高中数学 第2章 圆锥曲线 2.4 平摆线和渐开线学案 北师大版选修4-1

§4 平摆线和渐开线 4.1 平摆线 4.2 渐开线

1.了解平摆线和渐开线的生成过程.

2.能推导平摆线和渐开线的参数方程.(难点)

3.掌握平摆线和渐开线参数方程的简单应用.(重点)

[基础·初探]

教材整理1 平摆线及其参数方程

1.一个圆在平面上沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线，简称摆线，又叫作旋轮线.

2.设圆的半径为r ，圆滚动的角为α，那么摆线的参数方程是?????

x ＝r α－sin α，

y ＝r 1－cos α

(－

∞<α<＋∞).

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)圆的摆线实质上就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆圈上一个定点的轨迹.( )

(2)求圆的摆线时，建立的坐标系不同，会得到不同的参数方程.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ 教材整理2 渐开线的参数方程

1.把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离开圆周，保持线与圆相切，线

头的轨迹就叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆.

2.设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是

?????

x ＝r cos φ＋φsin φ，y ＝r sin φ－φcos φ

(φ是参数).

关于渐开线和摆线的叙述正确的是________(填序号). ①只有圆才有渐开线；

②平摆线和渐开线的概念是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形； ③正方形也可以有渐开线；

④对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同. 【解析】 对于①，不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，故①不正确；对于②，两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的，因此②不正确；对于③，正确；对于④，同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形大小和形状都是一样的，只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.

【答案】 ③

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

圆的平摆线参数方程及其应用

已知一个圆的平摆线过一定点(1,0)，请写出该平摆线的参数方程.

【精彩点拨】定点1，0―→滚动圆的半径―→平摆线的参数方程

【自主解答】令r(1－cos α)

＝0，可得cos α＝1.

∴α＝2kπ(k∈Z)，

∴x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1，∴r＝

1

2kπ

.

又由题意可知，r是圆的半径，故r＞0.

∴应有k＞0且k∈Z，即k∈N＋.

∴所求平摆线的参数方程是

??

?

??x＝12kπα－sinα，

y＝

1

2kπ

1－cosα

(α为参数，k∈N＋).

根据圆的摆线的参数方程

??

?

??x＝rα－sin α，

y＝r1－cos α

(α为参数)，可知只需求出其中的半径r.圆摆线的参数方程即可写出，也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的.

[再练一题]

1.平摆线?

????

x ＝2α－sin α，

y ＝21－cos α(0≤α≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )

A.(π－2,2)，(3π＋2,2)

B.(π－3,2)，(3π＋3,2)

C.(π，2)，(－π，2)

D.(2π－2,2)，(2π＋2,2)

【解析】 y ＝2时，2＝2(1－cos α)， ∴cos α＝0.

∵0≤α≤2π，∴α＝π2或3

2

π，

∴x 1＝2? ????

π2－sin π2＝π－2，

x 2＝2? ????

32

π－sin 32π＝3π＋2.

∴交点坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2).故选A. 【答案】 A

圆的渐开线参数方程及其应用

A ，

B 对应的参

数分别是π2和3π

2

，求A ，B 两点间的距离.

【精彩点拨】 根据渐开线的参数方程，分别求出A ，B 两点的坐标，再由A ，B 两点间的距离公式求出.

【自主解答】 由题意，知r ＝1，则圆的渐开线参数方程为?????

x ＝cos φ＋φsin φ，

y ＝sin φ－φcos φ

(φ

为参数).

当φ＝π

2

时，

????

?

x ＝cos π2＋π

2sin π2

＝π2

，

y ＝sin π2－π2cos π2＝1，

所以A ? ??

??π2，1.

当φ＝3π

2

时，

????

?

x ＝cos 3π2＋3π2·si n 3π2＝－3π2

，

y ＝sin 3π2－3π2·co s 3π

2

＝－1，

所以B 点坐标为? ??

??

－3π2，－1.

所以|AB |＝? ??

??

π2＋3π22＋1＋12

＝2

π2＋1.

利用圆的渐开线的参数方程求解有关问题时，关键是记住其参数方程的形式，并且弄清其中哪些字母已知，哪些字母待求.

[再练一题]

2.给出圆的渐开线的参数方程?

????

x ＝4cos φ＋4φsin φ，

y ＝4sin φ－4φcos φ

(φ为参数).根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，当参数φ取π

2时对应

的曲线上的点的坐标是________.

【导学号：12990031】

【解析】 所给的圆的渐开线的参数方程可化为

?????

x ＝4cos φ＋φsin φ，y ＝4sin φ－φcos φ，

所以基圆半径r ＝4.然后把φ＝π2代入方程，

可得?

??

?

?

x ＝4? ??

??cos π2＋π2sin π2，

y ＝4? ????

sin π2－π2cos π2，

即?????

x ＝2π，y ＝4.

所以当参数φ取π

2时对应的曲线上的点的坐标是(2π，4).

【答案】 4 (2π，4)

[构建·体系]

1.给出下列说法：

①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；

②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程，但是转化出的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题.

③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；

④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点. 其中正确的说法有( ) A.①③ B.②④ C.②③

D.①③④

【解析】 结合圆的渐开线的知识可知②③正确. 【答案】 C

2.当φ＝2π时，圆的渐开线?

????

x ＝6cos φ＋φsin φ，

y ＝6sin φ－φcos φ上的点是( )

A.(6,0)

B.(6,6π)

C.(6，－12π)

D.(－π，12π)

【解析】 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程. ∴x ＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，

y ＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.

【答案】 C

3.半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A.π B.2π C.12π

D.14π

【解析】 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为?????

x ＝3α－3sin α，

y ＝3－3cos α

(α为参数).把y

＝0代入可得cos α＝1，所以α＝2k π(k ∈Z ).而x ＝3α－3sin α＝6k π(k ∈Z ).故应选C.

【答案】 C

4.已知圆的渐开线的参数方程?????

x ＝3cos φ＋3φsin φ，

y ＝3sin φ－3φcos φ

(φ为参数)，则此渐开线对应基

圆的半径是________.

【解析】 圆的渐开线的参数方程可化为

?????

x ＝3cos φ＋φsin φ，y ＝3sin φ－φcos φ

(φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径r ＝3.

【答案】 3

5.已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程.

【导学号：12990032】

【解】 令y ＝0， 可得r (1－cos α)＝0. ∵r ＞0，∴cos α＝1， ∴α＝2k π(k ∈Z ). 代入x ＝r (α－sin α)， 得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z ).

又∵x ＝2，∴r (2k π－sin 2k π)＝2，得r ＝

1k π

(k ∈Z ).

又由实际可知r ＞0，所以

r ＝

1

k π

(k ∈N ＋)，易知当k ＝1时，r 取最大值1

π

.

代入，得圆的摆线的参数方程

?????

x ＝

1

πα－sin α，

y ＝1π

1－cos α

(α为参数).

我还有这些不足：

(1)

(2)

我的课下提升方案：

(1)

(2)