (2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系? 二．新课讲授 1、极值点与极值 (1)极小值点与极小值： 若函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝ ，而且在点x ＝a 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y ＝f (x )的极小值点， 叫做函数y ＝f (x )的极小值． (2)极大值点与极大值： 若函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝ ， 而且在点x ＝b 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y ＝f (x )的极大值点， 叫做函数y ＝f (x )的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为 ；极大值、极小值统称为 2.关于极值概念的几点说明 (1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况; (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值 （3）函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值; (4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。 （5）函数y=f(x)在一点的导数为0是函数在这点取极值的 条件。 3.函数的极值与单调性有什么联系？ 【提示】 极值点两侧单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函数的单调性． 函数极值的求法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时： (1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值. 求下列函数的极值． （1）3 1()443 f x x x =-+ 2007——2014高考数学新课标卷（理）函数与导数综合大题 【2007新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++ （I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2 ． 【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a '= ++，依题意有(1)0f '-=，故32a =． 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当1 12 x -<<-时，()0f x '<； 当1 2 x >- 时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????，，， ∞单调增加，在区间112?? -- ??? ，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221 ()x ax f x x a ++'=+． 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-． （ⅰ）若0?< ，即a << ()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值． （ⅱ）若0?= ，则a a = 若a = ()x ∈+ ，2 ()f x '= ． 当x =时，()0f x '=， 当2 x ? ??∈-+ ? ????? ，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值． 若a =)x ∈+，()0f x '= >，()f x 也无极值． （ⅲ）若0?>，即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值． 当a > 1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值． 综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=． 【2008新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3． （Ⅰ）求()f x 的解析式： （Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）2 1 ()() f x a x b '=- +， 导数与函数的极值专题 1.函数的极值 (1)函数的极小值: 函数y=f (x )在点x=a 的函数值f (a )比它在点x=a 附近其他点的函数值都 ；,f ' (a )= ;而且在点x=a 附近的左侧 ,右侧 ,则 叫作函数y=f (x )的极小值点, 叫作函数y=f (x )的极小值. (2)函数的极大值: 函数y=f (x )在点x=a 的函数值f (a )比它在点x=a 附近其他点的函数值都 ；,f ' (a )= ;而且在点x=a 附近的左侧 ,右侧 ,则 叫作函数y=f (x )的极大值点, 叫作函数y=f (x )的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 2、利用导数求函数极值的一般步骤： (1) 求导函数f /(x)； (2) 求解方程f /(x)=0； (3)检查f /(x)在方程f /(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值 题型1：极值与导数的关系： 1、已知定义在R 的函数f(x),则“0x 是函数 f(x)的极值点”是“0)(0='x f ”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.以上都不对 2、已知定义在R 的可导函数f(x),则“0x 是函数 f(x)的极值点”是“0)(0='x f ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.以上都不对 3、已知函数f (x )=2e f '(e)ln x e x -(e 是自然对数的底数),则f (x )的极大值为( ) A .2e -1 B .e 1- C .1 D .2ln 2 4、设f (x )=12x 2-x+cos(1-x ),则函数f (x ) ( ) A .有且仅有一个极小值 B .有且仅有一个极大值 C .有无数个极值 D .没有极值 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0导数概念及其几何意义
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