(完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-.doc

二次函数专题训练（含答案）

一、 填空题

1. 把抛物线 y

1 x

2 向左平移 2 个单位得抛物线，接着再向下平移

3 个

2

单位，得抛物线 .

2. 函数 y

2x 2

x 图象的对称轴是，最大值是 .

3. 正方形边长为 3，如果边长增加 x 面积就增加 y ，那么 y 与 x 之间的函数关系是 .

4. 二次函数 y 2x 2 8x 6 ，通过配方化为 y a(x h) 2

k 的形为 .

5. 二次函数 y

ax 2 c （ c 不为零），当 x 取 x 1， x 2（ x 1≠ x 2）时，函数值相等，则

x 1 与 x 2 的关系是 .

6. 抛物线 y

ax 2 bx c 当 b=0 时，对称轴是， 当 a ，b 同号时， 对称轴在 y 轴侧，当 a ，

b 异号时，对称轴在 y 轴侧 .

7. 抛物线 y

2(x 1) 2 3 开口，对称轴是，顶点坐标是 . 如果 y 随 x 的增大而减小，那

么 x 的取值范围是 .

8. 若 a 0，则函数 y

2x

2

ax

5

图象的顶点在第象限；当 x

a

时，函数值随 x 的增

大而 .

4

9. 二次函数 y

ax 2 bx c （ a ≠ 0）当 a 0 时，图象的开口 a 0 时，图象的开口，顶点

坐标是 .

10. 抛物线 y

1

(x h) 2 ，开口，顶点坐标是，对称轴是 .

2

11. 二次函数 y 3( x

)2 (

) 的图象的顶点坐标是（ 1， -2 ） .

12. 已知 y

1

( x 1) 2 2 ，当 x 时，函数值随 x 的增大而减小 .

3

13. 已知直线 y

2x 1与抛物线 y

5x 2 k 交点的横坐标为 2，则 k=，交点坐标为 .

14. 用配方法将二次函数

y x 2

2

x 化成 y a( x h) 2 k 的形式是 .

3

15. 如果二次函数 y x 2

6x m 的最小值是 1，那么 m 的值是 .

二、选择题：

16. 在抛物线 y

2x 2

3x 1上的点是（

）

A. （0， -1 ）

B.

1

,0

C.

（ -1 ， 5）

D.

（ 3，4）

2

17. 直线 y

5 x 2与抛物线 y x 2 1 x 的交点个数是（

）

2

2

A.0 个

B.1

个

C.2

个 D.互相重合的两个

18. 关于抛物线 y

ax 2

bx c （ a ≠0），下面几点结论中，正确的有（

）

① 当 a 0 时，对称轴左边 y 随 x 的增大而减小， 对称轴右边 y 随 x 的增大而增大， 当

a 0 时，情况相反 .

② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点

.

③ 只要解读式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同 .

④

一元二次方程 ax 2

bx c 0（ a ≠ 0）的根，就是抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴

交点的横坐标 . A. ①②③④ B.

①②③ C.

①② D. ① 19. 二次函数 y=(x+1)(x-3)

，则图象的对称轴是（

）

A.x=1

B.x=-2

C.x=3

D.x=-3

20. 如果一次函数 y ax b 的图象如图代 13-3-12 中 A 所示，那么二次函

y ax 2

bx -3 的大致图象是（

）

图代 13-2-12

21. 若抛物线 y ax

2

bx c 的对称轴是 x

2, 则

a

（

）

b

1 C.4 D.

1

A.2

B.

2

4

22. 若函数 y

a 1， -2 ），那么抛物线 的图象经过点（

x

质说得全对的是（ ）

A. 开口向下，对称轴在 y 轴右侧，图象与正半

B. 开口向下，对称轴在 y 轴左侧，图象与正半

C. 开口向上，对称轴在 y 轴左侧，图象与负半

D.

开口向下，对称轴在 y 轴右侧，图象与负半

y ax 2 (a 1) x a 3 的性

y 轴相交 y 轴相交 y 轴相交

y 轴相交

23. 二次函数 y x 2 bx c 中，如果 b+c=0，则那时图象经过的点是（

）

A.(-1 ， -1)

B.(1

， 1)C.(1 ， -1)D. （ -1 ，1）

24. 函数 y ax

2

与 y

a

（ a 0）在同一直角坐标系中的大致图象是（

）

x

图代 13-3-13

25. 如图代 13-3-14 ，抛物线y x 2bx c 与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，

C两点，且BC=3， S△ABC=6，则 b 的值是（）

A.b=5

B.b=-5

C.b=± 5

D.b=4

图代 13-3-14

26. 二次函数 y ax2 （a 0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是（）

A ．X 取任何实数 B.x 0 C.x 0 D.x0 或 x 0

27. 抛物线 y 2( x 3) 2 4 向左平移 1 个单位，向下平移两个单位后的解读式为

（）

A. y 2(x 4) 2 6

B. y 2(x 4) 2 2

C. y 2(x 2) 2 2

D. y 3(x 3) 2 2

28. 二次函数 y x2 ykx 9k 2（k 0）图象的顶点在（）

A.y 轴的负半轴上

B.y 轴的正半轴上

C.x 轴的负半轴上

D.x 轴的正半轴上

29. 四个函数： y x, y x 1, y 1 （ x 0），y x 2（x 0），其中图象经过原

x

点的函数有（）

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

30. 不论 x 为值何，函数y ax2 bx c （a≠0）的值永远小于0 的条件是（）

A.a 0，0

B.a 0, 0

C ． a 0, 0 D.a 0, 0

三、解答题

31. 已知二次函数 y

x 2 2ax

2b 1 和 y

x 2 (a 3) x b 2

1的图象都经过 x

轴上两上不同的点 M ， N ，求 a ， b 的值 .

32. 已知二次函数 y

ax

2

bx c 的图象经过点 A （ 2，4），顶点的横坐标为

1

，它

2

的图象与 x 轴交于两点

B （x 1

2

2

2

，0）， C （x ， 0），与 y 轴交于点 D ，且 x 1 x 2 13 ，试 问： y 轴上是否存在点 P ，使得△ POB 与△ DOC 相似（ O 为坐标原点）？若存在，请求出 过 P ，B 两点直线的解读式，若不存在，请说明理由.

33. 如图代 13-3-15 ，抛物线与直线 y=k(x-4) 都经过坐标轴的正半轴上 A ， B 两点，该

抛物线的对称轴 x=-21 与 x 轴相交于点 C ，且∠ ABC=90°，求：（ 1）直线 AB 的解读

式； （ 2）抛物线的解读式 .

图代 13-3-15

图代 13-3-16

34. 中图代 13-3-16 ，抛物线 y

ax 2 3x c 交 x 轴正方向于 A ，B 两点，交 y 轴正方

向于 C 点，过 A ， B ， C 三点做⊙ D ，若⊙ D 与 y 轴相切 . （ 1）求 a ， c 满足的关系；（ 2） 设∠ ACB=α，求 tg α；（ 3）设抛物线顶点为 P ，判断直线 PA 与⊙ O 的位置关系并证明 . 35. 如图代 13-3-17 ，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示 意图，横断面的地平线为 x 轴，横断面的对称轴为 y 轴，桥拱的 DGD ＇部分为一段抛物

线，顶点 C 的高度为 8M ，AD 和 A ＇D ＇是两侧高为 5.5M 的支柱， OA 和 OA ＇为两个方向

的汽车通行区，宽都为 15M ，线段 CD 和 C ＇ D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为

1∶

4.

求（ 1）桥拱 DGD ＇所在抛物线的解读式及 CC ＇的长； （ 2） BE 和 B ＇ E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为

4M ，相应的 AB 和 A ＇ B ＇为两个方

向的行人及非机动车通行区，试求 AB 和 A ＇ B ＇的宽；

（ 3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于

0.4M ，车

载大型设备的顶部与地面的距离均为 7M ，它能否从 OA （或 OA ＇）区域安全通过？请说

明理由 .

图代 13-3-17

36. 已知：抛物线 y x 2 (m 4) x m 2 与 x 轴交于两点 A(a,0), B(b,0) （ a b ） .O

为坐标原点，分别以

OA ，OB 为直径作⊙ O 和⊙ O 在 y 轴的哪一侧？简要说明理由，并

1

2

指出两圆的位置关系 .

37. 如果抛物线 y

x 2 2(m 1) x m 1与 x 轴都交于 A ， B 两点，且 A 点在 x 轴

的正半轴上， B 点在 x 同的负半轴上， OA 的长是 a ， OB 的长是 b.

（ 1） 求 m 的取值范围；

（ 2） 若 a ∶b=3∶ 1，求 m 的值，并写出此时抛物线的解读式； （ 3）

设（ 2）中的抛物线与 y 轴交于点 C ，抛物线的顶点是

M ，问：抛物线上是否存

在点 P ，使△ PAB 的面积等于△ BCM 面积的 8 倍？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在， 请说明理由 .

38. 已知：如图代 13-3-18 ，EB 是⊙ O 的直径，且 EB=6，在 BE 的延长线上取点 P ，使 EP=EB.A

是 EP 上一点，过 A 作⊙ O 的切线 AD ，切点为 D ，过 D 作 DF ⊥ AB 于 F ，过 B 作 AD 的垂线BH ，交 AD 的延长线于 H ，连结 ED 和 FH.

图代 13-3-18

（ 1） 若 AE=2，求 AD 的长 .

（ 2） 当点 A 在 EP 上移动（点 A 不与点

AD ED E 重合）时，①是否总有

？试证

AH

FH

明你的结论； ②设 ED=x ，BH=y ，求 y 与 x 的函数关系式， 并写出自变量 x 的取值范围 . 39. 已知二次函数 y x

2

(m

2

4m

5

)x 2(m 2

4m

9

) 的图象与 x 轴的交点为

2

2

A ，

B （点 A 在点 B 右边），与 y 轴的交点为 C.

（ 1） 若△ ABC 为 Rt △，求 m 的值；

（ 2） 在△ ABC 中，若 AC=BC ，求∠ ACB 的正弦值；

（ 3） 设△ ABC 的面积为 S ，求当 m 为何值时， S 有最小值，并求这个最小值 .

40. 如图代 13-3-19 ，在直角坐标系中，以 AB 为直径的⊙ C 交 x 轴于 A ，交 y 轴于 B ，满足

OA ∶ OB=4∶ 3，以 OC 为直径作⊙ D ，设⊙ D 的半径为 2.

图代 13-3-19

（ 1） 求⊙ C 的圆心坐标 .

（ 2） 过 C 作⊙ D 的切线 EF 交 x 轴于 E ，交 y 轴于 F ，求直线 EF 的解读式 .

（ 3） 抛物线 y ax 2 bx c （ a ≠ 0）的对称轴过 C 点，顶点在⊙ C 上，与 y 轴交

点为 B ，求抛物线的解读式 .

41. 已知直线 y

1

x 和 y

x m ，二次函数 y x 2

px q 图象的顶点为 M.

2

1

x 与 y

（ 1）

若 M 恰在直线 y

x m 的交点处，试证明：无论

m 取何实数值，

2

二次函数 y x 2 px q 的图象与直线 y x m 总有两个不同的交点 . （ 2）

在（ 1）的条件下，若直线 y

x m 过点 D （ 0，-3 ），求二次函数

y x 2

px q 的表达式，并作出其大致图象 .

图代 13-3-20

（ 3） 在（ 2）的条件下，若二次函数

y

x 2

px q 的图象与 y 轴交于点 C ，与 x

同

的左交点为 A ，试在直线 y

1

x 上求异于 M 点 P ，使 P 在△ CMA 的外接圆上 .

2

42. 如图代 13-3-20 ，已知抛物线 y

x 2 ax b 与 x 轴从左至右交于 A ， B 两点，

与 y 轴交于点 C ，且∠ BAC=α，∠ ABC=β， tg α -tg β=2, ∠ ACB=90° .

（ 1）求点 C 的坐标； （ 2）求抛物线的解读式；

（ 3）若抛物线的顶点为 P ，求四边形 ABPC 的面积 .

参

考 答 案

动脑动手

1.

设每件提高 x 元（ 0≤x ≤ 10），即每件可获利润 （ 2+x ）元，则每天可销售 （ 100-10x ）件，设每天所获利润为 y 元，依题意，得

y (2 x)(100 10x)

10x280x200

10(x 4)2360.

∴当 x=4 时（ 0≤ x≤ 10）所获利润最大，即售出价为14 元，每天所赚得最大利润360 元 .

2. ∵y mx2 3m 4 x 4 ，

3

∴当 x=0 时， y=4.

当 mx2 3m 4 x 4 0, m 0时 m1 3, m 2 4 .

3 3m

即抛物线与 y 轴的交点为（0， 4），与 x 轴的交点为 A （ 3，0），B 4 ,0 . 3m

（1）当AC=BC时，

4

3, m4 .

3m9

∴ y 4 x2 4

9

（2）当AC=AB时，

AO 3,OC 4, AC 5 .

∴ 3

4

5 . 3m

∴

m1 1

, m2

2 6

.

3

当 m 1

时， y 1 x2

11

x 4 ；

6 6 6

当 m 2

时， y

2

x2

2

x 4 .

3 3 3

（3）当AB=BC时，

4 4 2

3 42 ，

3m 3m

∴ m 8 .

7 ∴ y 8 x2 44

x 4 .

7 21

4 x2 1 x2 11

x 4, y 2 x2

2

x 4 或

可求抛物线解读式为： y 4, y

9 6 6 3 3

y

8 x 2 44 x 4 .

7

21

3. （ 1）∵

[ ( m 2

5)] 2

4(2 2 6)

m

m 2 2m 2 1

(m 2 1) 2

图代 13-3-21

∴不论 m 取何值，抛物线与 x 轴必有两个交点 . 令 y=0，得 x 2

(m 2 5)x 2m 2

6 0

(x

2)(x m 2 3) 0 ，

∴ x 1

2, x 2

m 2

3 .

∴两交点中必有一个交点是 A （ 2， 0） .

（ 2）由（ 1）得另一个交点 B 的坐标是（ m 2+3,0 ） .

d

m 2

3 2 m 2 1 ，

2

2

∵ m+10 0，∴ d=m+1.

（ 3）①当 d=10 时，得 m 2=9.

∴

A

（ 2， 0），B （ 12，0） .

y x 2 14 x 24 ( x 7) 2

25 .

该抛物线的对称轴是直线 x=7，顶点为（ 7，-25 ），∴ AB 的中点 E （ 7， 0） .

过点 P 作 PM ⊥ AB 于点 M ，连结 PE ，

则 PE

1 AB 5, PM

2 b 2 , ME 2

(7 a) 2 ，

2

∴ (7 a) 2 b 2

52 . ①

∵点 PD 在抛物线上，

∴ b

(a 7) 2 25 . ②

解①②联合方程组，得 b 1

1,b 2

0 .

当 b=0 时，点 P 在 x 轴上，△ ABP 不存在， b=0，舍去 . ∴ b=-1. 注：求 b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程 .

②△ ABP 为锐角三角形时，则 -25 ≤ b -1 ； △ ABP 为钝角三角形时，则 b -1 ，且 b ≠ 0. 同步题库

一、 填空题

1. y

1

(x 2)2

, y

1

( x 2) 2 3； 2. x 1 , 1

； 3. y (x 3)2

9 ； 4.

2

2

4 8

y

2( x 2) 2

2； 5. 互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.

下，x=-1,(-1,-3)

，x -1 ；

8. 四，增大； 9.

向上，向下，

b 4a

c b 2

, x

b

10. 向下，（ h,0 ），x=h ；

2a

,

； 4a

2a

1 2

11.-1 ， -2 ； 12.x

-1 ； 13.-17 ，（ 2， 3）； 14.

y

x

1

3

； 15.10.

9

二、选择题

16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28. C 29.A 30.D

三、解答题

31. 解法一：依题意，设 M （ x 1，0），N （ x 2 ，0），且 x 1≠x 2，则 x 1 ，x 2 为方程 x 2+2ax-2b+1=0

的两个实数根，

∴

x 1 x 22a ， x 1· x 2

2b 1.

∵ x 1， x 2 又是方程 x 2

(a 3)x b 2

1 0 的两个实数根，

∴ x 1+x 2=a-3 ， x 1· x 2=1-b 2.

2a a 3,

∴

1 1 b

2 .

2b

解得

a 1, a 1,

b

或

b 2.

0;

当 a=1,b=0 时，二次函数的图象与 x 轴只有一个交点， ∴ a=1， b=0 舍去 .

当 a=1； b=2 时，二次函数 y x 2

2x 3 和 y

x 2

2x 3 符合题意 .

∴ a=1， b=2.

解法二：∵二次函数 y x 2 2ax 2b 1的图象对称轴为 x

a ，

二次函数 y

x 2

(a 3)x b 2

1

的图象的对称轴为

x a 3 ，

2

又两个二次函数图象都经过 x 轴上两个不同的点

M ， N ，

∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线

.

∴ a

a

3

.

2

a 1 .

解得

∴两个二次函数分别为 y x 2 2x 2b 1和 y

x 2 2x b 2

1 .

依题意，令 y=0，得

x 2 2x 2b 1 0 ，

x 2

2x b 2 1

0 .

① +②得

b 2 2b 0 .

解得

b 1

0, b 2

2 .

a 1, a 1,

∴

0;

或

2.

b b

当 a=1， b=0 时，二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，

∴ a=1， b=0 舍去 .

当 a=1， b=2 时，二次函数为 y

x 2 2x 3 和 y x 2 2x 3 符合题意 .

∴ a=1， b=2.

32. 解：∵ y

ax 2 bx c 的图象与 x 轴交于点 B （ x 1， 0）， C （ x 2， 0），

∴ x 1 x 2

b , x 1 x 2 c

a .

a

又∵ x 12 x 22 13 即 ( x 1 x 2 )2 2x 1 x 2 13 ，

∴ (

b

)2

2 c 13. ①

a

a

1

，则有

又由 y 的图象过点 A （ 2， 4），顶点横坐标为

2

4a+2b+c=4 ，

②

b 1 . ③

2a 2

解由①②③组成的方程组得

a=-1,b=1,c=6.

∴ y=-x 2+x+6.

与 x 轴交点坐标为（ -2 ，0），（ 3， 0） .

与 y 轴交点 D 坐标为（ 0， 6） .

设 y 轴上存在点 P ，使得△ POB ∽△ DOC ，则有 （ 1）

当 B （-2 ， 0），C （ 3， 0）， D （ 0， 6）时，有

OB OP

,OB 2, OC 3, OD 6 .

OC OD

∴ OP=4，即点 P坐标为（ 0， 4）或（ 0， -4 ） .

当P 点坐标为（ 0， 4）时，可设过 P， B 两点直线的解读式为

y=kx+4.

有0=-2k-4.

得k=-2.

∴y=-2x-4.

或OB

OP ,OB 2, OD 6,OC 3 . OD OC

∴ OP=1，这时 P点坐标为（ 0， 1）或（ 0， -1 ） .

当P 点坐标为（ 0， 1）时，可设过 P， B 两点直线的解读式为

y=kx+1.

有0=-2k+1.

得

1 k.

2

∴ y 1

x 1. 2

当P 点坐标为（ 0， -1 ）时，可设过 P， B 两点直线的解读式为

y=kx-1 ，

有0=-2k-1，

得k 1 . 2

1

x 1.

∴ y

2

（ 2）当 B（3， 0）， C（ -2 ， 0）， D（ 0， 6）时，同理可得

y=-3x+9 ，

或y=3x-9 ，

或y 1 x 1 ，

3

或y 1 x 1.

3

33.解：（ 1）在直线 y=k(x-4) 中，

令y=0，得 x=4.

∴ A 点坐标为（ 4， 0） .

∴∠ ABC=90° .

∵△ CBD∽△ BAO，

∴OB OA 2

OC OB

，即 OB=OA· OC.

CO=1 ， OA=4，

又∵

∴OB 2=1× 4=4.

∴OB=2 （ OB=-2 舍去）∴ B 点坐标为（ 0， 2） .

将点 B（ 0， 2）的坐标代入 y=k(x-4) 中，得 k 1 .

1 2

∴直线的解读式为：y 2 .

x

2

（ 2）解法一：设抛物线的解读式为y a( x 1) 2 h ，函数图象过A（4，0），B（0，2），得

25a h 0,

a h 2.

解得 a 1 ,h 25 .

12 12

∴抛物线的解读式为：y 1 ( x 1) 2 25 .

12 12

解法二：设抛物线的解读式为：y ax2 bx c ，又设点A（4，0）关于x=-1的对称是 D.

∵CA=1+4=5 ，

∴CD=5.

∴OD=6.

∴ D点坐标为（ -6 ， 0） .

将点 A（ 4， 0）， B（ 0， 2）， D（ -6 ， 0）代入抛物线方程，得

16a 4b c 0,

c 2,

36a 6b c 0.

解得 a

1

, b

1

,c 2 .

12 6

∴抛物线的解读式为：y 1 x2 1

x 2 .

12 6

34. 解：（ 1） A，B 的横坐标是方程ax 2 3x c 0 的两根，设为x1,x 2（ x2 x1）， C 的纵坐标是 C.

又∵ y 轴与⊙ O相切，

∴OA

2 · OB=OC.

∴ x1· x2=c2.

又由方程ax2 3x c 0 知

x1 x2 c ，

∴ c2c

，即ac=1.

a a

（ 2）连结 PD，交 x 轴于 E，直线 PD必为抛物线的对称轴，连结AD、 BD，

图代 13-3-22

∴ AE

1

AB . 2

1 ACB

ADB ADE

.

2

∵ a 0,x 2 x 1，

∴ AB x 2 x 1

9 4ac 5

a

.

a

AE

5

.

2a

又

ED=OC=c ，

AE 5

∴ tg

.

DE

2

（ 3）设∠ PAB=β，

∵ P 点的坐标为

3 , 5 ，又∵ a 0，

2a 4a

∴在 Rt △ PAE 中， PE

5 .

4a

∴ tg

PE 5

AE

.

2

∴

tg

β =tg α . ∴β =α . ∴∠ PAE=∠ ADE.

∵∠ ADE+∠ DAE=90° ∴ PA 和⊙ D 相切 .

35. 解：（ 1）设 DGD ＇所在的抛物线的解读式为

y ax 2 c ，

由题意得 G （ 0， 8）， D （15， 5.5 ）.

8 c,

a

1 , ∴

25a

解得 90 5.5

c.

∴ DGD ＇所在的抛物线的解读式为 y

1 x

2 8 .

∵ AD

1

且 AD=5.5,

90

AC

4

∴ AC=5.5

× 4=22(M).

∴ cc

2OC 2 (OA AC )

2

(15 22 ）

=74

（ M ） .

答： cc ＇的长为 74M.

（ 2）∵

EB 1

, BE 4 ，

BC 4

∴

BC=16.

∴

AB=AC-BC=22-16=6

（M ） .

答： AB 和 A ＇ B ＇的宽都是 6M.

（ 3）

在 y

1 x

2 8 中，当 x=4 时，

90

1

7 37

y

16 8

.

∵ 7

37

19

90

45

(7 0.4) 0.

45

45

∴该大型货车可以从 OA （ OA ＇）区域安全通过 .

36. 解 : （ 1）∵⊙ O 1 与⊙ O 2 外切于原点 O ， ∴ A ，B 两点分别位于原点两旁，即 a 0，b 0.

∴方程 x 2 (m 4)x

m 2 0的两个根 a ， b 异号 .

∴ ab=m+2 0，∴ m -2.

（ 2）当 m -2 ，且 m ≠ -4

时，四边形 POOQ 是直角梯形 .

1

2

根据题意，计算得

S

四边形 PO 1O 2

Q

1 b 2

（或

1

a 2 或 1） .

2 2

m=-4 时，四边形 PO 1O 2Q 是矩形 .

根据题意，计算得

S

四边形 PO 1O 2

Q

1 b

2 （或 1 a 2 或 1） .

2 2

（ 3）∵(m

4) 2 4( m 2) ( m

2)2

4 0

∴方程 x 2 (m 4)x m 2

0有两个不相等的实数根 .

∵ m -2 ，

a b m 4 0,

∴

ab m 2

0.

∴ a 0， b 0.

14 / 22

∴ x 1x 2 0，即 - （ m+1） 0，

解得

m -1.

∵

[2(m

1)] 2

4 ( 1)

(m 1)

4m 2

4m 8

4( m 1 )2 7

2

当 m -1 时，0，

∴ m 的取值范围是 m -1.

（ 2）∵ a ∶ b=3∶ 1，设 a=3k ， b=k （ k 0）， 则

x

1

=3k ， x 2=-k ，

3k k 2(m 1),

∴

( k)

(m 1).

3k

解得

m 1 2, m 2

1

.

1

4

3

∵ m

x 2

时， x 1

（不合题意，舍去） ，

∴ m=2 3

3

∴抛物线的解读式是 y x 2 x 3 .

（ 3）易求抛物线 y

x 2

2x 3 与 x 轴的两个交点坐标是

A （ 3，0），

B （-1 ， 0）

与 y 轴交点坐标是 C （ 0， 3），顶点坐标是 M （ 1， 4）. 设直线 BM 的解读式为 y

px q ，

4 p 1 q, 则

p ( 1) q. p 2,

解得

q 2.

∴直线 BM 的解读式是 y=2x+2.

设直线 BM 与 y 轴交于 N ，则 N 点坐标是（ 0， 2），

∴

S BCM

S BCN S MNC

1 1

1 1

1 1

2 2

1.

设 P 点坐标是（ x,y ），

∵ S ABP

8S BCM ，

1

∴

AB y

8 1.

即

1

4 y 8 .

2

∴ y 4 . ∴ y

4 .

当 y=4 时， P 点与 M 点重合，即 P （1， 4），

当 y=-4 时， -4=-x 2+2x+3，

解得

x 1 2 2 .

∴满足条件的 P 点存在 .

P 点坐标是（ 1， 4）， (1 2 2, 4), (1 2 2, 4) . 38. （ 1）解：∵ AD 切⊙ O 于 D ， AE=2， EB=6， ∴ AD

2

=AE ·AB=2×（ 2+6） =16.

∴

AD=4.

图代 13-2-23

（ 2）①无论点 A 在 EP 上怎么移动（点 A 不与点 E 重合），总有

证法一：连结 DB ，交 FH 于 G ， ∵ AH 是⊙ O 的切线， ∴∠ HDB=∠ DEB.

又∵ BH ⊥ AH ， BE 为直径， ∴∠ BDE=90° 有

∠ DBE=90° - ∠ DEB

=90 ° - ∠ HDB =

∠ DBH.

在△ DFB 和△ DHB 中，

DF ⊥ AB ，∠ DFB=∠ DHB=90°， DB=DB ，∠ DBE=∠ DBH ， ∴△ DFB ∽△ DHB.

∴ BH=BF ， ∴△ BHF 是等腰三角形 . ∴ BG ⊥FH ，即 BD ⊥ FH.

∴ ED ∥FH ，∴

AD ED

.

AH FH

AD ED .

AH

FH

图代 13-3-24

证法二：连结 DB ，

∵ AH 是⊙ O 的切线， ∴∠ HDB=∠ DEF.

又∵ DF ⊥ AB ， BH ⊥ DH ， ∴∠ EDF=∠ DBH.

以 BD 为直径作一个圆，则此圆必过 F ， H 两点， ∴∠ DBH=∠ DFH ，∴∠ EDF=∠ DFH.

∴

∴

ED ∥ FH.

AD ED .

AH

FH

②∵ ED=x ， BH=， BH=y ， BE=6， BF=BH ，∴ EF=6y. 又∵ DF 是 Rt △ BDE 斜边上的高，

∴△ DFE ∽△ BDE ， ∴ EF

ED

，即 ED 2

EF EB .

ED EB 1 x 2

∴ x 2 6(6 y) ，即 y

6 .

6

∵点 A 不与点 E 重合，∴ ED=x 0.

A 从 E 向左移动， ED 逐渐增大，当 A 和 P 重合时， ED 最大，这时连结 OD ，则 OD ⊥ PH.

∴ OD

∥ BH.

又

PO PE

EO 6 3 9, PB 12 ，

OD PO

, BH OD PB 4 ，

BH

PB PO

∴ BF

BH

4, EF

EB BF

6 4 2，

2

由 ED=EF · EB 得

x 2 2 6 12 ，

∵ x 0，∴ x

2 3 .

∴

（或由 BH=4=y ，代入

故所求函数关系式为

x ≤ 2 3 .

y

1 x

2 6 中，得 x 2

3 ）

6 y

1 x

2 6（ 0 x ≤ 2

3 ） .

39. 解：∵ y x

2

m 4m

5

x 2 m 2

4m

9 (x 2)[ x m 2 4m

9 ] ,

2

2

2

∴可得 A(

2,0), B m 2

4m

9

,0 , C 0, 2 m 2

4m 9 .

2

2 （ 1）∵△ ABC 为直角三角形，

∴

2

AO OB ，

OC

2

4m

9

即 4 m

2

4m

9 2 m

，

2

2

化得 (m

2) 2

0 . ∴ m=2.

（ 2）∵ AC=BC ，CO ⊥ AB ，∴ AO=BO ，即 m 2

4m

9 2 .

2

∴ OC 2 m 2

4m 9

4 . ∴ AC BC

5 .

2

2

过 A 作 AD ⊥ BC ，垂足为 D ，

∴

AB

· OC=BC · AD.

∴ AD

8

.

5

8 ∴ sin ACB

AD

5 4

AC

2 5

.

5

图代 13-3-25

（ 3） S ABC

1

AB CO

2

1 m 2

4m 9 2 2 m 2

4m

9 2

2 2

(u 2)u

(u 1)2

1.

∵ u

m 2 4m 9 1 ，

1 2 2

5 .

∴当 u ，即 m 2 时， S 有最小值，最小值为 2

4

40. 解：（ 1）∵ OA ⊥ OB ， OA ∶ OB=4∶ 3，⊙ D 的半径为 2，

∴⊙ C 过原点， OC=4， AB=8.

A 点坐标为

32 ， B 点坐标为 0,

24 ,0 .

5

5

∴⊙ C 的圆心 C 的坐标为

16 , 12 . 5 5

（ 2）由 EF 是⊙ D 切线，∴ OC ⊥ EF.

∵

CO=CA=CB ，

∴∠ COA=∠ CAO ，∠ COB=∠ CBO.

∴

Rt

△ AOB ∽ Rt △ OCE ∽ Rt △FCO.

∴ OE

OC , OF OC . AB OA AB OB

∴ OE 5, OF 20 .

3

E 点坐标为（ 5， 0），

F 点坐标为 0,

20

，

3

∴切线 EF 解读式为 y

4 x 20 .

3 3

（ 3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为

16 , 12 4 ，可得

5 5

b 16 ,

5 , 2a 5 a 4ac b 2

32 b

32 4a

5

1,

24 .

24 c

c. 5

5

∴ y

5 x 2 x 24 .

32

5

②当抛物线开口向上时

, 顶点坐标为 16 , 12 4 ，得

5

5

b 16 , a

5 2a

5

8 , 4ac b 2

8 , b

4, 4a 5

24 .

24 c

c. 5

5