椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)

椭圆的简单几何性质

基础卷

1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >0

2．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为

（A ）

221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）22

11625

x y += 3．已知P 为椭圆

22

1916

x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ）

54 （B ）45 （C ）4

17 （D ）

7

4

7

4．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ）

23 （B ）33 （C ）3

16 （D ）

6

1

6

5．在椭圆122

22=+b

y a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有

（A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ）

123111,,r r r 成等差数列 （D ）123

111

,,r r r 成等比数列 6．椭圆

22

1925

x y +=的准线方程是 （A ）x =±

254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±25

4

7．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 .

8．对于椭圆C 1: 9x 2

+y 2

=36与椭圆C 2:

22

11612

x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆122

22=+b

y a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = .

10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆22

11612

x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。

提高卷

1．若方程

22

1x y a b

-=表示焦点在y 轴上的椭圆，则下列关系成立的是

（A >

（B < （C > （D <2．曲线

221259x y +=与22

1259x y k k

+=-- (k <9)有相同的 （A ）短轴 （B ）焦点 （C ）准线 （D ）离心率

3．椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a , b , c ，则其焦点到相应准线的距离P 是

（A ）2a c （B ）2b c （C ）2b a （D ）2

a b

4．椭圆2

244

x y +=上一点P 到两焦点距离之和与该点到两准线的距离之和的比是 （A ）3 （B ）

23 （C ）2

1

（D ）随P 点位置不同而有变化 5．椭圆1

2222=+b y a x (a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (－a , 0), B (0, b )，则椭圆的离心率为

（A ）

21

（B ）5

4 （C （D 6．设F 1(－c , 0), F 2(c , 0)是椭圆122

22=+b

y a x (a >b >0)的两个焦点，P 是以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且

∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率为 （A ）

3

1

6 （B ）

2

3 （C ）22 （D ）32

7．中心在原点，准线方程为y =±4，离心率为

2

1

的椭圆方程是 . 8．若椭圆

22189x y k +=+的离心率为e =2

1

，则k 的值等于 . 9．若椭圆的一短轴端点与两焦点连线成120°角，则该椭圆的离心率为 .

10．椭圆22

2

112x y m m

+=+的准线方程为 .

综合练习卷

1．离心率为

3

2

，长轴长为6的椭圆的标准方程是 （A ）22195x y += （B ）22195x y +=或22

159x y += （C ）

2213620x y += （D ）2213620x y +=或22

12036

x y += 2．椭圆22143x y +=上有n 个不同的点P 1, P 2, P 3,……, P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于1100

的等差数列，则n 的最大值为 （A ）199 （B ）200 （C ）198 （D ）201

3．点P 是长轴在x 轴上的椭圆122

22=+b

y a x 上的点，F 1, F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|

的最大值与最小值之差一定是

（A ）1 （B ）a 2 （C ）b 2 （D ）c 2

4．一个圆心在椭圆右焦点F 2，且过椭圆的中心O (0, 0)，该圆与椭圆交于点P ，设F 1是椭圆的左焦点，直线PF 1

恰和圆相切于点P ，则椭圆的离心率是 （A ）3－1 （B ）2－3 （C ）

22

（D ）2

3 5．椭圆短轴的两端点为B 1, B 2，过其左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的比例中项(O 为中心)，则

12||

||

PF OB 等于 （A ）2 （B ）22 （C ）2

3 （D ）32

6．如图，已知椭圆中心在原点，F 是焦点，A 为顶点，准线l 交x 轴于点B ，点P , Q

在椭圆上，且PD ⊥l 于D ，QF ⊥AO , 则椭圆的离心率是① ||||PF PD ；② ||||QF BF ；③ ||||AO BO ；④ ||||AF AB ；⑤ ||

||

FO AO ，其中正确的个数是

（A ）1个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 7．点P 与定点(1, 0)的距离和它到直线x =5的距离的比是

3

3

，则P 的轨迹方程为 . 8．椭圆122

22=+b

y a x (b >a >0)的准线方程是 ；离心率是 。

9．椭圆

22

14924

x y +=上一点P 与椭圆两焦点F 1, F 2的连线的夹角为直角，则Rt △PF 1F 2的面积为 . 3

11．若椭圆的一个焦点分长轴为3 : 2的两段，则其离心率为 .

12．椭圆122

22=+b

y a x (a >b >0)长轴的右端点为A ，若椭圆上存在一点P ，使∠APO =90°，求此椭圆的离心率的取

值范围。

圆的方程练习二

1．方程Ax 2+Ay 2+Dx +Ey +F =0(A ≠0)表示圆的充要条件是

（A ）D 2+E 2–4F >0 （B ）D 2+E 2–4F <0 （C ）D 2+E 2–4AF >0 （D ）D 2+E 2–4AF <0 2．已知圆的方程是x 2+y 2–2x +6y +8=0，则通过圆心的一条直线方程是 （A ）2x –y –1=0 （B ）2x +y +1=0 （C ）2x –y +1=0 （D ）2x +y –1=0 3．圆x 2+y 2=16上的点到直线x –y =3的距离的最大值是 （A ）

2

32 （B ）4–

2

32 （C ）4+

2

32 （D ）0

4．已知圆C 和圆C ’关于点(3, 2)成中心对称，若圆C 的方程是x 2+y 2=4，则圆C ’的方程是

（A ）(x –4)2+(y –6)2=4 （B ）(x +4)2+(y +6)2=4 （C ）(x –6)2+(y –4)2=4 （D ）(x –6)2+(y +4)2=4 5．已知圆x 2+y 2=4关于直线l 对称的圆的方程为(x +3)2+(y –3)2=4，则直线l 的方程为 （A ）y =x +2 （B ）y =x +3 （C ）y =–x +3 （D ）y =–x –3

6．设M ={(x , y )| y

y ≠0}, N ={(x , y )| y =x +b }，若M ∩N ≠?，则b 的取值范围是 （A ）–32≤b ≤32 （B ）–3≤b ≤32 （C ）0≤b ≤32 （D ）–30)关于直线y =2x 对称，则D 与E 的关系式为 . 8．两定点O (0, 0)和A (3, 0)，动点P 到点O 的距离与它到点A 的距离的比是2

1

，则点P 的轨迹方程是 __________________________ .

9

．圆的参数方程为21x y θ

θ

?=-+??=??，化成圆的一般方程是 ；圆心是 。

10．以A (2, 2), B (5, 3), C (3, –1)为顶点的三角形的外接圆的方程为 .

圆锥曲线知识点回顾1．椭圆的性质

2．双曲线的性质

3．抛物线中的常用结论

①过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1，y)，1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点，则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2

③设A，B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点，则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．

4．直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离

c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性

(2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否

存在两点关于直线对称）

5．二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析，这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

(2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。

(3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。

(4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

6．知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质：对称性、焦点、顶点、离率、准线、焦半径等

直线与圆锥曲线的位置关系

椭圆的简单几何性质

圆的方程练习二