南京市南京市第一中学数学整式的乘法与因式分解单元测试与练习(word解析版)

南京市南京市第一中学数学整式的乘法与因式分解单元测试与练习

(word解析版)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题(难)

1.将多项式V+4加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是()

1 4 1 2

A. ―4B, ±4x C. —X D. —X

16 16

【答案】D

【解析】

【分析】

分X?是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.

【详解】

解：①当x2是平方项时，4 士 4x+x2= (2 ± x) 2,则可添加的项是4X或一 4x：

②当X?是乘积二倍项时，4+乂不上『=(2+L/) 2,则可添加的项是

16 4 16

③若为单项式，则可加上-4.

故选：D.

【点睛】

本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全而考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.

2.多项式*-4*"-2，+肝4尸分解因式后有一个因式是x-2y,另一个因式是( )

A. x+2y+l

B. x+2y - 1

C. x - 2y+l

D. x - 2y - 1

【答案】c

【解析】

【分析】

首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案.

【详解】

解：x? - 4xy - 2y+x+4y2

=(x2 - 4xy+4V2)+ (x - 2y)

=(x - 2y) 2+ (x - 2y)

=(x- 2y) (x- 2y+l).

故选：C.

【点睛】

此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式 (x-

2y),将其当成整体提出，进而得到答案.

3.己知 a=2018x+2018, b = 2018x+2019, c = 2018x+2020,则￡+b'+c二一ab-ac - be 的值

是()

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】

把已知的式子化成1 [ ( a-b )2+ ( a-c) 2+ ( b-c) 2]的形式，然后代入求解即可. 2

【详解】

原式="!■ ( 2a2+2b2+2c z-2ab-2ac-2bc )

2

=-[(a2-2ab+b2) + ( a2-2ac+c2 ) + ( b2-2bc+c2 )]

2

=；[(a-b ) 2+ ( a-c ) 2+( b-c ) 2]

=-x ( 1+4+1 )

2

=3 , 故选D.

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键.

4.下列计算正确的是()

A. 3Y ,4.Y==123

B. (.Y-1) (A1)二士—1

C. (x°) 2-x

D. x **大

【答案】D

【解析】试题分析：根据单项式乘以单项式的法则，可知3炉?4炉=12/，故A不正确：根据乘法公式(完全平方公式)可知(x-l) (X—1) =/_2x+l,故B不正确：根据甯的乘方，底数不变，指数相乘，可得(x5) 2=A-10,故C不正确：

根据同底数箱的相除，可知/力=/,故D正确.

故选：D.

5.在2014 , 2015 , 2016 , 2017这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是 ().

A. 2014

B. 2015

C. 2016

D. 2017

【答案】A

【解析】

由于 / 一〃 =(a+〃)(。一/?)，所以

2015 = 10082—1007: ； 2016 = 5052—503、2017 = 10092-10082；因〃 +力与“一白的奇偶性相同，2x1007一奇一偶，故2014不能表示为两个整数的平方差.故选A.

6.下列计算正确的是（）

A.a2 +a2 = a

B. （6/~）3 =（I

C. a5 - a2 = a

D. 2a2—a2 = 2

【答案】C

【解析】

【详解】

解：A. a2 +a2 =2a2，故 A 错误;

B.（a2）'=a6,故 B 错误；

C.a' ? a? = a'，正确：

D.2a2-a2=a2?故 D 错误；

故选C

7.设 M=(x-3)(x-7), N=(x-2)(x-8),则 M 与 N 的关系为()

A. M

B. M>N

C. M=N

D.不能确定

【答案】B

【解析】

由于 M=(x-3) (x-7) =x=-10x+21, N= (x-2) (x-8) =x=-10x+16,可以通过比较 M 与 N 的差得出结果.

解：?.［仁(x-3) (x-7) r'-10x+21,

N= (x-2) (x-8) =x=-10x+16,

M-N= (x'-10x+21) - (x--10x+16) =5,

AM>N.

故选B.

“点睛”本题主要考查多项式乘以多项式的法则.注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键.

8.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )

A. 2a2 - 2a+l=2a (a - 1) +1

B. (x+y) (x - y) =x2 - y2

C. x2 - 6x+5= (x-5) (x- 1)

D. x2+y2= (x - y) 2+2x

【答案】C

【解析】

【分析】

根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可.

【详解】

A、2a2-2a+l=2a (a-1) +1,等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意：

B、(x+y) (x-y) =x2-y2,这是整式的乘法，故此选项不符合题意；

C、X2-6X+5=(X-5)(X-1),是因式分解，故此选项符合题意：

D、x2+y2= (x-y) 2+2xy,等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意：故选c. 【点睛】

此题考查因式分解的意义，解题的关键是看是否是由一个多项式化为几个整式的乘积的形式.

9.下列分解因式正确的是()

A.-x2 + 4x = -x(x + 4)

B. A-2 + xy + x = x(x + y)

C. x(x- y) + y(y -x) = (x- y)2

D./-4x + 4 = (x + 2)(x-2)

【答案】C

【解析】

【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案.注意分解要彻底.

【详解】A.-/+4犬=一/(工一4),故A选项错误；

B.X24-A>f + X = X(^+y + l),故 B 选项错误；

C.x(x-y) + y(y -x) = (x-y)’，故 C 选项正确：

D- x2 -4x + 4= ( x-2 ) 2,故 D 选项错误，

故选C.

【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式.注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解.注意分解要彻底.

10.观察下列两个多项式相乘的运算过程：

(x囱)(x叵|)=/向x用(x自(x囱”樱氤印

根据你发现的规律，若(x+Q) (x+b) =X-7x+12,则a, b的值可能分别是( )

A. -3，T B, -3.4 C. 3，-4 D. 3, 4

【答案】A

【解析】

【分析】

a+b = -7

根据题意可得规律为《，?，再逐一判断即可.

ab = \2

【详解】

a+b = -7

根据题意得，a, b的值只要满足《，0 即可，ab = \2

A.-3+ ( -4 ) =-7 f -3X ( -4 ) =12,符合题意：

B,-3+4=l ,-3X4=-12,不符合题意：

C.3+ ( -4 ) =-1,3 X (-4 ) =-12,不符合题意；

D.3+4=7,3X4=12,不符合题意.

故答案选A.

【点睛】

本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.

二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题(难)

11.设%M2M3……是一列正整数，其中％表示第一个数，组表示第二个数，依此类推，册表示第〃个数(〃是正整数)，已知％ =1 ,依“=(。，3一 1尸一3“ 一1尸，则

“2018 =-

【答案】4035

【解析】

【分析】4a n=(a n+1-l)2-(a n— 1/整理得@ +1『=(a n+1-l)\从而可得a (2)

an=-a n+1,再根据题意进行取舍后即可求得an的表达式，继而可得a?。0

【详解】V4a n=(a n+1-l)2-(a n-l)2 ,

???4an+(an—l)2=(az—l)2 .

，区+1)2=但"1-1)2，

?? an+l=an+i-l an+l=-an+i+l ,

?? 8n+l-an=2 或 an=-8n+l ,

又??? a p a2,a3……是一列正整数，

；?a产也用不符合题意,舍去，

?? an+i-an=2 ,

又,「ai=l ,

A az=3 , 33=5 , ...... , a n=2n-l ,

.,.32018=2x2018-1=4035 ,

故答案为4035.

【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出a n+1-a n=2.

12.如果关于x的二次三项式V-4x +帆在实数范围内不能因式分解，那么〃？的值可以

是.(填出符合条件的一个值)

【答案】5

【解析】

【分析】

根据前两项，此多项式如用十字相乘方法分解，m应是3或-5：若用完全平方公式分解，m 应是4,若用提公因式法分解，m的值应是0,排除3、-5、4、0的数即可.

【详解】

当m=5时，原式为炉-4x + 5,不能因式分解，

故答案为：5.

【点睛】

此题考查多项式的因式分解方法，熟记每种分解的因式的特点及所用因式分解的方法，掌握技巧才能熟练运用解题.

13.在实数范围内因式分解：X2+3X-\=

【解析】

【分析】

利用一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可.

【详解】

令丁+3工一1=0

本题考查实数范围内的因式分解，利用一元二次方程的解法即可解答，熟练掌握相关知识点是解题关键.

14.已知：如图,△ ACB的面积为30 , Z C=90° , BC=CI , AC=b ,正方形ADEB的面积为169 ,则（。一〃尸的值为.

【答案】49

【解析】

首先根据三角形的而积可知1ab=30,可得ab=60,再利用勾股定理和正方形的面积公式求 2

出 a?+b2=169,因此可知（a-b）2= a2+b2-2ab= 169-120=49.

故答案为：49.

点睛：此题主要考查了勾股定理，关键是掌握在任何直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，同时考查了三角形的面积计算和

完全平方公式的计算.

15.若4/+2Z什a二是一个完全平方式，则a的值是_ .

【答案】±5

【解析】

a2= 25,” = ±5

16.对于实数a, b,定义运算"※"如下:a5^b=a2 - ab.例如，5X3=52-5x3=10.若

（x+1）（x-2） =6,则 x 的值为.

【答案】1

【解析】

【分析】

根据新定义运算对式子进行变形得到关于x的方程，解方程即可得解.

【详解】

由题意得，（x+1） 2 -（x+1）（x-2） =6,

整理得,3x+3=6,

解得，x=l,

故答案为L

【点睛】

本题考查了解方程，涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键.

17. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（用a、b的代数式表示）.

a--- ?*。f|

① ②

【答案】ab

【解析】

【分析】

【详解】

设大正方形的边长为Xl，小正方形的边长为X2,由图①和②列出方程组得,

r +2X2 =a

A _ 2X2=h

解得，

a + b

x,= ------

- 4

②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（?）2-4x （4 ） 2=ab.

故答案为ab.

18.请看杨辉三角（1）,并观察下列等式（2）： 1

1 1 12

1 ,, ,

?

?

[3—^ =5' —2aZ>-ir

14

6

4

1 （af =&： T/bT 而-8

.................................. （a —为'=/ -4a%-6a%： -4a* 一右

⑴

（2）

根据前面各式的规律，则（a+b ） 6=.

【答案】a 6

+6a 5

b+15a 4b 2

+20a 3b 3

+15a 2b d

+6ab 5

+b 6

. 【解析】 【分析】

通过观察可以看出（a+b ） 6的展开式为6次7项式，a 的次数按降甯排列，b 的次数按升 塞排列,各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1. 【详解】

通过观察可以看出（a+b ） 6的展开式为6次7项式，a 的次数按降甯排列，b 的次数按升 塞排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1. 所以（a+b ） 6

=a 6

+6a 5

b+15a 4b 2

+20a 3b 3

+15a 2b 4

+6ab 5

+b 6

.

19.利用1个aXa 的正方形，1个bXb 的正方形和2个aXb 的矩形可拼成一个正方形

（如图所示），从而可得到因式分解的公式 ______ .

【答案】a 2+2ab+b 2

= （a+b ） 【解析】

试题分析：两个正方形的面积分别为标，b2,两个长方形的而积都为ab,组成的正方形的 边长为a + b,而积为(a + b 『， 所以 a? + 2ab + b 2

= (a + b)2

.

点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面 积关系.

20.分解因式：3〃/一 18+ 27〃〃/= 【答案】3m(m-3n)2

【解析】 【分析】

先提公因式3m,然后再利用完全平方公式进行分解即可得. 【详解】

3 m' -18m 2

n + 27 inn ? =3m(m 2

-6mn+9n 2

) =3m(m-3n)2

z

b

a

故答案为：3m(m-3n产.

【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底.