九年级数学-几何探究题专题一

中国最负责的教育品牌私塾国际学府学科教师辅导教案

组长审核：

学员编号：NYOOOO080年级：初三课时数：3课时

学员姓名：刘俊男辅导科目：数学学科教师：王康生

授课主题几何探究问题

教学目的培养学生从特殊到一般的思维，以及快速学习的能力。

教学重点类比、推理、转化思维的培养。

授课日期及时段 5.22 19:00-21:00

教学内容

温故知新

回顾：

1、动点产生相似三角形：

2、动点产生等腰三角形：

3、动点产生平行四边形：

中国最负责的教育品牌

几何探究题

主要思想：考察学生从特殊到一般的转化思想，以及训练学生主动探究问题的能力。知识储备：

1、三角形性质：

2、平行四边形性质：

3、圆的性质：

4、三角形相似：

5、三角形全等：

6、图形全等变换：

中国最负责的教育品牌例1、小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB,BC,AC三边的长分别为5、10、13，求△ABC的面积．

小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积. 他把这种解决问题的方法称为构图法．

请回答：

(1)图1中△ABC的面积为；

参考小明解决问题的方法，完成下列问题：

(2)图2是一个6×6的正方形网格(每个小正方形的边长为1) ．

①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为13、25、29的格点△DEF；

②计算△DEF的面积为．

(3)如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．若

22,13,17

PQ PR QR

=== ,则六边形AQRDEF的面积为__________．

F

A

Q

D

E

P

R

图1 图2 图3

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练习1．在ABC △中，BC a =，AC b =，AB c =，设c 为最长边．当222a b c +=时，ABC △是直角三角形；当222a b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，可以判断ABC △的形状（按角分类）．

（1）请你通过画图探究并判断：当ABC △三边长分别为6，8，9时， ABC △为____三角形；

当ABC △三边长分别为6，8，11时，ABC △为______三角形．

（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当22a b +>2c 时，ABC △为锐角三角形；当

22a b +<2c 时，ABC △为钝角三角形．” 请你根据小明的猜想完成下面的问题：

当2a =，4b =时，最长边c 在什么范围内取值时， ABC △是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？

2、在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD 的边长为2，折叠菱形纸片，将B 、D 两点重合在对角线BD 上的同一点处，折痕分别为EF 、GH ．当重合点在对角线BD 上移动时，六边形AEFCHG 的周长的变化情况是怎样的？ 小明发现：若∠ABC =60°，

①如图1，当重合点在菱形的对称中心O 处时，六边形AEFCHG 的周长为_________； ②如图2，当重合点在对角线BD 上移动时，六边形AEFCHG 的周长_________（填“改变”或“不变”）.

请帮助小明解决下面问题：

如果菱形纸片ABCD 边长仍为2，改变∠ABC 的大小，折痕EF 的长为m ． （1）如图3，若∠ABC =120°，则六边形AEFCHG 的周长为_________；

（2）如图4，若∠ABC 的大小为2α，则六边形AEFCHG 的周长可表示为________．

图1

H

G

F

E

O

D

C

B

A

图2

H

G

F

E

D C

B

A 图3

H

G

F E

D

C

B

A

H

G

F

E

D

C

B

A 图4

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例2．问题解决

如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°， ∠B =∠E =30°.

（1）如图2，固定△ABC ，将△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时， 设△BDC 的面积为1S ，△AEC 的面积为2S ，那么1S 与2S 的数量关系是__________；

（2）当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成

立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想． （3）如图4，∠ABC =60°，点D 在其角平分线上，BD =CD =6，DE ∥AB 交BC 于点E ，若点F 在射线BA 上，并且DCF BDE S S ??=，请直接写出．．．．相应的BF 的长．

A

C

A （D ）

B （E ）

C

D E

图1 图2

B

D

A

B

C

D

E 图4

A

B

C

D

E

N

M

图3

中国最负责的教育品牌例3. 折纸是一种传统的手工艺术，也是很多人从小就经历的事，在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．如下图把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，便得到一个新的图形—“叠加矩形”。请按照上述操作过程完成下面的问题：

（1）若上述直角三角形的面积为6，则叠加矩形的面积为；

（2）已知△ABC在正方形网格的格点上，在图9中画出△ABC的边BC上的叠加矩形EFGH（用虚线作出痕迹，实线呈现矩形，保留作图痕迹）

(3) 如图10所示的坐标系，OA=3，点P为第一象限内的整数

．．点，使得△OAP的叠加矩形是正方形，写出所有满足条件的P点的坐标。

练习3. 阅读下面材料：

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F

E D

C

B

A E

D

C

B A

小炎遇到这样一个问题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连结EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由．

F E D

C

B

A

G

F E

D

C

B

A

图1 图2

小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她

先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB ，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点A 逆时针旋转90°得到△ADG ，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．

参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：

（1）如图3，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°．若∠B ，∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足_ 关系时，仍有EF =BE +DF ；

（2）如图4，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 均在边BC 上，且∠DAE =45°，若

BD =1， EC =2，求DE 的长．

图3 图4

例4. 在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三

角形分为面积相等的两部分。进而，小明继续研究，过四边形的某一顶点的直线能否将该四

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边形平分为面积相等的两部分？他画出了如下示意图（如图1），得到了符合要求的直线AF 。

小明的作图步骤如下：

第一步：连结AC ；

第二步：过点B 作BE//AC 交DC 的延长线于点E ； 第三步：取ED 中点F ，作直线AF ； 则直线AF 即为所求.

请参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图2，五边形ABOCD ，各顶点坐标为：A(3,4)，B(0,2)，O(0,0)，C(4,0)，D(4,2).请你构造．．一条经过顶点A 的直线，将五边形ABOCD 分为面积相等的两部分，并求出该直线的解析式.

练习4．如图，定义：在Rt △ABC 中，∠C =90°,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α，即ctan α=

AC

BC

αα=角的角的邻边对边.

根据上述角的余切定义，解答下列问题： （1）ctan60°= . （2）求ctan15°的值.

课堂练习：

F E D C B

A 图1

1 y

x O D C B

A 图2 1 C

B

A

α

中国最负责的教育品牌1．以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：

五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把它们分割成三部分(如图②)，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形(如图③).

小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等

．．．．，若设新的正方形的边长为x（x＞0），可得x2=5，x=5.由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长.

参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：

五个边长为1的小正方形（如图④放置），用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形，且所得矩形的邻边之比为1：2．

具体要求如下：

（1）设拼接后的长方形的长为a，宽为b，则a的长度为；

（2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）；

（3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的长方形（只要画出一种即可）

总结：

图④图⑤

O

B

A

C

O

B

A

图①图②图③

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课后练习：

1. 如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6).

（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °

（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被

过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．

要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）.