高中数学-椭圆的几何性质测试题
高中数学-椭圆的几何性质测试题
自我小测
1．已知k ＜0，则曲线x 29＋y 24＝1和x 29－k ＋y 24－k
＝1有相同的( ) A ．顶点 B ．焦点 C ．离心率 D ．长轴长
2．椭圆的对称轴为坐标轴，若它的长轴长与短轴长之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为( )
A.x 29＋y 216＝1
B.x 225＋y 216＝1
C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1
D.x 216＋y 225
＝1 3．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32
，且过点(2,0)的椭圆的方程是( ) A.x 24
＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 2
4＝1 C ．x 2＋4y 2＝1 D ．x 2＋4y 2＝4或4x 2＋y 2＝16 4．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15
5．设F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y 2
4＝1的焦点，在曲线C 上满足1PF u u u r ·2PF u u u u r ＝0的点P 的个数为( )
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
6．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于______． 7．已知椭圆的一个焦点将长轴分成长度比为3∶2的两段，则其离心率e 为__________．
8．在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6的椭圆的标准方程为__________．
9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点? ??
??1，32，且离心率e ＝12，求此椭圆的方程． 10．已知椭圆的焦点在x 轴上，椭圆上一点的横坐标等于右焦点的横坐标，且纵坐标的长等于短半轴长的23
，求该椭圆的离心率．
11．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
参考答案
1. 解析：c 21＝9－4＝5，且焦点在x 轴上；c 22＝(9－k )－(4－k )＝5，且焦点在x 轴上．
答案：B
2. 答案：C
3. 解析：若焦点在x 轴上，则a ＝2.又e ＝
32，所以c ＝ 3. 所以b 2＝a 2－c 2＝1.
所以方程为x 24
＋y 2＝1，即x 2＋4y 2
＝4； 若焦点在y 轴上，则b ＝2.
又e ＝32， 所以b 2a 2＝1－34＝14
， 所以a 2＝4b 2＝16.
所以方程为x 24＋y 216
＝1，即4x 2＋y 2
＝16. 答案：D
4. 解析：依题意有2×2b ＝2a ＋2c ，即2b ＝a ＋c ，所以4b 2＝a 2＋2ac ＋c 2.因为b 2＝a 2－c 2，所以4a 2－4c 2＝a 2＋2ac ＋c 2，
所以3a 2－2ac －5c 2＝0，两边同除以a 2，即有5e 2＋2e －3＝0，解得e ＝35
或e ＝－1(舍去)．故选B.
答案：B 5. 解析：因为1PF u u u r ·2PF u u u u r ＝0，所以PF 1⊥PF 2.
所以点P 即为以线段F 1F 2为直径的圆与椭圆的交点，且半径为c ＝8－4＝2. 又b ＝2，所以点P 为短轴的两个端点．
答案：B
6. 解析：椭圆的焦距长等于它的短轴长，即2b ＝2c ，则有a 2＝b 2＋c 2＝2c 2
，解得a ＝2c ，所以e ＝c a ＝22
. 答案：22
7. 解析：由题意，得(a ＋c )∶(a －c )＝3∶2，即1＋e 1－e ＝32
，解得e ＝5－2 6. 答案：5－2 6
8. 解析：如图，根据题意可知F 1B 1⊥F 1B 2，|OF 1|＝3.
可知|OB 2|＝|OB 1|＝3，
所以b ＝c ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝18.
所以椭圆的标准方程为x 218＋y 29
＝1. 答案：x 218＋y 2
9
＝1 9. 分析：由椭圆的离心率可得a ，c 的关系，从而知道b ，c 的关系，再由点在椭圆上，代入方程即可求得椭圆的标准方程． 解：由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝12
，所以a ＝2c ， 所以b 2＝a 2－c 2＝3c 2
，所以椭圆的方程为x 24c 2＋y 2
3c 2＝1. 又点? ??
??1，32在椭圆上， 所以14c 2＋? ????3223c
2＝1，所以c 2＝1， 所以椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1. 10. 解法一：设椭圆方程为x 2a ＋y 2
b
=1(a ＞b ＞0)，焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． 依题意设M 点坐标为? ??
??c ，23b ， 在Rt△MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，
即4c 2＋49
b 2＝|MF 1|2， 所以|MF 1|＋|MF 2|＝
4c 2＋49b 2＋23b ＝2a . 整理得3c 2＝3a 2－2ab .
又c 2＝a 2－b 2，
所以3b ＝2a ，b 2
a 2＝49，
所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，
所以e ＝5
3.
解法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知条件设M ? ????
c ，23b ，
依题意得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，
所以c 2a 2＝59，c a ＝53，即e ＝5
3.
11. (1)解：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
由余弦定理得
cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|
2
2|PF 1|·|PF 2|
＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|
22|PF 1|·|PF 2|
，
所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2
， 所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，
所以|PF 1|·|PF 2|＝4b
2
3.
又因为|PF 1|·|PF 2|≤? ????|PF 1|＋|PF 2|
22
＝a 2，
所以3a 2≥4(a 2－c 2)， 所以c
a ≥12，所以e ≥1
2.
又因为椭圆中0＜e ＜1， 所以所求椭圆的离心率的取值范围是1
2≤e ＜1.
(2)证明：由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2
，
S △F 1PF 2＝1
2|PF 1|·|PF 2|sin 60° ＝12×43b 2×32＝33b 2
.
所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：
椭圆标准方程及几何性质(附答案)
高考能力测试数学基础训练26 基础训练26 椭圆标准方程及几何性质 ●训练指要 熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质；会用待定系数法求椭圆方程. 一、选择题 1.椭圆中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，离心率为0.6，长、短轴之和为36，则椭圆方程为 A.164 1002 2=+y x B.1100 642 2=+y x C.1100 641641002 222=+=+y x y x 或 D.110 818102 222=+=+y x y x 或 2.若方程x 2＋ky 2＝2，表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 A.(0，＋∞) B.(0，2) C.(1，＋∞) D.(0，1) 3.已知圆x 2＋y 2＝4，又Q (3，0)，P 为圆上任一点，则PQ 的中垂线与OP 之交点M 轨迹为(O 为原点) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
二、填空题 4.设椭圆120 452 2=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则||PF 1|－|PF 2||＝_________. 5.(2002年全国高考题)椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0，2)，那么k =_________. 三、解答题 6.椭圆22 22b y a x +=1(a ＞b ＞0),B (0,b )、B ′(0,-b ),A (a ,0),F 为椭圆的右焦点，若直线AB ⊥ B ′F ,求椭圆的离心率. 7.在面积为1的△PMN 中，tan M =2 1,tan N =-2，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点 且过点P 的椭圆方程. 8.如图，从椭圆22 22b y a x +＝1(a ＞b ＞0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 及短轴的端点B 的连线AB ∥OM . (1)求椭圆的离心率e ； (2)设Q 是椭圆上任意一点，F 2是右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围； (3)设Q 是椭圆上一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程.
椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)
椭圆的简单几何性质 基础卷 1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >0 2．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为 （A ） 221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）22 11625 x y += 3．已知P 为椭圆 22 1916 x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ） 54 （B ）45 （C ）4 17 （D ） 7 4 7 4．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ） 23 （B ）33 （C ）3 16 （D ） 6 1 6 5．在椭圆122 22=+b y a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有 （A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ） 123111,,r r r 成等差数列 （D ）123 111 ,,r r r 成等比数列 6．椭圆 22 1925 x y +=的准线方程是 （A ）x =± 254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±25 4 7．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 . 8．对于椭圆C 1: 9x 2 +y 2 =36与椭圆C 2: 22 11612 x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆122 22=+b y a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = . 10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆22 11612 x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。
椭圆的简单几何性质练习题精练
椭圆专题 一、选择题 1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为35的椭 圆的标准方程是( ) A.x 2100＋y 236＝1 B.x 2100＋y 264＝1 C.x 225＋y 216＝1 D.x 225＋y 29＝1 2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率 为( )A.12 B.13 C.14 D.22 3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0 8．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准 方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程． 9．(2014·菏泽高二检测)设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OP A ＝120°，求椭圆的离心率． 10．(2015·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭 圆的离心率是( )A.22 B.2－1C ．2－ 2 D.2－12 2．(2014·清远高二期末)“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12” 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(2015·济南历城高二期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点 P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________． 4．(2014·青海省西宁)已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 2 20＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF . (1)求点P 的坐标； (2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值． $ 椭圆的几何性质习题 一、选择题(共60题) 1.圆6x + y =6的长轴的端点坐标是 A.(-1,0)?(1,0) B.(-6,0)?(6,0) C.(-6,0)?(6,0) D.(0,-6)?(0,6) 2.椭圆x + 8y =1的短轴的端点坐标是 A.(0,-42)、(0,42 ) B.(-1,0)、(1,0) C.(22,0)、(-2,0) D.(0,22)、(0,－ 22) 3.椭圆3x +2y =1的焦点坐标是 A.(0,－66)、(0,66) B.(0,-1)、(0,1) C.(-1,0)、(1,0) D.(-66,0)、(66 ,0) ; 4.椭圆122 2 2=+a y b x (a >b >0)的准线方程是 A. 2 2 2 b a a y +± = B. 2 2 2 b a a y -± = C. 2 2 2 b a b y -± = D. 222b a a y +± = 5.椭圆14922=+y x 的焦点到准线的距离是 A.559554和 B.5514559和 C.5514554和 D.5 514 6.已知F 1、F 2为椭圆122 2 2=+b y a x (a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若 △AF 1B 的周长为16，椭圆离心率 23 = e ,则椭圆的方程是 A.13422=+y x B.131622=+y x C.1121622=+y x D.14162 2=+y x 7.离心率为23 ,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是 | A.1422=+y x B.1422=+y x 或1422=+y x C.1 412 2 =+y x D.142 2=+y x 或1 16422=+y x 8.椭圆122 2 2=+b y a x 和k b y a x =+2222(k >0)具有 A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长?短轴 9.点A (a ,1)在椭圆1242 2=+y x 的内部,则a 的取值范围是 22 b >0)的离心率等于53，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋 转2π 后，所得的新椭圆的一条准线的方程y =316，则原来的椭圆方程是 / A.14812922=+y x B.16410022=+y x C.1162522=+y x D.1 9162 2=+y x 12.椭圆 14522 2++a y a x =1的焦点在x 轴上,则它的离心率的取值范围是 A.(0,51) B.(51,55)] C.??? ??55,0 D.???????1,55 13.椭圆1)6(4)3(2 2=++-m y x 的一条准线为7=x ，则随圆的离心率e 等于 A.21 B.22 C.23 D.41 14.已知椭圆的两个焦点为F 1?F 2,过F 2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A ?B ,则 三角形ABF 1的周长是 .24 C 15.已知椭圆的长轴为8，短轴长为43，则它的两条准线间的距离为 .16 C 椭圆的标准方程和几何性质练习题一 1. 若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( ) A ．a 2>b 2 B.1a <1b C ．01b >0，所以0b>0)。由点P(2,3)在椭圆上知2243a b +=1。又|PF 1|，|F 1F 2|，PF 2|成等差数列，则|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|，即2a=2×2c ，c 1,a 2= 又c 2=a 2-b 2，联立得a 2=8，b 2=6 3. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23 ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A ．23 B ．6 C ．43 D ．12 答案：C 如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，则△ABC 的周长为|AB | ＋|AC |＋|BC |＝(|AB |＋|BF |)＋(|AC |＋|CF |)＝4a ＝43。 4. 已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e △????12，1，则实数m 的取值范围是 ( ) A. ????0，34 B. ????43，＋∞ C. ????0，34△????43，＋∞ D. ????34，1△????1，43 答案：C 在椭圆x 2＋my 2＝1中，当0＜m ＜1时，a 2＝1m ，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1m －1， . 课时作业(八) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为3 5 的椭圆的标准方程是( ) ＋y 236＝1 ＋ y 2 64 ＝1 ＋y 2 16 ＝1 ＋y 2 9 ＝1 【解析】 本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b ＝8，得 b ＝4，所以b 2 ＝a 2 －c 2 ＝16，又e ＝c a ＝3 5 ，解得c ＝3，a ＝5，又 焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 2 16 ＝1，故选C. $ 【答案】 C 2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ) 【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝1 2 . 【答案】 A 3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2 25－k ＝1(0 A ．有相等的焦距，相同的焦点 ） B ．有相等的焦距，不同的焦点 C ．有不等的焦距，不同的焦点 D ．以上都不对 【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋ y 2 25－k ＝1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B. 【答案】 B 4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2 3＝1的一个焦点，过F 且 与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( ) B ．－513 D ．－21313 # 【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3， 故c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. 不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 2 3 ＝1， 解得y 0＝±3 2 ， 所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12 ＋? ?? ??322＝132. 由余弦定理知 cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |2 2|OM ||ON | ＝ 椭圆的简单几何性质试题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 课时作业(八) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为3 5的椭圆的标准方程是( ) A.x 2100＋y 2 36＝1 B.x 2100＋y 2 64＝1 C.x 225＋y 2 16＝1 D.x 225＋y 2 9＝1 【解析】 本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b ＝8，得 b ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16，又e ＝c a ＝3 5，解得c ＝3，a ＝5，又焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 2 16＝1，故选C. 【答案】 C 2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ) A.12 B.13 C.14 D.22 【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝1 2. 【答案】 A 3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2 25－k ＝1(0 A ．有相等的焦距，相同的焦点 B ．有相等的焦距，不同的焦点 C ．有不等的焦距，不同的焦点 D ．以上都不对 【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 2 25－k ＝ 1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B. 【答案】 B 4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2 3＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( ) A.5 13 B ．－513 C.21313 D ．－21313 【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3， 故c ＝ a 2－ b 2＝ 4－3＝1. 不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 2 3＝1， 解得y 0＝±3 2， 所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12 ＋? ?? ??322＝13 2. 由余弦定理知 cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |2 2|OM ||ON | ＝ 椭圆常考题型汇总及练习 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ()c 2. 椭圆的几何性质:以 ()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用 于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e =，()10,0<<∴>>e c a Θ （2）22F OB Rt ?, 2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且 22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -= 越小， 椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而2 2c a b -=越大，椭圆越接近圆。 2.2.2椭圆的简单几何性质 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ） A ．2 B ．)23(2- C ．52 D ．)23(2+ 2．的长轴端点坐标为椭圆6622=+y x ( ) A.），），（，（0101- B ），），（，（0606- C.），），（，（0606- D. ） ，），（，（6060- 3．到右焦点的距离上一点椭圆P y x 19 252 2=+（ ） A ．最大值为5，最小值为4 B ．最大值为10，最小值为8 C ．最大值为10，最小值为6 D ．最大值为9，最小值为1 4．下列说法错误．． 的是( ) A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠” B ．2 2320x x x >-+>“”是“”的充分不必要条件 C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题. D ．若命题p ：“x R ?∈，使得210x x ++<”，则p ?：“x R ?∈，均有210x x ++≥” 5．过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另 一焦点2F 构成2ABF ?，那么2ABF ?的周长是（ ） A. 22 B. 2 C. 2 D. 1 6．椭圆焦点在x 轴，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ） A 、2218172x y += B 、221819x y += C 、2218145x y += D 、22 18136 x y += 7．写出命题"01,0"3≤++>?x x x 的否定_____________________________________ 8．在数列{}n a 满足11a =，n n a a 21=+，则=n a ___________,7S =_________________ 9．在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=__________ 10．已知实数x ，y 满足约束条件?????≤-≤≥021y x y x ’ 则y x z -=2的取值范围是______________ 11．已知在等差数列｛n a ｝中,,4,1201-==d a 若)2(≥≤n a S n n ， 则n 的最小值为__________ 12．椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的 32 倍，则椭圆的焦距是_______,离心率是_________ 则椭圆方程为______________ 椭圆的简单几何性质 1．若焦点在x轴上的椭圆x2 2＋ y2 m＝1的离心率为 1 2，则m等于() A.3 B.3 2C. 8 3D. 2 3 2．若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)，F2(3,0)，则其离心率e是() A.3 4B. 2 3C. 1 2D. 1 4 3．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是() A.2m－1 m－1 B. －2－m m C.2m m D．－ 21－m m－1 4．椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个正方形，则此椭圆的离心率为() A.1 2B. 2 2 C. 3 2D. 3 3 5．(2009·江西高考)过椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于 点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为() A. 2 2B. 3 3 C.1 2D. 1 3 6．若AB为过椭圆x2 25＋ y2 16＝1中心的线段，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的 最大值为() A．6 B．12 C．24 D．48 1 7．椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2的两段，则椭圆的离心率是________． 8．过椭圆x2 5＋ y2 4＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O 为坐标原点，则△OAB的面积为________． 9．若椭圆x2 k＋2＋ y2 4＝1的离心率e＝ 1 3，则k的值等于________． 10．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)； (2)椭圆过点(3,0)，离心率e＝ 6 3. 11．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m， (1)当直线和椭圆有公共点，求实数m的取值范围． (2)求被椭圆截得的最长线段所在的直线方程． 2 椭圆测试题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、离心率为 32 ，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） （A ）22195x y += （B ）22195x y +=或22 159x y += （C ） 2213620x y += （D ）2213620x y +=或22 12036 x y += 2、动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D.不能确定 3、已知椭圆的标准方程2 2 110 y x +=，则椭圆的焦点坐标为（ ） A.( B.(0, C.(0,3)± D.(3,0)± 4、已知椭圆22 159 x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（ ） ( A.3 5、如果22 212 x y a a + =+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（ ） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--?+∞ C.(,1)(2,)-∞-?+∞ D.任意实数R 6、关于曲线的对称性的论述正确的是（ ） A.方程22 0x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程3 3 0x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2 2 10x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程3 3 8x y -=的曲线关于原点对称 7、方程 22221x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22 221x y a b +=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）. A.有相同的离心率 B.有共同的焦点 C.有等长的短轴.长轴 D.有相同的顶点. 8、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于 A B 、两点．若3AF FB =，则k =( ) （A ）1 （B （C （D ）2 9、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A. 54 B.53 C. 52 D. 5 1 10、若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 11、椭圆()22 2210x y a a b +=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段 课时作业(八) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为3 5的椭圆的标准方程是( ) A.x 2100＋y 2 36＝1 B.x 2100＋y 2 64＝1 C.x 225＋y 2 16＝1 D.x 225＋y 2 9＝1 【解析】 本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b ＝8，得 b ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16，又e ＝c a ＝3 5，解得c ＝3，a ＝5，又焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 2 16＝1，故选C. 【答案】 C 2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ) A.12 B.13 C.14 D.22 【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝1 2. 【答案】 A 3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2 25－k ＝1(0 A ．有相等的焦距，相同的焦点 B ．有相等的焦距，不同的焦点 C ．有不等的焦距，不同的焦点 D ．以上都不对 【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 2 25－k ＝ 1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B. 【答案】 B 4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2 3＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( ) A.5 13 B ．－513 C.21313 D ．－21313 【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3， 故c ＝ a 2－ b 2＝ 4－3＝1. 不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 2 3＝1， 解得y 0＝±3 2， 所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12 ＋? ?? ??322＝13 2. 由余弦定理知 cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |2 2|OM ||ON | ＝ 2．1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 双基达标 （限时20分钟） 1．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )． A ．(±13，0) B ．(0，±10) C ．(0，±13) D ．(0，±69) 解析 由题意知，椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2 ＝69， 故焦点坐标为(0，±69)． 答案 D 2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )． A.32 B.34 C.22 D.23 解析 将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 214 ＝1，则a 2＝1，b 2＝1 4，c ＝ a 2－ b 2＝32，故离心率e ＝ c a ＝3 2. 答案 A 3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是6 3，则椭圆C 的方程为( )． A.x 23＋y 2 ＝1 B ．x 2 ＋y 2 3＝1 C.x 23＋y 2 2＝1 D.x 22＋y 2 3＝1 解析 因为c a ＝6 3，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝ a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的 方程为x 23＋y 2 ＝1. 答案 A 4．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________． 解析 设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，焦距为2c ，则b ＝1，a 2＋b 2＝(5)2，即a 2＝4. 所以椭圆的标准方程是x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2 ＝1. 答案 x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2 ＝1 5．已知椭圆x 2k ＋8 ＋y 29＝1的离心率为1 2，则k 的值为________． 解析 当k ＋8>9时，e 2 ＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8 ＝14，k ＝4； 当k ＋8<9时，e 2 ＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－5 4. 答案 4或－5 4 6．求椭圆x 24＋y 2 ＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 解 已知方程为x 24＋y 2 1＝1，所以，a ＝2，b ＝1，c ＝4－1＝3，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a ＝4，2b ＝2，离心率e ＝c a ＝3 2，两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，椭圆的四个顶点是A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－1)，B 2(0，1)． 综合提高 （限时25分钟） 7．已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝( )． A.14 B.1 2 C ．2 D ．4 椭圆的定义及几何性质 测试题 考试时间：100分钟满分：120分 一、选择题（满分50分，每题5分，共10小题） 1、已知的顶点在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦 点在边上,则的周长是( ) A. B. C. D. 2、设定点、,动点满足条件,则点的轨 迹是( ) A.椭圆 B.线段 C. 不存在 D. 椭圆或线段 3、椭圆上点到右焦点的( ) A.最大值为5,最小值为4 B.最大值为10,最小值为8 C.最大值为10,最小值为6 D.最大值为9,最小值为1 4、椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) ,3, ,6, ,3, ,6, 5、若椭圆过点则其焦距为( ) A. B. C. D. 6、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 7、已知两椭圆与的焦距相等,则的值( ) A.或 B.或 C.或 D.或 8、椭圆的右焦点到直线的距离是( ) A. B. C. D. 9、设是椭圆的离心率,且,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 10、如图所示,一圆形纸片的圆心为, 是圆内一定点, 是圆周上一动点,把纸片 折叠使 与重合,然后抹平纸片,折痕为 ,设 与 交于点, 则点的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 二、填空题（满分25分，每题5分，共5小题） 11、已知焦点在x 轴上的椭圆,长轴长为4,右焦点到右顶点的距离为1,则椭圆的标准方程为 12、已知椭圆的长轴在轴上,焦距为,则等于 13、椭圆＝1的离心率为________． 14、若椭圆 的离心率 ,右焦点为, 方程 的两个实数根分别是 和 ,则点 到原点的距离为 15、我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”.设为“优美 椭圆”,,分别是它的左焦点和右顶点,是它短轴的一个端点,则 的度数为 三、解答题（写出必要的解答过程或步骤）16、求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1）两个焦点的坐标分别为（-4,0）和（4,0），且椭圆经过点（5,0） （2）经过点A （3，-2）和点B （-23，1） 17、已知椭圆)0(5522 >=+m m y mx 的离心率为e ＝ 10 5 ，求m 的值． 椭圆性质练习题(2) 1．离心率为3 2 ，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） （A ）22195x y += （B ）22195x y +=或22 159x y += （C ）2213620x y += （D ）2213620x y +=或22 12036 x y += 2.动点P 到两个定点1F （- 4，0）.2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D.不能确定 3.已知椭圆的标准方程2 2 110 y x +=，则椭圆的焦点坐标为（ ） A. ( B.(0, C.(0,3)± D.(3,0)± 4.已知椭圆22 159 x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦 点的距离是（ ） A.3 5.如果22 212 x y a a + =+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（ ） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--?+∞ C.(,1)(2,)-∞-?+∞ D.任意实数R 6.关于曲线的对称性的论述正确的是（ ） A.方程220x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程330x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2210x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程338x y -=的曲线关于原点对称 7.方程 22221x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22 221x y a b +=（a ＞b ＞0)表示的 椭圆（ ）. A.有相同的离心率； B.有共同的焦点； C.有等长的短轴.长轴； D.有相同的顶点. 8 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直 线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =( ) （A ）1 （B （C （D ）2 9若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.54 B.53 C. 52 D. 5 1 10 若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意 一点，则OP FP 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 11 椭圆()22 2210x y a a b +=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上 存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( ) （A ）（0， 2] （B ）（0，12] （C ）1，1） （D ）[1 2 ，1） 12 若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是( ) A.[ 1-1+ B.[1 C.[-1,1+ D.[1- 二、填空题：（本大题共4小题，共16分.） 椭圆测试题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、离心率为 32 ，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） （A ）22195x y += （B ）22195x y +=或22 159x y += （C ） 2213620x y += （D ）2213620x y +=或22 12036 x y += 2、动点P 到两个定点1F （- 4，0） 、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D .不能确定 3、已知椭圆的标准方程2 2 110 y x +=，则椭圆的焦点坐标为（ ） A.( B.(0, C.(0,3)± D.(3,0)± 4、已知椭圆22 159 x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（ ） A.3 B.2 C.3 D.6 5、如果22 212 x y a a + =+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（ ） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--?+∞ C.(,1)(2,)-∞-?+∞ D.任意实数R 6、关于曲线的对称性的论述正确的是（ ） A.方程220x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程330x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2210x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程338x y -=的曲线关于原点对称 7、方程 222 21x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22 221x y a b +=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）. A.有相同的离心率 B.有共同的焦点 C.有等长的短轴.长轴 D.有相同的顶点. 8、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于 A B 、两点．若3AF FB = ，则k =( ) （A ）1 （B （C （D ）2 9、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A. 54 B.53 C. 52 D. 5 1 10、若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 11、椭圆()22 2210x y a a b +=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段 《椭圆的简单几何性质》练习题一 1.椭圆6x 2+y 2=6的长轴的端点坐标是（ ） A.(－1,0)、(1,0) B.(－6,0)、(6,0) C.(－6，0)、(6,0) D.(0,－6)、(0,6) 2.已知点（m ，n ）在椭圆8x 2+3y 2=24上，则2m+4的取值范围是（ ） A.[4-23,4+23] B.[4-3,4+3] C.[4-22,4+22] D.[4-2,4+2] 3.椭圆25x 2+9y 2=225的长轴上、短轴长、离心率依次是（ ） A.5，3，0.8 B.10，6，0.8 C.5，3，0.6 D.10，6，0.6 4.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ） A. 51 B.43 C.3 3 D.21 5.离心率为23,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是( ) A.1422=+y x B.1422 =+y x 或14 22=+y x C.1422=+y x D.14 22=+y x 或116422=+y x 6.已知椭圆22a x +22b y =1与椭圆252x +162y =1有相同的长轴，椭圆22a x +22 b y =1的短轴长与椭圆 212y +9 2 x =1的短轴长相等，则（ ） A.a 2=25,b 2=16 B.a 2=9,b 2=25 C.a 2=25,b 2=9或a 2=9,b 2=25 D.a 2=25,b 2=9 7.已知椭圆C ：22a x +22 b y =1与椭圆42x +92y =1有相同离心率，则椭圆C 的方程可能是（ ） A.82x +42y =m 2(m ≠0) B.162x +642y =1 C. 8 2x +22y =1 D.以上都不可能 8.椭圆2222b y a x +=1(a >b >0)的两准线间的距离为3316，离心率为23，则椭圆方程为（ ） A.3422y x +=1 B.31622y x +=1 C.121622y x +=1 D.4 162 2y x +=1 9.两对称轴与坐标轴重合，离心率e =0.8，焦点与相应准线的距离等于4 9的椭圆的方程是（ ） A.92522y x +=1或92522x y +=1 B.92522y x +=1或16 252 2y x +=1 C.162x +9 2 y =1 D.162522x y +=1 10.已知F 1、F 2为椭圆(a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率2 3= e ,则椭圆的方程是 ( ) A.13422=+y x B.1342=+y x C.1342=+y x D.13 42=+y x 11.椭圆122 22=+a y b x (a >b >0)的准线方程是 ( ) A.222b a a y +±= B.222b a a y -±= C.222b a b y -±= D.222 b a a y +±=椭圆的几何性质习题
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