第七章弯曲应力
第八部分 弯曲变形
8.1 预备知识
一、基本概念
1、积分法和叠加法求弯曲变形；
2、用变形比较法解超静定梁。
二、重点与难点
1、叠加法求弯曲变形；
2、用变形比较法解超静定梁。
三、解题方法要点
1、 2、
8.2 典型题解
一、计算题
一悬臂梁，梁上荷载如图所示，梁的弯曲刚度为EI ，求自由端截面的转角和挠度。
解：梁在荷载作用下的挠曲线如图8—7a 中之虚线所示，其中B /C /
段为直线，因之C 、B 两截面的转角相同，即
z
B C
EI qi 63
==θθ
C 截面的挠度可视为由现两部分组成，一为yB (即B 截面的挠度，按图8—7b 之简图求之)，另一为由B 截面转过B θ角而引起的C 截面之位移a y (B /C /
段相当于刚体向下平移B y ，
B
再绕B /
点转过B θ角)。因梁的变形很小，a y 可用B a θ来表示。B y 值可由查表得
z
B EI ql y 84
=
C 截面的挠度为
??
?
??+=+=+=34268334a l EI ql EI ql EI ql a y y z z z B B C θ
二、计算题
一悬臂梁，其弯曲刚度为z EI 、梁上荷载如图所示，求Ｃ截面的挠度。
解：由于表中没有图所示情况的计算公式，但此题仍可用叠加法计算。图a 的情况相当于图b 、c 两种情况的叠加。图b 中C 截面的找度为1yc ，其值为
z
EI ql yc 84
1=
图c 中C 截面的挠度为2yc ，其值可按计算题一之方法，即
z z z EI ql EI l q l EI l q yc 384762282434
2-=??????
??????????? ???+?
?? ???-=
A
A
1
A
2
(a)
(b)
(c)
C 截面的挠度则为
z
z z EI ql EI ql EI ql yc yc yc 38441384784
4421=-=+=
（此题是否还有其它叠加方法，读者可自行考虑之）。
三、计算题
一外伸梁，梁上荷载如图所示。梁的弯曲刚度为z EI ，求C 截面的挠度。
解： 外伸梁在荷载作用下的挠曲线如图a 中虚线所示，两支座处只产生转角而挠度等零。在计算C 截面的挠度时，将梁的BC 段可先看成B 端为固定端的悬臂梁（图c ），此悬臂梁在均布荷载q 的作用下，C 截面的挠度为1yc 。但外伸梁上下班B 截面并非固不动，而要产生转角B θ，B 截面转B θ角使C 截面也要产生向下的竖向位移（相当于刚体转动），该竖向位移用2yc 表示（图e ）。将图c 的1yc 与图8—9e 的1yc 与图e 中的yc 2相叠加，就是外伸梁上C 截面的挠度yc 。即21yc yc yc +=
因B θ很小，yc 2可用B a θ来表示。外伸梁上B 截面的转角B θ，相当于图b 所示荷载作用下简支梁上B 截面的转角。因集中力qa 是作用在支座上，故不引起梁的变形，仅力矩
??
?
??=221qa M M 使梁变形。简支梁在M 作用下B 截面的转角可从表中查得为
=1/2qa 2
1
2
(a)
(b)
(c)
(e)
(d)
z
z z B EI l qa EI l
qa EI Ml 6321322=
==θ 所以
z
B EI l qa a yc 63==θ
从表查得
z
EI qa yc 84
1=
外伸梁上C 截面的挠度则为
()a l EI qa EI l qa EI qa yc yc yc z
z z 3424683
3421+=
+=+=
四、计算题
简支梁受三角形分布荷载作用，如图所示。 （1）试导出该梁的挠曲线方程； （2）确定该梁的最大挠度。
解：首先求支反力
()
↑=??? ???=6
3121ql l ql l I R A
3
616)(x l
q x ql x M -=
3
//616)(x l
q x ql x M EIy +-=-=
C x l q x ql EIy ++-=4
2/2412
D Cx x l
q x ql EIy +++-=5
312036
x
由边界条件： 0=x ， 0=y l x = , 0=y
得D=0 ，C=
360
73
ql )7310(3603607120364422353l x x l l
qx
x ql x l q x ql EIy ++-=++-=
再求m ax f 。 令
0360
724123
42=++-=ql x l q x ql EI θ
015
724
222=+
+-l x x l 得
l x 519.0=
所以
EI
ql f 4
max
00652.0= 讨论 本题说明积分法求变形的具体作法，积分常数的确定以及最大挠度的确定；简支梁上，当截面转角为零时，挠度为最大值。本例y 坐标正向向下，挠曲线近似微分方程改变符号。
五、计算题
抗弯刚度为EI 的等直梁，其左端为一块滑动约束，并承受集中力P ，如图。试求梁的挠曲线方程及滑块A 的铅垂位移，梁跨度为 l 。
解:
求出梁在两端的支反力 Pl M A =, P R B =
M A
x
弯矩方程式
Px Pl Px M x M A -=-=)(
挠曲线微分方程为
Pl Px x M y EI -=-=)(//
积分得
C Plx x P y EI +-=
2
/2 D Cx x Pl x P y EI ++-=2
32
6
积分常数C 、D 由边界条件确定：
由0=x 时，0/==A A y θ，得
0=C
由l x =时，0=B y ，即
02
63
3=+-D Pl Pl 3
3
Pl D = 于是得挠曲线方程为：
3
263
23Pl Cx x Pl x P y EI +
+-= 滑块A 的铅垂位移
EI
Pl y y A 3)0(3
== 六、计算题
在图所示坐标系中，已知等直梁的挠曲线方程式为
)23(48323x Lx L EI
qx
y +-=
试求：
（1）最大弯矩最大剪力；
（2）梁两端（0=x 及L x =）的约束情况； （3）梁上承受载荷的情况。
解：由挠度、转角、弯矩、剪力和载荷集度之间的微分关系
dx dy
=θ， 22dx
y d EI M -=，
Q dx dM
=， q dx
dQ = 得
)89(48)(323x Lx L EI
q
x +-=
θ )43(8
)(2x Lx q
x M -=
)83(8
)(x L q
x Q -=
q x q -=)(
可知：在0=x 处，0=A y ，EI
qL A 483
=θ，
0=A M ， 8
3qL
Q A =
，可见梁的左端约束可以看作铰座；在L x =处，0=B y ， 28
1
qL M B -=， qL Q B 85-=，可见梁的右端约束可以看作为固定端。
梁的约束和承受载荷的情况如图（b ）所示。画出剪力图和弯矩图如图（c ）、(d)所示。由Q 、
M 图
Q 图
o y
x
(a)
(d)
qL 8
38
2
qL qL 852128
9qL
M 图，可得82max
qL M =，qL Q 8
5
m ax =，均在固定端处。 七、计算题
试作图示梁的弯矩图，设梁的抗弯刚度为EI 。
解： 这是一次静不定梁。去掉B 处约束，取悬壁梁为基本静定系统（图（b ）），由变形协调条件：0=B v ，得补充方程：
023832
2343=?---EI
a qa EI qa EI qa EI a R B 于是，得
qa R B 8
23
=
由静力平衡方程 0=∑Y
qa qa qa R R B A 8
7=
--= ∑=0A m
2228
3
22823qa qa qa a qa M A =--?=
全部约束反力均已求得，可以直接画出该梁的剪力图和弯矩图。
八、计算题
两悬臂梁AB 和CD 通过CB 杆连接，两梁的截面刚度均为EI ，杆的截面刚度为EF ，试求CB 杆所受的内力，并画出梁AB 和CD 的弯矩图。
解：一次静不定，显然，AB 梁B 点挠度与CD 梁C 点挠度之差等于BC 杆的伸长量，即
l v v C B ?=-
其中
EA
Na l EI Na v EI a N EI a v C B =?=-=,3,3)2(8)2(9334
代入（a ）式，解出
C
M A
88
7
28
3qa Q
M
2
376Aa I qa
N +
=
九、计算题
如图所示结构各杆EI 相同。求E 截面的铅垂位移（不计轴力和剪力对变形的影响）。
解：设B 点的铅垂位移为?B ，则E 点因B 点的铅垂位移而产生的铅垂位移为?B /2，同时AB 梁的弯曲使得E 点产生挠度E v 故E 截面的铅垂位移为
)(2
1
21/B v a v v C E B E E +?+=?+
=?θ Ei
Pa EI a P a EI a a P
EI Pa 481732221483
=?????
? ???+??+=
P
D
Na
B
2qa 2-2Na
8.3 练习题
一、概念题
1、是非判断题
试判断下列论述是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“╳”。 （1） 梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为零。（ ╳ ） （2） 两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷载相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。 （ ╳ ） （3） 悬臂梁受力如图所示，若A 点上作用的集中力P 在AB 段上作等效平移，则A 截面的转角及挠度都不变。 （ √ ）
（4） 图示均质等直杆（总重量为W ），放置在水平刚性平面上，若A 端有一集中力P 作用使AC 部分被提起，CB 部分仍与刚性平面贴合，则在截面C 上的剪力和弯矩均为零。 （ ╳ ） （5） 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。 （ ╳ ） （6） 两简支梁的抗弯刚度EI 及跨2a 均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面C 的挠度不等而转角是相等的。 （ √ ）
（7） 一铸铁简支梁，在均布截荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。 ( ╳ )
(8) 平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线。 （ √ ） (9) 由于挠曲线的曲率与弯矩成正比，因此横截面的挠度和转角也与截面上的弯矩成正比。
（ ╳ ）
(10) 只要满足线弹性条件（力与变形关系服从虎克定律），就可以应用挠曲线的近似微分
方程 ( ╳ ) (11) 若两梁的抗弯刚度相同，弯矩方程相同,则两梁的挠曲线形状完全相同。
q
B
题6.1.（3）图
题6.1.（4）图
( √ )
(12) 梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，则梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。 （ √ ）
2、填空题
（1） 图示简支梁（a ）、（b ）受均布载荷作用，已知两梁的EI 相等则（b ）梁的最大挠度应为（a ）梁的最大 16 倍。
（2）用积分法求图示梁变形法时，
边界条件为0,0==v x ；0,0==θx ；0,3==v a x 连续条件为 21,v v a x ==；21,θθ==a x ；32,2v v a x ==
（3） 画出（a ）、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。
答：
(4) 如图所示的圆截面悬臂梁，受集中力作用。(a)当梁的直径减少一倍而其他条件不变时，其最大弯曲正应力是原来的（ 8 ）倍，其最大挠度是原来的（ 16 ）倍；
（b ）若梁的长度增大一倍，其他条件不变，则其最大弯曲正应力是原来的（ 2 ）倍， 最大挠度是原来的（ 8 ）倍。
（5） 如图所示的外伸梁，已知B 截面转角EI Fl B 162θ，则C 截面的挠度yc ＝（EI
Fal 162
）。
（6）
如图所示两梁的横截面大小形状均相同，跨度为l 则两人的内力图（ 相同
），两梁的最大正应力（
相同 ），两梁的变形（ 不同 ）。（填“相同”或“不同”）
（7）
如图所示的简支梁，EI 已知，则中性层在A 处的曲率半每径ρ=（
2
8ql EI ）
F
C
(a) 答图
直线
直线
直线
（8） 如图所示的圆截面外伸梁，直径d =7.5cm ，F=10kN ，材料的弹性模量E=200GPa ，则AB 段变形后的曲率半径为（ 77.7m ），梁跨度中点C 的挠度yc =( 3.6m )
（9） 如图所示受均布载荷q 作用的超静定梁，当跨度l 增加一倍而其他条件不变时，跨 长中点C 的挠度是原来的（ 16 ）倍。
3、选择题
(1) 图示两梁的材料和截面相同，则两梁的最大挠度之比a y ∶b y =（ B ）。
A 1 B
4
1
； C 81 D 16
1
（2）图示结构的变形谐调条件为：
A B A f f = B B A f l f =?+ C l f f B A ?=+ D l f f B A ?=-。
（a
P
（b
正确答案是 D 。
（3） 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大发生在（ D ）处。
A 挠度最大
B 转角最大
C 剪力最大
D 弯矩最大
（4） 应用叠加原理求梁横截面的挠度、转角时，需要满足的条件是（ C ）。
A 梁必须是等截面的
B 梁必须是静定的
C 变形必须是小变形；
D 梁的弯曲必须是平面弯曲
（5） 比较图示两梁强度和刚度，其中（b ）梁由两根高为0.5h 、宽度仍为b 的矩形截面梁叠合而成，且相互间摩擦不计，则有（ D ）
A 强度相同，刚度不同
B 强度不同，刚度相同
C 强度和刚度均相同
D 强度和刚度均不相同
（6） 如图所示的两简支梁，一根为钢、一根为铜。已知它们的抗弯刚度相同，在相同的F 力作用下，二者的（ B ）不同。
A 支反力
B 最大正应力
C 最大挠度
D 最大转角
（7） 如图所示的悬臂梁，为减少最大挠度，则下列方案中最佳方案是（ B ）
A 梁长改为l /2，惯性矩改为I/8
B 梁长改为3l 4，惯性矩改为I/2
C 梁长改为5l /4，惯性矩改为3I/2
D 梁长改为3l /2，惯性矩改为I/4
/2 /2
q
二、计算题
1、 试对图示各梁列出确定积分常数的边界条件，抗弯刚度EI 已知。
解答：(a) 边界条件：0,0,;4,033311===-
==θy l x K ql
y x 连续条件：3232322121,,4
3;,2θθ=======y y l
x x y y l x x
（b ） 边界条件：0,;0,01111====y l x y x 连续条件：212121,,θθ====y y l x x
2、 用积分法计算图示梁的变形时，需分段建立方程？并写出其位移边界条件。
解答：应分三段，边界条件为：
0,0==A v x
21,B B a x θθ==；21B B v v =
C C v v a x ==2,2
0,0,3===D D v a x θ
3、 试用叠加法求图示梁A 截面的挠度及B 截面的转角，EI 为已知常量。
x
x
解答：EI
ql EI qa y B A 4879,8453
4=
-=θ
4、 试求图示各梁C 截面的挠度，EI 为常量。
解答：（a ）EI Fl yc 4853
-=； （b ）
EI
qa yc 24234
-
= 5、 如图所示的简支梁由两根据地2a 槽钢组成，E=200GPa ，l =4m ，q=10kN/m ，
[]100=σMPa ，许用挠度[]1000
l
f =
，试校核其强度和刚度（考虑梁自重的影响）。
答：[][]σσ<=<=MPa f mm f 5.23,6.3m ax m ax
6、 如图所示的悬臂梁由此及彼2b 工字钢制成，l =2m ，E=200GPa ，[]σ=120MPa ，许用挠度[]500
l
f =
，试确定许可均布荷载集度。
答：5.08kN/m
B
22a
第11章梁的弯曲应力要点
第11章梁的弯曲应力 教学提示：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力；梁横力弯曲时横截面上的切应力；提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。 教学要求：掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。熟练掌握弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。 在外荷载作用下，梁截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。 11.1梁的弯曲正应力 平面弯曲情况下，一般梁横截面上既 有弯矩又有剪力，如图11.1所示梁的AC、 DB段。而在CD段内，梁横截面上剪力等 于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。 下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公 式。应综合考虑变形几何关系、物理关系 和静力学关系等三个方面。 11.1.1 弯曲正应力一般公式 1、变形几何关系 为研究梁弯曲时的变形规律，可通过 试验，观察弯曲变形的现象。取一具有对 称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上， 画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn，再 在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线 ab和cd，如图11.2(a)所示。然后按图 11.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲 状态。从试验中可以观察到图11 .2(b)情况： （1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正 交，只是横线间作相对转动。
材料力学第2版 课后习题答案 第6章 弯曲应力
弯曲应力 6-1求图示各梁在m －m 截面上A 点的正应力和危险截面上最大正应力。 题6-1图 解：（a ）m KN M m m ?=?5.2m KN M ?=75.3max 4 88 44108.49064101064m d J x ??×=××==ππ（压） MPa A 37.20108.490104105.2823=××××=??σMPa 2.3810 8.4901051075.38 23max =××××=?? σ
（b ）m KN M m m ?=?60m KN M ?=5.67max 4 88 331058321210181212m bh J x ??×=××==（压）MPa A 73.6110583210610608 23=××××=??σMPa 2.104105832109105.678 23max =××××=??σ（c ）m KN M m m ?=?1m KN M ?=1max 48106.25m J x ?×=3 6108.7m W x ?×=cm y A 99.053.052.1=?=（压）MPa A 67.38106.251099.01018 23=××××=??σMPa 2.128106.251018 3 max =××=?σ6-2 图示为直径D ＝6cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。 解：) 1(32 43 1απ?=D W x
? ??????×××=?463)64(110326π3 61002.17m ?×=3 46332 1021.2132 10632m D W x ??×=××==ππMPa 88.521002.17109.063 1=××=?σMPa 26.5510 21.2110172.16 3 1=××=?σMPa 26.55max =σ6-3T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。试求梁内最大拉应力与最大压应力。已知I z =10170cm 4，h 1=9.65cm ，h 2=15.35cm 。 解：A 截面： （拉） Mpa 95.371065.910 1017010402 831 max =××××=??σ（压）Mpa 37.501035.1510 10170104028 3 1 min ?=××××?=??σE 截面
第五章弯曲应力力习题
第五章 弯曲应力习题 一、单项选择题 1、梁纯弯曲时，梁横截面上产生的应力为（ ） A 、正应力 B 、拉应力 C 、压应力 D 、切应力 二、填空题 1、对于圆形截面的梁，其对圆心的极惯性矩I p = ；截面对过圆心的Z 轴的惯性矩I z = ；截面的抗扭截面系数W p = ；截面的抗弯截面系数W z = 2、在梁弯曲变形时 1 Z M EI ρ = ，式中ρ 表示梁中性层的曲率半径，M 表示梁横截面上的 ，I z 表示梁横截面的 ，EI z 称为梁的抗弯 。 3、梁纯弯曲时，梁纯弯曲时，横截面上的正应力沿高度方向呈 分布，横截面上距中性轴愈远的点处应力的绝对值 ,中性轴上的各点应力为 . 4、根据梁弯曲的平面假设，梁上其间存在一层既不伸长也不缩短的纤维，这一层纤维称为 。该层与梁横截面的交线称为 。 ~ 三、计算题 1、由50a 号工字钢制成的简支梁如图所示，q =30kN/m ，a =3m ，50a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1860×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试校核梁的强度。 ' 2、如图所示矩形截面悬臂梁，外载荷F =3kN ，梁长l =300mm ，其高宽比为h /b =3，材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试按梁的弯曲强度条件设计该矩形截面梁的尺寸。 图5.3.1
3、如图所示的简支梁，梁横截面为圆形，直径D =25mm ，P =60N ，m =180N ?m, a =2m ，圆形截面梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，试校核梁的强度。 { 4、如图所示悬臂梁，外伸部分长度为l ,截面为b ×4b 的矩形，自由端作用力为P 。 拟用图(a )和图（b ）两种方式搁置，试求图（a ）情形下梁横截面上的最大拉应力(σmax ) 和 图（b ）情形下梁横截面上的最大拉应力（σmax ）。图中力的单位为（N ），尺寸单位为（mm ）。 ( (a) 】 5、如图一单梁吊车，其跨度l =10m ，吊车大梁由45a 号工字钢制成，45a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1430×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，电葫芦自重G =15kN ，最大起重量Q=55kN ，试校核大梁的强度。（大梁自重暂不考虑。） 图5.3.2 图 5.3.3 图 5.3.4 图5.3.5
材料力学答案第六章
第六 弯曲应力 第六章答案 6.1钢丝直径d=0.4mm, 弹性模量E=200GPa, 若将钢丝弯成直径D=400mm 的圆弧时，试求钢丝横截面上的最大弯曲正应力。（200MPa ） 解：钢丝的弯矩和中性层曲率半径之间的关系为： EI M = ρ 1 则： ρ EI M = ，由弯曲正应力公式得ρ σmax max My = = ρ max Ey ，钢丝弯成圆弧后，产生的弯 曲变形，其中性层的曲率半径2 2D d D ≈+= ρ 2 )2(max D d E = σ==D Ed MPa 2004004.0102003 =?? 6.2 矩形截面梁如图所示。b = 8cm, h =12cm, 试求危险截面上a 、c 、d 三点的弯曲正应力。（20.8MPa, 10.4MPa, 0） 解：由平衡方程 0)(=∑F M A 得到： KN F F B A 4422 1 =??= = 危险截面在梁的中点处： KNm ql M 4428 1 8122max =??== I z = 121 2h b ??=4431011521208012 1mm ?=?? M P a I My MPa I My I My z d d z c c z a a 83.2010 11526010442.1010115230 1040 4 646=???===???====σσσ A F B F s F M M 机械 土木
6.3 从直径为d 的圆木中截取一矩形截面梁，试根据强度观点求出所截取的矩形截面的最合理的高h 和宽b 。(h= d 36, b=d 3 3) 解：最大弯曲正应力： z z W M y I M m a x m a x m a x m a x == σ h/b 的最佳值应应使梁的抗弯截面系数为最大。抗弯截面系数： )(6 1 )(616132222b b d b d b bh W -=-== 为b 为自变量的函数。 由 06 322=-=b d dt dW 3 6 333222d b d h d d b =-=== 6.4 图示两根简支梁，其跨度、荷载及截面面积都相同。一个是整体截面梁，另一个是由两根方木叠置而成（二方木之间不加任何联系），试画出沿截面高度的弯曲正应力分布 图，并分别计算梁中的最大弯曲正应力。（3 2a 16ql 3, 3 2a 8ql 3） 解：做出梁的弯矩图如右所示： （1）对于整体截面梁： 3223 2 )2(3161a a a bh W z =?== 故：3232max max 1633 281a ql a ql W M z = == σ （2）对于两根方木叠置 由于这是两个相同的方木叠合而成， 且其之间不加任何的联系，故有 3 2163a ql 3 2163a ql M 1 机械 土木 M 8
第六章弯曲应力
第六章 弯曲应力 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 纯弯曲、横力弯曲、弯曲正应力、惯性矩、抗弯截面系数、弯曲刚度、弯曲切应力（剪应力）。应熟练理解和掌握这些基本概念。 1.2 平面弯曲 工程实际中的梁，大多数是具有一个纵向对称面的等截面直梁。 外载荷作用在梁的纵向对称面内，并垂直于梁的轴线，梁弯曲时轴线将在对称平面内弯曲成平面曲线，这种弯曲叫平面弯曲。当梁横截面上既有弯矩又有剪力时，梁的弯曲是横力弯曲（或剪切弯曲）；梁横截面上只有弯矩而没有剪力时，梁的弯曲是纯弯曲。 1.3 弯曲正应力 梁在纯弯曲时的正应力是综合运用变形几何关系、物理关系和静力平衡关系推导出来的，推导弯曲正应力公式的方法，与推导轴向拉压正应力公式和扭转切应力公式的方法相同。弯曲正应力公式 z I My = σ 式中M 为所研究截面的弯矩；z I 分为截面图形对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点到中性轴的距离。计算时，M 和y 均用代数值代入，由此得到所求点的应力符号，同样也可根据梁的变形情况来确定。梁弯曲正应力公式适用材料处于线弹性范围内的纯弯曲梁，可推广到横力弯曲以及小曲率杆的弯曲中。 1.4 弯曲切应力 弯曲切应力公式的推导不是按照变形几何关系、物理关系、平衡关系三方面进行的，而是根据分析对弯曲切应力的分布规律作出假定——平行于剪力F s 且沿截面厚度均匀分布，然后利用平衡关系直接导出矩形截面切应力公式 * z z F S bI τ=s 式中，F s 为截面上的剪力；z I 为整个截面对中性轴的惯性矩；b 为所求切应力处横截面的 宽度；* z S 为截面上距中性轴为y 的横线任一侧部分面积对中性轴的静矩。 1.5 弯曲强度条件 1 正应力强度条件
5-第五章 弯曲应力.
第五章 弯曲应力 5.1 纯弯曲 一、纯弯曲和横力弯曲 1. 纯弯曲BC 段：Q ＝0，M ＝常数。 特点：弯曲后的轴线为圆弧线。 2、横力弯曲AB 、CD ：Q ≠0，M ≠0。 特点：弯曲后的轴线为非圆弧线。 F s 二、弯曲变形假设 1. 平面假设: 变形前为平面的横截面在纯弯曲变形后仍保持为一平面，且垂直于变形后的轴线，只是绕截面内某一轴线旋转了一个角度。 2. 纵向纤维间无正应力。 三、中性层和中性轴 1. 中性层：由于变形的连续性，各层纤维是由伸长逐渐过渡到缩短的，因而其间必定存在一层既不伸长，又不缩短的纤维，这一层称为中性层。 2. 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
5.2 纯弯曲时的正应力 一、变形几何关系 ()ρ θ ρθ ρθρεy d d d y = -＋＝ 二、 物理关系 当应力小于比例极限，由胡克定律： ρ εσy E E ＝＝ 任意点的应力与该点到中性轴的距离成正比。 三、静力关系 横截面上的微力dA σ组成垂直横截面的平行力系。该力系可简化为 ?= A dA N σ， ? = A y dA z M σ， ? = A z dA y M σ 根据纯弯曲时梁的横截面内只有对z 轴的弯矩M ，而0=N 、0=y M ，即
0＝?= A dA N σ 0＝? = A y dA z M σ ? = A z M dA y M ＝σ 由0＝?=A dA N σ可知中性轴必须通过截面形心。 由0== ?? A A y dA zy E dA z M ρ σ＝可知y 和z 轴至少有一根是对称轴。 由M dA y E dA M A A z ==??ρ σ2 y ＝可得? A dA y M E 2＝ ρ 令?=A z I dA y 2--对z 轴的惯性矩 y I M y E E z ＝ ＝＝ρ εσ 5.3 横力弯曲时的正应力 一、正应力近似计算公式 y I M z ＝ σ （误差不大，满足工程所需精度） 二、惯性矩计算 1. ? = A dA y 2Z I 若横截面是高为h,宽为b 的矩形，12 I 3 Z bh =； 若横截面是直径为D 的圆形，64 I 4 Z D π= 2. 平行移轴公式 A 2ZC Z b I I += 例题 1. 如图a 所示简支梁由56a 号工字钢制成，其截面简化后的尺寸简图b, F=150KN 。试求此梁的最大正应力和该截面上翼缘与腹板交接处a 点的正应力。
第六章-弯曲应力(2)
第六章 弯曲应力（Ⅱ） 6.2.1 下列各梁中，AB 段为纯弯曲的有（ ）。 2 2 6.2.2下列关于圆环截面几何性质的算式中正确的有（ ）。 （A ）()4 464 P I D d π =- （B ）()4 432P I D d π = - （C ）()4464 z I D d π =- （D ）()4 432 z I D d π = - （E ）()3 332 z W D d π = - （F ）() 4 432z W D d D π = - 6.2.3图示箱形截面梁的抗弯截面系数为（ ）。 （A ）2266z BH bh W =- （B ）331 ()6z W BH bh H =- （C ）33 1()12z W BH bh H =- （D ）331212z BH bh W =- 图6.2.2 图6.2.3
6.2.4图示截面的抗弯截面系数为（ ）。 （A ）3 2326z d bh W π=- （B ）43 6412 z d bh W π=- （C ）431326z d bh W d π??=- ??? （D ）431326z d bh W h π?? =- ??? 6.2.5用直径为d 的圆形木切割出一根高h ，宽b 的矩形截面梁，若使梁对z 轴 的抗弯截面系数为最大，则h /b 是（ ）。 （A ）2.0 （B （C ）1.5 （D 图6.2.4 图6.2.5 6.2.6悬臂梁由两根T 形截面叠起来放置（略去相互之间的摩擦力） ，受力如图所示。任一横截面上的正应力分布规律应是（ ）。 ( D ) ( C ) ( B ) ( A )图6.2.6 6.2.7圆形截面悬臂梁由圆筒B 套入实心圆杆A 而成，略去两接触面间的摩擦力，材料弹性模量2B A E E =。 （1）他们最大正应力的比 max max A B σσ是（ ）。 （A ）15/2 （ B ）1/2 （ C ）1/4 （ D ）1 （2）任一横截面上正应力的分布规律是（ ）。 ( A )( B )( C ) ( D ) 图6.2.7
材料力学习题册答案-第5章 弯曲应力
第 五 章 弯 曲 应 力 一、是非判断题 1、设某段梁承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。 （ × ） 2、中性轴是梁的横截面与中性层的交线。梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。 （ √ ） 3、 在非均质材料的等截面梁中，最大正应力max σ 不一定出现在max M 的截面上。（ × ） 4、等截面梁产生纯弯曲时，变形前后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。 （ √ ） 5、梁产生纯弯曲时，过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。 （ × ） 6、控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。 （ × ） 7、横力弯曲时，横截面上的最大切应力不一定发生在截面的中性轴上。 （ √ ） 二、填空题 1、应用公式 z M y I 时，必须满足的两个条件是 满足平面假设 和 线弹性 。 2、跨度较短的工字形截面梁，在横力弯曲条件下，危险点可能发生在 翼缘外边缘 、 翼缘腹板交接处 和 腹板中心 处。 3、 如图所示的矩形截面悬臂梁，其高为h 、宽为b 、长为l ，则在其中性层的水平剪力 =S F bh F 23 。 4、梁的三种截面形状和尺寸如图所示，则其抗弯截面系数分别为 226 1 61bH BH -、 H Bh BH 66132- 和 H bh BH 66132 - 。 x
三、选择题 1、如图所示，铸铁梁有A，B，C和D四种截面形状可以供选取，根据正应力强度，采用（ C ）图的截面形状较合理。 2、 如图所示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷F。则当F 增大时，破坏的情况是（ C ）。 A 同时破坏； B （a）梁先坏； C （b）梁先坏 3、为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。若矩形截面梁的弯矩图如图所示，则梁内钢筋（图中虚线所示）配置最合理的是（ D ） A B C D A B D x
第五章 弯曲应力
第五章 弯曲应力 内容提要 一、梁的正应力 Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲 纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。 横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。 Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法： 1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程； 2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律； 3. 由静力学关系得出正应力公式。 Ⅲ、中性层和中性轴 中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。 中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。 中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为 ()()1 z M x x EI ρ= (5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。 Ⅳ、梁的正应力公式 1. 横截面上任一点的正应力为 z My I σ= (5-2) 正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。 2. 横截面上的最大正应力，为 max max z My I σ= (5-3) max z z I W y = (5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。 3. 弯曲正应力公式的适用范围： 1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。 2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。横力弯曲时，平面假设不成立，公
!第六章弯曲应力
!第六章弯曲应力
弯曲应力 从7题之后差一个题号！！ 6-1 求图示各梁在m－m截面上A点的正应力和危险截面上最大正应力。 题6-1图
解：（a ）m KN M m m ?=-5.2 m KN M ?=75.3max 4 88 44 108.49064 101064 m d J x --?=??= = ππ MPa A 37.2010 8.490104105.28 2 3=????=--σ （压） MPa 2.38108.4901051075.38 23max =????=--σ （b ）m KN M m m ?=-60 m KN M ?=5.67max 4 88 331058321210181212m bh J x --?=??== MPa A 73.6110583210610608 2 3=????=--σ （压） MPa 2.10410 5832109105.678 23max =????=--σ （c ）m KN M m m ?=-1 m KN M ?=1max 4 8 106.25m J x -?= 3 6108.7m W x -?= cm y A 99.053.052.1=-= MPa A 67.3810 6.251099.01018 2 3=????=--σ （压） MPa 2.12810 6.251018 3 max =??=-σ 6-2 图示为直径D ＝6 cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。
解：) 1(3243 1 απ-= D W x ? ?? ? ? -???= -463 )64(11032 6π 3 61002.17m -?= 3 46 33 2 1021.2132 10632 m D W x --?=??= = ππ MPa 88.521002.17109.063 1=??=-σ MPa 26.5510 21.2110172.16 3 1=??=-σ MPa 26.55max =σ
第五章 弯曲应力
第五章弯曲应力 §5-1 梁弯曲正应力 §5-2 惯性矩计算 §5-3 梁弯曲剪应力* §5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念* §5-6 提高梁抗弯能力的措施
§5-1 梁弯曲正应力 一、梁弯曲时横截面上的应力分布 一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。弯矩由分布于横截面上的法向内力元 σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横截面上同时存在正应力和剪应力。 M σdA τdA Q 当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素，剪应力则是次要因素。
二、弯曲分类 P P a a A C D B A C D +?B C D + P P Pa 梁AC 、BD 段的横截面上既有剪力又有弯矩，称为剪切弯曲（横力弯曲）。 CD 段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。
三、纯弯曲实验1.准备 A B C D E F G H 在梁侧面画上AB 、CD 、EF 、GH 四条直线，且AB ∥CD 、EF ∥GH 。 在梁两端对梁施加纯弯矩M 。
A B C D E F G H M M A B C D E F G H 2.现象 ?变形后横向线AB 、CD 发生了相对转动，仍为直 线，但二者不再平行；仍与弧线垂直。 ?纵向线EF 、GH 由直线变成曲线，且EF 变短，GH 变长； ?曲线EF 、GH 间的距离几乎没有变化；?横截面上部分沿厚度方向变宽，下部分变窄。
3.假定 ?梁的任意一个横截面，如果在变形之前是平面，在变形后仍为平面，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度，且与变形后的轴线垂直。——平截面假定。 ?梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉，中间一层纤维既不受拉也不受压，这一层叫中性层或中性面。 ?中性层与横截面的交线叫中性轴。梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。 中性层 纵向对称面 中性轴
第七章弯曲应力
第七部分 弯曲应力 7.1预备知识 一、基本概念 1、 二、重点与难点 1、 2、 3、 三、解题方法要点 1、 2、 7.2典型题解 一、计算题 长为l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F ，已知h=0.18m ，b=0.12m,y=0.06m,a =2m,F=1.5kN ，求C 截面上K 点的正应力。 解：先算出C 截面上的弯矩m N m N Fa M C ??-=??-=-=331032105.1 截面对中性轴（即水平对称轴）的惯性矩为443 3310583.012 18.012.012m m m bh I z -?=?== 将C M 、z I 及y 代入正应力公式（7—7）。代入时，C M 、y 均不考虑正负号而以绝对值代入，则MPa Pa m m m N y I M z C K 09.31009.306.010583.01036 443=?=????=?=-σ C 截面的弯矩为负，K 点位于中性轴上边，所以K 点的应力为拉应力。 在我国法定计量单位制中，应力的单位为Pa 在计算梁的正应力时，弯矩用N.m 、y 用m 、 惯性矩用m 4 ，则算得的应力单位即为Pa 。
二、计算题 一矩形珙面的简支木梁，梁上作用有均布荷载，已知：l =4m ，b=140mm,h=210mm,q=2kN/m ，弯曲时木木材的许用正应力[]σ=10MPa ，试校核该梁的强度。 解：梁中的最大正应力发生在跨中弯矩最大的截面上，最大弯矩为 m N m m N ql M ??=???==32232m ax 1044/1028 1 81 弯曲截面系数为 3222210103.021.014.06 1 6m m m bh W z -?=??== 最大正应力为 []σσ<=?=???==-MPa Pa m m N W M z 88.31088.310103.01046323max max 所以满足强度要求。 二、计算题 就计算题一，求梁能承受的最大荷载（即求m ax q ）。 解：根据强度条件，梁能承受的最大弯矩为[]σz W M =m ax 跨中最大弯矩与荷载q 的关系为 2 m ax 8 1ql M = 所以 []281ql W z =σ 从而得[]m kN m N m Pa m l W q z /15.5/51504101010103.0882 2 6322 ==????= = -σ 即梁能承受的最大荷载为m kN q /15.5m ax =。 M b h 28 ql
动画弯曲应力
第六章 弯曲应力 授课学时：6学时 主要内容：纯弯曲的正应力；横力弯曲切应力。 $6.1 梁的弯曲 1．横力弯曲 横截面上既有Q 又有M 的情况。如 AC 、DB 段。 2．纯弯曲 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如CD 段。 3．梁的纯弯曲实验 （1）现象：横向线a-b 变形后仍为直线，但有转动；纵向线变a a 变为曲线，且上面压缩下面拉伸；横向线与纵向线变形后仍垂直。 （2）中性层：梁内有一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 （3）中性轴：中性层与横截面的交线。 a a b b m m 纵向对称面
$6.2纯弯曲时的正应力 1．变形几何关系 从梁中截取出长为dx 的一个微段，横截面选用如图所示的z y -坐标系。图中，y 轴为横截面的对称轴，z 轴为中性轴。从图中可以看到，横截面间相对转过的角度为θd ，中 m m 性层' 'o o 曲率半径为ρ，距中性层为y 处的任一纵线（纵向纤维）' 'b b 为圆弧曲线。因此，纵线bb 的伸长为 θθρθρθρyd d d y dx d y l =-+=-+=?)()( 而其线应变为 ρ θρθεy d yd bb l ==?= 纵向纤维的应变与它到中性层的距离y 成正比。 2．物理关系 梁的纵向纤维间无挤压，只是发生简单拉伸或压缩。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为 y E E ρ εσ= = m dA x z
该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比。中性轴z 上各点的正应力均为零，中性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。 3．静力关系 横截面上坐标为),(z y 的点的正应力为σ，截面上各点的微内力dA σ组成与横截面垂直的空间平行力系。这个内力系只能简化为三个内力分量，即平行x 轴的轴力N ，对z 轴的力偶矩z M 和对轴的力偶矩y M ，分别为 ?=A dA N σ，?=A y dA z M σ，?=A z dA y M σ 考虑左侧平衡， ∑=0X ，∑=0y M ，得 ?==A dA N 0σ， ?==A y dA z M 0σ 横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩z M ?? == =A A z M dA y E dA y M 2ρσ 式中积分 z A I dA y =? 2 是横截面对中性轴z 的惯性距，上式可写成为 EI M = ρ 1 式中，Z EI 越大，则曲率 ρ 1 越小。因此，Z EI 称为梁的抗弯刚度。将该式代入y E E ρ εσ= =，即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式 z I My = σ 即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧受拉压力，凹入的一侧受压。 则截面上的最大正应力为
材料力学讲稿：第7章 弯曲应力
第七章弯曲应力 一、教学目标和教学内容 1、教学目标 ⑴掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导中所作的基本假设。 ⑵理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。 ⑶掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。 ⑷掌握各种形状截面梁（矩形、圆形、圆环形、工字形）横截面上切应力的分布和计算。 ⑸熟练弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。 ⑹了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。 ⑺从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。 ⑻理解等强度梁的概念。 ⑼确定薄壁杆件切应力流的方向。 ⑽理解弯曲中心对开口薄壁杆件的重要性，掌握确定弯曲中心的方法。 2、教学内容 ⑴梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力 ⑵梁横力弯曲时横截面上的切应力 ⑶提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。
二、重点难点 ⑴重点：纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导。 横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的 计算。 弯曲的强度计算。 弯曲横截面上的剪应力。 重点处理：从弯曲变形的特点出发，让学生了解两个应力的分布规律，并对两个应力的分布进行对比，加强学生理解和记忆。分析弯曲正应力、剪应力公式中各项的意义，计算方法，结合T 型截面梁铸铁梁.这一典型问题分析，并在作业中进一步强化训练。 难点：弯曲正应力、剪应力推导过程和弯曲中心的概念。 难点处理： 结合梁弯曲变形的特点，推导两个应力公式，在推导中，充分利用前面的知识，发挥学生的主动性，让学生自己选择解决方法，加强学生对内容的掌握。对照A N = σ,p t I M =τ的推导消化难点，以学生理解这一推导思路。结合纯弯曲的条件和两个方向平面弯曲理解弯曲中心。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 8学时
第七章弯曲应力
第八部分 弯曲变形 8.1 预备知识 一、基本概念 1、积分法和叠加法求弯曲变形； 2、用变形比较法解超静定梁。 二、重点与难点 1、叠加法求弯曲变形； 2、用变形比较法解超静定梁。 三、解题方法要点 1、 2、 8.2 典型题解 一、计算题 一悬臂梁，梁上荷载如图所示，梁的弯曲刚度为EI ，求自由端截面的转角和挠度。 解：梁在荷载作用下的挠曲线如图8—7a 中之虚线所示，其中B /C / 段为直线，因之C 、B 两截面的转角相同，即 z B C EI qi 63 ==θθ C 截面的挠度可视为由现两部分组成，一为yB (即B 截面的挠度，按图8—7b 之简图求之)，另一为由B 截面转过B θ角而引起的C 截面之位移a y (B /C / 段相当于刚体向下平移B y ， B
再绕B / 点转过B θ角)。因梁的变形很小，a y 可用B a θ来表示。B y 值可由查表得 z B EI ql y 84 = C 截面的挠度为 ?? ? ??+=+=+=34268334a l EI ql EI ql EI ql a y y z z z B B C θ 二、计算题 一悬臂梁，其弯曲刚度为z EI 、梁上荷载如图所示，求Ｃ截面的挠度。 解：由于表中没有图所示情况的计算公式，但此题仍可用叠加法计算。图a 的情况相当于图b 、c 两种情况的叠加。图b 中C 截面的找度为1yc ，其值为 z EI ql yc 84 1= 图c 中C 截面的挠度为2yc ，其值可按计算题一之方法，即 z z z EI ql EI l q l EI l q yc 384762282434 2-=?????? ??????????? ???+? ?? ???-= A A 1 A 2 (a) (b) (c)
机械设计基础课后习题答案 第11章
11-1 解1）由公式可知： 轮齿的工作应力不变，则则，若，该齿轮传动能传递的功率 11-2解由公式 可知，由抗疲劳点蚀允许的最大扭矩有关系： 设提高后的转矩和许用应力分别为、 当转速不变时，转矩和功率可提高 69%。 11-3解软齿面闭式齿轮传动应分别验算其接触强度和弯曲强度。（ 1）许用应力查教材表 11-1小齿轮45钢调质硬度：210～230HBS取220HBS；大齿轮ZG270-500正火硬度：140～170HBS，取155HBS。 查教材图 11-7， 查教材图 11-10 , 查教材表 11-4取， 故： （ 2）验算接触强度，验算公式为：
其中：小齿轮转矩 载荷系数查教材表11-3得齿宽 中心距齿数比 则： 、，能满足接触强度。 （ 3）验算弯曲强度，验算公式： 其中：齿形系数：查教材图 11-9得、 则： 满足弯曲强度。 11-4解开式齿轮传动的主要失效形式是磨损，目前的设计方法是按弯曲强度设计，并将许用应力降低以弥补磨损对齿轮的影响。 （ 1）许用弯曲应力查教材表11-1小齿轮45钢调质硬度：210～230HBS取220HBS；大齿轮 45钢正火硬度：170～210HBS，取190HBS。查教材图11-10得 ,
查教材表 11-4 ，并将许用应用降低30% （ 2）其弯曲强度设计公式： 其中：小齿轮转矩 载荷系数查教材表11-3得取齿宽系数 齿数，取齿数比 齿形系数查教材图 11-9得、 因 故将代入设计公式 因此 取模数中心距 齿宽 11-5解硬齿面闭式齿轮传动的主要失效形式是折断，设计方法是按弯曲强度设计，并验算其齿面接触强度。
第5章 弯曲应力
第5章弯曲应力 判断正误 1.直径为D的圆形截面挖去一个边长为a的正方形如图所示，该截面对轴z的弯曲截面系数 。（） 2.平面弯曲静定梁横截面上的正应力与杆件材料的力学性能有关。（） 3.外径为D、内径为d的空心圆截面梁，其弯曲截面系数为。（） 4.铸铁梁的危险截面为弯矩最大的截面。（） 5.几种常用截面（矩形、工字形、圆形）梁，其最大弯曲切应力发生在剪力最大的截面中性轴上。（） 6.以中性轴为界，梁凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。（） 7.称为梁的弯曲刚度。（） 8.梁内最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力一定发生在同一截面的上、下边缘处。（） 9.钢梁第三类危险点的强度计算需要用第三强度理论或第四强度理论。（） 10.从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状是：用较小的面积获得较大弯曲截面系数。（） 计算题 5-1受均布荷载的简支梁如图所示，试计算：（1）1-1截面AA线上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力。
5-2简支梁承受均布荷载2/q kN m =，梁跨长2l m =，如图示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，实心圆截面的直径140D mm =，空心圆截面的内、外径比22=35d D α=，试分别计算它们的最大弯曲正应力及两者之比值。 5-3 No.20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若许用应力[]160MPa σ=，求许可荷载[F]。 5-4如图所示的简支钢梁AB ，材料许用应力。该梁拟采用三种形状的截面：（a ）直径为d 的圆截面；（b ）高宽比为2的矩形截面；（c ）工字型钢截面。试：（1）按弯曲正应力强度条件设计三种形状的截面尺寸；（2）比较三种截面的值，说明何种形式最为经济；（3）按弯曲切应力强度条件进行校核。
第5章弯曲应力
第5章 弯曲应力 思考题 1.推导梁的弯曲正应力公式时，采用物理关系εσE =是根据线弹性变形和纵向层不受挤压的假设。（ √） 2.在等截面梁中，最大弯曲正应力一定发生在弯矩值最大的截面上。（ × ） 3.对于等截面梁，最大拉应力与最大压应力在数值上一定相等。（ × ） 4.梁发生平面弯曲时，其横截面绕（ C ）旋转。 （A ）梁的轴线；（B ）截面对称轴；（C ）中性轴；（ D ）截面形心 5.对于纯弯曲梁，可由平面假设直接导出（ B ）。 （A ） z EI M = ρ 1 ；（B ）ρεy =；（C ）梁产生平面弯曲；（D ）中性轴通过形心 6.如图所示，两根h b ?矩形截面的木梁叠合在一起，两端受力偶矩o M 作用，则该叠合梁的抗弯截面模量W 为（ A ）。 （A ）261bh ；（B ）)61(22bh ；（C ）2 )2(61h b ；（D ） bh ) 121 (23 7.受力情况相同的三种等截面梁，如图所示。它们分别由整块材料或两块材料并列或两块材料叠合组成。若用3max 2max 1max )(,)(,)(σσσ分别表示这三种梁中横截面上的最大正应力，则（ B ）。 （A ）3max 2max 1max )()()(σσσ<<；（B ）2max 3max 1max )()()(σσσ<=； （C ）3max 2max 1max )()()(σσσ=<；（D ）3max 2max 1max )()()(σσσ==。 M o
1 2 3 8.设计钢梁时，宜采用中性轴为（ A ）的截面；设计铸铁梁时，宜采用中性轴为（ B ）的截面。 （A ）对称轴； （B ）偏于受拉边的非对称轴； （C ）偏于受压边的非对称轴； （D ）对称或非对称轴。 9.梁的四种截面形状如图所示，其截面面积相同。若从强度方面考虑，则截面形状最为合理的是 c ；最不合理的是 b 。 10.空心圆轴外径为D ，内径为d ，其惯性矩z I 和抗弯截面模量z W 能否按式子 4 4 3 3 64 64 32 32 z z D d D d I W ππππ= - = - 和计算，简述理由。 否。44 ()/(/2)/26464 z z I D d W D D ππ= =- 11.圆截面梁，当横截面直径增大一倍时，该梁的抗弯能力增大几倍？ 3 32 d W π= 增大8倍 2a 2a 2a
第六章 弯曲应力(习题解答)
6-3、图示矩形截面梁受集中力作用，试计算1-1横截面上a 、b 、c 、d 四点的正应力。 解：（1）外力分析，判变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。中性轴z 轴过形心C 与载荷垂直，沿水平方向。 （2）内力分析，弯矩图如图（b ）所示，1-1横截面的弯矩为： 1115230(M -=-?=-?kN m ) （3）应力分析，梁上边有弯矩图，上侧纤维受拉。1-1横截面上的a 点处于拉伸区，正应力为正；c 点处于中性层上，正应力为零；b 、d 两点处于压缩区，正应力为负。 3 111111m ax 2 301011.1110.1800.3 6 a a z z z M M M y y I I W σ---?= ?= ?= = =??P a M P a 。 11.11b a σσ=-=-M Pa 0c σ= 3 113 3010(0.1500.050)7.4110.1800.3 12 d d z M y I σ-?=- ?=- ?-=-??P a M P a 37 M kN V 图(kN ) (a) (c) (b) (c) (e) (d) 2 + q l /8 M kN ·m) (f) 180 q a a 题6-3图 题6-5图 6-5、两根矩形截面简支木梁受均布荷载q 作用，如图所示。梁的横截面有两种情况，一是如图(b)所示是整体，另一种情况如图(c)所示是由两根方木叠合而成（二方木间不加任何联系且不考虑摩擦）。若已知第一种情况整体时梁的最大正应力为10MPa ，试计算第二种情况时梁中的最大正应力，并分别画出危险截面上正应力沿高度的分布规律图示。 解：（1）外力分析，判变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。第一种情况中性层为过轴线的水平纵向面，中性轴z 轴过整体形心C 与载荷垂直，沿水平方向。而第二种情况，两根木梁以各自的水平纵向面为中性层发生弯曲，两根中性轴为与荷载垂直的水平形心主轴。如图所示。 （2）内力分析，判危险面：弯矩图如图（b ）所示，跨中截面为危险面。 （3）应力分析，判危险点：对于第一种情况，横截面为一个整体，跨中截面的上下边缘点正应力强度的危险点。而第二种情况，上下两块有各自的中性轴，因此，两根梁跨中的上下边缘均为正应力强度的危险点。 第一种情况：1 m ax m ax m ax m ax m ax 2 3 3310(2) 426 6 z M M M M a a a W a σ= = = = =?M P a
材料力学-陈振中-习题第五章弯曲应力
第五章 弯曲应力 5.2简支梁承受均布载荷如图所示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且 5 3 , 40221==D d mm D ，试分别计算它们的最大正应力。并问空心截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几？ 解：1)空心截面尺寸： 由 () ??? ? ??????? ? ??-=-= 2 2 2 2222 22 21 144 4 D d D d D D π π π 求出；mm d mm D 30,5022== 2)确定危险截面： 梁的弯矩图如图，最大弯矩发生在梁中间截面。且：m KN ql M ?==18 2max 3)求最大正应力： 实心截面：32 3 1D W Z π= MPa W M Z 2.159max max == σ 空心截面：? ?? ????????? ??-=4 2232 132D d D W Z π MPa W M Z 6.93max ' max ==σ 4)最大正应力之比： %2.412 .1596 .932.159max ' max max =-=-σσσ 5.4矩形截面悬臂梁如图所示，已知[]MPa m KN q h b m l 10,/10,3 2 ,4====σ。试确定此梁横截面的尺寸。
解：1) )确定危险截面： 梁的弯矩图如图，最大弯矩发生在梁固定端截面。且：2 2max ql M = 2)建立强度条件：[]σσ≤=Z W M max max 其中：6 2bh W Z = 3)代入数据求出梁截面尺寸：mm h mm b 416,277≥≥. 5.8压板的尺寸和载荷情况如图所示。材料为45钢，MPa s 380=σ，取安全系数n=1.5。试校核压板的强度。 解：1)最大弯矩 ()() m N M ?=??=-3081020104.1533max 2)A —A 截面抗弯模量 () 3 2 633max 568.110 112102.1203.0cm y I W =???-== --3)最大正应力： MPa W M Z 4.196max max == σ 许用应力[]MPa n s 253== σσ 可见s σσ?max ，压板强度足够。 5.11图示为一承受纯弯曲的铸铁梁，其截面为倒T 形，材料的拉伸和压缩许用应力之比 [][]4/1/=c t σσ。求水平翼板的合理宽度。 解：1)确定中性轴位置：由于梁受正的弯矩作，用，因此梁的中性轴以下部分受拉而产生拉应力，中性轴以上部分受压而产生压应力。由于：