导数及其应用(1)

导数及其应用（1）

一、基础训练：

1．曲线(3ln 1)y x x =+在点()1,1处的切线方程为 430x y --= ． 2．已知)1(3)1()(23-'+'+=f x f x x x f ，则)1()1(-'+'f f 的值为 4

3

- . 3．函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 ),2(+∞ . 4．函数2

1ln 2

y x x =

-的单调递减区间为 ()0,1 . 5．函数32()31f x x x =-+在x = 2 处取得极小值.

6．若0,0a b >>，且函数()32422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则a b += 6 ． 二、例题分析：

例1．设函数32()2f x x a x b x a =+++，2

()32

gx x x =-+，其中x R ∈，,a b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点()2,0处有相同的切线l ． 求,a b 的值，并写出切线l 的方程．

解：因为()23g x x '=-，所以直线l 的斜率(2)1k g '==，所以切线l 的方程为：2y x =-.

由(2)1281(2)8820f a b f a b a '=++=??=+++=?，得25a b =-??=?

所以a 的值为-2，b 的值为5，切线l 的方程为2y x =-.

例2．已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．

（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点．

解：（1）因为()232f x x ax b '=++，

所以()()1320

1320

f a b f a b '=++=???'-=-+=??，解得30a b =-??=?

经检验：3,0a b =-=符合题意.

（2）由题意知：()()

()2

3

3212g x x x x x '=-+=-+

令()0g x '=，解得122,1x x =-=

'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表:

所以，()g x 的极小值点为2x =-，()g x 无极大值.

例3．函数3

1()3

f x x kx =

-,其中实数k 为常数. (I) 当4k =时,求函数的单调区间；

(II) 若曲线()y f x =与直线y k =只有一个交点,求实数k 的取值范围. 解:(I)因为2'()f x x k =-

当4k =时,2'()4f x x =-,令2'()40f x x =-=,所以122,2x x ==-

'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表:

所以()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-,(2,)+∞ 单调递减区间是(2,2)- (II)令()()g x f x k =-,所以()g x 只有一个零点 ；因为2'()'()g x f x x k ==- 当0k =时,3()g x x =,所以()g x 只有一个零点0

当0k <时,2'()0g x x k =->对R x ∈成立, 所以()g x 单调递增,所以()g x 只有一个零点

当0k >时,令2'()'()0g x f x x k ==-=,解得1x =2x =所以'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表:

()g x 有且仅有一个零点等价于(0g <

即2(03g k =<,解得904k << 综上所述,k 的取值范围是94

k <

备用题：已知函数()ln (1)f x m x m x =+- ()m ∈R .

(Ⅰ)当2m =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (Ⅱ)讨论()f x 的单调性；

(III)若()f x 存在最大值M ,且0M >,求m 的取值范围. 解:(Ⅰ)当2m =时,()2ln f x x x =+.

22()1x f x x x

+'=

+=. 所以(1)3f '=. 又(1)1f =, 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是13(1)y x -=-, 即320x y --=. (Ⅱ)函数()f x 的定义域为(0,)+∞, (1)()1m m x m

f x m x x

-+'=

+-=. ①当0m ≤时,由0x >知()10m

f x m x

'=

+-<恒成立, 此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递减. ②当m ≥1时,由0x >知()10m

f x m x

'=

+->恒成立, 此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.

③当01m <<时,由()0f x '>,得1m x m <

-,由()0f x '<,得1m

x m

>-, 此时()f x 在区间(0,

)1m m -内单调递增,在区间(,)1m m

+∞-内单调递减.

(III)由(Ⅱ)知函数()f x 的定义域为(0,)+∞,

①当0m ≤或m ≥1时,()f x 在区间(0,)+∞上单调,此时函数()f x 无最大值.

②当01m <<时,()f x 在区间(0,)1m m -内单调递增,在区间(,)1m m

+∞-内单调递减, 所以当01m <<时函数()f x 有最大值. 最大值(

)ln 11m m M f m m m m

==---. 因为0M >,所以有ln 01m m m m ->-,解之得e

1e m >+. 所以m 的取值范围是e

(,1)1e

+.

三、巩固练习：

1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ()2,15- .

2．已知曲线()ln f x x =在点00(,())x f x 处的切线经过点(0,1)-,则0x 的值为 1 . 3．函数

32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ()1,11- ．

4．函数x x y ln =的单调减区间为 ??

? ??e 1,0 ．

5．函数()3

2

26f x x x m =-+(m 为常数)在[]2,2-上有最大值3，则此函数在[]2,2-上的

最小值是 37- ．

6．若函数()32

31f x x a x =-+的图象与直线3y =只有一个公共点,则实数a 的取值范围是

()1,1-

．

7．已知()3

f x ax bx c =++在2x =处取得极值16c -．

（1）求实数,a b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[]3,3-上的最小值． 解：（1）()2

3f x ax b '=+；因为()f x 在2x =处取得极值16c -

所以()()282212f a b c f a b

=++???'=+??，解得1,12a b ==-

经检验：1,12a b ==-符合题意.

（2）由（1）知： ()312f x x x c =-+，令()23120f x x '=-=，解得122,2x x =-=

'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表:

所以，()f x 的极大值为()282428f c -=-++=，所以12c =.

所以()3

1212f x x x =-+，又()()321,24f f -==-，所以()min 4f x =-.

8．已知函数133

1(223

+-+=x m mx x x f ）

，m ∈R . （Ⅰ）当1=m 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在区间(2,3)-上是减函数，求m 的取值范围. 解：（Ⅰ）当1=m 时，3

21()313

f x x x x =

+-+， 又2

'()23f x x x =+-，所以'(2)5f =. 又5(2)3

f =

， 所以所求切线方程为 5

5(2)3

y x -

=-，即153250x y --=. 所以曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为025315=--y x .

（Ⅱ）因为2232('m mx x x f -+=）， 令'(0f x =）

，得3x m =-或x m =. ①当0m =时，2'(0f x x =≥）

恒成立，不符合题意. ②当0m >时，()f x 的单调递减区间是(3,)m m -，若()f x 在区间(2,3)-上是减函数，

则32,

3.m m -≤-??≥?

解得3m ≥.

③当0m <时，()f x 的单调递减区间是(,3)m m -，若()f x 在区间(2,3)-上是减函数，

则2,

3 3.

m m ≤-??

-≥?，解得2m ≤-.

综上所述，实数m 的取值范围是3m ≥或2m ≤-.

9．已知函数2()()(0)x f x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为3-和0.

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若()f x 的极小值为1-，求()f x 的极大值.

解：（Ⅰ）22()(2)()[(2)]x x x f x ax b e ax bx c e ax a b x b c e '=++++=++++．

令2()(2)g x ax a b x b c =++++， ∵0x

e >，

∴'()y f x =的零点就是2

()(2)g x ax a b x b c =++++的零点，且()f x '与()g x 符号相同．

又∵0a >，

∴当3,0x x <->或时，()g x >0,即()0f x '>，当30x -<<时，()g x <0,即()0f x '<， ∴()f x 的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x =0是()f x 的极小值点，所以有1,

0,93(2)0,c b c a a b b c =-??

+=??-+++=?

解得1,1,1a b c ===-．

所以函数的解析式为2()(1)x

f x x x e =+-．

又由（Ⅰ）知，()f x 的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）. 所以，函数()f x 的极大值为3

3

5

(3)(931)f e e --=--=

．

10．已知函数211

()ln (,0)22

f x x a x a a =

--∈≠R . (Ⅰ)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间；

(Ⅲ)若对任意的[1,)x ∈+∞,都有()0f x ≥成立,求a 的取值范围.

(Ⅰ)2a =时,211()2ln ,(1)022f x x x f =

--= 2

'(),

'(1)1f x x f x

=-=-

曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程10x y +-=

(Ⅱ)2'()(0)a x a

f x x x x x

-=-=

>

①当0a <时, 2

'()0x a

f x x

-=

>恒成立,函数()f x 的递增区间为()0,+∞

②当0a >时,令'()0f x =,解得x =

x =

所以函数()f x 的递增区间为

+∞,递减区间为

(Ⅲ)对任意的[1,)x ∈+∞,使()0f x ≥成立,只需任意的[1,)x ∈+∞,min ()0f x ≥

①当0a <时,()f x 在∞[1,+)上是增函数, 所以只需(1)0f ≥ ，而11

(1)ln1022

f a =--= ，所以0a <满足题意；

②当01a <≤时,01<

≤,()f x 在∞[1,+)上是增函数,

所以只需(1)0f ≥ 而11

(1)ln1022

f a =

--= ，所以01a <≤满足题意；

③当1a >时1>,()f x 在上是减函数,∞)上是增函数,

所以只需0f ≥即可， 而(1)0f f <= ，从而1a >不满足题意； 综合①②③实数a 的取值范围为(,0)(0,1]-∞ ．