一阶微分方程的解的存在定理

第三章 一阶微分方程的解的存在定理

研究对象

初值问题(Cauchy Problem)

?????==(3.2)

3.1) 00)((),(y x y y x f dx dy 1 基本概念

1）利普希兹(Lipschitz)条件

函数),(y x f 称为在闭矩形区域 b y y a x x D ≤-≤-00,:上关于y 满足利普希兹条件，如果存在常数0>L 使得不等式

2121),(),(y y L y x f y x f -≤-

对所有D y x y x ∈),(),,(21都成立。其中L 称为利普希兹常数。

2 ）局部利普希兹条件

称函数),(y x f 在区域2R G ?内关于y 满足局部利普希兹条件，如果对区域G 内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的矩形域D ，在D 上),(y x f 关于y 满足利普希兹条件。

注意：对G 内不同的点，矩形域D 大小和常数L 可能不同。

3）一致利普希兹条件

称函数),,(λy x f 在区域{}βλαG y x λy x G λ<<∈=,),(),,(R R ??2内一致地关于y 满足局部利普希兹条件，如果对λG 内的每一点),,(λy x 都存在以),,(λy x 为中心的球λG S ?，使得对任何),,(1λy x ，S λy x ∈),,(2成立不等式

2121),,(),,(y y L y x f y x f -≤-λλ

其中L 是与λ无关的正数。

4）解的延拓

设方程(3.1)右端函数),(y x f 在某一有界区域G 中有意义，

],[),(b a x x y ∈=?是初值问题(3.1)、(3.2)的解，若],[),(11b a x x y ∈=ψ也是初值问题的解，且],[],[11b a b a ?，

当],[b a x ∈时，)()(x x ψ?≡，则称解)(x ψ是解)(x ?在区间],[b a 上的一个延拓。

5）包络和奇解

曲线族的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。

奇解 在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。

注意：

1）奇解上每一点都有方程的另一解存在。

2）通解中不一定包含方程的所有解，例如奇解。

3）一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的。

2 基本定理

1）存在性与延拓性定理

定理3.1 （皮卡(Picard ）解的存在唯一性定理）如果函数),(y x f 在闭矩形域

b y y a x x D ≤-≤-00,:

上连续且关于y 满足利普希兹条件，则方程(3.1)存在唯一的连续解)(x y ?=，定义在区间h x x ≤-0上, 且满足初始条件00)(y x y =，这里),(max ),,

min(),(y x f M M

b a h D y x ∈==。 证明分五个步骤完成。 步骤 1 求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程；

步骤 2 构造一个连续的逐步逼近序列；

步骤 3 证明此逐步逼近序列一致收敛；

步骤 4 证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解；

步骤 5 证明唯一性。

注意：定理3.1中的条件是解存在唯一的充分条件而非必要条件。

定理3.2（皮亚诺(Peano ）解的存在性定理）

如果微分方程(3.1)的右端函数),(y x f 在某区域G 内连续，任给点G y x ∈),(00，则满足初始条件00)(y x y =的解在含0x 的某区间上存在。

定理 3.3 对于隐式方程0),,(='y y x F ，如果在点),,(0

00y y x '的某一邻域中， ),,()y y x F a ' 对所有的变元),,(y y x '连续，且存在连续的偏导数；

0),,()0

00='y y x F b ； 0),,()000≠'

?'?y y y x F c 。 则方程0),,(='y y x F 存在唯一的解)(x y y =，h x x ≤-0（h 为足够小的正数）且满足

条件0

000)(,)(y x y y x y '='=。 定理3.4 如果方程(3.1)右端的函数),(y x f 在有界区域G 中连续，且在G 内满足局部利普希兹条件，那么方程(3.1)通过G 内任何一点),(00y x 的解)(x y ?=可以延拓。直到点))(,(x x ?任意接近区域G 的边界。以向x 增大一方的延拓来说，如果)(x y ?=只能延拓到区间m x x <≤0 上，则当m x →时，))(,(x x ?趋近于区域G 的边界。

推论 如果G 是无界区域，在解的延拓定理的条件下, 则方程(3.1)的通过点),(00y x 的解)(x y ?=可以延拓，以向x 增大一方的延拓来说，有下面的两种情况:

a ) 解)(x y ?=可以延拓到区间),[0+∞x ，

b ) 解)(x y ?=可以延拓到区间),[0m x ，

其中m 为有限数，当m x →时，)(x y ?=或者无界，或者))(,(x x ?趋于区域G 的边界。

定理3.5 第一比较定理

若函数),(),,(y x F y x f 都在平面区域G 上连续，且有不等式

G y x y x F y x f ∈<),(),,(),( 成立，则方程),(y x f dx dy =满足初始条件00)(y x y =的解)(x ?和方程),(y x F dx

dy =满 足初始条件00)(y x y =的解)(x φ在它们共同存在的区间上，满足不等式：

),()(x x φ?<当0x x >时，

),()(x x φ?>当0x x <时。

2）解对初值的连续性与可微性定理

定理3.6 假设函数),(y x f 于区域G 内连续且关于y 满足局部利普希兹条件，

G y x ∈),(00，),,(00y x x φy =是初值问题?????==0

0)(),(y x y y x f dx dy 的解，它于区间 b x a ≤≤有定义，其中b x a ≤≤0，那么，对任意给定的0>ε，必存在正数),,(b a εδδ=，使得当

2200200)()(δ≤-+-y y x x 时，初值问题?????==0

0)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x φy =在区间b x a ≤≤也有定义，并且

εy x x φy x x φ<-),,(),,(0000，b x a ≤≤ 。

定理3.7 假设函数),(y x f 于区域G 内连续且关于y 满足局部利普希兹条件，则初值问题?????==0

0)(),(y x y y x f dx dy 的解 ),,(00y x x y ?=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是连续的。 定理3.8 对于方程

),,(λy x f dx

dy = （λE ） 用λG 表示区域{}βλαG y x λy x G λ<<∈=,),(),,(。

假设函数),,(λy x f 于区域λG 内连续，且在λG 内关于y 一致地满足局部利普希兹条 件，),,,(,),,(000000λy x x φy G λy x λ=∈是方程0λE 通过点),(00y x 的解，在区间b x a ≤≤有定义，其中b x a ≤≤0， 那么，对任意给定的0>ε，必存在正数),,(b a εδδ=，使得当

220200200)()()(δλλy y x x ≤-+-+-

时，方程λE 满足条件00)(y x y =的解),,,(00λ?y x x y =在区间b x a ≤≤也有定义，并且

ελ?λ?<-),,,(),,,(00000y x x y x x ，b x a ≤≤。

定理3.9 假设函数),,(λy x f 于区域λG 内连续，且在λG 内关于y 一致地满足局部利

普希兹条件，则方程λE 的解),,,(00λ?y x x y =作为λ,,,00y x x 的函数在它的存在范围内是连续的。

定理3.10 若函数),(y x f 以及y f ??都在区域G 内连续，则初值问题?????==0

0)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ?=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是连续可微的。

3 基本计算

1) 近似计算和误差估计

第n 次近似解的计算公式

?????+≤≤+==?-x x n n

h x x x d f y x y x 0001000,))(,()()(ξξ?ξ?? 。 第n 次近似解的误差公式

1)!

1()()(++≤-n n

n h n ML x x ??。 2）求奇解（包络线）的方法

a ） 自然法

找出方程不满足唯一性条件的点集合L ，例如}),{(∞=??=y

f y x L ，再验证它是否是奇解或是否包含有奇解。

b ） C -判别曲线法

结论1 通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组 ???='=0

),,(0),,(C y x C y x C φφ 消去C 而得到的曲线0),(=y x ?中，有的因式可能是奇解。

c ） P -判别曲线法

结论2 方程0),,(='y y x F 的奇解包含在下列方程组

???='=0),,(0),,(p y x F p y x F p