椭圆的简单几何性质典型例题.doc
VIP 免费 欢迎下载
典型例题一
例 1 椭圆的一个顶点为
A 2，0 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程．
分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（ 1）当 A 2，0 为长轴端点时，
a 2 ，
b 1，
椭圆的标准方程为：
x 2 y 2 1 ；
4
1
（ 2）当 A 2，0 为短轴端点时， b 2
， a 4 ，
椭圆的标准方程为：
x 2 y 2 1 ；
4
16
说明：椭圆的标准方程有两个， 给出一个顶点的坐标和对称轴的位置， 是不能确定椭圆
的横竖的，因而要考虑两种情况．
典型例题二
例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
解： 2c
a 2 2
1
∴ 3c 2
a 2 ，
c
3
∴ e
1
3
．
3
3
说明： 求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求
a ，求
c ，再求比．二是列
含 a 和 c 的齐次方程，再化含
e 的方程，解方程即可．
典型例题三
例 3
已知中心在原点， 焦点在 x 轴上的椭圆与直线
x y 1 0 交于 A 、B 两点， M
为 AB 中点， OM 的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为
2，求椭圆的方程．
解： 由题意，设椭圆方程为
x 2 y 2 1，
a 2
x y 1 0
2
由，得 1 a x 2 2 2 x 0 ，x 2 y2 a
1
a2
∴ x M x1 x2 1 a2
，y M 1 x M
1
，2 a2 1 a2
k OM y M 1 1
，∴ a2 4 ，
x M a 2 4
∴ x2 y2 1 为所求．
4
说明：（ 1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
例4椭圆x2 y 2
1 上不同三点 A x1， y1
9
， C x2， y2 与焦点 F 4，0 25 9
，B 4，的
5
距离成等差数列．
（1）求证x1x28；
（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．证明：（ 1）由椭圆方程知 a 5 ， b 3 ， c 4 ．
由圆锥曲线的统一定义知：AF c ，
a2 a
x1
c
∴AF a ex1 5 4 x1．
5
同理CF 5 4
x2．
5
9
∵AF CF 2BF ，且 BF ，
5
∴
5 4
x1 5
4
x2
18
，5 5 5
即x1 x2 8 ．
（ 2）因为线段AC的中点为
y1 y2
，所以它的垂直平分线方程为4，
2
y y1 y2 x1 x
2 x 4 ．
2 y1 y2
又∵点 T 在x轴上，设其坐标为x0，0 ，代入上式，得
x0 4
y12 y22 2 x1 x2
又∵点 A x1， y1， B x2， y2都在椭圆上，
∴y129
25 x12 25
y22 9 25 x22
25
9
∴ 2 2
y1 y2 25x
1
x
2
x
1
x
2
．
将此式代入①，并利用x1x28 的结论得
x0 4 36 25
9
0 5
5
．
∴ k BT
x0 4
4
典型例题五
例 5 已知椭圆x
2 y 2 1 ， F
1、 F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到
4 3
左准线 l 的距离 MN 是 MF1 与 MF2 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设 M 存在，设M x1， y1 ，由已知条件得
a 2 ，
b 3 ，∴
c 1 ， e 1 ．
∵左准线 l 的方程是 x 4 ，
2 ∴MN 4 x1．
又由焦半径公式知：
MF1 a ex1 2 1
x1，2
MF2 a ex1
1
x1．2
2
∵ MN 2
MF1 MF2 ，
∴ x1 4 2 2 1
x1 2
1
x1．2 2
整理得 5x12 32 x1 48 0 ．
解之得 x1 4 或x1 12
．①5
另一方面 2 x1 2 ．②
则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．
说明：
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．
（3）本例也可设M 2 cos，3 sin存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．
典型例题六
例 6 已知椭圆x2
y 2 1 ，求过点 P
1 1 P
平分的弦所在的直线方程．2 2
，且被
2
分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求 k ．
解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y 1
k x
1
2
．代入椭圆方程，并
2
整理得
1 2k
2 x2 2k 2 2k x 1 k2 k
3 0 ．
2 2
由韦达定理得 x1 x2 2k 2 2k
．1 2k 2
∵ P 是弦中点，∴x1 x2 1．故得k 1 ．2
所以所求直线方程为2x 4y 30 ．
分析二：设弦两端坐标为x1， y1 、 x2， y2，列关于 x1、 x2、 y1、 y2的方程组，从
而求斜率：y
1
y2 ．x1 x2
解法二：设过 P 1 1
A x1， y1 、
B x2， y2
2
，的直线与椭圆交于，则由题意得2
x12 y12 1，①
2
x22 y22 1，②
2
x1 x2 1，③
y1 y2 1. ④
①－②得 x12 x22 y12 y22 0 ．⑤
2
将③、④代入⑤得y1 y2 1
，即直线的斜率为 1 ．
x1 x2 2 2
所求直线方程为2x 4y 30 ．
说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中
点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法” ．有关二次曲线问题也适用．
典型例题七
例 7 求适合条件的椭圆的标准方程．
（ 1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点2，6 ；
（ 2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．
分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由x
2 y2 1 求出 a 2 148 ，
a 2 b2
b2 37 ，在得方程x2 y2 1后，不能依此写出另一方程y2 x2 1．
148 37 148 37
解：（ 1）设椭圆的标准方程为x2 y2 1或 y2 x2 1．
a2 b2 a 2 b2
由已知 a 2b ．①
又过点2， 6 ，因此有
22 6 2
1 或6
2 22
1．②
2 2 2 2
a b a b
由①、②，得a2 148 ，b2 37 或 a 2 52 ， b2 13 ．故所求的方程为
x2 y2 1或 y 2 x2 1 ．
148 37 52 13
（ 2）设方程为x2 y2 1．由已知，c 3 ， b c 3，所以a2 18 ．故所求方程a2 b2
为 x2 y 2 1 ．
18 9
说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置
是否确定，若不能确定，应设方程x2 y2 1或 y2 x2 1．
a2 b2 a 2 b2
典型例题八
例 8 椭圆x
2 y2 1 的右焦点为F，过点 A 1，
3 ，点M在椭圆上，当AM 2 MF 16 12
为最小值时，求点M 的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率 e 1
2 MF 转化为 M 到右准线的距离，从而得，把
2
最小值．一般地，求AM 1
MF 均可用此法．e
1
解：由已知： a 4 ， c 2 ．所以，右准线
e
l ：x 8 ．
2 过A作AQ l ，垂足为 Q ，交椭圆于M，故MQ 2 MF ．显然 AM 2 MF 的最小值为AQ ，即 M
为所求点，因此 y M 3
，且 M 在椭圆上．故x M 2 3．所以M2 3，3．
说明：本题关键在于未知式 AM 2 MF 中的“2”的处理．事实上，如图，1 e，2
即 MF 是 M 到右准线的距离的一半，即图中的 MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到 A 的距离与到右准线距离之和取最小值．
典型例题九
例 9 求椭圆x
2 y2 1 上的点到直线x y 6 0 的距离的最小值．3
分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．
解：椭圆的参数方程为x 3 cos ，
3 cos ，sin ，则点到
设椭圆上的点的坐标为
y sin .
直线的距离为
3 cos sin 6 2 sin 6
3
d ．
2 2
当 sin1时，d最小值 2 2 ．
3
说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
典型例题十
例 10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率
3 3
到
e ，已知点 P 0，
2 2
这个椭圆上的点的最远距离是7 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7 的点的坐标．
分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求 d 的最大值时，要注意讨论 b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要
善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结
合的思想，提高逻辑推理能力．
解法一： 设所求椭圆的直角坐标方程是
x 2 y 2 1，其中 a
b 0 待定．
a 2 b
2
2
2
2
1
b
2
由 e 2
c
2
a 2 b
2 可得
a
a
a
b 1 e
2
1
3 1
，即 a 2b ．
a
4 2
设椭圆上的点 x ， y 到点 P 的距离是 d ，则
3 2
y
2
9
d 2
x
2
y
a 2
y
2 3y
2
1
4
b 2
9
1 2
4b 2 3y 2 3y
3 y
4b 2 3
4
2
其中 b y b ．
如果 b
1 ，则当 y b 时， d
2 （从而 d ）有最大值．
2
2
3 2
3 1 1
由题设得
7
b
，由此得 b
7
矛盾．
2
2
2
，与 b
2
因此必有 b
1 成立，于是当 y 1 时， d 2
（从而 d ）有最大值．
2
2
由题设得
7 2
b 2 3 b 1
a 2
，可得 ， ．
4
∴所求椭圆方程是
x 2 y 2
4
1 ．
1
由 y
1 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点 3，
1
，点
2
2
3 P 0，
的距离是
7．
2
3，
1
到点
2
x a cos
解法二： 根据题设条件，可取椭圆的参数方程是
，其中 a b 0 ，待定，
y bsin
0 2 ， 为参数．
由 e 2c
2
a 2
b 2
b 2
1 可得 a 2
a 2 a
b 1 e
2
1
3 1
，即 a 2b ．
a
4 2
设椭圆上的点
x ， y
3 的距离为 d ，则
到点P0，
2
2
2
d 2 x 2
y 3
a 2 cos 2
b sin
3
2
2
4b 2
3b 2
2
3b s i n 9
s i n
4
1 2
3b 2 s i n
4b 2 3
2b
如果
1 1，即 b 1 ，则当 sin 1 时， d
2 （从而 d ）有最大值．
2b
2
2
3
2
3 1 1
1 由题设得
7
b
，由此得 b
7
2
2
，与 b
矛盾，因此必有
1
2
2
2b
成立．
于是当 sin
1 时 d
2 （从而 d ）有最大值．
2b
由题设知
7 2
b 2 3 ，∴ b 1 ， a 2 ．
4
∴所求椭圆的参数方程是 x 2 cos ．
y sin
由 sin
1 ， cos 3 ，可得椭圆上的是
3，
1
，
3，
1
．
2
2
2
2
典型例题十一
例 11 设 x ， y
R ， 2x 2
3 y 2 6 x ，求 x 2 y 2 2 x 的最大值和最小值．
分析： 本题的关键是利用形数结合，观察方程 2 x 2 3y 2
6x 与椭圆方程的结构一
致．设 x 2
y 2 2x m ，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关
系求得最值．
解： 由 2 x 2 3y 2
6x ，得
3 2
x
y 2
2 1 9 3
4 2
可见它表示一个椭圆，其中心在3，
点，焦点在x 轴上，且过（ 0， 0）点和（ 3， 0）
2
点．
设 x 2y22x m ，则
x 1 2y2m 1
它表示一个圆，其圆心为（－1， 0）半径为m 1 m 1 ．
在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即m 1 1，此时m 0 ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即m 1 4，∴m 15．
∴ x 2 y2 2 x的最小值
为0，最大值为 15．
典型例题十二
例 12 已知椭圆
x2 y 2
1 a b 0 ，A、B是其长轴的两个端点．C：2
b
2
a
（ 1）过一个焦点F
作垂直于长轴的弦
PP b APB 120 ．
，求证：不论 a 、如何变化，
（ 2）如果椭圆上存在一个点Q ，使AQB 120 ，求C的离心率 e 的取值范围．
分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB 和AQB 的正切值出发做出估计，因
此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（
2）问中，其关键是根据什么去列出离心率
e 满足
的 不 等 式 ， 只 能 是 椭 圆 的 固 有 性 质 ： x
a ， y
b ， 根 据 AQB 120 得到
2ay
，将
2 2
a 2
2
b
y
y b
2
2
2
3
x
a
2 y
，以便利用 x y a
b
代入，消去 x ，用 a 、 、c 表示
列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．
解：（ 1）设 F c ，0 ， A a ，0 ， B a ，0 ．
x c
b 2 b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2
P c ，
a
于是 k AP
b 2 ， k BP
b 2 ．
a c a
a c a
∵
APB 是 AP 到 BP 的角．
b 2
b 2 2a 2 a
c a
a c a ∴
tan APB
b 4
c 2
1
2 c 2
a 2
a
∵ a 2 c 2
∴ tan APB 2
故 tan APB
3
∴
APB 120 ．
（ 2）设 Q x ， y ，则 k QA
y ， k QB
y x
a ．
x a
由于对称性，不妨设 y 0 ，于是
AQB 是 QA 到 QB 的角．
y y 2ay ∴ tan
AQB
x a x a
y 2
x 2
y 2 a 2
1
x 2
a 2
∵ AQB
120 ， ∴
2ay 3
x
2
y
2
a
2
整理得
3 x 2
y 2
a 2
2 0
ay
∵ x 2
a 2 a
2 y 2
b 2
2
a
∴
3 1
2
y 2 2ay 0
2ab 2 ∵ y
0 ， ∴ y
3c 2
∵ y b ， ∴
2ab 2
b 3
c 2
2ab
3c 2 ， 4a 2 a 2 c 2
3c 2
∴ 4c 4 4a 2 c 2 4a 4
0 ， 3e 4 4e 2
4 0 ∴ e 2 3 或 e 2
2 （舍），∴
6 e 1．
2
3
典型例题十三
例 13 已知椭圆
x 2 y 2 的离心率 1 ，求 k 的值．
k
1 e
8 9
2
分析： 分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在 x 轴上时， a
2
k 8 ，b 2 9 ，得 c 2
k 1 ．由 e 1 ，得 k 4 ．
2
当椭圆的焦点在 y 轴上时， a 2 9 ， b 2 k 8 ，得 c 2
1 k ．
由 e
1 ，得 1 k
1
，即 k
5 ．
2 9
4
4
∴满足条件的 k
4
5
．
或 k
4
k 8 与 9
说明： 本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为 的大小关系不定，所以椭
圆的焦点可能在 x 轴上，也可能在
y 轴上．故必须进行讨论．
典型例题十四
例 14
已知椭圆 x
2
y 2 1上一点 P 到右焦点 F 的距离为
b (b 1)
，求 P 到左准线
4b
2
b
2
2
的距离．
分析： 利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
解法一： 由
x 2
y 2 1 ，得 a 2b ， c
3b ， e
3 ．
4b 2
b 2
2
由椭圆定义， PF 1
PF 2 2a 4b ，得
PF 1 4b PF 2 4b b 3b ．
由椭圆第二定义，
PF 1
e ， d 1 为 P 到左准线的距离，
d 1
PF 1 2
3b ，
∴ d 1
e
即 P 到左准线的距离为
2 3b ．
PF 2 e ， d 2 为 P 到右准线的距离， c 3 解法二： ∵
e
，
d 2
a
2
PF 2 2
3
b ．
∴ d 2
e
3
又椭圆两准线的距离为
2 a 2
8 3
b ．
c 3
∴ P 到左准线的距离为
8 3 b 2 3
b 2
3b ．
3
3
说明： 运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解． 椭圆有两个定义， 是从不同的角度反映椭圆的特征， 解题时要灵活选择， 运用自如． 一般地，
如遇到动点到两个定点的问题， 用椭圆第一定义； 如果遇到动点到定直线的距离问题，
则用
椭圆的第二定义．
典型例题十五
x 4 cos ,
POx ，求
例 15 设椭圆
2 ( 为参数 )上一点 P 与 x 轴正向所成角
y
3 sin .
3
P 点坐标．
POx 之间的关系求解．
分析： 利用参数
与
解： 设 P( 4cos , 2 3 sin ) ，由 P 与 x 轴正向所成角为
3 ，
∴ tan
2 3 sin ，即 tan 2 ．
4 cos
3
而 sin
0 ， cos
0 ，由此得到 cos
5 2 5
， sin
，
5
5
∴ P 点坐标为 (
4 5 ,
4 15
)．
55
典型例题十六
例 16 设 P(x0 , y0 ) 是离心率为 e 的椭圆x
2 y2 1 (a b 0) 上的一点，P到左焦a2 b2
点 F1和右焦点 F2的距离分别为 r1和 r2，求证： r1 a ex0， r2 a ex0．
分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．
解： P 点到椭圆的左准线
a2
的距离， PQ x0
a2 l： x ，
c c
由椭圆第二定义，PF1
e，PQ
∴
r1 e PQ a ex0，由椭圆第一定义，r22a r1 a ex0．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．
典型例题十七
例 17 已知椭圆 x2 y 2 1 内有一点 A(1 ,1) ， F1、 F2分别是椭圆的左、右焦点，点
9 5
P是椭圆上一点．
(1) 求 PA PF1的最大值、最小值及对应的点P 坐标；
(2) 求 PA 3
P 的坐标．PF2的最小值及对应的点
2
分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解
决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．
解：
(1) 如 上 图 ， 2a
6 ， F 2 ( 2 , 0) ， AF 2
2 ， 设 P 是 椭 圆 上 任 一 点 ， 由 PF 1 PF 2 2a 6 ，
PA
PF 2 AF 2
，
∴
PA PF 1 PF 1 PF 2 AF 2 2a AF 2 6
2 ，等号仅当 PA PF 2 AF 2 时成
立，此时 P 、 A 、 F 2共线．
由 PA
PF 2 AF 2 ，∴ PA PF 1 PF 1 PF 2 AF 2
2a AF 2
6
2 ，等
号仅当 PA
PF 2
AF 2 时成立，此时 P 、 A 、 F 2共线．
建立 A 、 F 2 的直线方程 x y
2
x y 2 0,
0 ，解方程组
9 y 2 得两交点
5x 2 45
9 15 5 15 9 15 5
15
P 1(
714
2,
7 14
2)、 P 2
(
714
2,
7 14 2 ) ．
综上所述，
P 点与 P 1 重合时，
PA PF 1 取最小值 6
2 ， P 点与 P 2重合时，
PA
PF 2 取最大值 6
2 ．
(2)如下图，设 P 是椭圆上任一点， 作 PQ 垂直椭圆右准线， Q 为垂足，由 a 3，c 2 ，
2
PF 2 2 3 PF 2
∴ e
．由椭圆第二定义知
PQ
e
，∴ PQ ， ∴
3
3
2
PA
3
PF 2
PA PQ ，要使其和最小需有 A 、 P 、Q 共线，即求 A 到右准线距离． 右
2
9
准线方程为
x
．
2
∴ A 到右准线距离为
7
．此时 P 点纵坐标与 A 点纵坐标相同为 1，代入椭圆得满足条
2
件的点 P 坐标 (
6 5
,1)．
5
说明：求 PA
1
PF 2 的最小值，就是用第二定义转化后， 过 A 向相应准线作垂线段． 巧
e
用焦点半径 PF 2 与点准距 PQ 互化是解决有关问题的重要手段．
典型例题十八
2
2
例 18 (1) 写出椭圆
x
y
1 的参数方程；
9
4
(2) 求椭圆内接矩形的最大面积．
分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用． 为简化运算和减少未知数的个数， 常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．
解： (1)
x 3cos
R) ．
y
(
2 sin
(2) 设椭圆内接矩形面积为
S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于
x 轴和 y 轴，设
(3 cos , 2 sin ) 为矩形在第一象限的顶点， (0
) ， 则 S 4
3cos 2 sin 12sin 2 12
2
故椭圆内接矩形的最大面积为
12．
说明： 通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题， 一般地， 与圆锥曲线有关的最
值问题，用参数方程形式较简便．
典型例题十九
例 19 已知 F 1 ， F 2 是椭圆的两个焦点，
P 是椭圆上一点，且 F 1PF 2 60 ．
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证
PF 1F 2 的面积与椭圆短轴长有关．
分析： 不失一般性，可以设椭圆方程为
x 2 y 2 1（ a b 0 ）， P( x 1 , y 1 ) （ y 1 0 ）．
a
2
b
2
思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即
tan 60
K
PF 2
K
PF 1
3 ，设
1 K PF 2
K
PF 1
P( x 1 , y 1 ) ， F 1 ( c , 0) ， F 2 (c , 0) ，化简可得 3x 1 2
3y 12 2cy 1
3c 2
0 ． 又
x 1 2 y 1 2 1，两方程联立消去 x 12 得 3c 2 y 12 2b 2
cy 1 3b 4 0
，由 y 1 (0 , b] ，可以
a 2
b 2
确定离心率的取值范围；解出
y 1 可以求出 PF 1F 2 的面积，但这一过程很繁．
思路二： 利用焦半径公式
PF 1 a ex 1 ， PF 2 a ex 1 ，在 PF 1 F 2 中运用余弦定理，
求 x 1 ，再利用 x 1 [ a , a] ，可以确定离心率 e 的取值范围，将 x 1 代入椭圆方程中求 y 1 ，便 可求出 PF 1 F 2 的面积．
思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合
PF 1 PF 2 2a 求解．
解：(法 1)设椭圆方程为
x 2 y 2 1（ a b 0 ），P( x 1 , y 1 ) ， F 1 ( c , 0) ， F 2 (c , 0) ，
a
2
b
2
c 0 ，
则 PF 1 a ex 1 ， PF 2 a ex 1 ． 在 PF 1 F 2 中，由余弦定理得
cos60
1 ( a ex 1)
2 ( a ex 1)2 4c 2 2
2( a ex 1 )( a ex 1) ，
2
2
解得 x 1
2
4c a ．
3e 2
(1)∵ x 12
(0 , a 2 ] ，
∴ 0
4c 2 a 2 a 2 ，即 4c 2 a 2 0 ．
3e 2
c 1
∴ e ．
a 2 1
,1)．
故椭圆离心率的取范围是 e [
2
(2)将x12 4c2 a2 代入 x2 y 2 1得
3e2 a2 b2
y12b 4
b
2
2
，即 y1 ．3c 3c
∴S
PF1F2 1
F1F2 y 1 2c b2 3 b2．2 2 3c 3
即 PF1 F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(法 2)设PF1 m ， PF2 n ，PF2F1 ， PF1F2 ，则120 ．
(1)在PF1F2中，由正弦定理得
m n 2c
．
sin sin sin 60
∴m n 2c
sin sin 60
sin
∵m n 2a ，
∴
2a 2c
，sinsin sin 60
∴ e c sin 60 sin 60
a sin sin 2 sin cos
1 1 ．
2 2 2 cos 2
2
当且仅当时等号成立．
故椭圆离心率的取值范围是 e [1
,1) ．2
(2)在PF1F2中，由余弦定理得：(2c)2 m2 n2 2mn cos60
m2n2mn
(m n) 23mn
∵m n 2a ，
∴ 4c2 4a2 3mn ，即mn 4 ( a2 c2 ) 4 b2．
3 3
∴S
PF1F2 1
mnsin 60 3 b2．2 3
即 PF1 F2的面积与椭圆短轴长有关．
说明：椭圆上的一点P 与两个焦点F1，F2构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有
关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现
PF1PF2的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关 a ， c 的关系式，使问题找到解决思路．
典型例题二十
例 20 椭圆x
2
y
2 1 ( a b 0) 与 x 轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P ，
a 2 b2
使 OP AP ( O 为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．
分析：∵ O 、 A 为定点， P 为动点，可以 P 点坐标作为参数，把 OP AP ，转化为 P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于 a 、b、 c 的一个不等式，转化为关于
e的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．
解：设椭圆的参数方程是x a cos
(a b 0) ，y b sin
则椭圆上的点 P(a cos , b sin ) ， A(a , 0) ，
∵ OP AP ，∴b sin
bsin 1，a cos a cos a
即 (a 2 2 2
a 2 cos
b 2 0 ，解得cos 1或cos
b2
b ) cos 2
b
2 ，
a
∵ 1 cos 1 ∴ cos 1 （舍去）， 1 b2 1 ，又b2 a2 c2
a2 b2
∴ 0 a 2
2 ，
c 2
∴ e
2 e 1，∴
2
，又 0
e 1．
2
2
说明： 若已知椭圆离心率范围 ( 2
, 1) ，求证在椭圆上总存在点
P 使OP AP ．如何
2
证明？
2021年高中数学第二单元圆锥曲线与方程.1.椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修1
2021年高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质一教学案 新人教B版选修1 学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形． 知识点一椭圆的简单几何性质 已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x2 25＋ y2 16 ＝1，C2： y2 25 ＋ x2 16 ＝1. 思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2 椭圆具有对称性吗？ 思考3 椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？ 梳理 标准方程x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0) y2 a2 ＋ x2 b2 ＝1(a>b>0)
图形 性质 焦点 焦距 |F1F2|＝2c (c＝a2－b2) |F1F2|＝2c (c＝a2－b2) 范围 对称性关于________________对称 顶点 轴长轴长________，短轴长________ 思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？梳理(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝ c a ，叫做椭圆的____________． (2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近于1，椭圆越________，当e越接近于________，椭圆就越接近于圆． 类型一椭圆的几何性质 例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 引申探究 已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量． 跟踪训练1 设椭圆方程mx 2＋4y 2 ＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦 点坐标及顶点坐标． 类型二 求椭圆的离心率 命题角度1 焦点三角形的性质 例2 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正 三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________． 反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝ 1－b 2a 2 求解． 跟踪训练2 已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ， B 两点，若∠BAF 2＝60°，|AB |＝|AF 2|，则椭圆的离心率为________． 命题角度2 利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围) 例3 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． (2)若椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则 椭圆的离心率e 的取值范围是________． 反思与感悟 若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围． 跟踪训练3 已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且∠BAO ＋ ∠BFO ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆的离心率e ＝________.
立体几何证明题定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l α βαβ∈?=∈且 ！ 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， ） 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 二、平行关系 - 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 1.线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言： ////a b a a b ααα???????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3） 符号语言：////a b a a b βαβα??????=? 图形语言： 2.面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） 符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? 图形语言： ! 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5） 符号语言：,,//oo oo ααββ???? ⊥⊥ 图形语言：
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：
高中数学学案：椭圆的几何性质
高中数学学案：椭圆的几何性质 1. 熟练掌握椭圆的几何性质,会利用几何性质解决简单的问题. 2. 能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系,并能够处理椭圆与其他曲线综合的简单问题. 1. 阅读：选修11第32～34页(理科阅读选修21相应内容). 2. 解悟：①椭圆中的基本量a,b,c满足关系a2＝b2＋c2,在图形中分别对应着什么？有怎样的几 何关系？②离心率是反映了椭圆形状的一个重要量,它与b a之间满足一个什么关系？求离心率 关键要寻找何种等式？③a－c,a＋c是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离吗？你能证明吗？ 3. 践习：在教材空白处完成选修11第34页练习第1、2、4题(理科完成选修21相应任务). 基础诊断 1. 若焦点在x轴上的椭圆x2 2＋ y2 m＝1的离心率为 1 2,则m＝ 3 2. 解析：因为焦点在x轴上的椭圆x2 2＋ y2 m＝1的离心率为 1 2,所以 2－m 2＝ 1 4,得m＝ 3 2. 2. 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为 3 2,且椭圆G上一点到两个焦点 的距离之和为12,则椭圆G的方程为x2 36＋ y2 9＝1. 解析：由题意知e＝ 3 2,2a＝12,所以a＝6,c＝33,所以b＝3,所以椭圆方程为 x2 36＋ y2 9＝1. 3. 若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线的距离是3. 解析：由题意知2b＝2,2a＝4b,所以b＝1,a＝2,所以c＝a2－b2＝3,则椭圆的中心到其准 线的距离是a2 c＝ 4 3 ＝ 43 3. 4. 过椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为其右焦点,若 ∠F1PF2＝60°,则椭圆的离心率为3Ｗ.
高中立体几何证明方法及例题
1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算” ，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（ 1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的 结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1 ）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（ 3）把几何问题转化为 代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。 （一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高 级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化：
公理4 (a//b,b// c a I Ic ) 面面平行性质I I a, a II b a ,b 线线//| 疋 a II线面平行判定 ----------------- > 线面// | 疋 / / 线面平行性质 a II a II a II 2.线线、线面、面面垂直关系的转化: 三垂线定理、逆定理 PA , A0为PO 在内射影 a 则a OA a PO a PO a AO 线线丄 a, b a // b a b A a II ,b II // 面面平行判定1 面面平行性质1 I I / / / / O I a, I I 线面垂直判定1 a b 线面丄屯 面面垂直判定 推论2 l，且二面角I 线面垂直定义面面垂直性质, 成直二面角 3.平行与垂直关系的转化:
椭圆标准方程及几何性质(附答案)
高考能力测试数学基础训练26 基础训练26 椭圆标准方程及几何性质 ●训练指要 熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质；会用待定系数法求椭圆方程. 一、选择题 1.椭圆中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，离心率为0.6，长、短轴之和为36，则椭圆方程为 A.164 1002 2=+y x B.1100 642 2=+y x C.1100 641641002 222=+=+y x y x 或 D.110 818102 222=+=+y x y x 或 2.若方程x 2＋ky 2＝2，表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 A.(0，＋∞) B.(0，2) C.(1，＋∞) D.(0，1) 3.已知圆x 2＋y 2＝4，又Q (3，0)，P 为圆上任一点，则PQ 的中垂线与OP 之交点M 轨迹为(O 为原点) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
二、填空题 4.设椭圆120 452 2=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则||PF 1|－|PF 2||＝_________. 5.(2002年全国高考题)椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0，2)，那么k =_________. 三、解答题 6.椭圆22 22b y a x +=1(a ＞b ＞0),B (0,b )、B ′(0,-b ),A (a ,0),F 为椭圆的右焦点，若直线AB ⊥ B ′F ,求椭圆的离心率. 7.在面积为1的△PMN 中，tan M =2 1,tan N =-2，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点 且过点P 的椭圆方程. 8.如图，从椭圆22 22b y a x +＝1(a ＞b ＞0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 及短轴的端点B 的连线AB ∥OM . (1)求椭圆的离心率e ； (2)设Q 是椭圆上任意一点，F 2是右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围； (3)设Q 是椭圆上一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程.
2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习
2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习 1．椭圆的简单几何性质 直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的位置关系： 直线与椭圆相切?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交? ????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1________实数解，即Δ______0. 一、选择题 1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45 B ．10,6，4 5 C ．5,3，35 D ．10,6，3 5 2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A ．x 236＋y 216＝1 B ．x 216＋y 2 36＝1 C ．x 26＋y 24＝1 D ．y 26＋x 2 4 ＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1 2 ，则m 等于( )
A ． 3 B ．32 C ．83 D ．2 3 4．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°， 则该椭圆的离心率为( ) A.－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.2 2 5．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2 ＋y 2 ＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋ y 2 4 ＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。满足1MF ·MF 2→ ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．??? ?0，12 C ．???0，2 D ．???2 ，1 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5 5 ，且过点P (－5,4)，则椭圆的 方程为______________． 8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的 离心率等于______． 9．椭圆E ：x 216＋y 2 4 ＝1内有一点P (2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为 ____________． 三、解答题 10．如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦 点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2 c (c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交 点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e .
高中数学椭圆的几何性质
一. 教学内容： 椭圆的几何性质 二. 教学目标： 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 三. 重点、难点： 重点：椭圆的几何性质及初步运用． 难点：椭圆离心率的概念的理解． 四. 知识梳理 1、几何性质 （1）范围，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性 把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称 （3）顶点 在中，须令x＝0，得y＝±b，点B1（0，－b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1（－a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点A1（－a，0）、A2（a，0）、B1（0，－b）、B2（0，b）． ①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； ②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长； （4）离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义： 椭圆的焦距与长轴的比 椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴0＜e＜1． 当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁； 当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；
立体几何平行证明题复习过程
立体证明题（2） 1.如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥ 平面ACE． （1）求证：AE⊥平面BCE； （2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值． 2.等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=． （1）求证：平面EFP⊥平面ABFE； （2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．
3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且 PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC． 4.如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°． （1）求证：AB⊥CD； （2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值． 5.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD． （1）求证：平面PAD⊥平面PBD； （2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
6.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC 1=2，E 是AB 中点． （Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1CE ； （Ⅱ）求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值． 7.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB=2，E ，F 分别为PC ，CD 的中点． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面BEF ； （Ⅱ）若PA= ，求二面角E ﹣BD ﹣C ． 8.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC=4，点M 为PC 中点． （1）求证：DM ⊥平面PBC ； （2）若点E 为BC 边上的动点，且λ=EC BE ，是否存在实数λ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为 3 2 ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)
第2课时 椭圆的简单几何性质 错误!题型分类 深度解析 考点一 椭圆的性质 【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ?? ??0，32 B.??? ?0，34 C.?? ?? ??32，1 D.??? ?3 4，1 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2 ＝a ，整理为a 2＝3b 2 ，即b a ＝13. ∴e ＝c a ＝a 2－ b 2a ＝ 1－??? ?b a 2 ＝ 1－? ?? ??132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4 5，∴1≤b <2. 离心率e ＝c a ＝ c 2a 2＝ a 2－ b 2a 2＝ 4－b 24∈? ???? 0，32. 答案 (1)A (2)A 规律方法 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的
必修二立体几何证明题
C B A D C 1 A 1 必修二立体几何经典证明试题 1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1 2AA 1，D 是棱AA 1的中点 (Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 1. 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ?=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ?面11ACC A ， ∴1DC BC ⊥, 由题设知0 1145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥, 又∵DC BC C ?=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ?面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ； （Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132 +???=1 2， 由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1， ∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是 CD 上的点且1 2 DF AB = ，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ； （2）若1PH =，2AD = 1FC =，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF ⊥平面PAB . 【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥。 因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，所以PH AD ⊥。 因为AB AD A =I ，所以PH ⊥平面ABCD 。 （2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。 因为E 是PB 的中点，所以//EG PH 。 因为PH ⊥平面ABCD 所以EG ⊥平面ABCD 。 则1122EG PH = =， 111 332 E BC F BCF V S E G FC AD EG -?=?=????=2。 （3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME 。因为E 是PB 的中点，所以1 // 2ME AB =。 因为1 // 2DF AB =，所以//ME DF = ，所以四边形MEDF 是平行四边形，所以//EF MD 。 因为PD AD =，所以MD PA ⊥。因为AB ⊥平面PAD ，所以MD AB ⊥。 因为PA AB A =I ，所以MD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB 。 3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ， 分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．
椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)
椭圆的简单几何性质 基础卷 1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >0 2．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为 （A ） 221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）22 11625 x y += 3．已知P 为椭圆 22 1916 x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ） 54 （B ）45 （C ）4 17 （D ） 7 4 7 4．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ） 23 （B ）33 （C ）3 16 （D ） 6 1 6 5．在椭圆122 22=+b y a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有 （A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ） 123111,,r r r 成等差数列 （D ）123 111 ,,r r r 成等比数列 6．椭圆 22 1925 x y +=的准线方程是 （A ）x =± 254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±25 4 7．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 . 8．对于椭圆C 1: 9x 2 +y 2 =36与椭圆C 2: 22 11612 x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆122 22=+b y a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = . 10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆22 11612 x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。
湖南省邵阳市选修2-1学案 椭圆及其简单几何性质(1)
【学习目标】 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形； 2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图． 【自主学习】（认真自学课本P43-P46） 问题1：椭圆的标准方程22 221x y a b +=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？ 图形： 范围：x ： y ： 对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称； 顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）； 长轴，其长为 ；短轴，其长为 ； 离心率：刻画椭圆 程度． 椭圆的焦距与长轴长的比 c a 称为离心率， 记c e a = ，且01e <<． 问题2：类比问题1，回答椭圆22 1169 y x +=的几何性质。 【合作探究】 例1．（教材P46例4）求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 变式：若椭圆是22981x y +=呢？
小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c； ②注意焦点所在坐标轴． 【目标检测】 1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴焦点在x轴上，6 a=， 1 3 e=； ⑵焦点在y轴上，3 c=， 3 5 e=； ⑶经过点(3,0) P-，(0,2) Q-； ⑷长轴长等到于20，离心率等于3 5 ． 2．若椭圆 22 1 5 x y m += 的离心率e=m的值是（）． A．3B．3或25 3 C D 3 ，离心率 2 3 e=的椭圆两焦点为 12 ,F F，过 1 F作直线交椭圆于,A B两点，则2 ABF ?的周长为（）．A．3B．6C．12D．24 【作业布置】 任课教师自定
精选高中立体几何证明方法及例题
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角
面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。
椭圆的简单几何性质练习题精练
椭圆专题 一、选择题 1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为35的椭 圆的标准方程是( ) A.x 2100＋y 236＝1 B.x 2100＋y 264＝1 C.x 225＋y 216＝1 D.x 225＋y 29＝1 2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率 为( )A.12 B.13 C.14 D.22 3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0 8．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准 方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程． 9．(2014·菏泽高二检测)设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OP A ＝120°，求椭圆的离心率． 10．(2015·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭 圆的离心率是( )A.22 B.2－1C ．2－ 2 D.2－12 2．(2014·清远高二期末)“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12” 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(2015·济南历城高二期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点 P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________． 4．(2014·青海省西宁)已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 2 20＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF . (1)求点P 的坐标； (2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值． 2.2.2椭圆的几何性质导学案 学习目标 1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e 的几何意义 2 、通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题的。 3 、初步利用椭圆的几何性质解决问题。 学习重点与难点 学习重点：椭圆的几何性质 学习难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e 的关系 复习旧知 （1）椭圆的定义: . （2）椭圆的标准方程： 焦点在x 轴上时： .焦点在y 轴上时： . （3）椭圆中a,b,c 的关系是: . 学习过程 一、课内探究 探究一：观察椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的形状，你能从图形上看出它的范围吗？ 它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 1 、范围 ： （1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________。 椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________。 （2）由椭圆的标准方程)0(122 22>>=+b a b y a x 知： ① 22a x ____1,即____ ≤≤x ____ ，② 22 b y ____ 1；即____≤≤y ___ 因此)0(122 22>>=+b a b y a x 位于直线 和__________围成的矩形里。 2 、对称性 （1）从图形上看，椭圆关于_________，__________，__________对称 （2）从方程上看，在椭圆的标准方程)0(122 22>>=+b a b y a x 中 ① 把x 换成-x 方程不变，说明图像关于__________轴对称。 ②把y 换成-y 方程不变，说明图像关于__________轴对称。 ③把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，说明图形关于__________对称， 因此____________是椭圆的对称轴，_________是椭圆的对称中心， 椭圆的对称中心叫做___________。 3 、顶点： （1）椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有______个交点， 分别为：1A ( , ) 2A ( , ) 1B ( , ) 2B ( , ) （2）线段1A 2A 叫做椭圆的_______，其长度为__________ 线段1B 2B 叫做椭圆的________，其长度为__________ a 和b 分别叫做椭圆的________和___________ 探究二：同为椭圆为什么有些椭圆“圆”些，有些椭圆“扁”些？是什么因素影响 了椭圆的扁圆程度？ 4 、椭圆的离心率： （1）定义：______________________________叫做椭圆的离心率， 用 表示，即____________= （2）由于a >c >0，所以离心率e 的取值范围是_____________ （3）若e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越____，因而椭圆越_______;若e 越接近0，则c 越接近0，从而22c a b -=越____，因而椭圆越接近于 1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。 （一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： ?a c //) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： $ 椭圆的几何性质习题 一、选择题(共60题) 1.圆6x + y =6的长轴的端点坐标是 A.(-1,0)?(1,0) B.(-6,0)?(6,0) C.(-6,0)?(6,0) D.(0,-6)?(0,6) 2.椭圆x + 8y =1的短轴的端点坐标是 A.(0,-42)、(0,42 ) B.(-1,0)、(1,0) C.(22,0)、(-2,0) D.(0,22)、(0,－ 22) 3.椭圆3x +2y =1的焦点坐标是 A.(0,－66)、(0,66) B.(0,-1)、(0,1) C.(-1,0)、(1,0) D.(-66,0)、(66 ,0) ; 4.椭圆122 2 2=+a y b x (a >b >0)的准线方程是 A. 2 2 2 b a a y +± = B. 2 2 2 b a a y -± = C. 2 2 2 b a b y -± = D. 222b a a y +± = 5.椭圆14922=+y x 的焦点到准线的距离是 A.559554和 B.5514559和 C.5514554和 D.5 514 6.已知F 1、F 2为椭圆122 2 2=+b y a x (a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若 △AF 1B 的周长为16，椭圆离心率 23 = e ,则椭圆的方程是 A.13422=+y x B.131622=+y x C.1121622=+y x D.14162 2=+y x 7.离心率为23 ,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是 | A.1422=+y x B.1422=+y x 或1422=+y x C.1 412 2 =+y x D.142 2=+y x 或1 16422=+y x 8.椭圆122 2 2=+b y a x 和k b y a x =+2222(k >0)具有 A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长?短轴 9.点A (a ,1)在椭圆1242 2=+y x 的内部,则a 的取值范围是 22 b >0)的离心率等于53，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋 转2π 后，所得的新椭圆的一条准线的方程y =316，则原来的椭圆方程是 / A.14812922=+y x B.16410022=+y x C.1162522=+y x D.1 9162 2=+y x 12.椭圆 14522 2++a y a x =1的焦点在x 轴上,则它的离心率的取值范围是 A.(0,51) B.(51,55)] C.??? ??55,0 D.???????1,55 13.椭圆1)6(4)3(2 2=++-m y x 的一条准线为7=x ，则随圆的离心率e 等于 A.21 B.22 C.23 D.41 14.已知椭圆的两个焦点为F 1?F 2,过F 2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A ?B ,则 三角形ABF 1的周长是 .24 C 15.已知椭圆的长轴为8，短轴长为43，则它的两条准线间的距离为 .16 C椭圆的简单几何性质导学案(定稿)
高中立体几何证明方法及例题
椭圆的几何性质习题