高等数学在实际生活中的应用
高等数学知识在实际生活中的应用
（4）对模型进行分析、检验和修改。建立模型后，要对模型进行分析，即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性。一般地，一个模型要经过反复地修改才能成功。
（5）模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。
归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明：
图1
（二）数学建模的范例
例教室的墙壁上挂着一块黑板，学生距离墙壁多远，能够看得最清楚？
这个问题学生在实际中经常遇到，凭我们的实际经验，看黑板上、下边缘的视角越大，看得就会越清楚，当我们坐得离黑板越远，看黑板上、下边缘的视角就会越小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得
越近越好呢？
先建立一个非常简单的模型：
模型1：
A
黑
板
a
B b
D C
图2.3-1
先对问题进行如下假设：
1．假设这是一个普通的教室（不是阶梯教室），黑板的上、下边缘在学生水平视线的上方a 米和b 处。
2．看黑板的清楚程度只与视角的大小有关。
设学生D 距黑板x 米，视黑板上、下边缘的的仰角分别为βα,。 由假设知：
ab b
a x a
b x b a ab
x x b a tna x
b
x a 2)(tan 1tan tan )tan(,tan ,tan 2-≤
+
-=+-=+-=-∴=
βαβαβαβα
所以，当且仅当ab x =时，)tan(βα-最大，从而视角βα-最大。
从结果我们可以看出，最佳的座位既不在最前面，也不在最后面。坐得太远或太近，都会影响我们的视觉，这符合我们的实际情况。
下面我们在原有模型的基础上，将问题复杂一些。
模型2：设教室是一间阶梯教室，如图2.3-2所示。为了简化计算我们将阶梯面看成一个斜面，与水平面成γ角，以黑板所在直线为y 轴，以水平线为x 轴，建立坐标系（见图2.3-2）。则直线O E 的方程（除原点）为：
γtan x y = )0(>x
若学生D 距黑板的水平距离为x ，则D 在坐标系中的坐标为
)tan ,(γx x ，
图2.3-2
则：x
x b x
x a γβγαtan tan ,tan tan -=-=
所以β
αβαβαtan tan 1tan tan tan(+-=-）
x
x b x x a x x b x x a γγγ
γtan tan 1tan tan -?
-+---=
x
x x b a ab x b
a 2
2tan )tan tan (γγγ++-+
-=
设
x
x x b a ab x x f 2
2tan )tan tan ()(γγγ++-+=，要使)tan(βα-最大，只要
)(x f 最小就可以了。对)(x f 求导得：
2
22'
)tan 1()(x
ab
x x f -+=γ 当
γ2tan 1+>
ab x 时，
('>）x f ，则
)
(x f 随
x
的增大而增大；当
γ
2tan 10+<
连续的，所以当γ
2tan 1+=ab x 时，)(x f 取最小值，也就是γ
2tan 1+=
ab
x 时，
学生的视角最大。
通过这两个模型，我们便可以解释为什么学生总愿意坐在中间几排。模型1和模型2所应用的基本知识都是相同的，只是因为假设的教室的环境不同，建立的模型有些细微差别，所以结果不同，但这两个结果都是基本符合实际的。在解题过程中，我们只考虑了一个因素，那就是视角，其实我们还可以考虑更多的因素，比如：前面学生对后面学生的遮挡，学生看黑板的舒适度（视线与水平面成多少度角最舒服），等。我们考虑的因素越多，所的结果就会越合理。但有时如果
考虑的因素过多、过细的话，解题过程就会相当繁琐，有时甚至得不到结果。所以“简化假设”时就需要我们冷静的分析，在众多的因素中抓住主要矛盾，作出最佳的选择。因此在建立模型时既要符合实际，又要力求计算简便。
二、矩阵在实际生活中的应用 （一）有关矩阵的乘法
矩阵A =???c a ???d b 与→a =???
???y x 相乘
=→
a A ???c a ?
?
?
d b ??????y x =??
????++dy cx by ax =→)(a A λ???c a ?
?
?
d b ????????????y x λ=???c a ??
?d b ??????y x λλ=??????++y d x c y b x a λλλλ=??
?
???++dy cx by ax λλλλ=→a A λ →
→
→
→
+=+b A a A b a A )( →
→→→+=+b A a A b a A 2121)(λλλλ
（二）矩阵应用的范例—人口流动问题
例 假设某个中小城市及郊区乡镇共有40万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：
（1） 在这40万就业人员中，目前约有25万人从事农业，10万
人从事工业，5万人经商；
（2） 在务农人员中，每年约有10%改为务工，10%改为经商； （3） 在务工人员中，每年约有10%改为务农，20%改为经商； （4） 在经商人员中，每年约有10%改为务农，20%改为务工。 现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。
解： 若用三维向量(x i ,y i ,z i )T 表示第i 年后从事这三种职业的人员总数，则已知(x 0,y 0,z 0)T =(25，10，5)T 。而欲求(x 1,y 1,z 1)T ，(x 2,y 2,z 2)T 并考察在n →∞时(x n ,y n ,z n )T 的发展趋势。 依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为 即
以(x 0,y 0,z 0)T =(25，10，5)T T 代入上式，即得:
即一年业人员的人数分别为21.5万10.5万、8万人。 以及
即两年后从事各业人员的人数分别为19.05万、11.1万、9.85万人。进而推得：
即n 年之后从事各业人员的人数完全由
决定。 在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将一个实际问题数学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题。这个问题
???
??++=++=++=0001
000100017.02.01.02.07.01.01.01.08.0z
y x Z z y x Y z y x X ????
? ??=????? ??????? ??=????? ??0000001117.02.01.02.07.01.01.01.08.0z y x A z y x Z Y X 11121.510.58X Y Z ????
? ?= ? ? ? ?????
????
? ??=????? ??=????? ??=?????
??85.91.1105.190002
111222z y x A z y x A Z Y X ????
? ??=????? ??=????? ??---000111z y x A z y x A Z Y X n
n n n n n n n
A
看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。
数学思维在现实生活中的简单运用
想从数学思维和处理事情的思维来讲解，让学生不仅仅是解题高手，而是一个借用数学思维来解决生活问题，比如先分析，在求解即就是生活中追女朋友一样，一定要对次女生进行分析，研究出她的特点，然后在寻求追求她的方式，如她喜欢吃火锅，你总是约她去吃肯德基，数学的做题过程何尝不是呢，比如对函数求极限，首先我们要对研究对象进行分析研究探讨总结函数的特点，让后根据函数特点，选择求极限的方法 情感：为啥学不好数学，是因为一开始就很惧怕数学，觉得数学很深奥，从心理上就输给了数学，所以你们就冷落她，对她不热情，自然人家也对你不热情；其实数学就是纸老虎，你进他投降，她在静静的等待你们的靠近，等待你们的热情和等待你们的怀抱，希望你们对她有好感，爱上她，并拥有她，并以她为荣！数学是一个孤傲，外表冰冷孤，内心狂热的美少女，当你整整了解和接触她的时候你会发现，她真的很美！ 我们为啥怕她：1觉得数学是抽象的，是不接地气的，与生活无关的，是神圣的，是高深莫测的，与你的生活没有多大关系的，的确微积分我们用不上，函数不会解照样会买菜，但是他的思维是我们时时刻刻都需要的，数学对我们普通人来说他的作用和我们的教育一样的功效，你先想想，初中退学的同学和高中混出来的同学之间的知识有多大区别吗，上大学和不上大学的同学最大的差别是什么，不是知识，是思维！数学一样的功能，我们都不是数学家，也不可能当数学家，我们以后在工作中也很少用到数学，但是我们用数学思维 函数：就是变量和变量之间的关系 成绩=f（态度） 本学期本人所授课机修1631班《高等数学》授课完毕,现对授课情况小结如下： 一、学生情况 学生的构成有汉族学生，民考民学生、双语学生和预科后学生，汉族 学生的占比比较大，但是学生的层次不一；民考民和双语学生约有三分之一，但是这部分学生大部分学习态度不端正，数学基础薄弱，学习没有主动性；预科后学生共有三位，学习的主动性很好，学习态度
大学高等数学上考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
高等数学练习题(附答案)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则
高等数学应用案例讲解
高等数学应用案例 案例1、如何调整工人的人数而保证产量不变 一工厂有x 名技术工人和y 名非技术工人，每天可生产的产品产量为 y x y x f 2),(= （件） 现有16名技术工人和32名非技术工人，如何调整非技术工人的人数，可保持产品产量不变？ 解：现在产品产量为(16,32)8192f =件，保持这种产量的函数曲线为8192),(=y x f 。对于任一给定值x ，每增加一名技术工人时y 的变化量即为这函数曲线切线的斜率dx dy 。而由隐函数存在定理，可得 y f x f dx dy ????= 所以，当增加一名技术工人时，非技术工人的变化量为 x y y x f dx dy 2-=???= 当16,32x y ==时，可得4-=dx dy 。 因此，要增加一个技术工人并要使产量不变，就要相应地减少约4名非技术工人。 下面给出一个初等数学解法。令 c ：每天可生产的产品产量； 0x ；技术工人数； 0y ；非技术工人数；
x ?；技术工人增加人数； y ?；在保持每天产品产量不变情况下，当技术工人由16名增加到17名时，非技术人员要增加（或减少）的人数。 由已知列方程： （1）当技术工人为16名，非技术工人为32名时，每天的产品产量为c ，则有方程： c y x =?020 （1） （2）当技术工人增加了1名时，非技术工人应为（y y ?+0）名， 且每天的产品产量为c ，则有方程： c y y x x =?+??+)()(020 （2） 联立方程组（1）、（2），消去c 得： )(020020y y x x y x ?+??+=?）（ 即 [] 002020)/(y y x x x y -??+=????????+--=20200)(1x x x y ?????????????????? ? ??+--=200111x x y 代入x y x ?,,00，得：46.3-≈-≈?y 名，即减少4名非技术工人。 比较这两种解法我们可以发现，用初等数学方法计算此题的工作量很大，究其原因，我们注意到下面之展开式： ∑∞=--???? ???-+???? ???-?=???? ???+-110120020)1(32111n n n x x n x x x x x x 从此展开式我们可以看到，初等数学方法不能忽略掉高阶无穷
极限定义在高等数学中的应用
韩山师范学院 学生毕业论文 （2008届） 韩山师范学院教务处制
诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。 毕业论文作者签名：签名日期：年月日
摘要 极限概念是微积分学中最重要，最基本的概念。掌握好利用定义证明函数极限是学好高等数学的基础。极限有数列极限，函数极限，多元函数极限等几类，本文直接或间接地用极限定义来证明一些我们经常见到高等数学问题。 关键词：极限；极限定义；数列极限；函数极限 Abstract The definition of the limit is the most important and basic concept in the infinitesimal calculus. Mastering the ways of using the definition to probe the limit of function lays a foundation for studying the higher mathematics well. There are the limit of series, limit of function and functional limit of several variables and so on. In this paper, the definition of the limit is used directly or indirectly to prove some common problems of higher mathematics. Keywords: limit, definition of limit, limit of series, limit of function
微积分在现实中的应用
微积分的应用 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 微积分建立之初的应用：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛
的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。 微积分作为一种实用性很强的数学方法和根据，在数学发展中的地位是十分重要的。例如，微分可以解决近似计算问题。比如：求sin29°的近似值，求不规则图形面积或几何体体积的近似值等。通过微积分求极限、利用微分中值定理，能够及时的放缩多项式，有利于不等式的化简和证明。极限求和、导数求和、积分求和也都是解决求数列前n项和的好方法。其次，数理化不分家。而且微积分在不等式中也有很大的运用，我们可以运用微积分中值定理，泰勒公式，函数的单调性，极值，最值，凸函数法等来证明不等式。在物理问题上，通过解微分方程研究物体运动问题、气体问题、电路问题也是非常普遍的。已知位移——时间函数计算速度，已知速度——时间函数计算加速度（即生活中交通管理方面的应用）；运动学中的曲线轨迹求解（即生活中在篮球投篮训练中的应用）；求不规则物体的重心；力学工程中计算变力和非恒力做功等等。在化学领域，用气相色谱仪和液相色谱仪做样品化学成分分析时，我们得到的并不是直观的数字结果，而是一张色谱图。色谱图是由一个一个的峰组成的，而我们进行定量计算的根据，就是这些峰的面积。而求这些峰的面积，就需要用到积分。现在的仪器里都集成了自动积分仪，只要选定某一个峰，它就能把积分计算出来。最终得到的成分含量就是基于积分原理计算出来的 微积分的应用不仅仅遍及各个学科，也渗透到了社会的各个行业，甚至深入人们日常生活和工作。利用微积分进行边际分析（经济函数的
(完整)高等数学练习题(附答案)
《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du .
5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .
高等数学在生活中的应用
对高等数学的认识及它在生活中的应用当今世界,国际竞争日趋激烈,而竞争的焦点又就是人才的。竞争21世纪哪个国家具有人才优势,哪个国家将占据竞争的制高点。而现在的社会需要的人才已经不就是从前那种简单的一个文凭就可以了,而就是需要全面的人才,全方位的人才,一种高素质高能力的人才！ 与此同时,高等数学恰恰在这方面发挥着巨大的作用！数学培养的就就是您的思维能力,就是分析问题、解决问题的思维方式。许多实际问题都需要建立数学模型来解决,而您建立模型地基础就就是您怎样把实际问题转化为数学问题。再把复杂的问题简单化！这样就更容易的去解决问题、处理问题！ 在现代大学课程设置中,大部分学生要学习高等数学这门课程,只就是很多学生不知道学这门课程有什么用途,缺乏学习的动力与兴趣,最后逐渐认为数学就是一门非常枯燥的学科。这样不能够激发学生学习数学的兴趣。使学生们慢慢的不重视数学的重要性！ 高等数学在当今社会有着广泛的应用。如:计算机方面、电子应用方面、航天技术方面、医学方面等等众多领域都起着巨大的作用！ 在计算机领域,计算机中许多地方要用到数学模型,特别就是算法复杂度,人工智能、业务领域的数学建模等等,都需要有一定的数学功底。 随着现代科学技术的发展与电子计算机的应用与普及,数学方法在医药学中的应用日益广泛与深入。医药学科逐步由传统的定性描述阶段向定性、定量分析相结合的新阶段发展。数学方法为医药科学研究的深入发
展提供了强有力的工具。高等数学就是医学院校开设的重要基础课程,用高等数学基础知识解决医学中的一些实际问题的例子,旨在启发学生怎样正确理解与巩固加深所学的知识,并且强化应用数学解决实际问题的意识。使我国的医术在前有的基础上再创辉煌！ “神舟”六号载人飞船成功升空,就是我国航天事业科学求实精神的结晶,就是坚定不移走自主创新之路的结果。载人航天就是当今世界最复杂、最庞大、最具风险的工程,就是技术密集度高、尖端科技聚集的高科技系统工程。而这些庞大的工程都离不开数学,复杂的数字计算、精确的时间等等这些都在数学范围内！ 其次,数学建模就是一种培养学生综合素质的有效手段,在教学实践中给学生树立建模的思想对学生的综合素质发展有很大的帮助,也有助于提高我们的学习积极性。把数学建模的思想方法融入数学分析课程教学就是培养学生创新能力与实践能力的一条有效途径,就是当前大学数学课程改革的一个重要方向、 我们大学生的思维处于由形式逻辑思维向辨证逻辑思维过渡的阶段,数学建模不仅要求学生在实验、观察与分析的基础上,对实际问题的主要方面做出合理的简化与假设,并且要求她们应用数学的语言与方法将实际问题形成一个明确的数学问题。因此,在高等数学中渗透建模思想,运用运动的、变化的、全面的、发展的观点去观察、分析与解决问题,不仅发展了我们大学生的一般思维能力,还发展了我们的辨证逻辑思维能力。数学建模将实际问题转化为数学问题后,要求学生用数学理论、方法对该问题求解
高数导数的应用习题及答案
一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23- ），=b （ 16 - ）． ∵()12++='bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142=++b a ，解之得6 1 ,32-=-=b a ２．函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 211 2 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 第一章 函数 极限 连续 问题1. 上岸点的问题 有一个士兵P ，在一个半径为R 的圆形游泳池（图1—1） 222x y R +≤游泳，当他位于点（,02R -）时，听到紧急集 合号，于是得马上赶回位于A=（2R ，0）处的营房去，设该士 兵水中游泳的速度为1v ，陆地上跑步的速度为2v ，求赶回营房 所需的时间t 与上岸点M 位置的函数关系。 图1-1 解：这里需要求的是时间t 与上岸点M 位置的函数关系，所以一定要先把上岸点M 的位置数字化，根据本题特点可设 (cos ,sin )M R R θθ= 其中θ为M 的周向坐标（即极坐标系中的极角），于是本题就成为了求函数关系()t f θ=的问题。由对称性，我们可只讨论在上半圆周上岸的情况，即先确定函数()t f θ=的定义域为0θπ≤≤。 该士兵在水中游泳所花的时间为 111 PM t v === 而在陆地上跑步所需的时间，则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论： ① 当03πθ≤≤ 时，有222M A t v '== ② 当3π θπ≤≤时，要先跑一段圆弧MB ，再跑一段且线段BA ，所以 2221()(3 R t MB BA v v πθ=+=-。 综上所述，可得 121 203(33t R v πθππθθπ≤≤=-+≤≤ 问题2 外币兑换中的损失 某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加拿大元时，币面数值增加12%，回国后他发现把加拿大元兑换成美元时，币面数值减少12%。把这两个函数表示出来，并证明这两个函数不互为反函数，即经过这么一来一回的兑换后，他亏损了一些钱。 解：设1()f t 为将x 美元兑换成的加拿大元数，2()f t 为将x 加拿大元兑换成的美元数，则 1()12% 1.12, 0f t x x x x =+?=≥ 2()12%0.88,0f t x x x x =-?=≥ 而21(())0.880.120.9856,f f t x x x =?=<故1()f t ，2()f t 不互为反函数。 思考题：设一美国人准备到加拿大去度假，他把1000美元兑换成加拿大元，但因未能去成，于是又将加拿大元兑换成了美元，问题亏损了多少钱？（14.4美元） 问题3 旅游问题 一个旅游者，某日早上7点钟离开脚下的旅馆，沿着一条上山的路，在当天下午7点钟走到顶上的旅馆。第二天早上7点钟，他从山顶沿原路下山，在当天下午7点钟回到脚下的旅馆。试证明在这条路上存在这样一个点，旅游者在两天的同一时刻都经过此点。 证明：设两个旅馆之间的路程为L ，以()f t 表示在时刻([7,19])t ∈该旅游者离开山脚下的旅馆的路程，则可知()f t 是区间[7,19]上的连续函数，且有(7)0f =，(19)f L =。 以()g t 表示该旅游者在第二天下山时在与前一天相同时刻尚未走完的路程，则可知()g t 是区间[7,19]上的连续函数，且有(7)f L =，(19)0f =。 于是原问题可转化为：证明存在[7,19]ξ∈，使()()f g ξξ=。 作辅助函数()()()t f t g t ?=-，则()t ?在区间[7,19]上连续，且有 2(7)(19)[(7)(7)][(19)(19)]0f g f g L ??=--=-<， 根据闭区间上连续函数的零值定理可知，一定存在[7,19]ξ∈，使()0?ξ=。就得到了所需要证明的结论。 高等数学在经济中的应用 专业：制药工程 姓名:XXX 指导老师：XXX 摘要：高等数学在经济研究中起着基础性作用，只有学好高等数学才能更好的理解剖析经济现象掌握经济知识。本文主要用数学分析、常微分方程、高等代数 概率与数理统计等课程的相关知识来说明高等数学在经济中的应用。 关键词：高等数学；经济；应用 Application of Advanced Mathematics in Economy Abstract：Advanced mathematics is basis of economic research．0nly learning advanced mathematics，call we get a better understanding and analyzing economic phenomenon and master economic knowledge．This paper mainly illustrates the application of advanced mathematics in the economy by using the related knowledge of mathematical analysis,ordinary differential equation，higher algebra，probability and mathematical statistics course． Key words：advanced mathematics；economy；application 0 引言 数学在经济中扮演着越来越重要的角色，经济学的许多研究方法都依赖于数学思维，许多重要的结论也来源于数学的推导，而且提高经济学理论的科学性与分析水平的重要工具也是数学。因此，研究数学方法与经济学的内在联系，研究 高等数学在实际生活中的应用 在学习高数之前，总是听学长、学姐提起，高数十分难学，我对高数的印象一直都是：高数是一门特别难、特别高深的学科。但在学习了高等数学之后，我发现了数学的美，同时我发现在实际生活中也时常可以看高数的身影。 高等数学在实际生活中的应用十分广泛，而且也特别有趣。我就简单的举几个生活中常见的，我所发现的高等数学在生活中的运用的例子分析一下。 首先，我发现在支付宝当中，有一个小功能，叫做蚂蚁森林，这个功能是模拟出了一颗树苗，当人们在生活中做出了一些绿色、低碳的行为时，对用户发放绿色能量进行奖励，当用户的绿色能量积累到一定的值时，支付宝模拟出的小树苗就会长成一颗大树，用户可以通过兑换，将这颗模拟出来的小树（电子数据）兑换成为一颗真实的、种植在沙漠里的树木，现在可以兑换的树木类型越来越丰富了，有梭梭树、沙柳、樟子松、胡杨树等一些树苗。 这个时候我就发现，不同的地区的树苗不尽相同，而且，肯定不同的树木类型各自的水土保持能力也不尽相同，因此，在什么地区选择什么样的树木类型、分别种植在哪里，可以起到最好的水土保持功能以及，每平方米需要种植几颗树苗，我相信，这些问题都离不开高等数学进行周密的计算。 首先，我们需要认真计算防护林需要种植多大面积、到底种植在哪里可以起到最佳的水土保持作用，我们需要了解到风沙的源地与我 们需要保护的地区的距离，同时量化考虑风沙的强度，将不同的树苗类型的水土保持力以及他们的防风沙能力量化考虑。我们所了解到的资料很少，因此只能做一下简单的模型的建立，以及一些较为简单的分析。当然，这只是我的个人想法，很不成熟，也很可能有错误。我是这样考虑的，比如：我们设距离风沙源地越远，风沙程度越弱，当风沙强度吹到我们所居住的地区时即为0，风沙的总强度为F，风沙源地与我们所居住地区的距离为f。因此可以得出结论，距离风沙源地越远，所需要的防护林面积就越小，设防护林种植地与风沙源地之间的距离为x，设所需要的防护林面积为y，同时将不同的树苗类型的水土保持能力量化：当种植了梭梭树之后，其每平米的水土保持力即可以阻挡的风沙的程度为a，沙柳为b，樟子松为c，胡杨树则为d。这时我们可以相应的依据量化关系列出一个方程式来：y=（F - F/f*x）/a（其中的a是指当所种的防护林是梭梭树时的方程式，相应的，当我们分析的是其他的树木，沙柳、樟子松以及胡杨树等，我们则可以将a替换为b、c以及d）。 根据上述所列的方程式，当我们了解了各种类型的树木的水土保持能力以及他们的防风沙的能力时，我们可以代入上述的方程式中进行计算，计算当距离风沙源地的距离不同时，所需要种植的防护林的面积也不尽相同。同时，我们可以分析得出，当x趋于无限小或者无穷大时，即防护林的种植地距离风沙源地极近或者极远时，这个方程式就转换为了一个极限问题的研究。 如果我们可以再多收集一些资料，具体了解到风沙强度与距离远 课程论文专业酒店管理 微积分在生活中的应用 摘要：我们学习了微积分，然而只学习不行的，学了的目的是为了应用，本篇论文主要讲微积分在生活中的应用，有哪些应用，怎么应用的。主要集中几何，经济以及我们在生活中的应用 关键词：微积分，几何，经济学，物理学，极限，求导 绪论 作为一个刚刚上大学的新生，高等数学是大学学习中十分重要的一部分，但在学习的过程中，我不禁慢慢产生了一个问题，老师都说微积分就是高等数学的精髓，那么微积分的意义又是什么呢？它对人类的生活造成的影响又是什么呢？存在必合理，微积分的应用一定很广，带着这个思想，我查找了一点资料，我想从几何，经济，物理三个角度来阐述关于微积分在我们生活中的应用，下面可能有些我在网上查找的题目，基本上都是直接摘录的，在此特向老师说明。 我了解到微积分是从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。 从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分能够在几何，物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。 希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与其他各学科的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。 一、微积分在几何中的应用 微积分在我看来在几何中主要是为了研究函数的图像，面积，体积，近似值等问题，对工程制图以及设计有不可替代的作用。很高兴我在网上找到了一些内容与现在我们学的定积分恰巧联系上了。顿觉微积分应用真的很广！ 1.1求平面图形的面积 (1)求平面图形的面积 由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a ，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。 例如：求曲线2f x 和直线x=l ，x=2及x 轴所围成的图形的面积。 分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。 所以该曲边梯形的面积为 应用题： 1.设生产某种产品x 个单位时的成本函数为C(x)=100+0.25x 2 +6x (万元) 求:(1)当x=10时的总成本、平均成本和边际成本; (2)当生量x 为多少时,平均成本最小? 解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为： C （X ）=100+0.25X 2+6X c (X)= X 100 +0.25X+6,,C ' (X)=0.5X+6 所以C(10)=100+0.25×102+6×10=185c (10)= 10100+0.25×10+6=18.5C '(10)=0.5×10+6=11 (2)令'C =－2 100X +0.25=0,得X=20(X=－20舍去) 因为X=20是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当X=20时,平均成本最小. 2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p(q 为需求量,p 为价格).试求: (1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利润最大? 解：（1）成本函数C （q ）=60q+2000 因为q=1000－10p,即p=100－ 101q 所以收入函数R （q ）=p ×q=(100－101q)q=100q －10 1 q 2 （2）因为利润函数L(q)=R(q) －C(q)=(100q －101 q 2－(60q+2000) =40q －10 1 q 2－2000 且'L (q)=(40q －10 1 q 2－2000)’=40－0.2q 令'L (q)=0, 即40－0.2q=0,得q=2000,它是L(q)是在其定义域内的唯一驻点. 所以,q=200是利润函数L （q ）的最大值点，即当产量为200吨时利润最大。 3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数q=2000-4p,其中p 为价格,q 为产量,这种产品在市场上是畅销的 试求:(1)价格为多少时利润最大? (2)最大利润是多少? 1、 解：（1）C （p ）=50000+100q=50000+100(2000－4p) =250000－400p R(p)=pq=p(2000－4p)=2000p －4p 2 利润函数L （p ）=R(p) －C(p)=2400P －4p 2－250000,且令 'L (p)=2400－8p=0 得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。 （2）最大利润L(300)=2400×300－400×3002－250000=110000(元) 高等数学知识在实际生活中的应用 一、数学建模的应用 数学建模的一般方法是理论分析的方法，即根据客观事物本身的性质，分析因果关系，在适当的假设下用数学工具去描述其数量特征。 （一）数学建模的一般方法和步骤 （1）了解问题，明确目的。在建模前要对实际问题的背景有深刻的了解，进行全面的、深入细致的观察。明确所要解决问题的目的和要求，并按要求收集必要的数据。 （2）对问题进行简化和假设。一般地，一个问题是复杂的，涉及的方面较多，不可能考虑到所有的因素，这就要求我们在明确目的、掌握资料的基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题进行适当的简化，提出几条合理的假设。不同的简化和假设，有可能得出不同的模型和结果。 （3）建立模型。在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学理论和方法建立数学模型。在保证精度的前提下应尽量用简单的数学方法，以便推广使用。 （4）对模型进行分析、检验和修改。建立模型后，要对模型进行分析，即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性。一般地，一个模型要经过反复地修改才能成功。 （5）模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象，并 预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。 归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明： 图1 （二）数学建模的范例 例 教室的墙壁上挂着一块黑板，学生距离墙壁多远，能够看得最清楚？ 这个问题学生在实际中经常遇到，凭我们的实际经验，看黑板上、下边缘的视角越大，看得就会越清楚，当我们坐得离黑板越远，看黑板上、下边缘的视角就会越小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得越近越好呢？ 先建立一个非常简单的模型： 模型1： 先对问题进行如下假设： 1．假设这是一个普通的教室（不是阶梯教室），黑板的上、下边缘在学生水平视线的上方a 米和b 处。 2．看黑板的清楚程度只与视角的大小有关。 设学生D 距黑板x 米，视黑板上、下边缘的的仰角分别为βα,。 由假设知： 高数心得体会 篇一：高数心得 学习高数的心得体会有人戏称高数是一棵高树，很多人就挂在了上面。但是，只要努力，就能爬上那棵高树，凭借它的高度，便能看到更远的风景。 很多人害怕高数，高数学习起来确实是不太轻松。其实，只要有心，高数并不像想象中的那么难。经过将近一年的学习，我们对高数进行了系统性的学习，不仅在知识方面得到了充实，在思想方面也得到了提高，就我个人而言，我认为高等数学有以下几个显著特点：1）识记的知识相对减少，理解的知识点相对增加；2）不仅要求会运用所学的知识解题，还要明白其来龙去脉；3）联系实际多，对专业学习帮助大；4）教师授课速度快，课下复习与预习必不可少。 在大学之前的学习时，都是老师在黑板上写满各种公式和结论，我便一边在书上勾画，一边在笔记本上记录。然后像背单词一样，把一堆公式与结论死记硬背下来。哪种类型的题目用哪个公式、哪条结论，老师都已一一总结出来，我只需要将其对号入座，便可将问题解答出来。而现在，我不再有那么多需要识记的结论。唯一需要记住的只是数目不多的一些定义、定理和推论。老师也不会给出固定的解题套路。因为高等数学与中学数学不同，它更要求理解。只要充分理解了各个知识点，遇到题目可以自己分析出正确的解题思路。所以，学习高等数学，记忆的负担轻了，但对思维的要求却提高了。 每一次高数课，都是一次大脑的思维训练，都是一一次提升理解力的好机会。 首先，不能有畏难情绪。一进大学，就听到很多师兄师姐甚至是老师说高数非常难学，有很多人挂科了，这基本上是事实，但是或多或少有些夸张了吧。让我们知道高数难，虽然会让我们对它更加重视，但是这无疑也增加了大家对它的畏惧感，觉得自己很可能学不好它，从而失去了信心，有些人甚至把难学当做自己不去学好它的借口。事实上，当我们抛掉那些畏难的情绪，心无旁骛地去学习高数时，它并不是那么难，至少不是那种难到学不下去的。所以，我觉得要学好高数，一定不能有畏难的情绪。当我们有信心去学好它时，就走好了第一步。 坚持做好习题。做题是必要的，但像高中那样搞题海战术就不必要了。就我的体会而言，如果只是想考试考好，不想去深入研究它的话，做好教材上的课后题和习题册就足够了，当然，前提是认真地做好了。对于每一道题，有疑问的地方就要解决，不能不求甚解，尽量把每一个细节都理解好，这样的话做好一道题 就能解决很多同类型的题了。同时，做题不能只是自己一个人冥思苦想，有时候自己的思维走进了死胡同是很难走出来的，当自己做不出来的时候，不妨问问老师或者同学，也许就能豁然开朗了。对于做完的题目，觉得很有价值的，最好是把它摘抄到笔记本上，然后记录一下解题的要点，分析一下题目所体现的思维方式等等，平时有时间就翻看一下，加深一下记忆。 高等数学应用题（下） 1、利用单摆摆动测量重力加速度的公式是2 24l g T π= 。现测得单摆摆长与振 动周期分别为1000.1l cm =±、20.004T s =±。问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少？ 解：设测量l 与T 的误差分别为l ?与T ?，由此引起g 的误差为g ?，则 2 2 3 12||||||||||||||4( ||||)g g g g l g dg l T l T l T l T l T T T π?????≈=?+?≤?+?=?+ ?????。 将100,2,0.1,0.004l T l T ==?=?=代入上式，得g 的绝对误差约为 2 2 2 2 3 0.12100||4( 0.004)0.5 4.93(/)2 2 g cm s ππ ??=+ ?=≈ 从而相对误差约为 2 2 3 0.50.5%4100 2 g g π π?= =? 2、有一宽为24cm 的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的 水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解：设折起来的边长为x cm ，倾角为α，那么梯形的下底长为242x -cm ，上底长为2422cos x x α-+cm ，高为sin x αcm ，所以断面的面积为 2 2 1(2422cos 242)sin 2 24sin 2sin sin cos (012,0). 2 A x x x x x x x x αα ααααπ α= -++- =-+ << <≤ 令 2222 24sin 4sin 2sin cos 0242cos (cos sin )0 x A x x A xcox x x ααααααααα=-+=? ?=-+-=? 由于sin 0,0x α≠≠，上述方程组可化为 22 122cos 0242cos (cos sin )0x x cox x x ααααα-+=? ?-+-=?大学高等数学上习题(附答案)
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