椭圆的几何性质知识点归纳与典型例题与练习(付答案)
（一）椭圆的定义：
1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。
对椭圆定义的几点说明：
（1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；
（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：
22
222222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b
+=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，222a c b =+。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的
焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2项
的分母较大。
（二）椭圆的几何性质：
椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只
要22
22x y 1(a b 0)a b
+=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出22
22
y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：
几点说明：
（1）长轴：线段
12
A A，长为2a；短轴：线段
12
B B，长为2b；焦点在长轴上。
（2）对于离心率e，因为a>c>0，所以0 由于 222 2 1 c a b b e a a - ===-，所以e越趋近于1，b越趋近于0，椭圆越扁平；e 越趋近于0，b越趋近于a，椭圆越圆。 （3）观察下图， 22 ||,|| OB b OF c ==，所以 22 || B F a =，所以椭圆的离心率e = cos ∠OF2B2 （三）直线与椭圆： 直线l：0 Ax By C ++=（A、B不同时为0） 椭圆C： 22 22 x y 1(a b0) a b +=>> 那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下： 22 22 1 Ax By C x y a b ++= ? ? ? += ?? 消去y得到关于x的一元二次方程，化简后形式如下 20(0)mx nx p m ++=>， 24n mp ?=- （1）当0?>时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点； （2）当0?=时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）； （3）当0?<时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。 注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，那么线段AB 的 长度（即弦长）为||AB =k ， 可得：||AB ==12|x x -，然后我们可通过求出方程的 根或用韦达定理求出。 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1222??=c a c Θ ∴223a c =， ∴3 331-=e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+101222y a x y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2 111a x y M M +=-=， 4112===a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：a c x c a AF =-12 ， ∴ 11545x ex a AF - =-=． 同理 25 45x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+，且59= BF ， ∴ 5 1854554521=??? ??-+??? ?? -x x ， 即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为?? ? ?? +2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12121---=+-x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00， x ，代入上式，得 () 212221024x x y y x --=- 又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上， ∴ ()21212525 9x y -= () 22222525 9x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 25 3640-=-x ∴ 4 540590=--=x k BT ． 典型例题五 例5 已知椭圆13 42 2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在， 请说明理由． 解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得 2=a ，3=b ，∴1=c ，2 1= e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知： 1112 12x ex a MF -=-=， 1122 12x ex a MF +=+=． ∵212MF MF MN ?=， ∴()??? ??+??? ??-=+112 12122124x x x ． 整理得048325121=++x x ． 解之得41-=x 或5 121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明： （1）利用焦半径公式解常可简化解题过程． （2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断． （3）本例也可设() θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）． 典型例题六 例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点?? ? ??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为??? ? ?-=- 2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得 ()() 0232122212222=+-+--+k k x k k x k ． 由韦达定理得2 2212122k k k x x +-=+． ∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21- =k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ． 分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从 2021年高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质一教学案 新人教B版选修1 学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形． 知识点一椭圆的简单几何性质 已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x2 25＋ y2 16 ＝1，C2： y2 25 ＋ x2 16 ＝1. 思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2 椭圆具有对称性吗？ 思考3 椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？ 梳理 标准方程x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0) y2 a2 ＋ x2 b2 ＝1(a>b>0) 图形 性质 焦点 焦距 |F1F2|＝2c (c＝a2－b2) |F1F2|＝2c (c＝a2－b2) 范围 对称性关于________________对称 顶点 轴长轴长________，短轴长________ 思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？梳理(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝ c a ，叫做椭圆的____________． (2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近于1，椭圆越________，当e越接近于________，椭圆就越接近于圆． 类型一椭圆的几何性质 例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 引申探究 已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量． 跟踪训练1 设椭圆方程mx 2＋4y 2 ＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦 点坐标及顶点坐标． 类型二 求椭圆的离心率 命题角度1 焦点三角形的性质 例2 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正 三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________． 反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝ 1－b 2a 2 求解． 跟踪训练2 已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ， B 两点，若∠BAF 2＝60°，|AB |＝|AF 2|，则椭圆的离心率为________． 命题角度2 利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围) 例3 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． (2)若椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则 椭圆的离心率e 的取值范围是________． 反思与感悟 若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围． 跟踪训练3 已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且∠BAO ＋ ∠BFO ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆的离心率e ＝________. 椭圆的标准方程和几何性质练习题一 1. 若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( ) A ．a 2>b 2 B.1a <1 b C ．01 b >0，所以0b>0)。由点P(2,3)在椭圆上知2243a b +=1。又|PF 1|， |F 1F 2|，PF 2|成等差数列，则|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|，即2a=2×2c ， c 1 ,a 2= 又c 2=a 2-b 2，联立得a 2=8，b 2=6 3. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A ．23 B ．6 C ．43 D ．12 答案：C 如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，则△ABC 的周长为|AB |＋|AC |＋|BC |＝(|AB |＋|BF |)＋(|AC |＋|CF |)＝4a ＝43。 4. 已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e ∈????12，1，则实数m 的取值范围是( ) A. ????0，34 B. ????43，＋∞ C. ????0，34∪??? ?4 3，＋∞ D. ????34，1∪???? 1，43 答案：C 在椭圆x 2＋my 2＝1中，当0＜m ＜1时，a 2＝1m ，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1 m －1， （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下： 高中数学学案：椭圆的几何性质 1. 熟练掌握椭圆的几何性质,会利用几何性质解决简单的问题. 2. 能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系,并能够处理椭圆与其他曲线综合的简单问题. 1. 阅读：选修11第32～34页(理科阅读选修21相应内容). 2. 解悟：①椭圆中的基本量a,b,c满足关系a2＝b2＋c2,在图形中分别对应着什么？有怎样的几 何关系？②离心率是反映了椭圆形状的一个重要量,它与b a之间满足一个什么关系？求离心率 关键要寻找何种等式？③a－c,a＋c是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离吗？你能证明吗？ 3. 践习：在教材空白处完成选修11第34页练习第1、2、4题(理科完成选修21相应任务). 基础诊断 1. 若焦点在x轴上的椭圆x2 2＋ y2 m＝1的离心率为 1 2,则m＝ 3 2. 解析：因为焦点在x轴上的椭圆x2 2＋ y2 m＝1的离心率为 1 2,所以 2－m 2＝ 1 4,得m＝ 3 2. 2. 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为 3 2,且椭圆G上一点到两个焦点 的距离之和为12,则椭圆G的方程为x2 36＋ y2 9＝1. 解析：由题意知e＝ 3 2,2a＝12,所以a＝6,c＝33,所以b＝3,所以椭圆方程为 x2 36＋ y2 9＝1. 3. 若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线的距离是3. 解析：由题意知2b＝2,2a＝4b,所以b＝1,a＝2,所以c＝a2－b2＝3,则椭圆的中心到其准 线的距离是a2 c＝ 4 3 ＝ 43 3. 4. 过椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为其右焦点,若 ∠F1PF2＝60°,则椭圆的离心率为3Ｗ. 高考能力测试数学基础训练26 基础训练26 椭圆标准方程及几何性质 ●训练指要 熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质；会用待定系数法求椭圆方程. 一、选择题 1.椭圆中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，离心率为0.6，长、短轴之和为36，则椭圆方程为 A.164 1002 2=+y x B.1100 642 2=+y x C.1100 641641002 222=+=+y x y x 或 D.110 818102 222=+=+y x y x 或 2.若方程x 2＋ky 2＝2，表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 A.(0，＋∞) B.(0，2) C.(1，＋∞) D.(0，1) 3.已知圆x 2＋y 2＝4，又Q (3，0)，P 为圆上任一点，则PQ 的中垂线与OP 之交点M 轨迹为(O 为原点) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 二、填空题 4.设椭圆120 452 2=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则||PF 1|－|PF 2||＝_________. 5.(2002年全国高考题)椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0，2)，那么k =_________. 三、解答题 6.椭圆22 22b y a x +=1(a ＞b ＞0),B (0,b )、B ′(0,-b ),A (a ,0),F 为椭圆的右焦点，若直线AB ⊥ B ′F ,求椭圆的离心率. 7.在面积为1的△PMN 中，tan M =2 1,tan N =-2，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点 且过点P 的椭圆方程. 8.如图，从椭圆22 22b y a x +＝1(a ＞b ＞0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 及短轴的端点B 的连线AB ∥OM . (1)求椭圆的离心率e ； (2)设Q 是椭圆上任意一点，F 2是右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围； (3)设Q 是椭圆上一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程. 一. 教学内容： 椭圆的几何性质 二. 教学目标： 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 三. 重点、难点： 重点：椭圆的几何性质及初步运用． 难点：椭圆离心率的概念的理解． 四. 知识梳理 1、几何性质 （1）范围，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性 把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称 （3）顶点 在中，须令x＝0，得y＝±b，点B1（0，－b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1（－a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点A1（－a，0）、A2（a，0）、B1（0，－b）、B2（0，b）． ①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； ②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长； （4）离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义： 椭圆的焦距与长轴的比 椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴0＜e＜1． 当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁； 当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆； 椭圆的几何性质 一、概念及性质 1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”； 2.椭圆的通经： 3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式： 4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1. 5.直线与椭圆的位置关系： 6.椭圆的中点弦问题： 【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围． 题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于 5 3 . 【典例2】求椭圆40025162 2 =+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点， 且直线AP ，AQ 的斜率之积为2 1 -，则椭圆C 的离心率为（ ） A.22 B.21 C.42 D.4 1 【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长 为8，则椭圆的左顶点为( ) A ．(－3，0) B ．(－4，0) C ．(－10，0) D ．(－5，0) （2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4 5 ，则k 的值为( ) A ．－21 B ．21 C ．－1925或21 D ．19 25 或21 (3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ， B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆 C 的离心率等于________． 【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且 215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是 练习：如图，把椭圆 116 252 2=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PF PF PF +++Λ= 椭圆专题 一、选择题 1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为35的椭 圆的标准方程是( ) A.x 2100＋y 236＝1 B.x 2100＋y 264＝1 C.x 225＋y 216＝1 D.x 225＋y 29＝1 2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率 为( )A.12 B.13 C.14 D.22 3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0 8．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准 方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程． 9．(2014·菏泽高二检测)设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OP A ＝120°，求椭圆的离心率． 10．(2015·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭 圆的离心率是( )A.22 B.2－1C ．2－ 2 D.2－12 2．(2014·清远高二期末)“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12” 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(2015·济南历城高二期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点 P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________． 4．(2014·青海省西宁)已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 2 20＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF . (1)求点P 的坐标； (2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值． 椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 椭圆的简单几何性质 基础卷 1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >0 2．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为 （A ） 221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）22 11625 x y += 3．已知P 为椭圆 22 1916 x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ） 54 （B ）45 （C ）4 17 （D ） 7 4 7 4．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ） 23 （B ）33 （C ）3 16 （D ） 6 1 6 5．在椭圆122 22=+b y a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有 （A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ） 123111,,r r r 成等差数列 （D ）123 111 ,,r r r 成等比数列 6．椭圆 22 1925 x y +=的准线方程是 （A ）x =± 254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±25 4 7．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 . 8．对于椭圆C 1: 9x 2 +y 2 =36与椭圆C 2: 22 11612 x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆122 22=+b y a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = . 10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆22 11612 x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。 【学习目标】 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形； 2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图． 【自主学习】（认真自学课本P43-P46） 问题1：椭圆的标准方程22 221x y a b +=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？ 图形： 范围：x ： y ： 对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称； 顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）； 长轴，其长为 ；短轴，其长为 ； 离心率：刻画椭圆 程度． 椭圆的焦距与长轴长的比 c a 称为离心率， 记c e a = ，且01e <<． 问题2：类比问题1，回答椭圆22 1169 y x +=的几何性质。 【合作探究】 例1．（教材P46例4）求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 变式：若椭圆是22981x y +=呢？ 小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c； ②注意焦点所在坐标轴． 【目标检测】 1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴焦点在x轴上，6 a=， 1 3 e=； ⑵焦点在y轴上，3 c=， 3 5 e=； ⑶经过点(3,0) P-，(0,2) Q-； ⑷长轴长等到于20，离心率等于3 5 ． 2．若椭圆 22 1 5 x y m += 的离心率e=m的值是（）． A．3B．3或25 3 C D 3 ，离心率 2 3 e=的椭圆两焦点为 12 ,F F，过 1 F作直线交椭圆于,A B两点，则2 ABF ?的周长为（）．A．3B．6C．12D．24 【作业布置】 任课教师自定 $ 椭圆的几何性质习题 一、选择题(共60题) 1.圆6x + y =6的长轴的端点坐标是 A.(-1,0)?(1,0) B.(-6,0)?(6,0) C.(-6,0)?(6,0) D.(0,-6)?(0,6) 2.椭圆x + 8y =1的短轴的端点坐标是 A.(0,-42)、(0,42 ) B.(-1,0)、(1,0) C.(22,0)、(-2,0) D.(0,22)、(0,－ 22) 3.椭圆3x +2y =1的焦点坐标是 A.(0,－66)、(0,66) B.(0,-1)、(0,1) C.(-1,0)、(1,0) D.(-66,0)、(66 ,0) ; 4.椭圆122 2 2=+a y b x (a >b >0)的准线方程是 A. 2 2 2 b a a y +± = B. 2 2 2 b a a y -± = C. 2 2 2 b a b y -± = D. 222b a a y +± = 5.椭圆14922=+y x 的焦点到准线的距离是 A.559554和 B.5514559和 C.5514554和 D.5 514 6.已知F 1、F 2为椭圆122 2 2=+b y a x (a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若 △AF 1B 的周长为16，椭圆离心率 23 = e ,则椭圆的方程是 A.13422=+y x B.131622=+y x C.1121622=+y x D.14162 2=+y x 7.离心率为23 ,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是 | A.1422=+y x B.1422=+y x 或1422=+y x C.1 412 2 =+y x D.142 2=+y x 或1 16422=+y x 8.椭圆122 2 2=+b y a x 和k b y a x =+2222(k >0)具有 A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长?短轴 9.点A (a ,1)在椭圆1242 2=+y x 的内部,则a 的取值范围是 22 b >0)的离心率等于53，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋 转2π 后，所得的新椭圆的一条准线的方程y =316，则原来的椭圆方程是 / A.14812922=+y x B.16410022=+y x C.1162522=+y x D.1 9162 2=+y x 12.椭圆 14522 2++a y a x =1的焦点在x 轴上,则它的离心率的取值范围是 A.(0,51) B.(51,55)] C.??? ??55,0 D.???????1,55 13.椭圆1)6(4)3(2 2=++-m y x 的一条准线为7=x ，则随圆的离心率e 等于 A.21 B.22 C.23 D.41 14.已知椭圆的两个焦点为F 1?F 2,过F 2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A ?B ,则 三角形ABF 1的周长是 .24 C 15.已知椭圆的长轴为8，短轴长为43，则它的两条准线间的距离为 .16 C 2.2.2椭圆的几何性质导学案 学习目标 1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e 的几何意义 2 、通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题的。 3 、初步利用椭圆的几何性质解决问题。 学习重点与难点 学习重点：椭圆的几何性质 学习难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e 的关系 复习旧知 （1）椭圆的定义: . （2）椭圆的标准方程： 焦点在x 轴上时： .焦点在y 轴上时： . （3）椭圆中a,b,c 的关系是: . 学习过程 一、课内探究 探究一：观察椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的形状，你能从图形上看出它的范围吗？ 它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 1 、范围 ： （1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________。 椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________。 （2）由椭圆的标准方程)0(122 22>>=+b a b y a x 知： ① 22a x ____1,即____ ≤≤x ____ ，② 22 b y ____ 1；即____≤≤y ___ 因此)0(122 22>>=+b a b y a x 位于直线 和__________围成的矩形里。 2 、对称性 （1）从图形上看，椭圆关于_________，__________，__________对称 （2）从方程上看，在椭圆的标准方程)0(122 22>>=+b a b y a x 中 ① 把x 换成-x 方程不变，说明图像关于__________轴对称。 ②把y 换成-y 方程不变，说明图像关于__________轴对称。 ③把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，说明图形关于__________对称， 因此____________是椭圆的对称轴，_________是椭圆的对称中心， 椭圆的对称中心叫做___________。 3 、顶点： （1）椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有______个交点， 分别为：1A ( , ) 2A ( , ) 1B ( , ) 2B ( , ) （2）线段1A 2A 叫做椭圆的_______，其长度为__________ 线段1B 2B 叫做椭圆的________，其长度为__________ a 和b 分别叫做椭圆的________和___________ 探究二：同为椭圆为什么有些椭圆“圆”些，有些椭圆“扁”些？是什么因素影响 了椭圆的扁圆程度？ 4 、椭圆的离心率： （1）定义：______________________________叫做椭圆的离心率， 用 表示，即____________= （2）由于a >c >0，所以离心率e 的取值范围是_____________ （3）若e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越____，因而椭圆越_______;若e 越接近0，则c 越接近0，从而22c a b -=越____，因而椭圆越接近于 山西大学附中高二年级(上) 导学设计 编号52 椭圆及其简单几何性质(2) 【学习目标】 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质； 2．椭圆与直线的关系． 【学习重点】椭圆与直线的关系 【学习难点】椭圆与直线的关系 【学习过程】 一、导学 复习1：椭圆22 11612 x y +=的焦点坐标是（ ）（ ）；长轴长 、短轴长 ；离心率 ． 复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？ 探究： 问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？ 问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？ 反思：点与椭圆的位置如何判定？ 二、导练 例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门 位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另 一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求 截口BAC 所在椭圆的方程． 变式：若图形的开口向上，则方程是什么？ 小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在 坐标轴． 例2 已知椭圆22 1259 x y +=，直线l ：45400x y -+=。椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？ 变式：最大距离是多少？ 练1已知地球运行的轨道是长半轴长81.5010a km =?，离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离． . 课时作业(八) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为3 5 的椭圆的标准方程是( ) ＋y 236＝1 ＋ y 2 64 ＝1 ＋y 2 16 ＝1 ＋y 2 9 ＝1 【解析】 本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b ＝8，得 b ＝4，所以b 2 ＝a 2 －c 2 ＝16，又e ＝c a ＝3 5 ，解得c ＝3，a ＝5，又 焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 2 16 ＝1，故选C. $ 【答案】 C 2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ) 【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝1 2 . 【答案】 A 3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2 25－k ＝1(0 A ．有相等的焦距，相同的焦点 ） B ．有相等的焦距，不同的焦点 C ．有不等的焦距，不同的焦点 D ．以上都不对 【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋ y 2 25－k ＝1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B. 【答案】 B 4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2 3＝1的一个焦点，过F 且 与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( ) B ．－513 D ．－21313 # 【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3， 故c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. 不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 2 3 ＝1， 解得y 0＝±3 2 ， 所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12 ＋? ?? ??322＝132. 由余弦定理知 cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |2 2|OM ||ON | ＝ 椭圆的简单几何性质学习案 一、课程阅读学习目标 1．通过阅读椭圆标准方程和图形，使学生掌握椭圆的几何性质. 2．认真研读椭圆的几何性质，理解实质。 3．掌握椭圆的几何性质的简单运用 二、阅读学习建议 1．认真阅读椭圆的几何性质 2．认真研读重点性质 3．阅读难点是离心率 第一课时 1 阅读椭圆标准方程和图形， 猜想：椭圆有哪些几何性质 2研读教材 (1)对称性 问题1：请同学们观察刚才这个图形在x轴的上方、下方，y轴的左侧、右侧有怎样的关系呢？ 问题2;一般的椭圆是否也具有这种对称性，你能根据方程来进行研究吗？ 对称性:在上任取一点P（x,y）则P点关于x轴、y轴和坐标原点的对称点分别是（x,-y）（-x，y）、（-x，-y），而代入方程知这三个对称点都适合方程，即点P关于x轴、y 轴和坐标原点的对称点仍然在椭圆上，可得结论。 总结： （2）顶点 （大屏幕展示所表示的图形） 问题3：请同学们继续观察这个椭圆与坐标轴有几个交点呢？一般的椭圆与坐标轴有几个交点呢？ 问题4：你能根据方程求得四个交点的坐标吗？ 总结;顶点的定义,结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长半轴长、短半轴长，点明方程中a、b的几何意义。 （3）范围 问题5：（据图）如果过、、分别作y轴的平行线，过、分别做x 轴的平行线，则这四条直线将构成___________, 椭圆在矩形__________这说明了椭圆有____________,x、y的范围_____________________ ______; （4）离心率 通过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即它围在一个矩形框内。有了前面这几个性质，我们就可以很快地作出焦点在x轴上的椭圆的草图了教师在黑板上示范作图（先找到标准方程所表示的椭圆与坐标轴的四个交点，画出矩形框，光滑曲线连接，并注意对称性） 练习：请同学们根据这种作图方法，在同一坐标系下画出方程和所示的椭圆，并思考这两个椭圆的形状有何不同？ 实物展台展示画图，指出一个扁一些，一个圆一些。 第52讲椭圆的几何性质 一、课程标准 1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质 2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围 3、掌握直线与椭圆的位置关系 二、基础知识回顾 1、椭圆的标准方程和几何性质 2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2)y2 a2＋x2 b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积 为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)中 (1)当P 为短轴端点时，θ最大． (2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ 2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． 4、．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|； (2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0 a 2y 0. 5、直线与椭圆的关系 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 再求一元二次方程的判别式Δ，当： ①Δ>0?直线与椭圆相交； ②Δ＝0?直线与椭圆相切； ③Δ＜0?直线与椭圆相离． 6、设直线l 与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，k 为直线l 斜率，则AB ＝（1＋k 2）|x 1－x 2|． 三、自主热身、归纳总结 1、直线y ＝kx －k ＋1(k 为实数)与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的位置关系为( ) A . 相交 B . 相切 C . 相离 D . 相交、相切、相离都有可能 【答案】A 【解析】 直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1，1)．∵点(1，1)在椭圆内部，∴直线与椭圆相交．故选A . 第2题图 椭圆及其标准方程 1。平面内 ，叫做椭圆。 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距。 2。根据椭圆的定义可知：集合{} A MF MF M P 221=+=， 0,0,221>>=c a c F F ，且c a , 为常数。当 时，集合P 为椭圆；当 时，集合P 为线段； 当 时，集合P 为空集。 3。焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 。 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 。 其中c b a ,,满足关系为 。 练习1判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a 2、b 2 ，写出焦点坐标 练习2将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标 练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上； ⑵4,a b ==y 轴上； ⑶10,a b c +== 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点53,22??- ??? ，求它的标准方程. 1162522 =+y x 1169 14422=+y x 11 2222=++m y m x 022525922=-+y x 13222-=--y x 0 ,,22<=+C B A C By Ax 例2 在圆x 2+y 2 =4上任取一点P ，向x 轴作垂线段PD ，D 为垂足。当点P 在圆上运动时，求线段PD 中点M 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程. 例3 设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点 M ，且它们的斜率之积是4 9 -，求点M 的轨迹方程. .知识小结： 1、椭圆的定义（强调2a>|F 1F 2|）和椭圆的标准方程 2、椭圆的标准方程有两种，注意区分 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 4、求椭圆标准方程的方法 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴焦点在x 轴上，焦距等于4 ，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=. 椭圆的简单几何性质1 展示课（时段：正课时间： 40分钟（自研）+60分钟（展示））学习主题： 1、能根据椭圆的标准方程推导出椭圆的简单几何性质 2、理解椭圆离心率对椭圆扁平程度的影响 【主题定向·五环导学·展示反馈】 课 堂结构 课程结构 自研自探合作探究展示表现总结归纳 自学指导 （内容·学法） 互动策略 （内容·形式） 展示主题 （内容·方式） 随堂笔记 （成果记录·同步演 练） 概念认知·例题导析前面我们学习了椭圆的标准方 法，类比圆，那么椭圆有哪些基 本性质呢？ 主题二：概念认知 （文）选1-1的第37-40页 （理）选2-1的第43-46页 【学法指导】 认真自研书本椭圆的几何性质， 并回答下列问题，请将你的思考 结果记于右侧的随堂笔记中. （1）观察椭圆 的形状，你能从这个图中看出变 量x,y的取值范围吗？它是对 称图形吗？若是请说说它的对 称中心与对称轴. （2）图中椭圆与两个坐标轴有 哪几个交点？请你根据椭圆的 方程得出椭圆与x轴，y轴交点 师友对子 （5分钟） 迅速找到自 己的师友小 对子，对自学 指导内容进 行交流： ①椭圆的范 围； ②椭圆的对 称性； ③椭圆的顶 点与离心率 检测性展示 （15分钟） 导师就师友对 子成果进行双 基反馈性检效 展示，以抽查 形式展开 （检查学生自 研的完成度） 【重点识记】 （1）x,y的取值范 围： 对称中 心：；对称 轴 （2）与x轴两个交 点及坐标 与y轴两个交点及 坐标： 长轴长 为：；短 轴长为： （3）离心率定义： ；它 的取值范围： 四人共同体 （10分钟） 小组任务 主题性展示 （15分钟） 例题导析 )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x2021年高中数学第二单元圆锥曲线与方程.1.椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修1
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