极坐标与参数方程课程教案
极坐标与参数方程
【教学目标】
1、知识目标：（1）掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程
（2）掌握参数方程与一般方程的转化
2、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培养他们的创新精神和思维严谨性．
3、情感目标：培养学生数形结合是思想方法．
【教学重点】
1、极坐标的与一般坐标的转化
2、参数方程和一般方程的转化
3、几何证明的整体思路
【教学难点】
极坐标意义和直角坐标的转化
【考点分析】
坐标系与参数方程和几何证明在广东高考中为二者选一考，一般是5分的比较容易的题，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分．根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立．有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定．
【基本要点】
1
一、极坐标和参数方程：
1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ．有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点．极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.
3．极坐标与直角坐标的互化：
4．圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是
r =ρ；
在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是θρ2acos =； 在极坐标系中，以 )2
,
a (C π
(a>0)为圆心，
a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2asin =； 5．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数??
?==),
t (g y ),
t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲
线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 6．圆2
2
2
r )b y ()a x (=-+-的参数方程可表示为)(.
rsin b y ,
rcos a x 为参数θθθ??
?+=+=.
椭圆1b y a x 22
22=+(a>b>0)的参数方程可表示为)(.
bsin y ,acos x 为参数??????==
.
抛物线2px y 2
=的参数方程可表示为)t (.
2pt y ,
2pt x 2为参数??
?==. 经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为?
??+=+=.tsin y y ,
tcos x x o o αα（t 为参
数）．
【典型例题】
题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用 例1、（1）点M 的极坐标)3
2,
5(π
化为直角坐标为（ ）B A ．)235,25(--
B ．)235,25(-
C ．)235,25(-
D ．)2
35,25( （2）点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ）B A ．)65,
2(π B ．)67,2(π C ．)6
11,2(π D ．)6,2(π 评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围．
变式1：（1）点()22-，
的极坐标为 ． （2）在极坐标系中，圆心在)4
A(1,π
，半径为1的圆的极坐标方程是___________ ．
评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系．
例2、（1）曲线的极坐标方程θρsin 4=化 成直角坐标方程为（ ）
A.x 2+(y+2)2=4
B.x 2+(y-2)2=4
C.(x-2)2+y 2=4
D.(x+2)2+y 2=4
【解析】将ρ=2
2
y x +，sin θ=22y
x y
+代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，
即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.
（2）⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ. ①把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； ②求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程.
【解析】以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长
度单位.（1）x=ρcos θ,y=ρsin θ,由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ.
所以x 2+y 2=4x.即x 2+y 2-4x=0为⊙O 1的直角坐标方程.同理x 2+y 2+4y=0为⊙O 2的直角坐标方程.
（2）由?????=++=-+,
04,
042222y y x x y x 解得???==,0,011y x 或???-==.2,222y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点（0，0）和（2，-2）.
过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.
变式1：极坐标ρ=cos(
θπ
-4
)表示的曲线是（ ）
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线 D .圆
【解析】原极坐标方程化为ρ=
2
1(cos θ+sin θ)?
22ρ=ρcos θ+ρsin θ，
∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.应选D.
变式2：在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）
A ．cos 2ρθ=
B ．sin 2ρθ=
C ．4sin()3π
ρθ=+
D ．4sin()3
π
ρθ=-
【解析】A 4sin ρθ=的普通方程为22
(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆
22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切．
例3、在极坐标系中，已知两点P （5，45π），Q )4
,1(π，求线段PQ 的长度；
变式1、在极坐标系中，直线ρsin(θ+π
4
)=2被圆ρ=4截得的弦长为 ．
变式2、在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为 ．
例4、极坐标方程分别为θρcos 2=和θρsin =的两个圆的圆心距为____________；
变式1、把极坐标方程cos()16
π
ρθ-=化为直角坐标方程是 ．
变式2
、在极坐标系中，圆心在)π且过极点的圆的方程为_ .
变式3、在极坐标系中，若过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，
则=||AB _________ _．
题型二：参数方程的互化和应用
例1、若直线1223x t y t =-??=+?（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k = .
变式1、设直线1l 的参数方程为113x t
y t
=+?
?
=+?（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2
l 的距离为_______
变式2、已知直线113:()24x t
l t y t =+??=-?
为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，
又点(1,2)A ，则AB =_______________。
变式3、直线122()112
x t t y t ?=-???
?=-+??为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
例2、经过曲线C ：???=+=θθsin 3,
cos 33y x (θ为参数)的中心作直线l :???==t
y t x 33（t 为参数）的垂线，
求中心到垂足的距离．
【解析】由曲线C 的参数方程???=+=θ
θsin 3,
cos 33y x 消去参数θ，
得(x-3)2+y 2=9.曲线C 表示以（3，0）为圆心，3为半径的圆.
由直线l 的参数方程???==t
y t
x 33,消去参数t,得y=
3
3x. 表示经过原点，倾斜角为30°的直线.
如图,在直角三角形OCD 中，OC=3，∠COD=30°， 所以CD=2
3，所以中心到垂足的距离为2
3.
变式1、将参数方程2
2
2sin ()sin x y θ
θθ
?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤
变式2、下列在曲线sin 2()cos sin x y θ
θθθ=??=+?
为参数上的点是（ ）
A ．1
(,2)2- B ．31
(,)42
-
C ．(2,3)
D ．(1,3)
变式3、P 是曲线sin cos 1sin 2x y θθ
θ=+??=-?
（)2 , 0[πθ∈是参数）上一点，P 到点)2 , 0(Q 距离
的最小值是 ．
（选讲）变式4、已知点P （x,y ）在曲线???=+-=θ
θsin cos 2y x (θ为参数)上，则x y
的取值范围
为 ．
例4、参数方程()2()
t t
t t
x e e
t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 变式
1、参数方程???
???
?
-=+=t t y t t x 1,1（t 为参数）的普通方程为__________________。 【解析】由???
????-=+=t t y t t x 11 ∴①2-②2得，x 2-y 2=4,方程表示双曲线.
题型三：参数方程与圆锥曲线 例1、参数方程???==θ
θ
cos 5sin 4y x （θ为参数）的普通方程为__________________。
【解析】???==θθcos 5sin 4y x ,得???????
==5cos 4sin y x θθ ①2+②2，得
25
162
2y x +=1表示椭圆. 例
2、（选讲）在平面直角坐标系xOy 中，设P(x,y)是椭圆3
2
x +y 2=1上的一个动点，求S=x+y
的最大值.
【解析】 由椭圆32
x +y 2=1的参数方程为???==?
?sin cos 3y x (?为参数)， 可设动点P 的坐标为（3cos ?,sin ?）,其中0≤?＜2π.
因此，S=x+y=3cos ?+sin ? =2·???
? ??+??sin 21
cos 23=2sin （?+3π）. 所以当?=
6
π
时，S 取得最大值2. ①
②
① ②
变式1： 已知2x 2+3y 2-6x=0 （x,y ∈R ），则x 2+y 2的最大值为 . 【解析】 9
题型四：综合运用
例1、以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中 取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为()4R π
θρ=
∈，它与曲线12cos 22sin x y α
α=+??=+?
（α为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=_______.
例2、在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为],0[sin ,
cos πθθθ∈?
?
?==y x ，以x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为θ
θρcos sin -=b
．若曲线1C 与2C 有两个
不同的交点，则实数b 的取值范围是 ．
例3、在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线:sin()4
2
l π
ρθ-=
， （1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
（2）当()0,θπ∈时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．
例4、 已知曲线C 1：4cos ,
3sin ,x t y t =-+??
=+?
（t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=??=?（θ为参数）。
（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C 1上的点P 对应的参数为2
t π
=
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线
332,
:2x t C y t =+??
=-+?
（t 为参数）距离的最小值。
【巩固练习】
1．直线：3x-4y-9=0与圆：?
??==θθ
sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是（ ）
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直线不过圆心
2．曲线的参数方程为???-=+=1
2
32
2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ）
A 、线段
B 、双曲线的一支
C 、圆
D 、射线
3、点()22-，
的极坐标为 ．
4、已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角α=6
π
，直线l 的参数方程为 ．
5、极坐标系中，圆ρ=10cos ??
?
??-θπ
3
的圆心坐标为 ．
6、点P 的直角坐标为(1,-3),则点P 的极坐标为 ．
7、若A 33，π?
? ???，B ??? ?
?-64π，，则|AB|=___________，S AOB ?=______．（其中O 是极点）
8、极点到直线(
)cos sin ρθθ+=_ _____．
9．（2011广东文）已知两曲线参数方程分别为???==θθsin cos 5y x （0θ≤<π）和?????==t
y t
x 24
5（t R ∈），它们的交点坐标为 ．
10．（09广东）若直线???+=-=.
2,21:1kt y t x l （t 为参数）与直线2,
:12.x s l y s =??=-?（s 为参数）垂直，
则k = ．
11．（09福建）直线：3x-4y-9=0与圆：??
?==θ
θ
sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是 ．
12．（09江苏）直线()为参数t t
y t x ??
?+=--=2322上与点()32，
P -距离等于2的点的坐标
是 ．
13、求椭圆14
92
2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P ．
【课后练习】
1、已知曲线C
的参数方程为13()x y t t ?
=????=+??
（t 为参数，0t >）.求曲线C 的普通方程。
2、已知曲线12C C ，的极坐标方 程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ?
?
=< ??
?
，
≥≤， 则曲线1C 与2C 交点的极坐标为
3、已知直线l 的参数方程：??
?+==t
y t x 412（t 为参数），圆C 的极坐标方程：
??? ??
+=4sin 22πθρ，试判断直线l 与圆C 的位置关系．
4、（求曲线?
??==θθ
2cos sin y x 过点)2,0(的切线方程为
5、在极坐标系中,设圆3ρ=
上的点到直线()
cos 2ρθθ=的距离为d 最大值为
6、若两条曲线的极坐标方程分别为1=ρ与??? ?
?
+=3cos 2πθρ，它们相交于B A ,两点，求线段
AB 的长．
7、
求直线11:()5x t
l t y =+???=-+??为参数
和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与
(1,5)Q -的距离。
【拓展练习】
1、（2009厦门英才学校）（极坐标与参数方程）求极坐标系中，圆2=ρ上的点到直线
()
6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值．
2、（2009通州第四次调研）
求经过极点9(0,0),(6,),)2
4
O A B π
π
三点的圆的极坐标方程.
3、（2009厦门十中）（极坐标与参数方程）已知圆C 的参数方程为
()为参数θθ
θ??
?+=+=sin 23,
cos 21y x ，若P 是圆C 与x 轴正半轴的交点，以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．
4、（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）在椭圆
22
11612
x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。
5、（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）已知点(,)P x y 是圆2
2
2x y y +=上的动点，
（1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。
2018年高考备考极坐标与参数方程专题
专题1 极坐标与参数方程 【基本方法】 1．两大坐标系：直角坐标系(普通方程、参数方程)；极坐标系(极坐标方程)； 2．基本转化公式： cos sin x y ρθ ρθ = ? ? = ? ， 222 (0) tan x y x y x ρ θ ?=+ ? ≠ ? = ?? ； 3．参数方程： () () x f t y g t = ? ? = ? ，消去参数t得关于,x y的普通方程，引入参数t得参数方程； 4．直线的参数方程0 0cos sin x x t y y t αα =+ ? ? =+ ? (t为参数)，注意参数t的几何意义；5．用转化法解决第(1)问，用图形法解决第(2)问. 【三年真题】 1．(2017全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos, sin, x y θ θ = ? ? = ? (θ为参数)，直线l的 参数方程为 4, 1, x a t t y t =+ ? ? =- ? （为参数）. (1)若1 a=-，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l a. 2．(2016全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 cos 1sin x a t y a t = ? ? =+ ? (t为参数， a>).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ. (I)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (II)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
3．(2015全国I)在直角坐标系xOy 中，直线1C : x =-2，圆2C ：()()22 121x y -+-=，以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求1C ，2C 的极坐标方程； (II)若直线3C 的极坐标方程为()4 θρπ =∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积. 【自主研究】 4．(2016届佛山二模)已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3 ρθπ =-，以极点为原点， 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ． (I)求曲线C 的直角坐标方程； (II)若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )?? (其中)?∈R ，求PQ 的最大值． 5．(2016届河南八市质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为333x y θ θ ???=??＝cos sin (θ为参 数)，以原点O 为起点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P 的极坐标为(2，－3 π )， 直线l 的极坐标方程为ρcos(3 π ＋θ)＝6． (Ⅰ)求点P 到直线l 的距离； (Ⅱ)设点Q 在曲线C 上，求点Q 到直线l 的距离的最大值． 6．(2016年全国卷II )在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2 2 (6)25x y ++=． (Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t α α=??=? (t 为参数)， l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的 斜率．
(极坐标与参数方程)教学案( 4 )
高二数学 (极坐标与参数方程)教学案( 4 ) 常见曲线的极坐标方程 一、课前自主预习 1.将下列极坐标方程化为直角坐标方程 ⑴5=ρ, ⑵sin 2ρθ=, ⑶πθ4 3 =, 2.写出下列特殊图形的直线方程 图3 图1 _________________ _________________ ____________________ 图5 图4 ______________ ________________ 3.写出下列特殊图形圆的极坐标方程 . 图3 图2 图1 O ____________________ ________________ ________________________ 图5 图4 _____________________ ____________________
4. 若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：_____________ 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为：__________________________________ 二、课堂合作探究 例1：按下列条件写出它的极坐标方程: ⑴求过极点，倾角为π/4的射线的极坐标方程.⑵求过极点, 倾角为π/4的直线的极坐标方程.⑶求过极点及??? ??6, 6πA 的直线方程.⑷求过点?? ? ??6,6πA 平行于极轴的直线⑸求过点?? ? ??6,6πA 且倾斜角为32π的直线方程.. 例2、:按下列条件写出圆的极坐标方程: (1)以()0,3A 为圆心,且过极点的圆(2)以?? ? ??2, 8πB 为圆心,且过极点的圆 (3)以极点O 与点()0,4-C 连接的线段为直径的圆(4)圆心在极轴上,且过极点与点??? ? ? 6,32πD 的圆 例3、自极点O 作射线与直线4=θρsos 相交于点M,在OM 上取一点P,使得OM ·OP=12,求点P 的轨迹方程.
极坐标与参数方程基本题型-2018年高考一轮复习资料极坐标与直角坐标普通方程与参数方程 的互相转化
极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化 一、直角坐标的伸缩 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：???>='>='）（）（ 0,0,μμλλy y x x 的作用下，点P(x ，y)对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩 变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换????? x ′＝λ·x ，λ>0y ′＝μ·y ，μ>0 下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆 可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）． 【强化理解】 1．曲线C 经过伸缩变换 后，对应曲线的方程为：x 2+y 2=1，则曲线C 的方程为（ ） A ． B ． C ． D ．4x 2+9y 2=1 【解答】解：曲线C 经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x ′2+y ′2=1②， 把①代入②得到： 故选：A 2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′ 2＝1． 【解答】解：设变换为φ：?????x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）， 可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1． 将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 2 4＝1， 比较系数得λ＝1 3，μ＝1 2 ． 所以?????x ′＝13 x ， y ′＝1 2 y ．将椭圆4x 2 ＋9y 2 ＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的1 2， 可得到圆x ′2＋y ′2＝1．
亦可利用配凑法将4x 2 ＋9y 2 ＝36化为? ?????x 32＋? ?? ?? ?y 22 ＝1，与x ′2 ＋y ′2 ＝1对应项比较即可得?????x ′＝x 3，y ′＝y 2 ． 3、（2015春?浮山县校级期中）曲线x 2+y 2=1经过伸缩变换后，变成的曲线方程是（ ） A ．25x 2+9y 2=1 B ．9x 2+25y 2=1 C ．25x+9y=1 D ．+=1 【解答】解：由伸缩变换，化为，代入曲线x 2+y 2=1可得25（x ′）2+9（y ′）2=1， 故选：A ． 二、极坐标 1.公式： （1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(),x y 极坐标(),ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ =?? =? ()222tan 0x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? 已知极坐标化成直角坐标 已知直角坐标化成极坐标 2.极坐标与直角坐标的转化 （1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路 A ：直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤 ①运用()222 tan 0x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? ②在[)0,2π内由()tan 0y x x θ= ≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． B::极坐标(),ρθ化为直角坐标(),x y 的步骤，运用cos sin x y ρθ ρθ =??=?
简单曲线的极坐标方程优秀教学设计
简单曲线的极坐标方程 内容和内容解析 本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修4-4）中第一讲《坐标系》第三节“简单曲线的极坐标方程”的第一课时。解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。牛顿在他的老师沃利斯的影响下，多次运用坐标系，按曲线的方程来描述曲线，而且提出了建立新的坐标系的创建。牛顿坐标系就是现在的极坐标系。极坐标系的创立为数学研究做出了巨大的贡献。简单曲线的极坐标方程这一节是本讲的重点内容，是选修4-4的重点，也是高考选考内容中的考察内容之一。极坐标方程在实际生活中有着较广的应用，同时也是学生锻炼提高数学能力的良好题材，它蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、转化与化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。 目标和目标解析 1.知识与技能目标： 理解曲线极坐标方程的概念；了解与曲线直角坐标方程的异同；掌握求曲线极坐标方程的步骤；能在极坐标系中给出简单图形（如过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。掌握圆的直角坐标方程和极坐标方程的互化，能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形并进行有关计算 2.过程与方法目标： 通过对预习作业中问题的探究体会类比、从已知推测未知、从特殊到一般的数学思想方法；通过对简单曲线的极坐标方程的求解和其几何意义的探讨，培养观察、分析、比较和归纳的能力；通过不同坐标系的选择感受转化与化归的思想方法；通过极坐标方程与其几何图形的对应，体会数形结合的思想方法
3.情感、态度与价值观目标： 通过不同坐标系的选择与变换理解事物的多样性及其中必然的内在的联系性，可以多角度、多层次地分析问题.；通过练习体验小组探究合作学习，体会团结协作精神；通过阿基米德螺线，四叶玫瑰线，双曲螺线，心脏线，双纽线，星形线，三叶玫瑰线的绘制感受数学与生活的联系，欣赏和感受数学中的美，渗透数学文化，激发学习兴趣 教学重点：圆的极坐标方程的求法 教学问题诊断分析 高二学生，知识经验正逐步成熟，形成了适合自己的一套学习方法，有较强的演绎推理能力和数形结合的能力，具有较好自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，学生之前已经学习了极坐标系，现在基本会极坐标和直角坐标的互化，也会求曲线轨迹方程的步骤，具备了数形结合思想。在圆的极坐标方程推导中，要用到三角函数知识，关键是利用直角三角形边角关系建立起坐标变量间的关系，如何合理作图构造恰当的三角形是关键，因此在这部分内容的研究中，鼓励学生小组讨论, 尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验作图的关键，另外，特殊点极坐标的选择和检验也是理解难点。本节课需要学生小组合作探究学习，因此之前的学习小组分配很关键，小组间的配合也有影响课堂进度，教师分组时引起注意。 教学难点：对不同位置的圆的极坐标方程的理解 教学支持条件分析 课堂上需要学生小组讨论，合作学习。配合班级管理把班上同学分成六个学习小组，围桌而坐，组建原则是：“组间同质、组内异质”, 根据学习能力、兴趣倾向、交往技能、守纪情况、性别比例及座位的安排等合理搭配 根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用： 利用多媒体播放短片引起兴趣，利用动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持；利用实物投影仪，直接投影学生小组讨论的解题思路、解题过程，学生上台分析时也可直接投影自己的答题过程不用板书节约时间
高考数学分类汇编-极坐标与参数方程
高考数学分类汇编-极坐标与参数方程 题型160 极坐标方程化直角坐标方程 1. (安徽理7）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）. A. ()0θρ=∈R 和cos 2ρθ= B. ()π 2 θρ=∈R 和cos 2ρθ= C. ()π 2 θρ= ∈R 和cos 1ρθ= D. ()0θρ=∈R 和cos 1ρθ= 2.(天津理11）已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=,圆心为C ,点P 的极坐标为π4,3 ?? ??? ,则 CP = . 3. (重庆理15）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线2 3 x t y t ?=??=??（t 为参数）相交于A B ，两点,则AB = . 4.（湖北理16） 在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ? ?=?? =? (?为参数,0a b >>),在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为 sin 4 π ρθ+ = （m 为非零数） 与b ρ=．若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与员O 相切,则椭圆C 的离心率为 ． 5.（福建理21） 在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已 知点A 的极坐标为π4???,直线l 的极坐标方程为πcos 4a ρθ? ?-= ???,且点A 在直 线l 上．
（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆C 的参数方程为)(sin , cos 1为参数a a y a x ? ? ?=+=,试判断直线l 与圆C 的位置关系. 6.（2014 重庆理 15）已知直线l 的参数方程为23x t y t =+??=+?（t 为参数）,以坐标原点为极 点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为 ()2sin 4cos 00,0π2πρθθρ-=<,则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________. 7.（2014 天津理 13）在以O 为极点的极坐标系中,圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于,A B 两点.若AOB △是等边三角形,则a 的值为___________. 8.（2014 陕西理 15）C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,点π2,6?? ???到直线 πsin 16ρθ? ?-= ?? ?的距离是 . 9.（2014 湖北理 16）（选修4-4:坐标系与参数方程） 已知曲线1C 的参数方程是??? ??= =33t y t x ()为参数t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,则1C 与2C 交点的直角坐标为________. 10.（2014 广东理 14）（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 . 11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐 标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l 的参数方程是1 3x t y t =+??=-?（t 为参数）, 圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）. A. B. C. D.
极坐标参数方程导学案(一)
极坐标参数方程复习学案（一） 【高考要求】：（1）坐标系 ①理解坐标系的作用②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变 化情况③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角 坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化④能在极坐标 中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的 方程。理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义 (2)参数方程 ①了解参数方程，了解参数的意义 ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 【教学目标】： 1、知识与技能：理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，会正确将 极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极 坐标方程，不要求利用曲线方程或极坐标方程求两条曲线的交点。 } 2、过程与方法：在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系 的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立 坐标系有哪些方便之处。 3、情感、态度与价值观：体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的 兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应 用意识和实 践能力。 【自主探究】 已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ =??=?． （1）化直线l 的方程为直角坐标方程； （2）化圆的方程为普通方程； （3）求直线l 被圆截得的弦长． )
【巩固练习】 1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，设l 与曲线2cos 2sin x y θθ=??=?（θ为参数）交于两点,A B ，求（1）|PA||PB|，|PA|+|PB|的值； （2）弦长|AB|; （3） 弦AB 中点M 与点P 的距离。 , 、
高中数学选修4--4简单曲线的极坐标方程教案
三 简单曲线的极坐标方程 课 题: 1、圆的极坐标方程 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学方法：启发诱导，讲练结合。 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系； ②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r
④证明或说明. 变式练习：求下列圆的极坐标方程 (１)中心在Ｃ(a ,0)，半径为a ； (２)中心在(a,π/2)，半径为a ； (３)中心在Ｃ(a ,θ０)，半径为a 答案：(1)ρ＝2acos θ (2) ρ＝2asin θ (3)0cos()a ρθθ-＝２ 例2．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程)3cos(6π θρ-= 为直角坐标方程。 三、课堂练习： 1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 (C) ()() .2cos .2sin 44.2cos 1.2sin 1A B C D ππρθρθρθρθ????=-=- ? ?? ?? ?=-=- 2.极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是多少？ 2 sin (4)π πρθρθρθρ3．说明下列极坐标方程表示什么曲线 (1)＝２cos(-) (2)＝cos(-)4 3 (3)＝3 ＝６ 2222423020x y x y x y x y x +-+==+==．填空： (1)直角坐标方程的 极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (2)直角坐标方程－＋１的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (3)直角坐标方程９的极坐标方程为＿＿＿＿＿ (4)直角坐标方程３的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ 四、课堂小结： 1．曲线的极坐标方程的概念． 2．求曲线的极坐标方程的一般步骤． 五、课外作业：教材28P 1，2 1．在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6 ,3(π C ，半径3=r ， （1）求圆C 的极坐标方程。 （2）若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且2:3:=OP OQ ，求动点P 的轨迹方程。
-全国卷极坐标与参数方程高考题汇编
极坐标与参数方程（全国卷高考题） 1、（2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y αα =?? =+?（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲 线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 π θ=与C 1的异于 极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 解：（I ）设P(x,y),则由条件知M( 2 ,2Y X ).由于M 点在C 1上，所以 ??? ???????????+=?=sin 222,cos 22y x 即 ? ?? ????+=?=sin 44cos 4y x 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y α α =??=+?（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。 射线3 π θ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3 π ρ=， 射线3 π θ= 与2C 的交点B 的极径为28sin 3 π ρ=。 所以21||||AB ρρ-== 2、（2012）已知曲线C 1的参数方程是??? x ＝2cos φ y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的 顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。 【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2, )3636 ππππ
高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型
一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案(精选.)
选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时）
课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）
（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.
高考数学二轮复习极坐标与参数方程学案(含解析)
高考数学二轮复习极坐标与参数方程学案（含解析） 考向一：极坐标方程 极坐标 一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 极坐标与直角坐标的互化 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： ??? ?? x ＝□01ρcos θ，y ＝□ 02ρsin θ；? ?? ?? ρ2＝□ 03x 2＋y 2，tan θ＝□04y x x ≠0. 1、［2016?全国Ⅱ，23］在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2 ＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是??? ? ? x ＝t cos α，y ＝t sin α (t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10， 求l 的斜率． 解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2 ＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2 ＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ ρ1＋ρ2 2 －4ρ1ρ2 ＝144cos 2 α－44. 由|AB |＝10得cos 2 α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为 153或－153 . 解法二：将l 的参数方程代入C 的方程得 于是t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11. |AB |＝|t 1－t 2|＝144cos 2 α－44 由|AB |＝10得cos 2 α＝38，tan α＝±153 .
选修4-4曲线极坐标方程-教案
简单曲线的极坐标方程 【教学目标】 1.掌握极坐标方程的意义 2.能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程 3.通过观察圆的极坐标方程的推导过程，体会圆的极坐标方程的简介美 【重难点分析】 ; 教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法 教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解 【教学方法】 引导发现、讲授 【教学过程】 1.导入 问题设置 1、直角坐标系中怎样描述点的位置 # 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义怎样 3、直角坐标系的建立可以求曲线的方程；极坐标系的建立是否可以求 曲线方程 2、极坐标方程的概念 引例如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(,)满足的条件 : [解] 设M (,)是圆上O、A以外的任意一点，连接AM，则有， OM=OAcosθ，所以，ρ＝2acosθ. [思考] 曲线上的点的坐标都满足这个方程吗
定义：一般地，在极坐标中，如果一条曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 ) , (= θ ρ f,并且坐标适合0 ) , (= θ ρ f的点都在曲线C上，那么这个方程称为这条 曲线C的极坐标方程，这条曲线C称为这个极坐标方程的曲线。 [注] 1.定义中的所涉及到的两个方面. 2.极坐标系下求曲线方程的步骤： Step1找到曲线上点满足的几何条件； Step2 几何条件坐标化； $ Step3 化简. 例1 已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单 [分析]建系；设点M（ρ，θ）；列式OM＝r，即：ρ＝r. ) [思考] 和直角坐标方程2 2 2r y x= +相比较，此方程有哪些优点 [变式练习] 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在Ｃ(a,0)，半径为a； (２)中心在(a,/2)，半径为a； 答案：(1)＝2acos (2) ＝2asin 例2．（备选）（1）化在直角坐标方程0 8 2 2= - +y y x为极坐标方程， & （2）化极坐标方程) 3 cos( 6 π θ ρ- =为直角坐标方程。 3、直线的极坐标方程 例3．求过极点，倾角为/4， π的射线的极坐标方程。
高中数学选修44极坐标与参数方程知识点与题型
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2 －2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
极坐标系与参数方程一轮复习
极坐标系与参数方程 ?知识梳理 、极坐标 在象限确定. 二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程 （1） 圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 _____ ； （2） ______________________________________________________________ 圆心在极轴上的点（a,0）处，且过极点0的圆的极坐标方程是 _________________________ （3）圆心在点（a,处且过极点的圆0的极坐标方程是 ___________ 。 2、直线的极坐标方程 （1） 过极点且倾斜角为 的直线的极坐标方程是 __________ ； （2） _______________________________________________________ 过点（a,0），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ___________________________________ 三、常见曲线的参数方程 1、极坐标定义：M 是平面上一点, 表示0M 的长度, 是MOx ，则有序实数实数对 （,）,叫极径，叫极角；一般地, 2、极坐标和直角坐标互化公式: COS 2 2 x 2 y sin 或 t tan y （x 0） 的象限由点（x, y ）所 [0,2 ）， 0 x y
第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换 知识点】 点P(x,y)的对应点为P'(x',y')。称 为平面直角坐标系中的伸缩变换 定义 2： 在平面内，将图形 F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为 图形F 的平移。若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形 F 按向量a 平移. F 上任意一点P 的坐标为(x, y)，向量a (h, k)，平移后 因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。 【典例1】(2014年高考辽宁卷(文))将圆x 2 + /= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐 标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (I) 写出 C 的参数方程； (II )设直线1: 2x + y - 2二0与C 的交点为P i ，P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P i P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程. 练习: 定义 1：设 P(x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 x' x( y' y( 00) )的作用下， 在平面直角坐标系中，设图形 的对应点为P(x, y )则有: 即有: x x h ， y y k 在平面直角坐标系中，由 (x,y) (h,k) (x,y) xh x h 所确定的变换是一个平移变换。 yk
极坐标与参数方程高考题含答案
极坐标与参数方程高考题 1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2 2 2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π R 4 θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积. 解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. （Ⅱ）将= 4 π θ代入2 2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得 240 ρ-+=，解得1ρ=， 2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN V 的面积o 1 1sin 452 ?=12 . 2.已知曲线194:2 2=+y x C ，直线???-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 |4cos θ+3sin θ-6|,
则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α= 43 . 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小 值,. 3.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐 标方程为ρ=2cos θ02πθ?? ∈???? ，, (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标. 解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为: x 1cos sin y θ θ=+??=? (0≤θ ≤π). (2)设D(1+cos θ,sin θ).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan θ,θ= 3 π .故D 的 直角坐标为32（. 4.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程; (2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
2017参数方程学案.doc
第2讲 参数方程 【考情分析】 考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 基础梳理 1．参数方程的意义 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数??? x ＝f (t )，y ＝f (t )， 并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为??? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参 数)． 设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P → 的数量． (2)圆的参数方程??? x ＝r cos θ， y ＝r sin θ(θ为参数)． (3)圆锥曲线的参数方程 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． 双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)． 抛物线y 2＝2px 的参数方程为??? x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)． 双基自测 1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程??? x ＝－1－t ， y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别 是( )．
A ．直线、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆 D ．圆、直线 解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆． 又∵??? x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线． 答案 D 2．若直线??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析 参数方程??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线 4x ＋ky ＝1垂直可得－32×? ???? －4k ＝－1，解得k ＝－6. 答案 －6 3．二次曲线??? x ＝5cos θ， y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________． 解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 2 9＝1左焦点为(－4,0)． 答案 (－4,0) 4．(2011·广州调研)已知直线l 的参数方程为：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极 坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________． 解析 将直线l 的参数方程：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22 sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为 2－1 1＋4 ，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交． 答案 相交