(完整版)知识讲解动量动量定理(基础)

物理总复习：动量动量定理

编稿：刘学

【考纲要求】

1、理解动量的概念；

2、理解冲量的概念并会计算；

2、理解动量变化量的概念，会解决一维的问题；

3、理解动量定理，熟练应用动量定理解决问题。

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、动量和冲量

1、动量

（1）定义：运动物体的质量与速度的乘积。

（2）表达式：p mv =。单位：/kg m s ?

（3）矢量性：动量是矢量，方向与速度方向相同，运算遵守平行四边形定则。

（4）动量的变化量：21p p p ?=-，p ?是矢量，方向与v ?一致。（5）动量与动能的关系：22

21()222k mv p E mv m m

=== 2k p mE =要点诠释：对“动量是矢量，方向与速度方向相同”的理解，如：做匀速圆周运动的物体速度的大小相等，动能相等（动能是标量），但动量不等，因为方向不同。对“p ?是矢量，方向与v ?一致”的理解，如：一个质量为m 的小钢球以速度v 竖直砸在钢板上，假设反弹速度也为v ，取向上为正方向，则速度的变化量为()2v v v v ?=--=，方向向上，动量的变化量为：2p mv ?=方向向上。

2、冲量

（1）定义：力与力的作用时间的乘积。

（2）表达式：I Ft = 单位： N s ?

（3）冲量是矢量：它由力的方向决定

考点二、动量定理

（1）内容：物体所受的合外力的冲量等于它的动量的变化量。

（2）表达式：21Ft p p =- 或 Ft p =?

（3）动量的变化率：根据牛顿第二定律 2121v v p p F ma m

t t --===?? 即 p F t

?=?，这是动量的变化率，物体所受合外力等于动量的变化率。如平抛运动物体动量的变化率等于重力mg 。要点诠释：

（1）动量定理的研究对象可以是单个物体，也可以是物体系统。对物体系统，只需分析系统受的外力，不必考虑系统内力。系统内力的作用不改变整个系统的总动量。

（2）用牛顿第二定律和运动学公式能求解恒力作用下的匀变速直线运动的间题，凡不涉及加速度和位移的，用动量定理也能求解，且较为简便。

但是，动量定理不仅适用于恒定的力，也适用于随时间变化的力。对于变力，动量定理中的F 应当理解为变力在作用时间内的平均值。

（3）用动量定理解释的现象一般可分为两类：一类是物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小。另一类是作用力一定，此时力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小。分析问题时，要把哪个量一定哪个量变化搞清楚。

（4）应用I p =?求变力的冲量：如果物体受到变力作用，则不直接用I Ft =求变力的冲量，这时可以求出该力作用下的物体动量的变化p ?，等效代换变力的冲量I 。

（5）应用p Ft ?=求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化：曲线运动中物体速度方向时刻在改变，求动量变化21p p p ?=-需要应用矢量运算方法，比较复杂，如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换动量的变化。

【典型例题】

类型一、动量、动量变化量的计算

【高清课堂：动量动量定理例1】

例1、质量为0.4kg 的小球沿光滑水平面以5m/s 的速度冲向墙壁，被墙以4m/s 的速度弹回，如图所示，求：这一过程中动量改变了多少？方向怎样？

举一反三

【变式】（2014 北京大兴模拟）篮球运动员通常伸出双手迎接传来的篮球．接球时，两手随球迅速收缩至胸前．这样做可以( )

A ．减小球对手的冲量

B ．减小球对手的冲击力

C ．减小球的动量变化量

D ．减小球的动能变化量

举一反三

【变式】（2015 重庆卷）高空作业须系安全带.如果质量为m的高空作业人员不慎跌落，从开始跌落到安全带对人刚产生作用力前人下落的距离为h（可视为自由落体运动）.此后经历时间t安全带达到最大伸长，若在此过程中该作用力始终竖直向上，则该段时间安全带对人的平均作用力大小为

m gh

+ B.

m gh

- C.

m gh

+ D.

m gh

类型二、冲量的计算

【高清课堂：动量动量定理例3】

例2、如图所示在倾角θ＝37°的斜面上，有一质量m＝10kg的物体沿斜面以5/

v m s

匀速下滑，求物体下滑2s的时间内:

（1）斜面对物体支持力的冲量和功；

（2）斜面对物体的冲量和功。

（sin370.6

o，cos370.8

o，g取2

10/

m s）

举一反三

【变式】如图所示，一个物体在与水平方向成θ角的拉力F的作用下匀速前进了时间t，则（）

A．拉力对物体的冲量为Ft

B．拉力对物体的冲量为Ftcosθ

C．摩擦力对物体的冲量为Ft

D．合外力对物体的冲量为Ft

类型三、用动量定理解释现象

例3、如图所示,把重物G压在纸带上，若用一水平力迅速拉动纸带,纸带将会从重物下抽出；若缓慢拉动纸带,纸带也从重物下抽出，但重物跟着纸带一起运动一段距离。下列解释上述现象的说法中正确的是（）

A. 在缓慢拉动纸带时，纸带给重物的摩擦力大

B. 在迅速拉动纸带时，纸带给重物的摩擦力小

C. 在缓慢拉动纸带时，纸带给重物的冲量大

D. 在迅速拉动纸带时，纸带给重物的冲量小

举一反三

【变式1】跳远时，跳在沙坑里比跳在水泥地上安全，这是由于（）

A. 人跳在沙坑里的动量比跳在水泥地上小

B. 人跳在沙坑里的动量的变化比跳在水泥地上小

C. 人跳在沙坑里受到的冲量比跳在水泥地上小

D. 人跳在沙坑里受到的冲力比跳在水泥地上小

【变式2】某人身系弹性绳自高空p 点自由下落，图中a 点是弹性绳的原长位置，c 是人所到达的最低点，b 是人静止地悬吊着时的平衡位置。不计空气阻力，则下列说法中正确的是（）

A ．从p 至c 过程中重力的冲量大于弹性绳弹力的冲量

B ．从p 至c 过程中重力所做的功等于人克服弹力所做的功

C ．从p 至b 过程中人的速度不断增大

D ．从a 至c 过程中加速度方向保持不变

类型四、用动量定理求变力的冲量

例4、物体A 和B 用轻绳相连挂在轻质弹簧下静止不动，如图（甲）所示，A 的质量为m ，B 的质量为M ，当连接A 、B 的绳突然断开后，物体A 上升经某一位置时的速度大小为v ，这时物体B 的下落速度大小为u ，如图（乙）所示，在这段时间里，弹簧的弹力对物体A 的冲量为（）

A. mv

B. mv Mu -

C. mv Mu +

D. mv mu +

举一反三

【变式一】摆长为L 的单摆在做小角度摆动时，若摆球质量等于m ，最大偏角等于θ。在摆从最大偏角位置摆向平衡位置时，下列说法正确的是（）

A ．重力的冲量等于2m gL π

B ．重力的冲量等于)cos 1(gL 2m θ-

C ．合力的冲量等于)cos 1(gL 2m θ-

D ．合力做的功等于)cos 1(mgL θ-

【变式2】一质量为m 的小球，以初速度0v 沿水平方向射出，恰好垂直地射到一倾角为30o 的固定斜面上，并立即反方向弹回。已知反弹速度的大小是入射速度大小的

，求在碰撞中斜面对小球的冲量大小。

类型五、用动量定理求相互作用力

例5、一个质量为m=2kg 的物体，在F 1=8N 的水平推力作用下，从静止开始沿水平面运动了t 1=5s ，然后推力减小为F 2=5N ，方向不变，物体又运动了t 2=4s 后撤去外力，物体再经过t 3=6s 停下来。试求物体在水平面上所受的摩擦力。

【变式1】物体在恒定的合力F 作用下作直线运动，在时间1t ?内速度由0增大到v ，在时间2t ?内速度由v 增大到2v 。设F 在1t ?内做的功是1W ，冲量是1I ；在2t ?内做的功是2W ，冲量是2I 。那么（）

A. 12I I < 12W W =

B. 12I I <, 12W W <

C. 12I I = 12W W =

D. 12I I = 12W W <

【变式2】如图所示, PQS 是固定于竖直平面内的光滑的圆周轨道，圆心O 在S 的正上方，在O 和P 两点各有一质量为m 的小物块a 和b ，从同一时刻开始，a 自由下落，b 沿圆弧下滑，以下说法正确的是（）

A. a 比b 先到达S ，它们在S 点的动量不相等

B. a 与b 同时到达S ，它们在S 点的动量不相等

C. a 比b 先到达S ，它们在S 点的动量相等

D. b 比a 先到达S ，它们在S 点的动量相等

例6、（2014 天津卷）如图所示，水平地面上静止放置一辆小车A ，质量m A ＝4kg ，上表面光滑，小车与地面间的摩擦力极小，可以忽略不计．可视为质点的物块 B 置于A 的最右端，B 的质量m B ＝2kg.现对A 施加一个水平向右的恒力F ＝10N ，A 运动一段时间后，小车左端固定的挡板与B 发生碰撞，碰撞时间极短，碰后A 、B 粘合在一起，共同在F 的作用下继续运动，碰撞后经时间t ＝0.6s ，二者的速度达到v t ＝2m/s.求：

(1)A 开始运动时加速度a 的大小；

(2)A 、B 碰撞后瞬间的共同速度v 的大小；

(3)A 的上表面长度l .

举一反三

（变式1）、（2015 安徽卷）一质量为0.5kg 的小物块放在水平地面上的A 点，距离A 点5m 的位置B 处是一面墙，如图所示。物块以v 0=9m/s 的初速度从A 点沿AB 方向运动，在与墙壁碰撞前瞬间的速度为7m/s ，碰后以6m/s 的速度反向运动直至静止。g 取10m/s 2。

（1）求物块与地面间的动摩擦因数μ；（2）若碰撞时间为0.05s ，求碰撞过程中墙面对物块平均作用力的大小F ；

（3）求物块在反向运动过程中克服摩擦力所做的功W 。

举一反三

【高清课堂：动量动量定理例5】

A v 0

【变式】一质量为100g 的小球从0.80m 高处自由下落到一厚软垫上，若从小球接触软垫到小球陷至最低点经历了0.2s ，则这段时间内软垫对小球的平均冲击力为多少？（取g=10m/s 2，不计空气阻力）

类型六、用动量定理解决变质量问题

例7、一艘帆船在静水中由风力推动做匀速直线运动。设帆面的面积为S ，风速为1v ，船速为2v （21v v <），空气的密度为ρ，则帆船在匀速前进时帆面受到的平均风力大小为多少？

举一反三

【变式】宇宙飞船以4010/v m s =的速度进入分布均匀的宇宙微粒尘区，飞船每前进

310s m =要与410n =个微粒相碰。假如每一微粒的质量3210m kg -=?，与飞船相碰后附在飞船上。为了使飞船的速度保持不变，飞船的牵引力应为多大。

类型七、用动量定理求解物体系运动问题

例8、如图所示，质量分别为m 和M 的两个木块A 和B 用细线连在一起，在恒力F 的作用下在水平桌面上以速度v 做匀速运动。突然两物体间的连线断开，这时仍保持拉力F 不变，当木块A 停下的瞬间木块B 的速度的大小为__________。举一反三

【变式】质量为M 的汽车带着质量为m 的拖车在平直公路上以加速度a 匀加速前进，当速度为0v 时发生脱钩，直到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的即时速度是多大？

A B F

正弦与余弦定理和公式高中数学知识点梳理

正弦与余弦定理和公式高中数学知识点梳理首先，我们要了解下正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域： (1)已知三角形的两角与一边，解三角形 (2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 (3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径) 其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形

中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及大边对大角，大角对大边定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sin A+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径) (4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA (5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1.在△ABC中，C=90，a=1，c=4，则sinA 的值为 2.已知为锐角，且，则的度数是( ) 3.在△ABC中，若，A，B为锐角，则C的度数是() 4.若A为锐角，且，则A=() 5.在△ABC中，AB=AC=2，ADBC，垂足为D，且AD= ，E 是AC中点， EFBC，垂足为F，求sinEBF的值。

垂径定理—知识讲解(提高).

垂径定理—知识讲解（提高）【学习目标】 1．理解圆的对称性； 2．掌握垂径定理及其推论； 3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理 1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 要点诠释： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （4）圆的两条平行弦所夹的弧相等. 要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明 1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是．

【答案】5. 【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA， ∵AB=CD，CE=1，ED=3， ∴OM=EN=1，AM=2， ∴ 【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题. 举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB， ∴ 1 2 MO HN CN CH CD CH ==-=- 11 ()(38)3 2.5 22 CH DH CH =+-=+-=， 111 ()(46)5 222 BM AB BH AH ==+=+=， ∴在Rt△BOM中，OB== 【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.

勾股定理知识点总结

第18章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证

a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边；（2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

高一数学正余弦定理知识点梳理和分层训练修订稿

高一数学正余弦定理知识点梳理和分层训练 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-

高一数学正、余弦定理知识点梳理和分层训练班级姓名座号 1．正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-? = ?? ?+-= ?? . 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ?中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin 2222 A B C A B C ++==. 表一：

表二：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具基础达标： 1. 在△ABC 中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为 A. 一个解 B. 二个解 C. 无解 D. 无法确定 2．在△ABC 中，若2,a b c ===+A 的度数是 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 3．ΔABC 中，若a 2 =b 2 +c 2 +bc ，则∠A= A. 60 B. 45 C. 120 D. 30 4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 5.在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45.求A 、C 及c.

垂径定理知识点及典型例题

垂径定理一、知识回顾 1、到定点距离等于的点的集合叫做圆，定点叫做，定长叫做；连接圆上任意两点间的线段叫做，经过圆心的弦叫做；圆上任意两点间的部分叫做，它分为、、三种。 2、能够的两个圆叫做等圆；能够互相的弧叫做等弧，他只能出现在中。 3、圆既具有对称性，也具有对称性，它有对称轴。 4、垂直于弦的直径，并且；平分弦（不是直径）的直径，并且。 5、顶点在的角叫做圆心角；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等，也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的、、；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的、、。 6、顶点在，并且相交的角叫做圆周角。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的；在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧。 7、半圆（或直径）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是。 8、如果一个多边形的都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的。圆的内接四边形。二、典例解析例1 如图，某市新建的滴水湖是圆形人工湖，为了测量该湖的半径，小明和小亮在湖边选取A、B、C三根木桩，使得A、B之间的距离等于A、C之间的距离，并测得BC=240m，A 到BC的距离为5m。请帮忙求出滴水湖的半径。 D两点，已知C（0,3）、D（0，-7），求圆心E的坐标。

变式2 已知O e 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，AB=10cm ，CD=24cm ，求AB 和CD 之间的距离。变式3 如图，O e 的直径AB=15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在半圆AMB 上滑动（点C 与点A ，点D 与点B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于点E ，DF ⊥CD 于点F 。（1）求证：AE=BF ；（2）在动弦CD 的滑动过程中，四边形CDFE 的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请予以证明并求出这个值。变式4 如图，某地方有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一竹排运送一货箱欲从桥下通过，已知货箱长10米，宽3米，高2米，问货箱能否顺利通过该桥？例2 如图，BC 是O e 的直径，OA 是O e 的半径，弦BE ∥OA 。求证：弧AC=弧AE 。 H D N M F E C B A

勾股定理知识点总结及练习

第课时第十八章勾股定理一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2 +b 2 ＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=?，则 2 2 c a b = +，22 b c a = -，22 a c b = -）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ?+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2 2 1422 S ab c ab c =? +=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2 S a b a b = +?+梯形，2 112S 22 2 ADE ABE S S ab c ??=+=? + 梯形，化简得证 3：勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2 2 21,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2 2 2 2 ,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b

正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳

正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-

●高考明方向掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． ★备考知考情 1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考考查的热点． 2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的判断等问题． 3.三种题型都有可能出现，属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P62 知识点一正弦定理 (其中R 为△ABC 外接圆的半径) 变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222= ==a b c A B C R R R 变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：(补充) 关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化。知识点二余弦定理

222 222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2?+-=??=+-?+-??=+-?=??=+-???+-?=?? b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：(补充) （1）关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化。（2）勾股定理是余弦定理的特例（3）在?ABC 中，222090?? <+?<