复变函数习题答案第2章习题详解
第二章习题详解
1． 利用导数定义推出：
1) ()1
-=n n
nz
z '
（n 为正整数）
解： ()
()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n
n n n n z n n
z n ????????-??????++-++=-+=--→→ 2210
0121lim
lim '
()()11210121----→=?????
?++-+=
n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=??
?
??'
解： ()()
2
0001111
11z z z z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=-
+=??? ??→→→?????????lim lim lim '
2． 下列函数何处可导何处解析
1)
()iy x z f -=2
解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -=
x x u 2=??，0=??y u ，0=??x
v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2
1
-=x 时才满足柯西—黎曼方程。
()iy x z f -=∴2在直线2
1
-=x 上可导，在复平面内处处不解析。 2)
()3332y i x z f +=
解：设()iv u z f +=，则32x u =，33y v =
26x x u =??，0=??y u ，0=??x
v ，29y y v =??都是连续函数。 只有2296y x =，即032=±y x 时才满足柯西—黎曼方程。
()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导，在复平面内处处不解析。
3)
()y ix xy z f 22+=
解：设()iv u z f +=，则2xy u =，y x v 2=
2y x u =??，xy y u 2=??，xy x
v 2=??，2x y v =??都是连续函数。 只有22x y =且xy xy 22-=，即0==y x 时才满足柯西—黎曼方程。
()iy x z f -=∴2在点()00,处可导，在复平面内处处不解析。
4)
()xshy i xchy z f cos sin +=
解：设()iv u z f +=，则xchy u sin =，xshy v cos =
xchy x u cos =??，xshy y u sin =??，xshy x
v
sin -=??，xchy y v cos =??都是连续函数。 完全满足柯西—黎曼方程。
()iy x z f -=∴2在复平面内处处可导，在复平面内处处解析。
3． 指出下列函数()z f 的解析性区域，并求出其导数。
1)
()51-z
解：()()415-=z z f '，()z f 在复平面内处处解析。
2) z i z 23
+
解：()i z z f 232+='，()z f 在复平面内处处解析。
3)
1
1
2
-z 解：()()
2
2
12--
=z
z
z f '，1±≠z ，()z f 在复平面内除点1±≠z 外处处解析。
4)
d
cz b
az ++（c ，d 中至少有一个不为0）
解：()()()2
2d cz bc
ad d cz b az c d cz a z f +-=++-+=
'
当0≠c ，则当c
d
z -≠时，()()
2
d cz bc ad z f +-='，()z f 在复平面内除点c d
z -≠外处处解析。
当0=c 时，则0≠d ，()d
a
z f =
'，()z f 在复平面内处处解析。 4． 求下列函数的奇点：
1)
()
11
2++z z z
解：令()012=+z z ，解得0=z ，i z ±=。故()()
11
2++=
z z z z f 有0、i 、i -三个奇点。
2)
()()
112
2
2++-z z z 解：令()()01122=++z z ，解得1-=z ，i z ±=。故()()()
112
2
2++-=z z z z f 有1-、i 、i -三个奇点。
5． 复变函数的可导性与解析性有什么不同判断函数的解析性有哪些方法
解：复变函数的可导性是函数在某一点的局部性质，而解析性是函数在一个区域内的整体性质。判断函数的解析性有两种法。一是用定义，利用函数的可导性判断解析性；二是用定理：函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在其定义域D 内解析
?()y x u ,和()y x v ,在D 内点iy x z +=可微，并且满足柯西—黎曼方程。
6． 判断下列命题的真假，若真，请给以证明；若假，请举例说明。
1)
如果()z f 在0z 连续，那末()0z f '存在；
解：假命题。例如，()yi x z f 2+=在复平面内任意一点0z 都连续，但不满足柯西—黎曼方程，故()z f '不存在。
2)
如果()z f '存在，那末()z f 在0z 解析；
解：假命题。例如，()y ix xy z f 22+=，()z f 在点00=z 可导，但()yi x z f 2+=在0z 点不解析。
3)
如果0z 是()z f 的奇点，那末()z f 在0z 不可导；
解：假命题。例如，()i y x z f 33+=在复平面内处处不解析，因此处处是奇点，但
()z f 在0=±y x 上的点均可导。
4)
如果0z 是()z f 和()z g 的一个奇点，那末0z 也是()()z g z f +和()()z g z f 的奇点；
解：假命题。例如，()z z f =与()z z g -=在复平面内处处不解析，即复平面内任意一点0z 都是()z f 与()z g 的奇点。但()()()0=-+=+z z z g z f 在复平面内处处解析，即
()()z g z f +在复平面内没有奇点。
5)
如果()y x u ,和()y x v ,可导（指偏导数存在），那末()iv u z f +=亦可导；
解：假命题。例如，设()yi x z f 2+=，则()x y x u =,，()y z v 2=均可导，但不满足柯西—黎曼方程，因此()z f 不可导。
6)
设()iv u z f +=在区域D 内是解析的。如果u 是实常数，那末()z f 在整个D 内是常数；如果v 是实常数，那末()z f 在D 内也是常数。
解：真命题。下面证明：
因为()iv u z f +=在区域D 内解析，即满足柯西—黎曼方程：
y
v
x u ??=??，x
v y u ??-=?? 如果u 是实常数，则0=??=??y v x u ，0=??-=??x
v y u ，即v 为实常数，故()z f 在D 内为常数。
如果v 是实常数，则0=??=??y v x u ，0=??-=??x
v y u ，即u 为实常数，故()z f 在D 内为常数。
7． 如果()iv u z f +=是z 的解析函数，证明：()()()22
2
z f z f y z f x '
=?
??
? ????+??? ????。 证明：()iv u z f += ()2
2v u z f +=∴
()2222
2221222??? ????+??+=??
???
???????+??+??=??? ????x v v x u u v u v u x v v x u
u z f x ()2222
2221222???? ????+??+=????
?
???????+??+??=???
? ????y v v y u u v u v u y v v y u u z f y ()iv u z f += 在点z 处解析，y v x u ??=??∴
，x
v
y u ??-=?? ()()2
222
222
2
11???
? ????+??++??? ????+??+=???? ????
+??? ????y v v y u u v u x v v x u u v u z f y z f x
????
??????? ????+??-+??? ????+??+=???????????? ????+??+??? ????+??+=2222
222
2
11
x u v x v u x v v x u u v u y v v y u u x v v x u u v u ??????????? ????+??? ??????-??? ????+??? ????+???
??????+??? ????+=2
2
22222222
221x u v x v x u uv x v u x v v x v x u uv x u u v u 2
222
2222222
2
1??
? ????+??? ????=??????????? ????+??? ????+??? ????+??? ????+=x v x u x u v x v u x v v x u u v u
()x v i x u z f ??+??=' ()2
22??
? ????+??? ????=∴x v x u z f '
?
()()()22
2
z f z f y z f x '
=???
? ????+???
???? 8． 设(
)2
3
2
3
lxy
x i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值。
解：设()y nx my y x u 23+=,，()23lxy x y x v +=,，则
nxy x u 2=??，223nx my y u +=??，223ly x x
v +=??，lxy y v 2=?? y
v
x u ??=??
lxy nxy 22=∴ ? l n = x
v y u ??-=??
()2
22233ly x nx my +-=+∴ ? ??
?-=-=l
m n 33
3-==∴l n ，1=m ，()2323lxy x i y nx my +++为解析函数
9． 证明柯西—黎曼方程的极坐标形式是：
???=
??v r r u 1，?
??=??v
r r u 1 证明：直角坐标与极坐标的转换公式为?
?
?==??
sin cos r y r x ，于是由复合函数求导得：
??sin cos y u
x u r y y u r x x u r u ??+??=????+????=??
()()?θ???cos sin r y u r x u
y y u x x u u ??+-??=
????+????=??
??sin cos y v x v r y y v r x x v r v ??+??=????+????=??
()?????cos sin r y
v r x v
y y v x x v v ??+-??=
????+????=?? y v x u ??=??
，x
v
y u ??-=??
????sin cos sin cos x
u y u y v x v r v ??+??-=??+??=??
()???
? ????+??=??+-??=???????cos sin cos sin x u
y u r r y v r x v v ()()?????=
-??+??=??-u r x u r y
u r
v r sin cos r
u x u y u v r ??=??+??=?????cos sin 1
即：
???=
??v r r u 1，?
??=??v
r r u 1 10． 证明：如果函数()iv u z f +=在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那末()
z f 是常数。
1) ()z f 恒取实值；
证明：()z f 恒取实值，即()0=y x v ,。
()iv u z f += 是解析函数，所以
0=??=??y v x u ，0=??-=??x
v
y u 0=??=???
y
u
x u 即()y x u ,为常数，故()z f 是常数。 2) ()z f 在D 内解析；
证明：因为()iv u z f +=在区域D 内解析，所以
y v x u ??=??，x v y u ??-=?? 又为()iv u z f -=在区域D 内解析，所以
()y v x u ?-?=??，()x
v y u ?-?-=?? 0=??=??=??=??∴
y
v
x v y u x u ，故()z f 是常数。 3) ()
z f 在D 内是一个常数；
证明：设c v u =+22 ? ???????=??+??=??+??022022y v v y u u x v v x u u ? ???
?
???=??+??=??+??00y v v y u u x v v x u
u
0=????????∴y
v y u x v
x u 同时 y v x u ??=??，x v y u ??-=?? 成立。所以02
2=??
? ????+??? ????x v x u
0=??=??∴x
v
x u ?
0=??=??=??=??y v x v y u x u 即u ，v 均为常数，故()z f 是常数。
4) ()z f arg 在D 内是一个常数；
证明：设()z f arg =?，则π?π≤≤-。
○1如果2
π
?±=，则0=u ，从而
0=??=??y
u
x u ，又()z f 在D 内解析，0=??=??=??=??y
v
x v y u x u ， 所以v 为常数，故()z f 是常数。
○2如果22π?π≤<-，则u v arctg =?，于是有???
????=??+??-=??+??-0
0y v u y u v x
v u x u
v 0=????????∴y
v y
u x v
x u
同时 y v x u ??=??，x v y u ??-=?? 成立。所以02
2=??
? ????+??? ????x v x u
0=??=??∴x
v
x u ?
0=??=??=??=??y v x v y u x u 即u ，v 均为常数，故()z f 是常数。
○3如果
π?π
≤<2
，则u
v
arctg
+=π?； 如果2
π
?π-
≤≤-，则u
v arctg +-=π?，与○2的讨论一样，可得到()z f 是
常数。
5) c bv au =+，其中a ，b 与c 为不全为零的实常数。
证明：因为c bv au =+，且b a ,与c 为不全为零，所以a 和b 不能同时为零。
假设0≠a ，则有()bv c a
u -=1，于是
x
v
a b x u ??-
=??，y v a b y u ??-=?? ()iv u z f +=在区域D 内解析，
y v x u ??=??，x v y u ??-=??，0=??=??=??=???y
v
x v y u x u ， 所以v 为常数，故()z f 是常数。
11． 下列关系是否正确
1) z
z e e =
解：设iy x z +=，则z iy x iy x iy x iy x z e e e e e e e e =====--+
2) z z cos cos =
解：()()
()z e e e e e e z iz iz iz iz iz iz cos cos =+=+=+=
---2
1
2121 3) z z sin sin =
解：()()
()z e e i
e e i e e i z iz iz iz iz iz iz sin sin =--=--=-=
---212121
12． 找出下列方程的全部解： 1) 0=z sin
解：0=z sin ，0=-∴-iz iz e e ? 12=iz e ，即πn z =() 3210±±±=,,,n
2) 0=z cos
解：0=z cos ，0=+∴-iz iz e e ? 12-=iz e ，即ππ
n z +=
2
() 3210±±±=,,,n
3) 01=+z
e
解：01=+z e ，1-=∴z e ，即()i n z π12+=() 3210±±±=,,,n
4) 0=+z z cos sin
解：0=+z z cos sin ，()()02
1
21=++-∴
--iz iz iz iz e e e e i ? i e iz -=2， 即ππ
n z +=
2
() 3210±±±=,,,n
13． 证明：
1) ()212121z z z z z z sin sin cos cos cos -=+，()212121z z z z z z sin cos cos sin sin +=+
证明：()()()()
22
112211212121212121iz iz iz iz iz iz iz iz e e i
e e i e e e e z z z z ------+++=
-sin sin cos cos ()()()()[]()()()()[
]
212121212121212141
41z z i z z i z z i z z i z z i z z i z z i z z i e e e e e e e e +----++----++--++++=
()()[]
()2121212
1
z z e e z z i z z i +=+=+-+cos ()(
)()()
22
112211212121212121iz iz iz iz iz iz iz iz e e i
e e e e e e i z z z z -----+++-=-sin cos cos sin
()()()()[]()()()()[]
21212121212121214141z z i z z i z z i z z i z z i z z i z z i z z i e e e e i e e e e i +----++----+-+-+--+= ()()[]
()21212121z z e e i
z z i z z i +=-=+-+sin 2) 12
2=+z z cos sin
证明：()()2
22
2
2121??
????++??????-=+--iz iz iz iz e e e e i z z cos sin ()()124
1
2412222=++++--
=--z i z i z i z i e e e e 3) z z z cos sin sin 22=
证明：()212121z z z z z z sin cos cos sin sin +=+ 令21z z z ==，则z z z cos sin sin 22=
4) z
tg tgz
z tg 2122-=
证明：()212121z z z z z z sin sin cos cos cos -=+ ，()212121z z z z z z sin cos cos sin sin +=+ 令21z z z ==，则z z z 222sin cos cos -=，z z z cos sin sin 22=
z
tg tgz z
z z z
z z z z z z z tg 2222212122222-=-=
-==
∴cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin
5) z z cos sin =??
?
??-2π，()z z cos cos -=+π 证明：[]
z e e e e e e i e e i z iz iz iz i iz i z i z i cos sin =+=?????
?-=????????-=??? ??----??? ??--???
??-21212122222πππππ
()z z z z cos sin sin cos cos cos -=-=+πππ
6) y sh x z
222
+=cos cos ，y sh x z 222
+=sin sin
证明：()()()()
z i z i iz iz iz iz iz iz e e e e e e e e z z z z z ----++=??
??
??+??????+===4
12
121
2cos cos cos cos cos
令iy x z +=，则iy x z -=
()()
z izi z izi z i iz z i iz z i iz z i iz z i iz z i iz e e e e e e e e e e e e +++=+++=
--------41
41 ()()()24
1
2414122222222-++++=+++=----y y x i x i x i y y x i e e e e e e e e
()()y sh x e e e e y y ix ix 222
22121+=??
?
???++??????+=--cos 同理可证：y sh x z 222+=sin sin
()()
??
????-??????-===--z i z i iz iz e e i e e i z z z z z 21212sin sin sin sin sin
()()
z i iz z i iz z i iz z i iz z i iz z i iz z i iz z i iz e e e e e e e e e e e e ---+-+----+---=+---
=41
41 ()()()y y x i x i x i y y x i e e e e i e e e e 222222222241
24141----++++-=+---=
()()y sh x e e e e i y y ix ix 222
22121+=??
?
???++??????-=--sin 14． 说明：
1)
当∞→y 时，()iy x +sin 和()iy x +cos 趋于无穷大；
解：()y sh x iy x 22+=+sin sin ，而+∞=∞→y sh y 2lim ，()+∞=+∴∞→iy x y sin lim
同理：()+∞=+∴∞
→iy x y cos lim
2)
当t 为复数时，1≤t sin 和1≤t cos 不成立。
解：由于t 为复数，可设()0≠=y iy t ，则112>+==y sh iy t cos cos
()+∞→+∞→-=
==-y e e shy iy t y
y 2
sin sin
故当t 为复数时，1≤t sin 和1≤t cos 不成立。
15． 求()i Ln -，()i Ln 43+-和它们的主值。
解：()()()[]??
?
?
?+-
=+-+=-+-=-ππ
πn i n i i i iArg i i Ln 2221arg ln ln ,,,210±±=n 主值为()i i 2
π
-=-ln
()()??
?
?
?
+-+=+-++-=+-ππn arctg
i i iArg i i Ln 2345434343ln ln ,,,210±±=n 主值为()??
?
?
?-+=+-34543arctg i i πln ln
16． 证明对数的下列性质：
1) ()2121Lnz Lnz z z Ln +=
证明：
()()()()()21212121212121z iArg z iArg z z z z iArg z z z z iArg z z z z Ln +++=+=+=ln ln ln ln
221121iArgz z iArgz z Lnz Lnz +++=+ln ln
所以：()2121Lnz Lnz z z Ln +=
2) 2121Lnz Lnz z z Ln -=???
?
?? 证明：()()2121212121
21Lnz Lnz z iArg z iArg z z z z iArg z z z z Ln -=-+-=???
? ??+=????
??ln ln ln
所以：2121Lnz Lnz z z Ln -=???
?
??
17． 说明下列等式是否正确：
1) Lnz Lnz 22
=
解：设?i re z =
()()()()π?π???n i r n i r e r Ln re Ln Lnz i i 222222222
2++=++===ln ln ,,,210±±=n
(
)()()π?π??
m i r m i r re
Ln Lnz i 42222222++=++==ln ln ,,,210±±=m
所以 2Lnz 和Lnz 2的实部相同，但虚部不尽相同，故Lnz Lnz 22=不正确。
2) Lnz z Ln 2
1
=
解：设?i re z =
??? ??++=??? ??++=???
? ??=π?π??n i r n i r e r Ln z Ln i 2221222ln ln ,,,210±±=n
()()??
?
??++=++==π?π??m i r m i r re Ln Lnz i 221221212121ln ln ,,,210±±=m 所以 z Ln 和Lnz 2
1
的实部相同，但虚部不尽相同，故Lnz Lnz 22=不正确。
18． 求2
1πi
e
-，4
1πi e
+，i 3和()i i +1的值。
解：ie i e e
e e
i
i
-=??? ?
?
-==--222
1
2
1πππ
π
sin cos
()i e i e e
e e
i i +=??? ?
?
+==+1224441
4
1
4
414
1ππππsin cos
()()()[]333232233
ln sin ln cos ln ln i e e e e e
n i n n i i iLn i +====+πππ
()()()()[]221242421ln sin ln cos ln i e
e
e i n n i i iLn i
+===+??
?
??+-?
?
?
??+-+ππππ ,,,210±±=n
19． 证明()1
-=a a
az
z '
，其中a 为实数。
证明：如果a 是整数，则()()()11
-====a a aLnz aLnz a az z
a z aLnz e e z ''
'
如果a 不是整数，则()()()11-====a a z a z a a az z
a z z a e e z 'ln '
ln '
ln
20． 证明：
1) 12
2
=-z sh z ch ；
证明：()()()()1241241212122222
22
2
=-+-++=??
????--??????+=-----z
z z z z z z z e e e e e e e e z sh z ch 2) z ch z ch z sh 22
2
=+；
证明：()()()()241241212122222
22
2
+++-+=??
????++??????-=+----z z z z z z z z e e e e e e e e z ch z sh ()()z ch e e e e z z z z 22
1
22412222=+=+=
-- 3) ()212121shz chz chz shz z z sh +=+，()212121shz shz chz chz z z ch +=+。
证明：()()()()
22
1122112
12121212121z z z z z z z z e e e e e e e e shz chz chz shz -----+++-=
+ ()
()
212121212121212141
41z z z z z z z z z z z z z z z z e e e e e e e e e e e e e e e e ----------++-+-=
()()
()2121212121212121214
141z z sh e e e e e e e e z z z z z z z z z z z z z z z z +=--++-+-=---+-+---+-+
()()()()
22
1122112
12121212121z z z z z z z z e e e e e e e e shz shz chz chz ------+++=
+ (
)()
212121212121212141
41z z z z z z z z z z z z z z z z e e e e e e e e e e e e e e e e --------+--++++=
(
)
()
()2121212121212121214
1
4
1
z z ch e e e e e e e e z z z z z z z z z z z z z z z z +=+--++++=
---+-+---+-+
21． 解下列方程：
1) 0=shz ；
解：0=shz 0=-∴-z z e e 即02=z e ? πin z = ,,,210±±=n
2) 0=chz ；
解：0=chz 0=+∴-z z e e 即12-=z e ? π??
? ?
?+=21n i z ,,,210±±=n
3) i shz =。
解：i shz = i e e z z 2=-∴- 即0122=--z z ie e ? ()02
=-i e z
i e z
= ? ??
?
?
?+
=22ππn i z ,,,210±±=n 22． 证明()1932..与()2032..
()1932.. y chiy cos =，y i shiy sin =
证明：()()()[]y i y y i y e e chiy iy iy -+-++=+=
-sin cos sin cos 2
1
21 []y y i y y i y cos sin cos sin cos =-++=
2
1
()()()[]y i y y i y e e shiy iy
iy ----+=-=-sin cos sin cos 2
121
()y i y i y y i y sin sin cos sin cos =+-+=
2
1
()2032.. ()()?
?
?+=++=+y ichx y shx iy x sh y
ishx y chx iy x ch sin cos sin cos
证明：()()()iy x iy x iy x iy x e e e e e e iy x ch ----++=+=
+2
1
21 ()()[]()()[]
y e e i y e e y i y e y i y e x x x x x x sin cos sin cos sin cos ----++=-++=
2
1
21 y ishx y chx sin cos +=
()()()iy x iy x iy x iy x e e e e e e iy x sh ----+-=-=
+2
1
21 ()()[]()()[]
y e e i y e e y i y e y i y e x x x x x x sin cos sin cos sin cos ---++-=--+=21
21 y ichx y shx sin cos +=
23． 证明：shz 的反函数(
)
12++
=z z Ln Acshz 。
证明：设shw z =，则Arcshz w =。
()w w
e e shw z -+=
=2
1 ? w w e e z -+=
2 ? 0122=--w w ze e ? 12++=z z e w ? ()
12++=z z Ln w 即()1
2++=z z Ln Acshz
24． 已知平面流速的复势()z f 为：
1)
()2i z +；
2) 3
z
；
3)
1
1
2+z ； 求流动的速度以及流线和等势线的方程。
复变函数试题及答案
1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数
4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1
复变函数试题与答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
复变函数经典例题
第一章例题 例1.1试问函数二-把」平面上的下列曲线分别变成 ].；平面上的何种曲线? (1) 以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； (2) 倾角 二的直线； (3) 双曲线''■='。 解 设Z = x + =r(cosfi + ι SiIl θ)7 = y + jv = Λ(cos
0 特别，取 - ，则由上面的不等式得 ∣∕(z)∣>l∕(z o )∣-^ = M>0 因此， f ② 在匚邻域 内就恒不为0。 例1.3 设 /⑵ 4C ri ) (3≠o) 试证一 在原点无极限，从而在原点不连续。
证令变点匚—…:弓仁门 1 F ,则 而沿第一象限的平分角线 故「匚在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1 北）= 匚在二平面上处处不可微 证易知该函数在二平面上处处连续。但 Δ/ _ z+?z -z _ ?z ?z ?z ?z 零时，其极限为一1。故匚处处不可微。 证因UaJ ）二倆，呛J ） = C I 。故 但 /(?) - /(0) _ λj?j ?z ? + i?y 从而 （沿正实轴。一 H ） 当I: 「时，极限不存在。因 二取实数趋于O 时，起极限为1 ,二取纯虚数而趋于 例2.2 在了 — 1满足定理 2.1的条件，但在_ I.不可微。 M (ΔJ 7O)-?(O,O) = 0 = v∕0,0) (O f O) = Ii(Q i Ly)-Ii(Ofi) Ay
复变函数第二章标准答案
复变函数第二章答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零
复变函数经典习题及答案
练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13
复变函数习题及解答
第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x
【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：
最新复变函数第二章答案
第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零
复变函数试题及标准答案样本
二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z (在0=z解析。【】 f= z )
2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】 4． 每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【 】 6． 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<< 复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ； 3. 23z ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错；2.错；3.对的； 4. 错 ；5.对的 ；6.错； 7.错 ； 8. 错 ；9. 对的 ；10. 错 。 三(8分) 解：1)在2||1< 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=--（3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2 ）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+ （4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- 第二章解析函数 1-6 题中： （1）只要不满足 C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解析 （2）可导、可微的证明：求出一阶偏导u x, u y, v x, v y，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R 条件。 （3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。 （4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R 条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解析函数。 解析函数求导： f ( z) u x iv x 4、若函数f ( z)在区域 D上解析，并满足下列的条件，证明 f ( z) 必为常数。 （1）f z 0 z D 证明：因为 f ( z) 在区域上解析，所以。 令 f (z) u( x, y) iv ( x, y) ，即 u v , u v f (z) u i v 0 。 x y y x x y 由复数相等的定义得：u v u v x y 0, 0 。 y x 所以， u( x, y) C1(常数)，v( x, y) C2(常数)，即 f (z) C1 iC2为 常数。 5、证明函数在z 平面上解析，并求出其导数。 （1） e x ( xcos y y sin y) ie x ( y cos y x sin y). 证明：设 f z u x, y iv x, y = e x ( x cos y y sin y) ie x ( y cos y xsin y). 则 u , y x ( x cos y y sin y ) ， v x, y x x e e ( y cos y x sin y) u e x ( x cos y ysin y) e x cos y v e x cos y y sin ye x x cos ye x x ； y u e x ( x sin y sin y y cos y) ； v e x ( y cos y x sin y sin y) y x 满足 u v , u v 。 x y y x 即函数在 z 平面上 ( x, y) 可微且满足 C-R 条件，故函数在 z 平面上 解析。 f (z) u i v e x (x cos y y sin y cos y) ie x ( y cos y x sin y sin y) x x 8、（1）由已知条件求解析函数 f ( z) u iv u x 2 y 2 xy f (i ) 1 i 。 ， ， 解： u x 2x y, u y 2 y x 由于函数解析，根据 C-R 条件得 u x v y 2x y 于是 y 2 v 2xy (x) 2 其中 ( x) 是 x 的待定函数，再由 C —R 条件的另一个方程得 v x 2y ( x) u y 2y x ， x 2 所以 (x) x ，即 (x) c 。 2 于是 v y 2 x 2 c 2xy 2 2 又因为 f (i ) 1 i ，所以当 x 0, y 1 ，时 u 1 1 1 ， v c 1得 c 2 2 复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。 （3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。 第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。 只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 = 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部． 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. （1）(3-i) 5 解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°] (3-i)5 =25[cos(30°?5)-isin(30°?5)] =25(-3/2-i/2) =-163-16i （2）（1+i ）6 解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2 tan θ=x y =1 Θx>0,y>0 ∴θ属于第一象限角 ∴θ= 4 π ∴1+i=2（cos 4π+isin 4 π ） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 4 6π ） =8（0-i ） =-8i 1.2求下式的值 (3)61- 因为 -1=（cos π+sin π） 所以 6 1-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6). 习题一 1.2（4）求(1-i)3 1的值。 解：(1-i)3 1 =[2(cos-4∏+isin-4 ∏ )]31 =62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12 ) 18(-k ∏)] (k=0,1,2) 1.3求方程3z +8=0的所有根。 解：所求方程的根就是w=38- 因为-8=8（cos π+isin π） 所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2 其中ρ=3r=38=2 即 w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i 1 w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-2 2 w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i 3 习题二 1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。 (1) Im(z)>0 解：设z=x+iy 因为Im(z)>0，即，y>0复变函数试题与答案
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