(完整版)全国卷三视图与立体几何专题(含答案)

三视图与立体几何部分

1.（2014年全国新课标卷Ⅰ第8题）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

2.（2014年全国新课标卷Ⅰ第19题）(本题满分12分)

如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且

C C BB AO 11平面⊥.

(Ⅰ)证明：AB C B ⊥1

(Ⅱ)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，BC=1，求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高．

3．（2014年全国新课标卷Ⅱ第6题）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.

2717 B. 95 C. 2710 D. 3

1

4.（2014年全国新课标卷Ⅱ第7题）正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2，侧棱长为3，

D 为BC 中点，则三棱锥11DC B A -的体积为( )

A.3

B.2

3

C.1

D.23

5.（2014年全国新课标卷Ⅱ第18题）（本小题满分12分）

如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 平面ABCD ，E 是PD 的中点. (1)证明：PB //平面AEC ； (2)设1=AP 3=

AD ，三棱锥ABD P -的体积4

3

=

V ，求A 到平面PBC 的距离.

6.（2013年全国新课标第9题）一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是（1,0,1），（1,1,0），（0,1,1），（0,0,0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为 （ ）

7.（2013年全国新课标第15题）、已知正四棱锥ABCD O -的体积为

2

2

3，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为 .

8.（2013年全国新课标第18题）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，E D ，分别是1BB AB ，的中点.

(I)证明：CD A BC 11//平面;

(Ⅱ)设2221====AB CB AC AA ，,求三棱锥DE A C 1-的体积.

9.（2014年全国新课标Ⅰ第11题）、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )

A. π816+

B.π88+

C.π616+

D.π168+

10.（2013年全国新课标Ⅰ第15题）已知H 是球O 的直径AB 上的一点，AH:HB=1:2，

α平面⊥AB ，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为

11.（2013年全国新课标Ⅰ第19题）如图，三棱柱111C B A ABC -中，

.6011ο=∠==BAA AA AB CB CA ，，

( I ) 证明：C A AB 1⊥;

(Ⅱ)若621===C A CB AB ，,求三棱柱的111C B A ABC -体积.

12.（2014年全国新课标Ⅱ第7题） 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

A.6

B.9

C.12

D.18

13.（2012年全国新课标第8题）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （ ） A. π6 B. π34 C. π64 D.π36

14.（2012年全国新课标第19题）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，

12

1

90AA BC AC ACB =

==∠，ο，D 是棱1AA 的中点. (I)证明：BDC BDG 平面平面⊥1;

(Ⅱ)平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

15.（2011年全国新课标第8题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，

则相应的俯视图可以为

16．（2011年全国新课标第16题） 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的16

3，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .

17.（2011年全国新课标第18题） 如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，.260ABCD PD AD AB DAB 底面，，⊥==∠ο

, （I ）证明：BD PA ⊥;

(Ⅱ)设1==AD PA ,求棱锥PBC D -的高.

18.（2010年全国新课标第7题）设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A.23a

π

B.26a

π

C.2

12a

π

D. 2

24a π

19.（2010年全国新课标第15题）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个

几何体可能是下列几何体中的_______(填

入所有可能的几何体前的编号)

①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱

20.（2010年全国新课标第18题）如图，已知四棱锥ABCD P -的底面为等腰梯形，BD AC CD AB ⊥，//,垂足为H ，PH 是四棱锥的高. （Ⅰ）证明：PBD PAC 平面平面⊥;

（Ⅱ）若

ο

606=∠=∠=ADB APB AB ，,求四棱

锥ABCD P -的体积.

1.B 【命题立意】本题考查三视图等基础知识，意在考查考生空间想象能力，难度中度. 【解题思路】原几何体为如图所示的三棱柱，故选B.

2.解：

(Ⅰ)连接1BC ，则O 为C B 1与1BC 的交点.因为侧面C C BB 11为菱形，所以11BC C B ⊥. 又C C BB AO 11平面⊥，所以AO C B ⊥1，故

ABO C B 平面⊥1.由于ABO AB 平面?，故AB C B ⊥1 （6分）

(Ⅱ)作BC OD ⊥，垂足为D ，连接AD .作AD OH ⊥，垂足为H . 由于AO BC ⊥，

OD BC ⊥，故BC 平面AOD ，所以BC OH ⊥.又AD OH ⊥，所以OH 平面ABC .因

为ο

601=∠CBB ，所以1CBB ?为等边三角形，又1=BC ，可得4

3

=

OD .由于1AB AC ⊥ ，所以2

1211==

C B OA . 由OA O

D AD OH ?=?，且4722=

+=

OA OD AD ，得14

21

=OH 又O 为C B 1的中点，所以点1B 到平面ABC 的距离为

7

21

,故三棱柱111C B A ABC -的距离为

7

21

. (12分) 3.C 【命题立意】本题考查了三视图，空间几何体的体积计算，意在考查三视图与直观图的转换所体现的空间想象能力，难度中等.

【解题思路】几何体的直观图为“螺栓”.切削部分的体积为42432

2

??-??ππ，所以比

值为2710

6

34243222=????-??πππ，故选C. 4.C 【命题立意】本题考查空间几何体的体积计算，侧重考察利用割补法求体积，难度中等. 【解题思路】取11C B 的中点E ，截面ADE 的面积为2

3

3321=?=S ，所以所求的体积为122

3

313111=??=?=C B S V ，故选C.

5.解：

（I ）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又 E 为PD 的中点，所以PB EO //. EO ?平面AEC ，PB ?平面AEC , 所以PB ∥平面AEC . （Ⅱ）V 13

66

PA AB AD AB =

??=.

由

3

4

V=，可得

3

2

AB=.

作AH PB

⊥交PB于H.

由题设知BC⊥平面PAB，所以BC AH

⊥，故AH⊥平面PBC.

又

PA AB

AH

PB

?

=

313

13

=.

所以A到平面PBC的距离为

313

.

6.A【命题立意】本题考查空间直角坐标系下几何体的建构及其对应的三视图的作图问题，难度中等.

【解题思路】如图所示，点)0

0(

)1

1

0(

)0

1

1(

)1

1(

1

1

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，D

C

B

A，此四点恰为正方体ABCD

D

C

B

A-

1

1

1

1

的四个顶点，此四点构成了一个棱长为2的正四面体，该正四面体的投影面zOx上的正视图为正方形DA

D

A

1

1

,故应选A.

7.π

24【命题立意】本题考查正四棱锥的体积计算及球的表面积计算，体现了空间想象能力的应用，难度中等.

【解题思路】如图所示，由()223

3

3

1

3

12

2=

?

?

=

?

=

-

ON

ON

AB

V

ABCD

O

，可得2

2

3

=

ON，在ONA

Rt?中，由2

2

2OA

NA

ON=

+,可得

6

2

6

2

2

32

2

2=

?

?

?

?

?

?

+

?

?

?

?

?

?

=

OA,∴以OA为半径的球的表面积

π

π

π24

6

4

42=

?

=

?

=OA

S.

8.解：（Ⅰ）证明：连接1AC 交C A 1予点F ，则F 为1AC 的中点.

又D 是AB 的中点，连接DF ，则DF BC //1. 因为CD A BC CD A DF 111平面，平面??, 所以CD A BC 11//平面.

(Ⅱ)因为111C B A ABC -是直三棱柱，所以CD AA ⊥1.

由已知AB CD AB D CB AC ⊥=中点，所以

为，. 又111A ABB CD A AB AA 平面，于是⊥=I .

由ο

902221=∠====ACB AB CB AC AA 得，,

336211====E A DE D A CD ，，，，

D A D

E E A DE D A 121221⊥=+，即.

所以12362

1

311=????=

-DE A C V .

9.A 【命题立意】本题考查了三视图及其对应的几何体的体积计算问题，体现了空间想象能力的实际应用，难度较大.

【解题思路】由三视图可得，该几何体是由一个底面圆半径为2，高为4的圆柱体的一般与一个底面正方形边长为2，高为4的正四棱柱组成的组合体，∴其体积

ππ81642422

1

22+=?+??=V ，故应选A.

【易错点拨】由三视图回溯几何体的原型是一个难点，也是一个易错点，解决此类问题应当从俯视图入手，结合另两个视图综合想象原直观图的组合关系. 10.

π2

9

【命题立意】本题考查了球及球的表面积计算问题，难度较大. 【解题思路】如图所示，设球O 的直径为R 2，则由2:1:=HB AH ,可得R AH 3

2

=

,在OCH Rt ?中22228

9R OH OC CH =

-= 的表面积球，，可得由O R R CH ∴===?8998222ππππππ2

9

89442===R S

11.解：（Ⅰ），

的中点取O AB B A OA OC 11，，连接..AB OC CB CA ⊥=，所以因为由于，，ο

6011=∠=BAA AA AB 故B AA 1?为等边三角形，所以AB OA ⊥1.因为

O OA OC =1I ,所以C OA AB 1平面⊥.又C OA C A 11平面?,故C A AB 1⊥(6分)

(Ⅱ)由题设知B AA ABC 1与?都是边长为2的等边三角形，所以31==OA OC ,又

61=C A ，则2

1221OA OC C A +=,故OC OA ⊥1,因为O AB OC =I ,所以

ABC OA 平面⊥1,1OA 为三棱柱111C B A ABC -的高.又ABC ?的面积3=?ABC S ,故三

棱柱111C B A ABC -的体积31=?=?OA S V ABC . （12分） 12.B 【命题立意】本题考查三视图及空间几何体的体积求解，考生是否具有一定空间想象能力将图形还原（包含数量关系及位置关系）是命题立意所在，难度较小.

【解题思路】据三视图可知三棱锥底面是腰长为23的等腰直角三角形，棱锥的高为3，故体积为923232

1

31=???=

V ,故选B.

13.B 【命题立意】本题考查球的性质应用及球的体积公式，难度较小. 【解题思路】由于球心与截面圆心的连线垂直于截面α，故球的半径

()

3212

222=+

=+=d r R ，因此体积()

ππ

3433

4

2

==V ,故选B.

14.解：(I)证明：由题设知，，，C AC CC AC BC CC BC =⊥⊥I 11所以

11A ACC BC 平面⊥.又BC DC A ACC DC ⊥?1111，所以平面.

由题设知，ο

4511=∠=∠ADC DC A 所以BDC DC CDC 平面，即⊥=∠1190ο

. 又.1BDC DC C BC DC 平面，所以⊥=I 又

BDC BDC BDC DC 平面，故平面平面⊥?111.. (6分)

(Ⅱ)设棱锥1DACC B -的体积为11=AC V ，. 又题意得2

1

11221311=??+?=

V 。 又三棱柱111C B A ABC -的体积1=V ，所以

1:1:)11=-V V V （. 故平面1BDC 分此棱柱所得两部分的体积之比为1:1. (12分)

15.D 【命题立意】本题考查三视图，考查空间想象能力.

【解题思路】由三视图可知该几何体是一个三棱锥和半个圆锥构成的几何体，所以其侧视图可以是D. 16.

3

1

【命题立意】本题考查圆锥内接于球的问题，考查空间想象能力. 【解题思路】如图，设圆锥底面圆A 的半径为r,O 为球心，球O 的半径为x OA R =，，

则由题意可知16342

2=R r ππ，解得R r 23

==，又由勾股定理得222R y x =+,得R x 21=，所以体积较小的高与体积较大的高的比等于312

121

=+-

=

+-R

R R

R x R x R .

17.解：（Ⅰ）因为AD AB DAB 260==∠，ο

,由余弦定理得

AD BD 3=

.从

而AD BD AB AD BD ⊥=+故,2

2

2

. (3分) 又,ABCD PD 底面⊥可得PD BD ⊥.

所以PAD BD 平面⊥,故BD PA ⊥. (6分) (Ⅱ)如图，作PB DE ⊥,垂足为E,

已知ABCD PD 底面⊥,则BC PD ⊥.

由（I ）知BD BC AD BC AD BD ⊥⊥，所以又//,. 故DE BC PBD BC ⊥⊥，平面.

则PBC DE 平面⊥. （9分）

由题设知231===PB BD PD ，，则.

根据2

3

=

?=?DE BD PD PB DE 得 即棱锥PBC D -的高

2

3

. （12分） 18.B 【命题立意】本题考查组合体知识及球的表面积求解. 【解题思路】据题意可得长方体的对角线即球的直径，即()a a a a R 6222

22=+++=

，

故球的表面积

22

2

62644a a R S πππ=???

? ??==,故选B. 19.①②③⑤【命题立意】本题考查三视图及空间想象能力.

【解题思路】空间想象易知三棱锥、四棱锥、三棱柱、圆锥的正视图均可能是三角形. 【易错点】注意观察的角度不同，正视图的形状就会发生变化，本题不可思维定式.

20.解：（Ⅰ）因为PH 是四棱锥ABCD P -的高，所以PH AC ⊥.又BD AC ⊥,BD PH ，都在平面PBD 内，且H BD PH =I ,所以PBD AC 平面⊥,故PBD PAC 平面平面⊥.

(Ⅱ)因为ABCD 为等腰梯形，6//=⊥AB BD AC CD AB ，，,

所以3==HB HA ,因为，ο60=∠=∠ADB APB 所以16====HC HD PB PA ，,

可得3=

PH ，等腰梯形ABCD 的面积为322

1

+=?=

BD AC S . 所以四棱锥的体积为()

3

32333231+=?+?=V .