山东科技大学概率论卓相来岳嵘第六章习题解答

山东科技大学概率论卓相来岳嵘第六章习题解答

习题六

1. 设总体X ～)6,(μN ,从中抽取容量为25的一个样本,求样本方差2

S 小于9.1的概率. 解 X ～)6,(μN ,由2

2

)1(σS n -～)1(2

-n χ,于是

{}()(){}(){}22

22

2519.1(1)9.12436.412436.466n S P S P p p χχ-???-<=<=<=-≥????

10.050.95.

=-=

2. 设1

2

10

,,,X X X L 是取自正态总体2

(0,0.3)N 的样本,试求

1021 1.44i i P X =??>????

∑.

解：由

()

2

1

2

n

i

i X

u σ=-∑～2

()n χ，于是

()

()(){}1021022

1221 1.441.4410160.10.30.3i i i i X P X P P χ==??

??????>=>=>=????????????

∑∑.

3. 设总体X ～(,4)N a ,n

X X X ,,,2

1

Λ是取自总体X 的一个

样本,X 为样本均值,试问样本容量n 分别为多大时,才能使以下各式成立， ()()()()()

2

10.1;20.1;

3{1}0.95.

E X a E X a P X a -≤-≤-≤≥

解 （1） 因为X

～

4(,),

N a n

所以

4X n

～(0,1),N 从而

()

2

4X a n

-～2

(1),

χ

于是

2241,0.1,40.4X a E E X a n n n ??- ?=-=≤≥ ? ???

所以

（24n

～(0,1),N 所以

2

2

2222

2

1242222x x x X a x E dx xe

dx e

d n ππ

π

π∞

∞

∞

--

-

-∞-??===

-= ???

??

所以(

)

2

4220.1,2E X a n n π

π

-=

=≤从而

800

254.7,255.

n n π

>

=≥故

（3） 因为

{}

1210.95,44444X a X n P X a P P n n n n n φ????

????-??-≤=≤=≤≤=-≥??????????

所以()0.975, 1.96=0.975 1.9615.37,16.22n n n n φφ??≥≥≥≥ ?

???

而，故

4. 已知总体X ～),10(2

σN ,σ为未知,1

2

3

4

,,,X X X X 总体X 的

一个样本,2

X S 、分别为样本均值和样本方差 （1）构造一个关于X 的统计量Y ,使得)3(~t Y ;

（2）设92.1=s ,求使{10}0.95P X θθ-<-<=的θ. 解 （1）

()

()()()22

2

22

2

110

30,1,1,

3,

2

n S X S N n χχσ

σσ---～～～

(

)()221021023.

33X X Y t S

S σσ??

- ? ???

-

?== ???

～

（2） ()

()221022{10}1210.95,

S X P X P t n S S S θθθθθ??--??

-<-<=<<=--=??????

所以()2210.025,4, 3.1824, 1.92, 3.0551.S

t

n n S S

θθ

θ-=====

5. 为了估计总体均值,抽取足够大的样本,以95%的概率使样本均值偏离总体均值不超过总体标准差σ的25%,试求样本容量. 解

{}

0.250.25444X u X u n n n P X u P P P n n σσσσ???--?????

-≤=≤=≤=-≤≤????????????????

2195%,0.975, 1.96,61.4656,62.444n n n

n n φφ???=-====≥ ? ? ????

所以所以样本容量6. 从总体X ～)2,12(2

N 中抽取容量为5的样本5

2

1

,,,X X X Λ，试求

(1) 样本的极小值小于10的概率; (2) 样本的极大值大于15的概率.

解 （1） (){}(){}1

2

5

1

2

5

min ,,,101min ,,,10P X X X P X X X <=-≥L L

{}55

111210*********i i i i X P X P ==?-?

-??=-≥=--

??????

∏∏

()5

11110.5785.

i φ==---=????∏

（2） (){}(){}1

2

5

1

2

5

max ,,,151max ,,,15P X X X P X X X >=-≤L L

()()5

5

5

11

12151211 1.510.93320.2923.22i i i X P φ==?-?-??=-<==-=-=????????????∏∏

7. 从两个正态总体中分别抽取容量为25和20

的两个独立样本,算得样本方差依次为21

62.7S =，22

25.6S =,若两总体方差相等,求随机抽取的两个样本的样

本方差之比2

221S S 大于6

.257.62的概率是多少？ 解

()()222121122221

2

2

/1,124,19/S S S

F n n F S

σσ=--=～，

所以

2211222262.7 2.450.025.25.6S S P P S S ????>=>=????????

8. 设n

X X

X ,,,2

1

Λ是总体),(~2

σμN X 的一个样本,样本方差

,)(1121

2

∑=--=n

i i X X n S 证明

1

2)(4

2

-=

n S D σ.

证 因为

)

1(~)1(22

2

--n S n χσ

，而

)

1(2))1((2-=-n n D χ，

所以

12)1(2)1()1(1)(4

2

42222

-=-?-=??

????-?-=n n n S n n D S D σσσσ.

9. 设1

2

,X X 分别是取自正态总体),(2

σμN 的容量均为n

的相互独立的两个样本的样本均值，试确定n ,使得两个样本均值之差超过σ的概率大于01.0. 解

2

212

12(,

),(,

(0,1),

2

X X X N u X N u N n

n n

σσσ

～～

{}

1212121220.01,22222X X X X n n n P X X P P n n σφσσ????--??->=>=-≤=->????????????

2.575,1

3.22n n

n φ<=≈

10. 设总体~()X πλ,n

X X X ,,,2

1

Λ为总体X 的一个样本.X ,2

S 分别为样本均值和样本方差，试求 (1) （1

2

,,,n

X X X L ）的分布律;

(2) 2(),(),()

E X D X E S

解

(1)

因为

{},

!

i

x i i i e P X x x λ

λ-==

所以

(){}1111

2,.

!!!n

i

i x n n

n n i i i i n e P X x X x P X x x x x λ

λ=-=∑=====∏L L

(2) ()()(),,1,2,,i

i

E X D X i n λλ===L 所以()()2

1

1

111

,,n

n

i

i

i i E X EX D X DX n n n

λλ======∑∑ ()()

2222

222111111111n n n i i i i i i E S E X X E X nX E X nX n n n ===????????=-=-=-?? ? ???---???????

?∑∑∑

()2211.1n n n n λλλλλ????=

+-+= ???-???

?

11. 从总体)6,4.3(2

N 中抽取容量为n 的样本,如要求其样本均值位于区间)4.5,4.1(内的概率不小于95.0,问样本容量n 至少应取多大？ 解

36(3.4,

(0,1),6X X N N n n

～

{}

1.4 5.4210.95,6n X n n P X P n φ??<<=<<=-≥???????

0.975,35.n n φ≥≥??

12. 设样本观察值n

x x x ,,,2

1

Λ的平均值为x ,样本方

差为2x

S ,作变换c a x y i

i

-=

得n

y y y ,,,2

1

Λ的样本平均值为y ,样本方差为2y

S ,试证 22

2,.x

y

x a cy S c S =+=

证

1

1,

n

i i x x n ==∑

()1111111111,

n n n n i i i i i i i i x a a y y x a x na x n n c cn cn cn c c

====-===-=-=-∑∑∑∑

所以.x a c y =+

()(

)222

22111111n n x

i i i i S x nx a cy n a cy n n ==????=-=+-+ ? ?--????∑∑

()(

)22222211221n i i i a acy c y n a acy c y n =??=++-++ ?-??

∑

2222111221n n i i i i c y ac y nacy nc y n ==??=+-- ?-??

∑∑

222221.1n i y i c y ny c S n =??=-= ?-??

∑

13. 设n

X X X ,,,21Λ是来自正态总体),(2

σμN 的一个样本，试求随机变量∑=-n

i i

X X 1

2

)(的数学期望和方差.

解： 因为()2(),,

i i E X u D X σ==所以

222(),

i E X u σ=+

()

2

(),,

E X u D X n

σ==

所以2

2

2

().

E X

u n

σ=+

()()22222111

(),

n n n

i i i i i i E X X E X nX E X nE X ===????-=-=- ? ?????∑∑∑

()()22

2

221.

n u n u n n σσσ??=+-+=- ??

?

令2

1

(),n

i

i Y X X ==-∑由2

21

1(),1n

i i S

X X n ==

--∑得()2

1,Y n S =-

由定理2得[]()22

2

2

11,

n S Y

n χσ

σ-=-～

所以()()2

4

21,D Y Y D n σσ??==- ???即()()4

21.D Y n σ=-

14. 设5

2

1

,,,X X X Λ来自正态总体)1,0(N 的一个样本，

（1）试求常数B A ,,使得

2

543221)()(X X X B X X A ++++服从2

χ分布,并且指出它的自由度； （2）试求常数,m n ,使得222

12345()()m X

X n X X X +++服从F 分布,并且指出它的自由度.

解（1）因为(0,1),i

X N ～,3

4

5

1

2

(0,1).

23N 由2

χ分布

的定义知

()2

2234512()()2,23

X X X X X χ++++～

故11,, 2.23

A B n ===自由度 （2）因为()222122,

X

X χ+～由

F

分布的定义知

()()222

1

2

3

4

5

()2,1,23

X X X X X F +++～ 故1

2

11,,2, 1.23

m B n n ====自由度 15. 设

X

是总体

X

的样本均值,试证当X

c =时,∑=-n

i i

c X 1

2

)(达到最小. 证 222

2

2

2

211111()22n n n

n n

i i

i i i i i i i i X c X c X nc X nX nX c X nc =====??-=-+=-+-+ ???

∑∑∑∑∑

()

()()2

2

2

1

1

.n

n

i i i i X X

n X c

X

X

===-+-≥-∑∑

故当X c =时，∑=-n

i i

c X 1

2

)(达到最小.

16.设总体X 服从标准正态分布，X 1，X 2，…，

X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量

Y =

∑∑==-n

i i

i i X

X n 6

25

1

2)15(，n ＞5

服从何种分布？ 解: 5

2

22

2221

2

11

~(5),~(5)

n

i

i i i X

X X n χχχ====-∑∑, 且1

2

χ与2

2

χ相互独

立. 所以

2122

/5~(5,5)

/5

Y F n n χχ=

--.