经济数学基础3参考答案1

经济数学基础 3 作业分类答案

一、单项选择题（共 29 题）：

⒈ A B 为两个事件，则（ B ）成立． A.

( A B ) ? =B A B . ( A B ) ? B ? A C. ( A B ) + =B

A D. ( A

B ) + ?B

A

⒉如果（ C ）成立，则事件 A 与 B 互为对立事件． A.

AB = ? B.

A U

B = U C. AB

U B = U D.

A 与

B 互为对立事件

5 个黑球，3 个白球，一次随机地摸出 4 个球，其中恰有 3 个白球的概率为（ A ）．

A. 5

3 5

4335

C 4

B. ( )3

C. C 8

( )

D. 3

8

8 8 8 8

8

⒋10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前 3 个购买者中恰有 1 人中奖的概率为（ D ）．

3

× 0 72

× 0 3 A. C 10

B. C.

⒌同时掷 3 枚均匀硬币，恰好有 2 枚正面向上的概率为（ D ）．

A. 0.5

B. 0.25

C. 0.125

D. 0.375

⒍已知 P B > 0 , A A 2= ? ，则（ B ）成立．

A. P A B ) > 0

B. P A 1

+ A B ) ] = P

A B ) + P A B )

C.

P A A B 2

) ≠ 0 D. P A A B 2

) = 1

⒎对于事件 A B ，命题（ D ）是正确的．

A. 如果 A B 互不相容，则 A B 互不相容

B. 如果 A ? B ，则 A ? B

C. 如果 A B 对立，则 A B 对立

D. 如果 A B 相容，则 A B 相容

⒏某随机试验每次试验的成功率为 p (0 <

A. (1 ? p )3

B. 1 ? p 3

C. 3 1 ? p )

D. (1 ? p )3+ p (1 ?

p )2

+ p 2

(1 ? p )

? 0

1 2 3 ?

9.设离散型随机变量 X 的分布列为

（B

）．

X ~ ?

? 0.2

c?

，

若

c

为

常

数

，

F

x

(

)

为

分

布

函

数

，

则

0.3

0.1

?

A. c = 0.4, (2) 0.3

B. c =

F=

C. c = 0.3, (2) 0.3

D. c = 0.3, (2) 0.9

10.设离散型随机变量X的分布列为( = k ) = a

3n

1

(k = 1, 2, , n) ，则a = （D）．

A. 1

B. 1

C. 2

D.

3

3

≤ ≤

11. 设随机变量 X 的密度函数的是 f x , 0 x 其它 2 ，则 A = （ C ）．

A. 2

B. 3

C. 1

D. 1

2 3

12 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f x ( ) ，分布函数为 F x

，则对任意的区间 ( ,a b ) ，则

( < X < b ) = （ D ）．

b

A.

F a

? F b

B. ∫

a F x x

C. f a ( ) ? f b ( )

D.

∫

a b

( )d

?c , 3 ≤ ≤x 5

13 设随机变量 X 服从均匀分布，其概率密度函数为 f x ( ) = ? ? 0,

其它 ，则 c = （ B ）． A. 1

B. 1

C. 1

D. 2

3

2

14 设随机变量 X ~ ( )λ ，且已知 ( = 2) = ( = 3) ，则常数 λ = （ C ）．

A. B. 4 C. 3 D. 1

15. 设随机变量

X ~ (0,1) c

，又常数 ( ≥ c ) = ( < c ) ，则 c = （ B ）．

A B . C .1

D .

2

16. 每张奖券中末尾奖的概率为 0.1，某人购买了 20 张号码杂乱的奖券，设中末尾奖的张数为 X ，则 X 服从（ C ）．

A .泊松分布

B . 指数分布

C .二项分布

D . 正态分布

17. 设随机变量 X ~ ( 3, 2) ，则 X 的概率密度函数 f ( ) = （ B ）．

1

x 2 ?

?∞ < < +∞x )

B .

1

?

(x +3)2

?∞ < < +∞

A . 2π e

2

(

( x +3)2 2 π e 4

( x ?3)2

( x )

1 ??∞< < +∞x )

D.

1 ??∞< < +∞

C. 2πe 4 ( 2 πe 4 ( x)

18 设随机变量X ~ ( , ) ，且 E X( ) 4.8, ( ) 0.96= D X= ，则参数与n p分别

是（ A ）．

A. 6, 0.8

B. 8, 0.6

C. 12, 0.4

D. 14, 0.2

19.设随机变量X的分布函数，

? 0,

F x( ) = ??x3

, 0

??1,

x < 0

≤ x < 1 ，则E X( ) = （B）．

x≥ 1

2

A.

4

∫

+∞x x

d B.

∫

01

3 d 3

C.

∫

014

+ ∫1

+∞x dx

( x +1)2

3

D.

∫

0+∞

3 d x x

20.设随机变量 X 的密度函数的是

（ B ）． f x

= 1 ?

18

?∞ < < +∞x ) ，则 ( ), ( ) 的值为 A.

E X ( ) = ?1, ( ) 6= B. E X ( ) = ?1, ( ) 9=

C.

=

E X ( ) 1, ( ) 6D X D. E X ( ) 1, ( ) 9D X =

21.设随机变量 X ~ (2,8) ，则

(2) = （ C ）．

A. 24

B. 26

C. 28

D. 30

22.设 X

（ D ）．

A. 2 ( ) 3D X

+

B. 2 (D X )

C.

2 ( ) 3? D. 4 ( )

2

23.设 X 为随机变量， E X ( ) = μ , ( ) = σ ，当Y = （ B ）时，有 E Y ( ) 0, ( ) 1D Y =

．

μ X

A.

? B. X

? μ

C. σ ? X

D. μ σ σ

σ μ

X

24. 设 X 是随机变量， D X ( ) = σ 2 ，设Y aX b + ，则 D Y ( ) = （ B ）．

A . a σ2+ b

B . a 2

σ2

C .

a σ2

D . a 2σ2+ b （二）25.设

来自正态总体 N ( ,μ σ 2)（ μ σ,2均未知）的样本，则（ A ）是统计量．

2

1,2, ,X n

是 A.

X 1

B. X 1+ μ

C.

X

1

σ 2 D. μ X 1

26.设1,2,3

是来自正态总体 N ( ,μ σ 2)（ μ σ,2

均未知）的样本，则统计量（ D ）不是 μ 的无偏

估计．

A. max{ ,X X X 12,3}

B.

1(X 1+ X 2) C. 21

2

X ? X 2 D. X 1

? X 2

? X

3

? ? ? ?

都是参数θ 的估计量，其中 θ θ θ12 3

27.设12

3

4

? ? ? 是参数 θ 的无偏估计量，若它们满足条件

?

? , D ?

? D θ1

< D θ2

θ1

> D θ3

，则以下结论不正确的是（ C

）.

A .

θ1

? 比θ?2有效 B .

θ3

? 比θ?2有效 C .2

θ? 最有效

D .3

θ? 最有效

28. 设1,2, , X n 是来自总体 X 的一个样本，对于给定的α (0 < <α

1) ，若存在统计量θ 和θ ，使

3

得 P (θ θ θ ) 1= ? α ，则称 [ , ]是置信度为（ A ）的置信区间．

A. 1? α

B.

α C. 1

29.对正态总体方差的检验用的是（ C ）．

α

? D.

2

α

2 A. U 检验法 B. t 检验法 C.

χ 2 检验法 D. F 检验法

二、填空题（共 35 题）

⒈从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 2

．

5

⒉从 r 个数（ r n ，且 个数字互不相同），则取到的 r 个数字中有重复数字 的概率为

1? ( ?1) (n r

r 1) ．

n

⒊有甲、乙、丙三个人，每个人都等可能地被分配到四个房间中的任一间内，则三个人分配在同一间房 间的概率为1/16，三个人分配在不同房间的概率为3/8．

⒋已知 P A = . , ( )P B = . ，则当事件 A , B 互不相容时， P A B + ) = 0.8， P AB ) = 0.3．

⒌ A B 为两个事件，且 B ? A ，则 P A B +

) = P(A) ．

⒍已知 P AB ) = P AB ) , ( )P A = p ，则 P B = 1-P ．

⒎若事件 A B 相互独立，且 P A = p P B = q ，则 P A B + ) = p q pq ．

⒏若 A B 互不相容，且 P A > 0 ，则 P B A ) = 0，若 A B

相互独立，且 P A

> 0 ，则 P B A ) = P(B)

．

9．已知 P A

= . , ( )P B = . ，则当事件 A B 相互独立时， P A B + ) = 0.65， P A B ) = 0.3．

10 设随机变量 X ~ ( )λ ，且已知 (

= =

1) (

= 2) ，则常数 ( ? 0, x ≤ 0

= 4) =

22

e ? ． 3

11 设随机变量 X ~ (0, 1) ，则 X 的分布函数 F x =

?x

< < ? , 0 x 1 ．

??1, x ≥ 1

? p ) (36 p 2

+ 8 p +1)

12 设每次打靶中靶的概率是 p ，则 10 次独立射击中至多有 2 次中靶的概率为 (1

13 设 X ~ ( ,μ σ 2)，则 (|

? ≤μ | 3 )σ

= 0.9974 ．

x

t 2

8

．

14 设

Φ( ) = ∫

?∞

1

2π

?

2

，则 Φ(0)

=

0.5 ．

15 设随机变量 X 的分布函数

F x ( ) = +A B

x ?∞ < < +∞x ) arctan (

，则常数 A

= 1/2， B = 1/π．

16.设随机变量 X 的分布函数是

F x ( ) ，则

(

< X ≤ b ) = F b ( ) ? F a ( ) ．

4

17.已知连续型随机变量 X 的分布函数 F x ，且密度函数 f x ( ) 连续，则 f ( ) = F x ( ) ．

18.设随机变量 X ~ (13,5 )2，且 (

≤ k ) 0.8413 ，则 k = 18．

19.设随机变量 X 的分布列为 X

~

? ?1 0 1

?

?

? 0.5 0.2 0.3??

，则 E X ( )

D X

20.设随机变量 X ~ (5) ，则 E X ( ) = 5，

(

2

21.设随机变量 X ~ (20, 0.3) ，则 E X ( ) = 6， D X ( ) = 4.2．

22.设随机变量 X ~ (6, 2 )2，则 E X (2 1)

+ = 13 ， D X (2

1)

+ = 16．

?

+

≤ ≤ 23.设随机变量 X 的密度函数为 f x ( ) = ?

Ax 1, x 2 ，则 A = _-1/2， E X ( ) = 2/3，

D X ( ) = 2/9．

24.若

E X E X (3

2

D X (3 ? =1) 3.6．

25..设随机变量 X ~ (0,9),Y = 5 X 26. 组成样本的样品数量称为样本容量． 27．统计量就是不含未知参数的样本的函数．

28．参数估计的两种方法是点估计和区间估计．常用的参数点估计有矩估计法和最大似然估计法两种方

法．

29．比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性．

30. 已知样本值为 X = 8.04，样本方差为 S 2= 11.462．

31. 设总体 X ~ ( ,μ σ 2)，样本容量 X 落在区间（9，11）内的概率为

P (9

< X < 11) = Φ

?11 ? μ ? ? σ / 4

??

?

? Φ

? 9 ? μ ?

? σ / 4 ?? ．

?

32．设1,2, , X n是来自正态总体N ( ,μ σ 2)（σ2已知）的样本值，按给定的显著性水平α 检验

H

0 μ

μ

:

= μ μ

; H :

0 1

，需选取统计

量

U

X? μ

= σ /

0 ．

n

33．假设检验中的显著性水平α 为弃真错误, 即事件{当H0为真时拒绝H0}发生的概率．

34．当方差σ2未知时，检验H 0

μ

μ

:

= μ μ

; H :

0 1

5

所用的检验量是检验量．t

?( , , , )

E[ ( , , , )]θ? L x n= θ 时，则?( , , , )

35．当参数θ的估计量θ的无偏估计．

（三）解答题（共题）1 2 L X

n

满足x x12 θ 1 2 L X

n

称为θ

⒈设A,B 为两个事件，试用文字表示下列各个事件的含义：

⑴ A B；⑵AB；⑶ A B；

⑷ A AB；⑸AB；⑹AB + AB．

解：⑴ A B表示事件 A 与事件B 至少有一个发生；

⑵AB表示事件 A 与事件B 同时发生；

⑶ A B表示事件 A 发生但事件 B 不发生；

⑷ A AB = AB表示事件 A 发生同时事件 B 不发生；

⑸AB = A B表示事件 A 不发生同时事件 B 也不发生；

⑹AB AB A B AB表示事件 A 发生或事件 B 发生，但两事件不同时发生．⒉设A B C为三个事件，试用A B C的运算分别表示下列事件：

⑴ A B C中至少有一个发生；

A B C

⑵ A B C中只有一个发生；

⑶ A B C中至多有一个发生；

AB BC CA U ；

⑷ A B C中至少有两个发生；

AB BC AC U

⑸ A B C中不多于两个发生；

⑹ A B C中只有C发生．

⒊袋中有3 个红球，2 个白球，现从中随机抽取2 个球，求下列事件的概率：⑴ 2 球恰好同色；⑵ 2 球中至少有 1 红球．

0.4 0.9

6

⒋一批产品共50 件，其中46 件合格品，4 件次品，从中任取 3 件，其中有次品的概率是多少? 次品不

超过 2 件的概率是多少?

3

解：有次品的概率

为

1?C46 ；

C3

50

1C

3

次品不超过2 件的概率为? 4 C3

50

.

⒌设有100 个圆柱形零件，其中95 个长度合格，92 个直径合格，87 个长度直径都合格，现从中任取一件该产品，求：

⑴该产品是合格品的概率；⑵若已知该产品直径合格，求该产品是合格品的概率；⑶

若已知该产品长度合格，求该产品是合格品的概率．

解：⑴该产品是合格品的概率为0.87 ；

⑵已知该产品直径合格，则该产品是合格品的概率为87

92

⑶已知该产品长度合格，则该产品是合格品的概率为87

95 ；．

⒍加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；

如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的

概率．

解：加工出来的零件是正品的概率为0.97 0.98 0.9506 ．

⒎市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．

解：买到一个热水瓶是合格品的概率为0.9 0.5 0.85 0.3 0.8 0.2 0.865=

⒏一批产品中有20%的次品，进行重复抽样检查，共抽得 5 件样品，分别计算这 5 件样品中恰有 3 件次

品和至多有 3 件次品的概率．

= 3} = C3× 3 2

解：X ~ (5, 0.2) ,5 件样品中恰有3 件次品的概

率为

P

X

{ 5 0.2 × 0.8 = 0.0512 ;

P X≤5 件样品中至多有3 件次品的概率为{

P X =

3} 1 {

P X = 5} 0.00672

4} ?{

．

⒐加工某种零件需要三道工序，假设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%,3%,5%，并假设各道

工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．

1

解：加工出来的零件的次品率

为 3

(0.02 0.03 0.05) 0.033

10.袋中装有5 个大小、形状相同的球，编号为1 ~ 5 ，现从中任取3 个球，设X表示取出的3 个球中最

大号码数，

F x( ) ；（3）P(2 ≤ X < 4.5) ．试求（1）X的概率分布列；（2）X的分布

函数7

解：（1）

?3 4 5 ?

X~ ??0.1 0.3 0.6

??

；

? 0, ?

x < 3 ≤ <

(2）F x

( ) = ??0.1, 3

?0.4, 4 x

≤ < x 4

5

；

（3）P(2

? 1,

≤ X <

x≥ 5

= +

4.5) = ( 3) (

= =

4) 0.1 0.3 0.4

11.已知100 个产品中有5 个次品，现从中任取1 个，有放回地取3 次，求在所取的3 个产品中恰有2 个

次品的概率．

95 52

解：所取的3 个产品中恰有 2 个次品的概率为

12.设随机变量X的概率分布列为

3 100

X?0 1 2 3 4 5 6 ?

~ ??，

试求( ≤4), (2 ≤ X≤

? 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03?P X≠)

5), ( 3 ．

解：

P ( ≤ 4) 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.87=

≤ X≤=

；

(2 ( ≠

5) 0.2 0.3 0.12 0.1 0.72

= 3) 1 0.3 0.7= ．

3) 1= ?(

；

13.设随机变量X具有概率密度

?

2 , 0

f x( ) = ?

≤ ≤xθ

试求（1）θ；（2）

+∞(

θ

≤0.5), (0.25

?0,

<

X

2)

．

其它

解：（1）∫( ) = ∫2xdx x2|θ0= θ2= 1 ?θ = 1 ；

?∞

1 0

0.5

1

1 15

（2）(

≤) = ∫2xdx= 0.25, P( < X < 2) = ∫2 x dx = ．

2 0 4 0.25 16 14.已知某型号电子管的寿命X（单位：h）服从指数分布，其概率密度为

f x

?

= ?

x

1e?1000 , x > 0

( ) ?1000

??0,

8

其它，

一台仪器中有 3 只此类型电子管，任一只损坏时仪器便不能正常工作，求仪器正常工作1000h 以上的概率．

1000 1 ?x 1

解: ( > 1000) 1= ?( ≤

= ?∫

1000) 1

?

F x= ?1000

0, 2 e1000 dx =

x < 0

≤ <

e．

15.设随机变量X的分布函数为（2）X的密度函数f x( ) ．( ) ?

?

?

Ax , 0

1,

x

x≥ 1

1 ，试求：（1）常数A；

解:（1）由lim ( )

→ ?

x 1

?= 2 = = 1；

F (1) 1 ，得lim Ax A

x→1?

≤ ≤

f x( ) = ?2 , 0 x 1

（2）? 0, 其它．

16.设随机变量X ~ N (2, 0.04) ，计算⑴ P(1.8 < X < 2.4) ；⑵

(|

?≥2 | 0.2) ．解: ⑴P(1.8 < X< 2.4) = Φ (2) ? Φ ? =( 1) 0.9772 0.8413 1 0.8185 ；

⑵(

P X| ?≥

) = ?

2 | 0.2 1 (|

? <

2 | 0.2) 2[1? Φ(1)] 2(1 0.8413) 0.3174

．

17 设随机变量X ~ N (1, 0.64) ，计算⑴ P(0.2 < X <

1.8) ；⑵

( > 0) ．解: ⑴P(0.2 < X< 1.8) = Φ(1) ? Φ ? = ×( 1) 2 0.8413 1 0.6826 ；

( ) ≤

⑵ P(5 < X < 7) = P X > = ?

0 1 (

0) 1= ? Φ ?( 1.25) = Φ(1.25) 0.8944 ．

18.一批零件中有9 个正品，3 个次品，在安装机器时，从这批零件中任取1 个，若取出的次品不放回再取 1 个，直到取出的是正品安在机器上，求在取到正品之前，已取出的次品数X的数学期望和方差．

解：

? 0 1

X ~ 3 9

2

9

3

1

?

?；E X( ) =

3

2

, (E X)

=

9 9 9

, ( ) = ?

=

351

．??10 22 22 100 1100

?? 4 44 220 220 ?

19.已知随机变量X的概率分布列为

? 2 1 0 ?1?

X ~ 1 1 1 1 ?，试求( ), ( ) ．

??

E X 2 8 ?? 2 6 6 6 ?

8 5

= ?12= ．

解：( ) 1, (E X) = , ( )

3

3 3

20.设随机变量X具有概率密度

?2(1? x), 0 ≤ x≤ 1

f x( ) = ?

?0,

其它

9

，试求E X( ) ，D X( ) ．

E X 1

∫ 2

x x dx

=

1

2

1

∫ 2 3

x?x dx

=

1

D X

, ( )

1 1 1

= ? =

解：( ) = 2(

0 ) 3 , ( ) = 2(

) 6 6 9 18

21.设随机变量X的密度函数为

?

?e x,

x≥ 0

f x ( ) = ?

?0,

x < 0 ，试求（1）E X( ) ；

（2）

D X( ) ；（3）( ?2 X)．

解：（1）E X

( )

+∞

= ∫x xe dx= 1 ；

2

+∞

= ∫ 2 x= = ?2= 1

（2）( ) 0 x e dx2, D X( ) 2 1 ；

（3）( ?2X) +∞

= ∫?2x?x

e e dx

+∞

= ∫?3x e dx

1

= ．

0 0 3

22.设随机变量X的概率密度

为

E( 2 X + 3) ．

+∞

| |1

f x( )e(

2 ??∞

< < +∞x) ，试求（1）E X( ) ；（2）D X( ) ；（3）

解：（1）E X

( )

= 1 ∫?| |

xe dx

= 0 ；

2

2 ?∞

+∞

= ∫ 2 x= 2

（2）( ) 0 x e dx2, D X

( ) 2 0= ?= 2 ；

（3）E( 2 X+ = + =

+ = ?3) 2 ( ) 3 0 3 3 ．

3 2

7 6

23.设X为离散型随机变量，且

, ．

?a b?( = a) = ,

(

5

P X = b) = 5 , a b，若E X( ) = 5 , ( ) = 25

，试求

解：X ~ 3 2 ?，E X

( )

3 2

= a + b =

7 ?3a + 2b =

7

；

?? 5 5 5 ??5 5?2

3

2

6 49 11

( ) = 5 a 2 + 5 b 2

= + = 25 25 5 9

4 ? a 2

+ 3 b 2

= 11 ；

2

解得： a = 1,b = 2 ；以及

24.设随机变量 X 的密度函数为

a = ,

b = （由于 a b ，舍去）． 5 5

? Ax B ,

1 ≤ x ≤ 2

19 f x ( ) = ?

?0,

其它 ，且

E X ( ) = ，试求 , 和 12

D X ( ) ． 10

+∞

∫

2

= ∫

Ax B dx = 3 + = A B

1

解：由 ?∞ ( ) +∞

1 (

2 ) 2

7 ； 3 19

E X ( )

= ∫ ( ) = ∫ ( Ax 2

+ ) = A + B = ；

?∞ 1 ? 3 ? 2 12

≤ ≤

A = 1,

B = ? f x ( ) = ?

x 0.5, 1 x 2

解得：

2

0.5 ，于是 ? 0, 其它 ．

2

2

∫

x 3 ?

2

x dx

= 31 D X

, ( ) 31 ? 19 ? = ?

= 11 (

) = ( 1

0.5 )

12

? ? 12 ? 12 ?

144 ．

25.已知 E X ( ) = ?1, ( ) 3= ，试求

2

2

E [3( X 2

?1)]．

2

? =

解： E [3( X ?1)] 3 (E X ) 3 3[3 ( 1) ] 3 12 3 9 ．

2

1 n

26 设1,2, L, X n 是独立同分布的随机变量，已知

(1

) = μ, (D X 1

) = σ

，设 X =

∑ X i

，求

( ), ( ) ．

n =

i 1

解： E

X

( )

= E

? 1 ? n X i ? ?

= 1

n ∑ E X ( )

i

=

1

n ∑ μ μ

? n

∑

i =1

?

n i =1

n i =1

；

( )

D X = D

? 1 ? n

X

?=1 ? n ∑

D X ( )

=

1

n σ

σ 2

∑2

= ? n

i ∑

i =1

?

n 2 = i 1 i

n 2

= i 1 n

27．设对总体 X 得到一个容量为 10 的样本值

4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5,

5.0, 3.5, 4.0

试分别计算样本均值 X 和样本方差 S 2

．

110

(x k

? 3.6)2

= 2.832

解： x = 3.6 , s 2 =

∑

9k

=1