常微分方程期末考试题大全东北师大
证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞
→lim ，又0>a ，求证：对于方程
()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a
b x y x =+∞→lim 。
证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()??
????+=?-x
at
ax
dt e t f C e x y 0， 即
()()ax
x
at e
dt
e t
f C x y ?+=
。
由于b x f x =+∞
→)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而
()dt e M dt e t f dt e t f x
X
at X at
x
at
???
+≥0
)(
())(0
aX ax
X
at e e a
M dt e t f -+
=
?
， 由0>a ，从而有()∞=??
????+?+∞→x
at
x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞
→ax x e lim 。
应用洛比达法则得
()()ax
x
at x x e
dt
e t
f C x y ?+=+∞
→+∞
→0
lim
lim
()ax
ax
x ae e x f +∞→=lim ()a
b
a x f x ==+∞
→lim
。 证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。
证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。
由于)(t A 是定义在区间b x a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件ηx =)(0t ，b t a ≤≤0，方程组x A x )(t ='存在唯一的解。分别取初始条件
????????????=001)(01 t x ，????????????=010)(02 t x ，
．．．????
?
???????=100)(0 t x n ， 它们对应的解分别为),(),(),(21t t t n x x x 且这n 个解在0t 时的朗斯基行列式为
01)(0≠=t W ，则)(),(),(21t t t n x x x 是n 个线性无关的解。
任取方程组x A x )(t ='的1+n 个解)(),(),(),(121t t t t n n +x x x x ，),(b a t ∈?，这
1+n 个解都是n 维向量，于是由线性代数有关理论知，它们线性相关。
这就证明了方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解。
证明题：如果已知二阶线性非齐次方程)()()(2122t f x t a dt dx
t a dt
x d =++ 对应齐次方程的基本解组为)(),(21t x t x ，证明其有一特解是
ds s f s x s x W s x t x s x t x t φt
t )()]
(),([)
()()()()(0
212112?
-=,其中)(),(21t a t a 及)(t f 是区间Ｉ上的连续函数，
)](),([21t x t x W 是)(),(21t x t x 的朗斯基行列式。
证 已知)(),(21t x t x 是对应齐次方程
0)()(212
2=++x t a dt dx
t a dt
x d 的基本解组，则齐次方程的通解为
)()(2211t x C t x C +。
用常数变易法，求原方程的特解。
设 )()()()(2211*
t x t C t x t C y +=是原方程的特解，则)(),(21t C t C 满足下列关系
???=''+''='+')()()()()(0)()()()(2211
2211
t f t x t C t x t C t x t C t x t C ，
解得
))
(),(()
()()()()()()()()
(0)(2122
121221t x t x w t x t f t x t x t x t x t x t f t x t C -
='''=
'
，
))
(),(()
()())
(),(()()(0)()(211211
12
t x t x w t x t f t x t x w t f t x t x t C =
'=' ，
积
分
得
ds s x s x w s x s f t C ds s x s x w s x s f t C t t t
t ??
=-=
00
))(),(()
()()())(),(()()()(2
1122121 。
原方程的一个特解为
ds s x s x w s x s f t x ds s x s x w s x s f t x y t t t
t ??
+-=00
))
(),(()
()()())(),(()()()(21122121*
故ds s f s x s x w s x t x t x s x t φt
t )())
(),(()
()()()()(0
212121?
-=
是原方程的一个特解。
证明题：设()t e t
λΓx =是常系数线性齐次方程组Ax x ='……（1）的解，()t Γ的分量都是次数k ≤的多项式，但至少有一个分量是t 的k 次多项式，证明向量组()t e t
λΓ，
()t e t λΓ'，...，()t e k t λ)(Γ是方程组（1）的线性无关解组。
证： 设()t e t
λΓx =是常系数线性齐次方程组
Ax x =' （1）
的解，()t Γ的分量都是次数k ≤的多项式，但至少有一个分量是t 的k 次多项式，证明向量组()t e t
λΓ，()t e t
λΓ'，...，()t e k t
λ)
(Γ
，),(+∞-∞∈t 是方程组（1）的线性无关的解组。
证 先证明()t e t
λΓ，()t e t
λΓ'，...，()t e k t
λ)
(Γ
都是方程组（1）的解。
由于()t e t
λΓx =方程组（1）的解，则有
()()()t e t e t e λt λt λt λΓA ΓΓ='+，
即
()()t λt ΓE A Γ)(-='
其中E 表示单位矩阵。
由()()t λt ΓE A Γ)(-='易得
()()t λt m m )1()()(--=ΓE A Γ 1,,2,1-=k m 。 （2）
()()
t e dt
d m t λ)
(Γ()()t e t e λm t λm t λ)1()(++=ΓΓ， 由（2），上式变为
()()t e dt
d m t λ)
(Γ()()])[()()(t λe t e λm t λm t λΓE A Γ-+= ()(
)
t e dt
d m t λ)
(Γ()t e m t λ)(ΓA =，1,,2,1-=k m 。 故()t e t
λΓ，()t e t
λΓ'，...，()t e k t
λ)
(Γ
都是方程组（1）的解。
再证明向量组()t e t
λΓ，()t e t
λΓ'，...，()t e k t
λ)
(Γ线性无关。
因为()t Γ的分量都是次数k ≤的多项式，但至少有一个分量是t 的k 次多项式，所以
()0≠t k )(Γ，而当k m >时，()0=t m )(Γ。
若()+t e C t λΓ0()++' t e C t
λΓ1()0≡t e C k t λk )(Γ，),(+∞-∞∈t ，即 ()+t C Γ0()++' t C Γ1()0≡t C k k )
(Γ，),(+∞-∞∈t ，
给上式两边关于t 求k 阶导数，得()0≡t C k )
(0Γ
，),(+∞-∞∈t ，则必有00
=C 。
给()++' t C Γ1()0≡t C k k )
(Γ，),(+∞-∞∈t 两边关于t 求1-k 阶导数，则必有
01=C 。
同理，可得0=m C ，k m ,,2,1,0 =。
故向量组()t e t
λΓ，()t e t
λΓ'，...，()t e k t
λ)
(Γ
线性无关。
综上所述，我们证明了向量组()t e t
λΓ，()t e t λΓ'，...，()t e k t
λ)
(Γ
，),(+∞-∞∈t 是
方程组（1）的线性无关的解组。
证明题：n 阶齐次线性常微分方程0)()()()2(2)1(1)(=++++--x t a x t a x t a x n n n n 有
且最多有
n 个线性无关的解。
n 阶齐次线性常微分方程0)()()()2(2)1(1)(=++++--x t a x t a x t a x n n n n 有且最多有
n 个线性无关的解。
证明 ：由于n 阶齐次线性常微分方程分别满足初始条件
,
1)(,0)(,0)(,0)(,1)(,0)(,
0)(,0)(,1)(0)1(000)
1(202020)
1(10101=??='=?
?=??='==??='=---t x t x t x t x t x t x t x t x t x n n n n n n
的解为),(,),(),(21t x t x t x n 则一定存在n 个解，又因为若任取1+n 个解
)(),(,),(),(121t t t t n n +????
)
(1
)(2)(112
11
21
121)](),(,),(),([n n n n n n n n t t t t W ++++'''
=
?????????????
由于 j n n j n j n j t a t a t a ????)()()()2(2)1(1)(-----=-- 即最后一行可由前行线性表出，则
)
(1
)(2)(112
11
21
121)](),(,),(),([n n n n n n n n t t t t W ++++'''
=
?????????????
=0，故这1+n 个解一定是线
性相
关的。从而命题得证。
证明题：设)(1x y ?=和)(2x y ?=是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点．
证明：．证明 由于)(1x y ?=和)(2x y ?=是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式 0)()()
()()(21
21≠''=
x x x x x W ???? （*） （5分）
假如它们有共同零点，那么存在一个点0x ，使得
)(01x ?=0)(02=?x 于是
0)
()(0
0)()()()()(0201020102010=''=''=
x x x x x x x W ??????
这与（*）式矛盾．
常微分方程习题集（5）
（五）证明题
1. 试证：如果)(t ?是
AX dt
dX
=满足初始条件η?=)(0t 的解，那么 η?)(ex p )(0t t A t -=.
2. 设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．
3. 假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组
mt Ce AX dt
dX
+=，有一解形如：mt Pe t =)(?，其中P C ,是常数向量. 4. 设(,)f x y 及y
f
??连续,试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的
充要条件是它有仅依赖与x 的积分因子.
5. 设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞
→x f x ，求证：方程
)(d d x f y x
y
=+的任意解)(x y y =均有0)(lim =+∞→x y x .
6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解.
7. n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解.
8. 设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解，)(x ?是其对应一阶齐次线性方程于区间I 上的一个非零解。则含有任意常数C 的表达式：
)()(x x C y ψ?+=
是一阶非齐次线性方程于区间I 上的全部解的共同表达式。
9. 设n n ?矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在（a , b ）上连续，试证明，若方程组
X t A dt dX )(1=与X x A dt
dX
)(2=有相同的基本解组，则)
(1t A )(2t A 。 10. 证明： 一个复值向量函数)()()(t iv t u t X +==?是（LH ）的解
的充要条件，它的实部)(t u 和虚部)(t v 都是（LH ）的解。
（五）、证明题参考答案
1. 试证：如果)(t ?是
AX dt
dX
=满足初始条件η?=)(0t 的解，那么 η?)(ex p )(0t t A t -=.
证明：因为At t exp )(=Φ是
AX dt
dX
=的基本解矩阵，)(t ?是其解，所以存在常向量C 使得：
C At t ?=exp )(?，
令0t t =，则：
C At 0ex p =η，
所以
η10)(ex p -=At C ，
故
常微分方程期中考试题
常微分方程期中测试试卷(1) 一、填空 1 微分方程 ) (2 2= + - +x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 2 若 ) , (y x M和) , (y x N在矩形区域R内是) , (y x的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则 方程 ) , ( ) , (= +dy y x N dx y x M有只与y有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 3 _________________________________________ 称为齐次方程. 4 如果 ) , (y x f___________________________________________ ,则 ) , (y x f dx dy = 存在唯 一的解 ) (x y? =,定义于区间h x x≤ - 0上,连续且满足初始条件 ) ( x y? = ,其中 = h_______________________ . 5 对于任意的 ) , ( 1 y x,) , ( 2 y x R ∈ (R为某一矩形区域),若存在常数)0 (> N N使 ______________________ ,则称 ) , (y x f在R上关于y满足利普希兹条件. 6 方程 2 2y x dx dy + = 定义在矩形区域R:2 2 ,2 2≤ ≤ - ≤ ≤ -y x上 ,则经过点)0,0(的解 的存在区间是 ___________________ 7 若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 是齐次线性方程的n个解,)(t w为其伏朗斯基行列式,则)(t w满足 一阶线性方程 ___________________________________ 8若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 为齐次线性方程的一个基本解组, )(t x为非齐次线性方程的 一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________ 9若 ) (x ?为毕卡逼近序列{})(x n?的极限，则有≤ -) ( ) (x x n ? ? __________________ 10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解 ) (x y，则经过变换___________________ ，可化为伯努利方程． 二求下列方程的解 １ 3 y x y dx dy + = ２求方程 2 y x dx dy + = 经过 )0,0(的第三次近似解 ３讨论方程 2 y dx dy = ， 1 )1(= y的解的存在区间 4 求方程 1 ) (2 2= - +y dx dy 的奇解
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程
的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
东北师大培训心得
信息技术培训学习心得 为了帮助中小学教师队伍适应新时期教育改革发展新形势的需要，提高教师队伍的整体素质，深化素质教育改革，加强教师队伍信息化教育技术能力建设，全面推进当地基础教育事业的改革和发展，秦皇岛市教育局依托教育部数字化学习支撑技术工程研究中心与东北师范大学理想信息技术研究院，开展我市105名中小学教师参加的中小学信息技术教学应用高级研修班。我有幸成为105名中学教师中的一员，在东北师范大学接受了为期7天（10月10-16日）的集中培训，感到收益良多，并深受启发。 此次培训团队阵容强大，刘茂森、黄宝国、钟绍春、张玉民等教授、博士硕士生导师专家为我们做了关于教学智慧与智慧教学、名师成长规律、学科教学资源支持下的课堂教学改革与创新等方面的讲座。东北师大附中的郝淑霞做了教师自我反思的实践研究的讲座。还聆听了东北师王丹老师新形势下如何开展网络教研的讲座。此外还有哈尔滨香槟小学的简晓东、赵秀君两位一线教师及原校长孙唯为我们介绍她们基于信息技术学科教学的经验。 几位专家教授的讲座为我们开拓了视野，增长了见识，让我们从新的角度来关注教师、关注教学、关注学生。尤其是刘茂森和郝淑霞两位教授的讲座给我留下了深刻的印象。 刘茂森：东北师范大学理想信息学技术研究学院终身教授，博士生导师。年近80的刘教授满头银发但精神矍铄、思维敏捷。刘教授的讲座让我及在座的各位都欣赏到了“智慧教学进行中的教学智慧”，同时还领略到的刘教授大师级的严谨的教学风格及将知识烂熟于心而又游刃有余的运用在教学中的教学风采。 《教学智慧与智慧教学的内修与外练》是刘教授多年的教学经验与教育理论进行研究后的完美结合，其“在科学化教学的内修与外练的结合中提高教学智慧与智慧教学水平，在素质化教学的内修与外练的结合中提高教学智慧与智慧教学水平，在现代化教学的内修与外练的结合中提高教学智慧与智慧教学水平”对于我来说真的是从理论到实践的拔高与提升，刘教授对“概括”与“分化”的形象解释，每讲一个观点用一个事例、一个笑点来强化，其间蕴含的教学智慧，不用说，我想对于在座每个学员来说这个“你懂得”！ “教学目标达到了吗？关注知识点了么？知识逻辑是否严谨？知识结构是否完整？” “教学设计适不适合学生？适不适合教学内容？适不适合教师自我？” “利用了学生身上那些资源？提出了哪些问题？设计了哪些活动？活动有意义？” “学生课堂中的闪光点捕捉到了吗？课堂有生成吗？”
《常微分方程》期末试卷
《常微分方程》期末试卷(16) 班级 学号 姓名 得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1．方程x x y x y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ． 3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ． 4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间． 6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈． 得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分） 求下列方程的通解 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9．0e =-'+'x y y 10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 11．求下列方程组的通解． ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）
12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程 y x x y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．
《常微分方程》期末模拟试题
《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d
(完整版)常微分方程的大致知识点
= + ?x = + ?x = + ?x 常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项） y x 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或 y = e ? a ( x )dx [? b (x )e -? a ( x )dx dx + C ] 5、伯努力方程 令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 dx 6、全微分方程 若?M ?y 若 ?M ?y dx = ?N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ?x ≠ ?N ，则找积分因子，（留意书上公式） ?x f (x f ( y , （二）毕卡序列 x y 1 y 0 0 x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次L (D ) y = 0 方法：特征方程 7、可降阶的二阶微分方程 d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族
? ? dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x 1 2 1 2 单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x ) 重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2 重的复根1, 2 = ± i ，3, 4 = ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ] 2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。 f (x ) 第一步求L (D ) y = 0 的通解Y 第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y * 第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y * 如何求 y * ？ 当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x 当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x ) cos vx + S m (x ) sin vx ) 当 f (x ) 是一般形式时， y * = ? x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W () （四）常系数方程组 方法：三部曲。 第一步求 dX dt = A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。利用特征方程 A - I = 0 ，并分情况讨论。 第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环 ? dx = ax + b y dt ? ? = cx + dy 1、分析方程组? dt 的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0 特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，1 ≠ 2 1 1 m m m
《东北师大培训心得》
《东北师大培训心得》 俗话说得好学无止尽，作为教师，更应该多给自己充充电。很荣幸在这个暑假可以外出学习，参加了教育局组织的《现代性中小学骨干教师及班主任高级研修班》。听了几位专家的讲课，让我对传统教育观念有了一些转变。 我时常在想教育到底是什么？有人说教育就是生长，就是束缚。而教育是孕育生命、哺育生命、养育生命的过程。更应该使更多的学生享受生命的过程，更多的享受生命过程的快乐与幸福。说到教育，不少教育者往往更多的把眼光投向教育内容、教学方法、考试制度等等，这些当然是有必要的，但是一味的追求分数，就会使得学生厌烦，会出现中高考完把书撕得粉碎抛向天空，以示自己得到解放。复印机式的教育，孩子会快乐吗？ 教育首先是一种充满情感的教育，是充分体现教育者爱心与童心的教育，是心心相印的活动。“捧着一颗心来，不带半根草去”陶行知先生正是以他伟大的爱心滋润着无数的童心，这样的心不正是今天我们所缺少的吗？我们必须变回小孩子，以学生的眼光看世界，用学生的感情去体验，用学生的大脑去思考，当你不了解孩子想干什么，想去哪里？又怎么能走进他的内心，怎样感受他的快乐与痛苦？ 教育应该是快乐的。英国哲学家郝博特斯宾塞认为，当一个孩子不快乐时，他的智力和潜能就会大大的降低，呵斥和职责不会带来什么好结果。教育的手段的方法也应该是快乐的。孩子在情绪低落、紧张的状态下，信心就会减弱，相反如果在快乐的时候，学东西就会比
较容易。许多孩子被认为没有天赋、比其他孩子差，实则不然，只是教育的方法不得当而已。曾经看过这样一则故事：有三个只有十岁左右的孩子，在学校校长看来已经差的无可救药了，后来把他们送到了斯宾塞先生家里。斯宾塞先生和这三个孩子一起玩耍、学习、劳动，慢慢的了解到他们为什么不喜欢学习。第一个孩子在学校经常被同学欺负，而老师很少主持公道，还经常用刻薄的话语挖苦嘲笑他，他想到学校的事情就害怕，自尊心和自信心受到很大打击。第二个孩子认为他妈妈不喜欢他，总对他唠叨个不停，有时因为一点小事就会尖叫着责备，他不想学习就是想气气他妈妈。第三个孩子向往自然，喜欢小鸟，以至于不能安心上课。在这种情况下，训斥是无济于事的，道德说教孩子也是不懂的。对于第一个孩子，斯宾塞谈得最多的是弱小者如何通过特别的、别人没有的境遇，发现真理，成就品德，成为强者。听完他的讲述，孩子身上的耻辱感和自卑心理没有了，还激起了他的使命感。后来，这个孩子成了英国著名的律师。对于第二个孩子，斯宾塞告诉他，他母亲没有受过多少教育，但她希望每个孩子都能长大成人有出息。他让孩子体谅母亲。后来这个孩子成为了一位受人尊敬的牧师。而第三个孩子，斯宾塞教会了他研究动物的方法，许多年之后，他成了一个鸟类学的专家。斯宾塞认为，上帝赋予每个孩子不同的禀赋和特质，目的是希望他们将来能成为各个领域的有用之才，而这一点，常常会被许多父母所忽视。孩子们因此还被父母责骂，使得他们常常不快乐。我们都应该认识到，即便是一个天才，也有可能被不快乐所扼杀啊！
常微分方程期末考试练习题及答案
一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程
1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知
常微分方程的大致知识点
常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020
常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 （二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程 单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
教育信息化培训心得体会
教育信息化培训心得体会 教育信息化培训心得体会1 近期，学校组织全体教师进行了教育信息化培训，我对教育信息化也有了新的认识，当今以计算机和网络技术为核心的现代技术正飞速的发展，改变我们的学习方式，信息的获取、分析、处理、应用的能力将作为现代人最基本的能力和素质的标志。特别是对信息技术的综合运用能力，现在已不只停留在课本知识课件的制作上。作为一名教师应积极主动吸纳当今最新的技术，并把它们应用于教学活动之中，在这短短的培训中我深深的体会到： 一、理念上应更新 1、这次教育信息化能力提升培训，我真正的认识到活到老学到老，只有更新观念，不断学习新知，从根本上提升专业素养，才能跟上时代的步伐。 2、作为一名教师，具备良好的信息素养是终生学习、不断完善自我的需要。还应具有现代化的教育思想、教学观念，掌握现代化的教学方法和教学手段，熟练运用信息工具（络、电脑等）对信息资源进行有效的收集、加工、组织、运用，这些素质的养成就要求我们不断地学习，才能满足现代化教学的需要，信息化素养成了终生学习的必备素质之一。 二、专业知识方面
1、作为老师，要具备基本的信息化素养，掌握信息操作的基本能力和获取信息的能力，还应具备信息收集处理以及表达的能力和综合运用能力。同时，认识到教育信息化的重要性，了解了教育信息化的发展情况，信息化教学环境在教育教学中的作用以及几种常用的教学模式和软件的基本应用。 2、教育的实质是通过传播、交流信息，有目的的影响他人的活动，因此我们要充分利用五大感官对信息的获取，并按一定的目的要求，选择一定的合适的信息内容，通过有效的载体把经验，知识，方法传给学生。发挥信息传递视角的六大功能，方可创造情境，变静为动，变可见为不可见，变抽象为直观，模拟场景，转化信息，课堂教学效率才会不断提高。 3、利用现代技术，解决传统教学手段传统信息技术教学目的的那些关键性的教学因素和教学环节。有效达成教学目标的困难点和影响有效达成教学目标的哪些关键性的教学因素和教学环节是整合点的不同定义。正确运用整合点的诊断方法，才能在现代教学设计中，找准有效达成教学目标的困难点。把握整合的三项原则：紧扣学习目标；适合用啥就用啥；先用传统细信息技术后用现代信息技术。 4、学习运用现代信息技术与课堂教学有效整合的八大基本模式：优化新课堂教学设计；掌握信息技术“潜在”的教育教学功能；理解整合的实质；明确整合的目标；准确诊断确定“整合点”；优化“整合点”内容的资源设计；物化“整合点”资源设计的成果，将其转化为媒体资源，工具软件，智能软件等；恰当有效的应用整合资源达成
最新常微分方程期末考试题大全(东北师大)
证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞ →lim ，又0>a ，求证：对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a b x y x =+∞→lim 。 证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0， 即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。 由于b x f x =+∞ →)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? ， 由0>a ，从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞ →ax x e lim 。 应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。 证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。 证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。
2018年电大第三版常微分方程答案知识点复习考点归纳总结参考
习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：
dx dy =- y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1 dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y 令 x y =u ,则dx dy =u+ x dx du
培训之后的心得体会5篇
培训之后的心得体会x篇 亲爱的朋友，很高兴能在此相遇！欢迎您阅读文档培训之后的心得体会x篇，这篇文档是由我们精心收集整理的新文档。相信您通过阅读这篇文档，一定会有所收获。假若亲能将此文档收藏或者转发，将是我们莫大的荣幸，更是我们继续前行的动力。 培训之后的心得体会x 前段时间合肥市教育局组织部分骨干教师到东北师大进行为期十天的培训学习，听了x0场报告，每天晚上我们老师都要反思消化白天报告的内容。以下是我第一天学习后的关于骨干教师培训心得体会。 成为一名优秀的教师需要具备的本领、技能非常多。通过今天三个讲座的学习，我体会到这样的几种技能是优秀教师必须要具备的。 一、尊重学生 优秀的老师首先要尊重学生。新课改倡导构建新型的师生关系，要求教师俯下身子教书，其涵义就是师生关系的平等，抛弃师道尊严的面具，从内心深处尊重学生，只有尊重学生，教骨干教师培训心得体会范文师才会耐心的了解学生。一切的教育都是从了解学生开始，了解学生，才会因材施教。才会悬置先入之见，了解学生，才会对学生的行为举止理解、宽容。
学习了今天的讲座，使我对一些“问题”学生的问题多了一份宽容与理解，尤其是对一些不爱学习的学生，身上暴露的一些毛病，今后我会更加慎重的处理，决不能凭自己的主管臆断去解决问题。 二、掌握练习的量，拒绝题海战术 在中高考指挥棒的作用下，一些老师凭“题海”战术，小学村级骨干教师培训心得体会取得了高升学率，受到家长、社会的认可，顺理成章的冠之以优秀教师的称号。但在教师“名利”双收的背后，是学生大量的课余时间被挤占，老师整天也埋头在作业堆中批改作业，精疲力尽。这种以牺牲师生大量课余时间，身心俱疲的方式取得的成绩是不可取的，不具有可持续发展性。 真正优秀的教师，绝不是单凭“题海”战术获取成绩，而是在多年的教学实践基础之上，在充分了解学生的前提下，研究恰如其分的习题量。为什么这么说呢？有人说“熟能生巧”，我曾经怀疑过，但不够自信，学习了今天的讲座，找到了理论依据，“熟也能生笨”骨干教师培训心得体会，“熟也能生厌”，“熟也能生拙”。什么意思呢？对于新知识，需要一定的习题量巩固，并且在刚开始阶段，随着习题量的增加，学生的解题技巧、能力以及解题速度肯定是上升的，但习题量达到一定的程度后，学生的“巧”已达到最高点，如果还是盲目的增大习题量，学生
常微分方程期末试题B答案
2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，
常微分方程解题方法总结.doc
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
大学生骨干培训班学习心得
信仰弥坚，志存高远 马克思主义学部杨世玲 8月23日，我离开烈日炎炎的重庆，到达了细雨绵绵的长春，开始了校会迎新工作。 在迎新当天，我遇到了很多重庆的老乡，在送他们去接站点的路上，新生们用满怀期待的眼神看着所有前来迎新的学长学姐，偶尔会有一些不怕生的学弟学妹问一两个生活、学习上的问题，我们简短解答之后，他们都会露出更加期盼的目光。一路上经常会听到家长说：“你们是校学生会的？辛苦你们啦，你们真棒！”听到这样的话，我们都感觉一天的努力是值得的。 在迎新之前，我心里有一种抵触的情绪，我不喜欢与陌生人有过多的交流，但作为校学生会的干部，我必须带着笑脸亲切地面对每一个前来询问的人：这其中不只有我们东师的18级本科生，还有15、16级的其他在火车站迷路的同学，他们看见“东 北师范大学”的牌子，就像在偌大的火车站中看见了家人，任何困难都会来找我们帮助；有时候一些刚下火车的老人看见我们穿着统一的服装、戴着红色的肩幅，还会把我们当成火车站的工作人员上前来问路；8月24日当天只有我们学校和华桥外院的同 学来接站，我们还为吉大、东师人文、吉林财经、长春理工、吉林农大等等学校前来询问的新生指路帮忙…… 结束接站后，我心里反而升起了一种自豪感：这是东北师大的学生会，我是东北师大的学生干部，但我却帮助了好多长春人
和长春学子。 8月25日，大骨班开课了，说实话，我之前在学院没有担任过重要的学生工作，我也觉得我的组织能力和沟通能力远比不上其他组织和学院的秘书长、团副、学生会主席们，但通过一次次讲座和一次次研讨，在和“陌生同学”们的交流中，我发现了自身的优势——作为“青马工程”的培养对象，作为马克思主义学部的学生，我在理论和理解速度方面可能会占一些优势，同时小组里和谐互助的氛围让我很快融入了这个新集体，我也开始在小组讨论中发言、在活动中拍一些照片与大家互动——我发现我好像没有自己想象中那么抵触“陌生人”，甚至在下军训团时，我还和18级的学弟学妹们有了互动，我觉得这是我参加大骨班最大的收获了。 在这次大骨班的理论学习中，有很多前来进行讲座的老师都是我所熟悉的，高地老师、程舒伟老师和庞立生老师作为学界的大师级人物，在学部时就认真、耐心地给我们本科生上课，尤其是程舒伟老师在我大一时，为了给我们专业的本科生上课，推掉了一个外面的讲座；而高地老师和庞立生老师最近正在为编写《习近平教育思想》系列教材忙碌着，也抽出时间给我们本科学生骨干进行了精彩、详实的讲座。老师们为我们的付出、对我们的期待，我们都看在眼里，记在心里。 这次大骨班游览伪满皇宫时，我突发急性肠胃炎，向学姐请假之后就去医院挂水了，第二天徐老师见到我，还关切地让我注
第一学期常微分方程期中试卷
北 京 交 通 大 学 2013-2014学年第一学期《常微分方程》期中考试试卷 考试方式：闭卷 任课教师：曹鸿钧 学院 专业 班级 学号 姓名 请注意：本卷共四大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、 填空题（每小题1分，共10分） 1、下列微分方程中 （1） ;46 y x dx dy -=（2）;12)(222xy dx dy dx y d -= （3）;03)(3 2=-+y dx dy x dx dy （4）;0sin 362 2=-+-x xy dx dy dx y d x （5）;02cos =++x y dx dy （6）.0)sin(22=-+x e dx y d y 每个方程的阶数分别是 ，其中，线性方程有（写出方程 的标号） ，而是非线性方程的有（写出方程的标号） . 2、一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为x 6，则曲线方程为 . 3、对于贝努利方程n y x q y x p dx dy )()(=+，则可通过变量变换 将其化为一阶线性方程，从而可以求解.
4、一阶微分方程0),(),(=+dy y x N y x M 为恰当微分方程的充要条件为 . 5、方程31 23 y dx dy =在区域________________________中满足解的存在唯一性定理. 6、方程21 2-=y dx dy 通过点)0,0(的饱和区间为 . 7、方程 22y x dx dy +=定义在矩形域11,11:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 ． 8、方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 具有形为)(y x +μ的积分因子的充要条件是 . 二、选择题：（每小题1分，共6分） 1、方程 y x dx dy -=24为 A 、一阶齐次线性方程 B 、一阶非齐次非线性方程 C 、一阶齐次非线性方程 D 、一阶非齐次线性方程 2、方程y x x y +=-3 1d d 满足初值问题解的存在唯一定理条件的区域是 ． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 3、方程32 3y dx dy =过点(0, 0)有 . A 、无数个解 B 、只有一个解 C 、只有两个解 D 、只有三个解 4、方程0)(2=-+dy x y x ydx 的一个积分因子为 .