备战中考数学 锐角三角函数 培优练习(含答案)

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；

（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62

或

23

.

【解析】

【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；

（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；

（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.

【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，

∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，

∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，

∵△EFK是直角三角形，∴OF=1

2

EK=OE；

（2）如图2中，延长EO交CF于K，

∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，

∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，

∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，

∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；

（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，

∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2，

在Rt△EFK中，tan∠3

∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，

∴EK=2FK=4，OF=1

2

EK=2，

∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，

在Rt△PHF中，PH=1

2

PF=1，3OH=23

∴()2

2

12362

+-=

如图4中，点P 在线段OC 上，当PO=PF 时，∠POF=∠PFO=30°， ∴∠BOP=90°， ∴OP=

33OE=233

， 综上所述：OP 的长为62 或

23

3

. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.

2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB 与底板OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO ＇后，电脑转到AO ＇B ＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm ，O ＇C ⊥OA 于点C ，O ＇C=12cm ． （1）求∠CAO ＇的度数．

（2）显示屏的顶部B ＇比原来升高了多少？

（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O ＇B ＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O ＇B ＇应绕点O ＇按顺时针方向旋转多少度？

【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm ；（3）显示屏O′B′应绕点O ′按顺时针

方向旋转30°． 【解析】

试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；

（2）过点B 作BD ⊥AO 交AO 的延长线于D ，通过解直角三角形求得BD=OBsin ∠BOD=24×

=12

，由C 、O′、B′三点共线可得结果；

（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．

试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，

∴sin∠CAO′=，

∴∠CAO′=30°；

（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，

∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，

∠CAO′=30°，

∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，

∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，

∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；

（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，

理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，

∴∠E O′F=120°，

∴∠FO′A=∠CAO′=30°，

∵∠AO′B′=120°，

∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，

∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．

考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．

3．在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE.

特殊发现：

如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．

问题探究：

把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．

(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成

立，请说明理由； (3)记

AC

BC

＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）

【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 为3

时，CPE 总是等边三角形 【解析】 【分析】

（1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有

EM FP

MC PB

=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．

（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC

BC

=tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可． 【详解】

解：（1）PC=PE 成立，理由如下：

如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴

EM FP

MC PB

=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；

（2）PC=PE 成立，理由如下：

如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中 ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ， ∴△DAF ≌△EAF （AAS ）， ∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中， ∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ， ∴△DAP ≌△EAP （SAS ）， ∴PD=PE ，

∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ， ∴FD ∥BC ∥PM ， ∴

DM FP

MC PB

=， ∵点P 是BF 的中点， ∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ， ∴PC=PD ，又∵PD=PE ， ∴PC=PE ；

（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形， ∴∠CEP=60°， ∴∠CAB=60°， ∵∠ACB=90°，

∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵

AC k BC =，AC

BC

=tan30°， ∴k=tan30°=3

∴当k 3

△CPE 总是等边三角形．

【点睛】

考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．

4．如图，已知正方形在直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点，分别在上，且

将三角板绕点逆时针旋转至的位置，连结

（1）求证：

（2）若三角板绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析（2）存在，或

【解析】

（1）证明：∵四边形为正方形，∴

∵三角板是等腰直角三角形，∴

又三角板绕点逆时针旋转至的位置时，∴···························· 3分

（2）存在.································· 4分

∵

∴过点与平行的直线有且只有一条，并与垂直，

又当三角板绕点逆时针旋转一周时，则点在以为圆心，以为半径的圆上，························ 5分

∴过点与垂直的直线必是圆的切线，又点是圆外一点，过点与圆相切的直线有且只有2条，不妨设为和

此时，点分别在点和点，满足

·························· 7分

当切点在第二象限时，点在第一象限，

在直角三角形中，

∴∴

∴点的横坐标为：

点的纵坐标为：

∴点的坐标为··························· 9分

当切点在第一象限时，点在第四象限，

同理可求：点的坐标为

综上所述，三角板绕点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得此时点的坐标为或································ 11分

（1）根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；

（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以O为圆心，OE（或OF）长为半径的圆，若CF⊥OF，那么CF必为⊙O的切线，且切点为F；可过C作⊙O的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的E点也有两个；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可证得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE 的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是⊙C外一点，连接CP交⊙C于点Q，点P关于点Q的对称点为P′，当点P′在线段CQ上时，称点P为⊙C“友好点”．已知A(1，0)，

B(0，2)，C(3，3)

(1)当⊙O的半径为1时，

①点A，B，C中是⊙O“友好点”的是；

②已知点M在直线y＝﹣3

x+2 上，且点M是⊙O“友好点”，求点M的横坐标m的取值

范围；

(2)已知点D(23，0)，连接BC，BD，CD，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，半径为1，若在△BCD 上存在一点N，使点N是⊙T“友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围．

【答案】(1)①B；②0≤m3(2)﹣3t＜3

【解析】

【分析】

(1))①根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，所以点B是⊙O“友好点”；

②设M(m 3

+2 )，根据“友好点”的定义，OM

2

2

3

22

2

m m

??

+-+≤

?

?

??

，由此

求解即可；

(2)B(0，2)，C(3，3)，D30)，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，点N是⊙T“友好点”，NT≤2r＝2，所以点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点

H．易知∠BDO＝30°，∠OBD＝60°，NT 3

，直线BD：y

3

x+2，可知H(t，﹣

3 3t+2)，继而可得NT＝﹣

1

2

t+

33

2

，由此可得关于t的不等式，解出t的范围即可.

【详解】

(1)①∵r＝1，

∴根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，

∴点B是⊙O“友好点”，

∵OC22

33

+2>2r＝2，∴点C不是⊙O“友好点”，A(1，0)在⊙O上，不是⊙O“友好点”，

故答案为B；

②如图，

设M (m ，﹣

3

m +2 )，根据“友好点”的定义， ∴OM ＝2

23

22

2m m ??+-+≤ ? ???

， 整理，得2m 2﹣23m ≤0， 解得0≤m ≤3；

∴点M 的横坐标m 的取值范围：0≤m ≤3；

(2)∵B (0，2)，C (3，3)，D (23，0)，⊙T 的圆心为T (t ，﹣1)，点N 是⊙T “友好点”， ∴NT ≤2r ＝2，

∴点N 只能在线段BD 上运动，过点T 作TN ⊥BD 于N ，作TH ∥y 轴，与BD 交于点H ．

∵tan ∠BDO ＝

3

3

23OB OD ==

∴∠BDO=30°， ∴∠OBD ＝60°， ∴∠THN=∠OBD=60°， ∴NT ＝HT?sin ∠3

，

∵B(0，2)，D(23，0)，∴直线BD：y＝﹣3

3

x+2，∵H点BD上，

∵H(t，﹣3t+2)，

∴HT＝﹣3

3t+2﹣(﹣1)＝﹣

3

3

t+3，

∴NT＝3HT＝3(﹣3t+3)＝﹣1

2t+

33

，

∴﹣1

2t+

33

≤2，

∴t≥﹣4+33，

当H与点D重合时，点T的横坐标等于点D的横坐标，即t＝33，

此时点N不是“友好点”，

∴t＜33，

故圆心T的横坐标t的取值范围：﹣4+33≤t＜33．

【点睛】

本题是圆的综合题，正确理解“友好点”的意义，熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函数是解题的关键．

6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；

（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x 的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．

【答案】（1）45

2

；（2）详见解析；（3）使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0

秒、

32 秒、95- ． 【解析】 【分析】

（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2，由tan ∠B ′D ′A ′＝

'''''

=A B CE

A D CD 可求出CE ，即可计算△CED ′的面积，S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′； （2）分类讨论，当0≤x ≤

115时和当11

5

＜x ≤4时，分别列出函数表达式； （3）分类讨论，当AB ′＝A ′B ′时；当AA ′＝A ′B ′时；当AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可． 【详解】

解：（1）∵AB ＝6cm ，AD ＝8cm ， ∴BD ＝10cm ，

根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10cm ，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2cm ， ∵tan ∠B ′D ′A ′＝

'''''

=A B CE A D CD ∴

682

=CE ∴CE ＝3

2

cm ，

∴S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′＝86345

22222

?-?÷=（cm 2）； （2）①当0≤x ＜115时，CD ′＝2x +2，CE ＝3

2

（x +1）， ∴S △CD ′E ＝32x 2+3x +32

， ∴y ＝12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32＝﹣32x 2﹣3x +452； ②当

115≤x ≤4时，B ′C ＝8﹣2x ，CE ＝4

3

（8﹣2x ） ∴()2

14y 8223x =

?-＝83x 2﹣643x +1283． （3）①如图1，当AB ′＝A ′B ′时，x ＝0秒；

②如图2，当AA ′＝A ′B ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝245

， ∵AN 2+A ′N 2＝36， ∴（6﹣

245）2+（2x +18

5

）2＝36，

解得：x＝669

5

-

，x＝

669

5

--

（舍去）；

③如图2，当AB′＝AA′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+18

5

，A′M＝NB＝

24

5

，

∵AB2+BB′2＝AN2+A′N2

∴36+4x2＝（6﹣24

5）2+（2x+

18

5

）2

解得：x＝3

2

．

综上所述，使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、3

2

秒、

669

5

-

．

【点睛】

本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．

7．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；

（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）

（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝

4

3

．理由见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据三角形判定方法进行证明即可．

（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．

（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论． 【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形， ∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°， ∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ， ∴∠BAE ＝∠DAG ， 在△ADG 和△ABE 中，

ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△ADG ≌△ABE （AAS ）． （2）解：∠FCN ＝45°，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：

则∠EHF ＝90°＝∠ABE ， ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，

∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°， ∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，

EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△EFH ≌△ABE （AAS ）， ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ， ∴CH ＝BE ＝FH ， ∵∠FHC ＝90°， ∴∠FCN ＝45°．

（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：

由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90°，

结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ， ∴EH ＝AD ＝BC ＝8， ∴CH ＝BE ， ∴

EH FH FH

AB BE CH

==； 在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝

84

63

FH EH CH AB ===， ∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43

． 【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．

8．如图①,在菱形ABCD 中,60B ?∠= ，4AB =.点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿边AD 向终点D 运动，过点P 作PQ AC ⊥交边AB 于点Q ，过点P 向上作

//PN AC ，且3

PN PQ =

，以PN 、PQ 为边作矩形PQMN .设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S . （1）用含t 的代数式表示线段PQ 的长. （2）当点M 落在边BC 上时，求t 的值. （3）当0t 1<<时，求S 与t 之间的函数关系式，

（4）如图②,若点O 是AC 的中点，作直线OM .当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为12：时，直接写出t 的值

【答案】（1）23PQ t =；（2）

45

；（3）2193403163t t -+-；（4） 2

3t = 或

8

7

t = ． 【解析】 【分析】

（1）由菱形性质得∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD 是等边三角形，证出△APQ 是等腰三角形，得出PF=QF ，3，即可得出结果；

（2）当点M 落在边BC 上时，由题意得：△PDN 是等边三角形，得出PD=PN ，由已知得3

，得出PD=3t ，由题意得出方程，解方程即可； （3）当0＜t≤45时，3t ，3

，S=矩形PQMN 的面积=PQ×PN ，即可得出结果；当

4

5

＜t ＜1时，△PDN 是等边三角形，得出PE=PD=AD-PA=4-2t ，∠FEN=∠PED=60°，得出NE=PN-PE=5t-4，33（5t-4），S=矩形PQMN 的面积-2△EFN 的面积，即可得出结果；

（4）分两种情况：当0＜t≤4

5

时，△ACD 是等边三角形，AC=AD=4，得出OA=2，OG 是△MNH 的中位线，得出OG=4t-2，NH=2OG=8t-4，由面积关系得出方程，解方程即可；

当

4

5

＜t≤2时，由平行线得出△OEF ∽△MEQ ，得出EF OF EQ MQ =233t t EF t -=+，解得2332t t -，得出2

3323t t t -+程即可． 【详解】

（1）∵在菱形ABCD 中，∠B=60°，

∴∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD 是等边三角形， ∴∠CAD=60°， ∵PQ ⊥AC ，

∴PF=QF，PF=PA?sin60°=2t×3

2

=3t，

∴PQ=23t；

（2）当点M落在边BC上时，如图2所示：

由题意得：△PDN是等边三角形，

∴PD=PN，

∵PN=3

2PQ=

3

2

×23t=3t，

∴PD=3t，

∵PA+PD=AD，即2t+3t=4，

解得：t=4

5

．

（3）当0＜t≤4

5

时，如图1所示：

PQ=23t，PN=3

PQ=

3

×23t=3t，

S=矩形PQMN的面积=PQ×PN=23t×3t=63t2；

当4

5

＜t＜1时，如图3所示：

∴PE=PD=AD-PA=4-2t，∠FEN=∠PED=60°，

∴NE=PN-PE=3t-（4-2t）=5t-4，

∴FN=3NE=3（5t-4），

∴S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积=63t2-2×1

2

×3（5t-4）2=-19t2+403t-163，即S=-19t2+403t-163；

（4）分两种情况：当0＜t≤4

5

时，如图4所示：

∵△ACD是等边三角形，

∴AC=AD=4，

∵O是AC的中点，

∴OA=2，OG是△MNH的中位线，

∴OG=3t-（2-t）=4t-2，NH=2OG=8t-4，

∴△MNH的面积=1

2MN×NH=

1

2

×23t×（8t-4）=

1

3

×63t2，

解得：t=2

3

；

当4

5

＜t≤2时，如图5所示：

∵AC∥QM，

∴△OEF∽△MEQ，

∴EF OF

EQ MQ

=

2

3

3

t

t

EF t

-

=

+

，

解得：

2

33

2t t

-

，

∴EQ=2

3322

34t t t t --+，

∴△MEQ 的面积=12×3t×（2

3323t t t -+）=13×63t 2，

解得：t=

87

； 综上所述，当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为1：2时，t 的值为

23

或87

． 【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握菱形和矩形的性质，综合运用知识，进行分类讨论是解题的关键．

9．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A(1, ﹣1)，B(5, ﹣1)，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线表达式；

（2）如图1，连接CB ，以CB 为边作?CBPQ ，若点P 在直线BC 下方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且?CBPQ 的面积为30， ①求点P 坐标;

②过此二点的直线交y 轴于F, 此直线上一动点G,当GB+

2

GF 2

最小时,求点G 坐标. （3）如图2，⊙O1过点A 、B 、C 三点，AE 为直径，点M 为 上的一动点（不与点A ，E 重合），∠MBN 为直角，边BN 与ME 的延长线交于N ，求线段BN 长度的最大值

【答案】（1）y=x2﹣6x+4（2）①P(2, -4)或P(3, -5) ②G(0, -2)（3）313【解析】 【分析】

（1）把点A （1，-1），B （5，-1）代入抛物线y=ax 2+bx+4解析式，即可得出抛物线的表达式；

（2）①如图，连接PC ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于R ，可求得直线BC 的解析式

为：y=-x+4，设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），因为?CBPQ的面积为30，所以S△PBC=1 2

×(?t+4?t2+6t?4)×5

＝15，解得t的值，即可得出点P的坐标；②当点P为（2，-4）时，求

得直线QP的解析式为：y=-x-2，得F（0，-2），∠GOR=45°，因为GB+

2

GF=GB+GR，所以当G于F重合时，GB+GR最小，即可得出点G的坐标；当点P为（3，-5）时，同理可求；

（3）先用面积法求出sin∠ACB=213

13

，tan∠ACB=

2

3

，在Rt△ABE中，求得圆的直径，

因为MB⊥NB，可得∠N=∠AEB=∠ACB，因为tanN=MB

BN

＝

2

3

，所以BN=

3

2

MB，当MB为

直径时，BN的长度最大．

【详解】

(1) 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，-1），B（5，-1），

∴

14

12554

a b

a b

-++

?

?

-++

?

＝

，

＝

解得

1

6

a

b

?

?

-

?

＝

，

＝

∴抛物线表达式为y=x2﹣6x+4．

(2)①如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，

设直线BC的解析式为y=kx+m，

∵B（5，-1），C（0，4），

∴

15

4

k m

m

-+

?

?

?

＝

＝

，解得

1

4

k

m

＝

，

＝

-

?

?

?

∴直线BC的解析式为：y=-x+4，

设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），∵?CBPQ的面积为30，

∴S△PBC=1

2

×(?t+4?t2+6t?4)×5＝15，

解得t=2或t=3，

当t=2时，y=-4

当t=3时，y=-5，

∴点P坐标为（2，-4）或（3，-5）；