材料力学专题一梁的内力和内力图

专题一梁的内力和内力图

例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。

解：1）求反力

kN 5=A

F ，kN 4=B

2）求A 左截面的内力，如图(a)所示。 0=∑i

Y ， 0=+左SA p F F ，kN 3-=左

SA F 0=∑O M ，02=+?左A p M F ， m kN 6?-=左

A M

3）求A 右截面的内力，如图(b)所示。 0=∑i Y ，0=+--A SA p F F F 左，kN 2=左

SA F 0=∑O M ，02=+?右A p M F ， m kN 6?-=右

A M

4）求C 左截面的内力，如图(c)所示。 0=∑i Y ，02=-?--左SC P A F q F F ，0=左

SC F

0=∑O M ，01224=+??+?-?左C A p M

q F F ，=左

C M m kN 4?-= 5）求C 右截面的内力，如图(d)所示。 0=∑i Y ，02=-?--右SC P A F q F F ，0235=--=右

SC F

0=∑O M ，012241=++??+?-?右C A p M M q F F ，=右

C M m kN 6?-=

(((((

【小结】①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致。一般取外力比较简单的一段进行分析。②在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。③该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。

例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。

解：(a)取A +截面左段研究，, 0SA A F F M ++

== 取C 截面左段研究，, 2

SC C

Fl F F M == 取B -截面左段研究， , SB

F F M Fl == (b) 求A 、B 处约束反力如图(d)所示，l M F F e

B A /==

取A +截面左段研究，, e

SA A A e

M F F M

M l

=-=-=

图2 A M e

(b B C

l /

l /A

C B l /

l /2 (a)

F q

A C

B l /

l /2 (c)

F A

A M e

图

取C 截面左段研究，

, 22

e e SC A A e A M M l F F M M F l +=-=-

=-?=

取B 截面右段研究，, 0e

B B M F

F M l

=-=-

= (c) 求A 、B 处约束反力取A +截面右段

研究，2

33, 22248

SA A l ql l l ql

F q M q +

=?==-??=-

取

C -截面右段研究，2

, 22248

SC C l ql l l ql F q M q -

-=?==-??=-

取

C +

截

面

右

段

研究

，

, 22248

SC C l ql l l ql F q M q +

+=?==-??=-

取B -截面右段研究，0, 0

SB B F

M -

-==

例3试写出图3所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。 (

(

解：(a ) 求支反力

0=∑C

M ： 0310126=?--?Ay

F ， kN 7=Ay

F 0=∑Y ： 010=-+By

F F ， kN 3=By

F 列内力方程，

?<<-<<=63

kN 330 kN 7)(S

x x x F ， ?

??≤≤≤≤?-?-=6

3 30 m kN )6(3m kN 127)(x x x x x M 作剪力图和弯矩图。

(((

图4

(b ) 求支反力

0=∑B

M ：02

+-?l ql ql

l F Ay

， F Ay =0

0=∑Y ：0=-?-+ql l q F F By Ay ，ql F By 2=

列内力方程

0 )(S l x l l

x ql qx x F <<<≤??

?-=

?≤≤≤≤---=23

0 )23(2

)(2l x l l x x l ql qx x M

作剪力图和弯矩图。

例4利用内力方程作图4(a)所示

简支梁的剪力图和弯矩图。

解：AC 段有：x x q 5)(=

5.210)(x

x F S

-=，（0

510)(x x x M -=，（0≤x ≤2）

其剪力图和弯矩图如图(b)(c)所示。

由于结构是对称的，荷载也是对称的， BC 段与AC 段的F S 图是反对称的，M 图是对称的，据此特点可方便地作出AC 段的剪力图和弯矩图。例5试用剪力、弯矩与荷载集度之间的微分关系判断图5所示各梁的内力图形态，画出剪力图和弯矩图。

解：(a ) 根据微分关系：()()x F x

x M

d d = 和 ()()q x x M x x F ==2

d d d d AC 段：q 为常数，且0

的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。

CB 段：q 为常数，且0>q ，F S 图从左到右为向上

的斜直线，M 图为向下凹的抛物线。

在C 截面处，F S 图连续，M 图光滑。求得几处特殊截面的内力值后即可作出梁的剪力图与弯矩图。

(

(b ) 求支反力 0=∑A

M ： ()022

132

=??-

+?a q qa

a F By

，

qa F By =

0=∑Y ：

2=?-+a q F F By Ay ，

5qa F Ay =

判断内力图形态并作内力图

AC 段：q 为常数，且q <0，F S 图从左到右为向

下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线，在距A 端a 35截面处，M 取极大值。 CB 段：0=q ，F S 图为水平直线，且F S <0，M 图从左到右为向下的斜直线。

在C 截面处，F S 图连续，M 图光滑。

求得几处特殊截面的内力值后即可作出梁的剪力图与弯矩图。 (c) 求支反力

0=∑A

M ：()022

=?-??-?a qa a q a F By ， qa F By

0=∑Y ：

02=-?-+qa a q F F By

， qa F Ay

判断内力图形态并作内力图

AC 段：q 为常数，且0

的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。C 截面处，有集中力F 作用，F S 图突变，M 图不光滑。

CD 段：q 为常数，且0

的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。

DB 段：0=q ，Q

F 图为水平直线，且F S <0； M 图从左到右为向下的斜直线。

(

图5 (

(d)求支反力

0=∑B

M ： 0

621

862

=??--?Ay

F ，kN

33.9=Ay

0=∑Y ：

046=?-+By

F F ， kN 67.14=By

判断内力图形态，作内力图

F S 图：AD 段，0=q ，为水平直线；

DB 段，00，从左到右为向上的斜直线；

C 截面处，有集中力偶e

M 作用，有突变； CD 段，0=q ，且F S >0，从左到右为向上的斜直线，且ab c b //'；

DB 段，0

22截面处，F S =0，M 取极大值17.93kN ?m 。

例6试用叠加法画出图6所示梁的弯矩图。

图6

解：(a)

(b)

例7试用画出图7 (a )所示梁的

剪力图和弯矩图。【解】1）将梁从

铰B 处分开，计算梁的外约束反

力，如图7 (b)。 F Ax =F Bx =F'Bx =

0，

F Ay =F By =F'By =

F D =qa ，

M A = qa 2

2）该梁的内力图应分成AB ，BC 和CD 三段绘制，各段的起点和终点内力值时应首先确定，用截面法计算出这些截面的内力并列于表1中，其中2a -和2a +分别为C 偏左和偏右侧截面的坐标。

3）根据梁的内力微分关系，逐段判断内力图的大致形状并作梁的剪力图和弯矩图。

①先作剪力图。按一定比例，在坐标系中首先确定AB 、BC 和CD 梁段端点的剪力坐标点。AB 段梁无分布载荷，由

图7 (a)

(b) (c) (d)

)()

(S x q dx

x dF =可以知道其剪力图线为水平直线；BC 段

梁因q <0，剪力图为下斜直线；同理，CD 段梁

因q >0，剪力图为上斜直线，用上述直线连接这三段梁的端点，即可得到该梁的剪力图，如图7 (c )所示。

②再作弯矩图。AB 梁段因q =0，剪力图为水平线，且其剪力F S =qa >0，则知道弯矩图为上斜直线；同理，BC

梁段因)()(2

2x q dx

x dM =，弯矩图为上凸抛物线，CD

梁段由于q >0，为下凸抛物线。在C 截面作用有集中力偶qa 2，弯矩数值由qa 2/2突变到-qa 2/2。根据关于梁的

弯矩图的曲线形状的分析，从梁左端A 截面开始，连接各梁段端截面的坐标点，即可方便地绘制出梁的弯矩图，如图(d )所示。

例8试用分段叠加法作图8(a )所示梁的弯矩图。

解：1）计算支座反力

kN 15A

=F ，kN 11B

(b)

(a) 图8

2）求控制截面处的弯矩。

本例中控制截面为C 、A 、D 、E 、B 、F 各处，其弯矩分别为： 0

C =M

m kN 1226A

?-=?-=M

m kN 824241566D

?=??-?+?-=M m kN 10211322E

?=?+??-=M m kN 4122B

?-=??-=M 0F

3）把整个梁分为CB 、AD 、DE 、EB 、BF 五段，然后用区段叠加法绘制各段的弯矩图。方法是：先用一定比例绘出CF 梁各控制截面的弯矩纵标，然后看各段是否有荷载作用，如果某段范围内无荷载作用（例如CA 、DE 、EB 三段），则可把该段端部的弯矩纵标连以直线，即为该段弯矩图。如该段内有荷载作用（例如AD 、BF 二段），则把该段端部的弯矩纵标连一虚线，以虚线为基线叠加该段按简支梁求得的弯矩图。整个梁的弯矩图如图8(b)所示，其中AD 段中点的弯矩为：m kN 2?=AD

M 。例9图9(a )为梁的剪力图，试求此梁的荷载图与弯矩图（已知梁上无集中力偶）。

解：1）求荷载图

由F SA=－50kN知梁在A处有一向下集中力为50kN，B截面两侧剪力由－50kN突变到50kN，故梁在B截面必有一向上荷载100kN。

AB段、BC段F S图为水平线，故两段无分布荷载作用，q=0。CE段为右下斜直线，斜率为常量，故梁上必有向下的均布荷载，荷载集度大小等于剪力图的斜率，即

25/2

q kN m =

E 截面的剪力由－50kN 变到0，故梁上必有向上的集中力50kN 。根据以上分析结果，可画出梁的荷载图如图9(b )所示。

（2）求弯矩图

AB 段：F S 为负值，且为水平线，故M 为一向上斜直线。M A ＝0，M B 的大小等于AB 间剪力图面积，即

M B ＝－50×1＝－50kN·m BC ：F S 为正值，且为水平线，故M 为一向下的斜直线。

()505010a

M M F x dx =-=-+?=?。

CE 段：q <0，M 为一下凸曲线。q =－25kN/m ，D 点F SD ＝0，M 有极值，

(502)05050kN m 2

D c

M M =+??=+=?。 E 端铰处无集中力偶，M A ＝0。

根据上述分析，画出梁的弯矩图，如图9(c )所示。练习题

1、试求下列各梁在指定1、

2、3截面上的剪力和弯矩值。

2、试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。

3、分别用微分法和叠加法作图示各梁的剪力图和弯矩图（支座反力已给出）。

(e (f 题2图

材料力学基本概念

变形固体的基本假设、内力、截面法、应力、位移、变形和应变的概念、杆件变形的基本形式；轴力和轴力图、直杆横截面上的应力和强度条件、斜截面上的应力、拉伸和压缩时杆件的变形、虎克定律、横向变形系数、应力集中；扭转的概念、纯剪切的概念、薄壁圆筒的扭转，剪切虎克定律、切应力互等定理；静矩、惯性矩、惯性积、惯性半径、平行移轴公式、组合图形的惯性矩和惯性积的计算、形心主轴和形心主惯性矩概念；应力状态的概念、主应力和主平面、平面应力状态分析—解析法、图解法（应力圆）、三向应力圆，最大切应力、广义胡克定律、三个弹性常数E 、G 、μ间的关系、应变能密度、体应变、畸变能密度；强度理论的概念、杆件破坏形式的分析、最大拉应力理论、最大拉应变理论、最大切应力理论、畸变能理论、相当应力的概念；疲劳破坏的概念、交变应力及其循环特征、持久极限及其影响因素。第一章 a 绪论变形固体的基本假设、内力、截面法、应力、位移、变形和应变的概念、杆件变形的基本形式第一节材料力学的任务与研究对象 1、变形分为两类：外力解除后能消失的变形成为弹性变形；外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。第二节材料力学的基本假设 1、连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。第三节内力与外力截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，得到分离体②对分离体建立平衡方程，求得内力第四节应力 1、切应力互等定理：在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。胡克定律 2、 E σε=，E 为（杨氏）弹性模量 3、 G τγ=，剪切胡克定律，G 为切变模量第二章轴向拉压应力与材料的力学性能轴力和轴力图、直杆横截面上的应力和强度条件、斜截面上的应力、拉伸和压缩时杆件的变形、虎克定律、横向变形系数、应力集中第一节拉压杆的内力、应力分析 1、拉压杆受力的平面假设：横截面仍保持为平面，且仍垂直于杆件轴线。即，横截面上没有切应变，正应

材料力学内力图绘制详细讲解

一、由外力直接绘制轴力图例 5.4 力图。解根据外力直接绘制轴力图（见图5.18(b)），绘图分析过程及步骤如下。从左向右绘制，始终取右边部分为研究体。在截面A 有集中力F 1，使研究体拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 1大小，此时 F N =（0+500）N=500 N ；在AB 段没有外力，故轴力不变；在截面B 有集中力F 2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 2大小,此时F N =（500+420）N=920 N ；在BC 段没有外力，故轴力不变；在截面C 有集中力F 3，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 3大小，此时F N =(920-280)N=640 N ；在CD 段没有外力，故轴力不变；在截面D 有集中力F 4，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 4大小，此时 F N =(640-800)N =-160 N ；在DE 段没有外力，故轴力不变；在截面E 有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力（b ） (a)

突变为0。例5.5有一根阶梯轴受力如图5.19(a)所示，试绘制阶梯轴的轴力图。图5.19 解从右向左绘制，始终取左变部分为研究体。根据外力直接绘制轴力图（见图5.19(b)），绘图分析过程及步骤如下：在截面A有集中力F1，使研究体压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F1大小,此时F N=（0-10）kN=-10 kN；在AB段有均匀分布载荷，使研究体受拉伸变形，故轴力以斜直线规律向正方向渐变，轴力渐变大小为均匀分布载荷大小，此时F N=（-10+10×2）kN=10 kN；在截面B没有力，故此截面轴力没有变化；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F2大小，此时F N=（10+10）kN=20 kN；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0.

材料力学知识点归纳总结(完整版)

材料力学知识点归纳总结（完整版） 1.材料力学：研究构件（杆件）在外力作用下内力、变形、以及破坏或失效一般规律的科学，为合理设计构件提供有关强度、刚度、稳定性等分析的基本理论和方法。 2.理论力学：研究物体（刚体）受力和机械运动一般规律的科学。 3.构件的承载能力：为保证构件正常工作，构件应具有足够的能力负担所承受的载荷。构 4.件应当满足以下要求：强度要求、刚度要求、稳定性要求 5.变形固体的基本假设：材料力学所研究的构件，由各种材料所制成，材料的物质结构和性质虽然各不相同，但都为固体。任何固体在外力作用下都会发生形状和尺寸的改变——即变形。因此，这些材料统称为变形固体。第二章：内力、截面法和应力概念 1.内力的概念：材料力学的研究对象是构件，对于所取的研究对象来说，周围的其他物体作用于其上的力均为外力，这些外力包括荷载、约束力、重力等。按照外力作用方式的不同，外力又可分为分布力和集中力。 2.截面法：截面法是材料力学中求内力的基本方法，是已知构件外力确定内力的普遍方法。已知杆件在外力作用下处于平衡，求m－m截面上的内力，即求m－m截面左、右两部分的相互作用力。首先假想地用一截面m－m截面处把杆件裁成两部分，然后取任一部分为研究对象，另一部分对它的作用力，即为m－m截面上的内力N。因为整个杆件是平衡的，

所以每一部分也都平衡，那么，m－m截面上的内力必和相应部分上的外力平衡。由平衡条件就可以确定内力。例如在左段杆上由平衡方程 N－F＝0 可得N=F 3.综上所述，截面法可归纳为以下三个步骤： 1、假想截开在需求内力的截面处，假想用一截面把构件截成两部分。 2、任意留取任取一部分为究研对象，将弃去部分对留下部分的作用以截面上的内力N来代替。 3、平衡求力对留下部分建立平衡方程，求解内力。 4.应力的概念：用截面法确定的内力，是截面上分布内力系的合成结果，它没有表明该分布力系的分布规律，所以，为了研究相伴的强度，仅仅知道内力是不够的。例如，有同样材料而截面面积大小不等的两根杆件，若它们所受的外力相同，那么横截面上的内力也是相同的。但是，从经验知道，当外力增大时，面积小的杆件一定先破坏。这是因为截面面积小，其上内力分布的密集程度大的缘故。如图所示，在杆件横截面m－m上围绕一点K取微小面积，并设上分布内力的合力为。的大小和方向与所取K点的位置和面积有关。将与的比值称为微小面积上的平均应力，用表示，即：称为截面m－m上一点K处的应力。应力的方向与内力Ｎ的极限方向相同，通常，它既不与截面垂直也不与截面相切。将应力分解为垂直于截面的分量σ和相切于截面的分量τ，其中σ称为正应力，τ称为切应力。在国际单位制中，应力单位是帕斯卡，简称帕（Pa）。工程上常用兆帕（MPa），有时也用吉帕（GPa）。 5.杆件变形的基本形式：在机器或结构物中，构件的形状是多种多样的。如果构件的纵向（长度方向）尺寸较横向（垂直于长度方向）尺寸大得多，这样的构件称为杆件。

材料力学内力图绘制详解

一、由外力直接绘制轴力图例 5.4 如图 5.18(a)所示为一绳子受力图，右端固定，试绘制该绳的轴力图。解根据外力直接绘制轴力图（见图5.18(b)），绘图分析过程及步骤如下。从左向右绘制，始终取右边部分为研究体。在截面A 有集中力F 1，使研究体拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 1大小，此时 F N =（0+500）N =500 N ；在AB 段没有外力，故轴力不变；在截面B 有集中力F 2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 2大小,此时F N =（500+420）N =920 N ；在BC 段没有外力，故轴力不变；在截面C 有集中力F 3，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 3大小，此时F N =(920-280)N =640 N ；在CD 段没有外力，故轴力不变；在截面D 有集中力F 4，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 4大小，此时 F N =(640-800)N =-160 N ；在DE 段没有外力，故轴力不变；在截面E 有集中力，由于轴力曲（b ） (a)

线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0。例5.5有一根阶梯轴受力如图5.19(a)所示，试绘制阶梯轴的轴力图。图5.19 解从右向左绘制，始终取左变部分为研究体。根据外力直接绘制轴力图（见图5.19(b)），绘图分析过程及步骤如下：在截面A有集中力F1，使研究体压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F1大小,此时F N=（0-10）kN=-10 kN；在AB段有均匀分布载荷，使研究体受拉伸变形，故轴力以斜直线规律向正方向渐变，轴力渐变大小为均匀分布载荷大小，此时F N=（-10+10×2）kN=10 kN；在截面B没有力，故此截面轴力没有变化；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F2大小，此时F N=（10+10）kN=20 kN；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0.

材料力学内力图绘制详解

一、由外力直接绘制轴力图例如图(a)所示为一绳子受力图，右端固定，试绘制该绳的轴力图。解根据外力直接绘制轴力图（见图(b)），绘图分析过程及步骤如下。从左向右绘制，始终取右边部分为研究体。在截面A 有集中力F 1，使研究体拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 1大小，此时 F N =（0+500）N=500 N ；在AB 段没有外力，故轴力不变；在截面B 有集中力F 2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 2大小,此时F N =（500+420）（b ） (a)

N=920 N；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F3，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F3大小，此时F N=(920-280)N=640 N；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力F4，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F4大小，此时F N=(640-800)N=-160 N；在DE 段没有外力，故轴力不变；在截面E有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0。例有一根阶梯轴受力如图(a)所示，试绘制阶梯轴的轴力图。图解从右向左绘制，始终取左变部分为研究体。根据外力直接绘制轴力图（见图(b)），绘图分析过程及步骤如下：在截面A有集中力F1，使研究体压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F1大小,此时F N=（0-10）kN=-10 kN；在AB段有均匀分布载荷，使研究体受拉伸变形，故轴力以斜直线规律向正方向渐变，轴力渐变大小为均匀分布载荷大小，此时F N=（-10+10×2）kN=10 kN；在截面B没有力，故此截面轴力没有变化；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F2大小，此时F N=（10+10）kN=20 kN；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0.

材料力学专一梁的内力和内力图

专题一梁的内力和内力图例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。解：1）求反力 kN 5=A F ，kN 4=B F 2）求A 左截面的内力，如图(a)所示。 0=∑i Y ， 0=+左SA p F F ，kN 3-=左SA F 0=∑O M ，02=+?左A p M F ， m kN 6?-=左A M 3）求A 右截面的内力，如图(b)所示。 0=∑i Y ，0=+--A SA p F F F 左，kN 2=左SA F 0=∑O M ，02=+?右A p M F ， m kN 6?-=右A M 4）求C 左截面的内力，如图(c)所示。 0=∑i Y ，02=-?--左SC P A F q F F ，0=左SC F 0=∑O M ，01224=+??+?-?左C A p M q F F ，=左C M m kN 4?-= 5）求C 右截面的内力，如图(d)所示。 0=∑i Y ，02=-?--右SC P A F q F F ，0235=--=右SC F 0=∑O M ，012241=++??+?-?右C A p M M q F F ，=右C M m kN 6?-= 【小结】①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致。一般取外力比较简单的一段进行分析。②在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。③该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。图 1 (a) (b) (c) (d) (e)

例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。解：(a)取A +截面左段研究，, 0SA A F F M ++ == 取C 截面左段研究，, 2 SC C Fl F F M == 取B -截面左段研究， , SB B F F M Fl == (b) 求A 、B 处约束反力如图(d)所示，l M F F e B A /== 取A +截面左段研究，, e SA A A e M F F M M l ++=-=-= 取C 截面左段研究， , 22e e SC A A e A M M l F F M M F l +=-=-=-?= 取B 截面右段研究，, 0e SB B B M F F M l =-=-= (c) 求A 、B 处约束反力取A +截面右段研究，2 33, 22248 SA A l ql l l ql F q M q ++=?==-??=- 取 C -截面右段研究， 2 , 22248 SC C l ql l l ql F q M q - -=?==-??=- 取C +截面右段研究，2 , 22248 SC C l ql l l ql F q M q + +=?==-??=- 取B -截面右段研究，0, 0SB B F M --== 图2 (b) (a) q B (c) B 图(d)

材料力学专题一梁的内力和内力图

材料力学中内力图的直接画法

材料力学中内力图的直接画法摘要:介绍一种关于材料力学中轴力、扭矩、剪力和弯矩等内力图的直接画法，建立内力的增减与外力方向之间的关系。关键词:内力图；直接画法；内力；外力。画内力图是材料力学学习过程中的一个重点，而不少学生在学习这部分内容时感到不好理解，总是不清楚题目要求的截面上的内力应该怎么求。尤其是弯曲内力中的剪力与弯矩。为了使同学更好地理解构件的内力、画好内力图,经过摸索与思考，我总结出了关于内力图的一种简单的画法。本文中约定在各内力图中向上的方向为正向，画图时从左向右画。希望老师和同学予以指正。 1.轴力、扭矩图轴力图完全可直接根据外力的大小与方向直接画出来。以水平杆为例，如杆左端有约束，首先求出约束力(外力)，向左的外力会引起轴力增加，而向右的外力会引起轴力减小。例如:图1中所示的杆的A、B、C、D点分别作用有大小为5P、8P、4P、P的力，方向如图1，试画出杆的轴力图。解：用截面法求OA段内力N1设置截面如图1. X=OV1-P A+P B-P C-P D=0 N 1-5P+8P-4P-P=0N 1 =2P 同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：N 2=-3P,N 3 =5P,N 4 =P。轴力图如图1所示。

如果用直接法，只需要求出O截面的约束力R。由平衡方程R=2P，方向向左，故O截面的轴力从0增加到2P。OA段无外力，轴力均为2P。A截面作用有外力P A =5P，方向向右，轴力在该截面将减小5P，即从2P降为-3P。AB段无外力，轴力均为-3P。B截面作用有外力8P，方向向左，该截面轴力将增加8P，即从-3P升到5P。ＢＣ段轴力为５Ｐ，Ｃ截面有外力４Ｐ，方向向右，轴力在该截面下降４Ｐ。ＣＤ段轴力为Ｐ，Ｄ截面有外力Ｐ，方向向右，该截面轴力下降Ｐ，最终为Ｏ轴力图终点与ｘ轴重合。关于扭矩图中扭矩正负的规定，用直接法，将外力偶用右手螺旋法则进行矢量化，矢量沿轴线方向，一水平轴为例，向左的外力偶矩将引起扭矩的增加，向右的外力偶矩将引起扭矩下降，因此在直接法中，扭矩图的画法与轴力图的画法完全一样。例如：已知图2中m 1=159kN.m，m 2 =m 3 =4.78kN.m，m 4 =6.37kN.m，画该轴的扭矩图。直接法：将各外力偶矩矢量化。A截面外力偶矩方向向右，大小为4.78kN.m，故扭矩在改截面下降4.78kN.m，即从0变为-4.78kN.m变为-9.56kN.m。ＢＣ段的

材料力学内力求解小技巧

材料力学内力求解小技巧许秀兰潍坊工商职业学院摘要：构件发生轴向拉压、剪切与挤压、扭转与弯曲等变形时，均可采用截面法来研究其内力，即将构件假想地沿某一横截面切开，去掉一部分，保留另一部分，同时在该截面上用内力表示去掉部分对保留部分的作用，建立保留部分的静力平衡方程求出内力。按照上述步骤求解构件变形时的内力，解题过程较繁琐、麻烦，我们可以将其进行简化，先找出内力的正向，运用下面的相关计算公式，利用口诀“相反为正”来快速准确的求解。关键词：截面法；轴力；扭矩；剪力和弯矩；相反为正； 1、引言材料力学是高等高职高专技术学校机械类、数控技术、模具设计制造、土木工程类等工科专业的技术基础课，其理论性强且与专业课、工程实际紧密联系，是科学、合理选择或设计结构（或构件）的尺寸、形状、强度校核的理论依据。为后续机械设计基础、机械设计制造、模具设计与制造、液压与气动技术等专业课的学习和应用奠定了很强的理论基础，也为学生毕业后作为技术工人运用力学知识，在实际工作中正确使用、维护、保养机械设备和建造公路与桥梁，正确分析和解决生产中有关的力学问题提供了知识上的保证，对提高学生的实际操作水平、分析问题解决问题的能力及技术应变能力都具有至关重要的作用。 2、材料力学特点该课程具有理论性强、概念多、公式多、内容抽象、教学内容繁杂易混淆等特点，学生感到枯燥无味，容易产生厌学的情绪，对教学效果产生不利影响。而本课程又与很多后续课程密切相关，学习的好坏直接影响学生以后对专业课的学习，所以有必要对以往的教学进行适当改革，简化公式推到过程重视其灵活应用，简化求解思路与过程，善于进行比较归纳总结，找出相互间的异同和规律，提高学习效率和学习效果。 3、材料力学内力分析计算构件在工作时，一般要承受载荷、自重、约束力等作用，构件横截面上的内力会随着外的增加而增大，但内力的增加时有限的看，若超过某一限度，构件就不能正常工作甚至被破坏。为了保证构件能够在外力作用下安全可靠地工作，必