傅里叶级数及其应用学位论文

傅里叶级数及其应用

专业：数学与应用数学

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引言 (3)

1 傅立叶级数的计算 (5)

1.1 傅立叶级数的几何意义 (5)

1.2 傅里叶级数的敛散性问题 (10)

1.3 傅里叶级数的展开 (11)

1.4 关于傅里叶级数展开的个别简便算法 (16)

1.5 利用二元函数微分中值定理研究函数性质 (19)

2 傅里叶级数的相关定理及其应用 (21)

2.1 n元函数中值定理及其几何意义 (21)

2.2 利用n元函数微分中值定理研究函数的性质 (28)

3 微分中值定理在复数域上的推广 (32)

3.1 复数域上的中值定理 (32)

3.2 利用复数域内中值定理研究函数性质 (36)

结论 (39)

致谢 (40)

参考文献 (41)

为了更好地认识和应用微分中值定理，使微分中值定理能够最大的发挥其重要作用，在深刻理解和掌握教材内微分中值定理的基础上，将微分中值定理在n元函数以及复数域内推广及应用加以探讨．首先根据一元函数微分中值定理的内容，给出了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的统一形式．而后又仿照一元函数微分中值定理的形式对教材中二元函数微分中值定理进行补充，给出了二元函数罗尔定理、柯西中值定理和二元函数泰勒中值定理的表述，并且构造“辅助函数”给出了证明过程，然后讨论了二元函数罗尔定理与拉格朗日定理的几何意义．接着通过对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出了n元函数罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同样借助构造的“辅助函数”把n元函数转化为一元函数，进而给出了四个定理的证明，并通过几个典型例题验证了n元函数微分中值定理的可用性．最后从二元函数微分中值定理着手，给出了复数域上的罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同时通过几个例题验证了复数域上微分中值定理的可用性．

关键词：

n元函数；微分中值定理；几何意义；复数域

In order to understand and make better use of the differential mean value theorem which can play a largest role in application, we explore the generalization and the application of the differential mean value theorem in n-variable functions and complex field based on the comprehension and mastery of the differential mean value theorem in textbook. At first, according to the differential mean value theorem of one-variable function, we give the uniform of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem. Then we complement the differential mean value theorem of two-variable function in textbook following one- variable function, give the expressions of Rolle theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem of two-variable function, constitute auxiliary function and give the proof procedure, discuss the geometric significance of the Rolle theorem and Lagrange theorem of two-variable function. Later, we give the expressions of the Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem of n- variable function by comparing the differential mean value theorem of one-variable function and two-variable function. Similarly, by constituting auxiliary function, we change n-variable function into one-variable function and give the proof of four theorems. Check the availability of the differential mean value theorem by some typical examples. At last, proceed from the differential mean value theorem of two-variable function, we give the expressions of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem in complex field and check the availability of the differential mean value theorem by some typical examples at the same time. Keywords:

n-variable function; differential mean value theorem; geometric significance; complex field

微分中值定理是微分学的核心定理，它是联系函数与导数的桥梁，微分中值定理把函数在某个区间上的函数值与其导数值联系起来，应用局部状态的导数研究函数在区间上的“整体”性态，它是研究函数性态的重要工具．在大学四年的学习中，已经掌握了一些有关一元微分中值定理的内容，我们知道一元函数的罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理分别建立了函数与一阶导数的关系和函数与高阶导数的关系．在实际应用中，很多情况要突破一元微分学和平面领域这些局限，为了更好的利用微分学中值定理这个重要工具，需要把它的应用范围加以扩展，使之能够在n元微分学即1

n 维空间以及复数域上得以使用．

本文将分三部分对微分中值定理进行推广，第一部分中，首先从数学分析教材入手，梳理教材中学过的有关一元函数微分中值定理的相关内容，进而研究一元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理之间的关系，试图找出统一的中值公式，通过这个公式全面认识这四个定理．其次，对照一元函数微分中值定理的分析研究，探讨二元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，二元函数泰勒中值定理的形式及成立的条件，然后探讨定理之间的关系，找到统一的中值公式，透过这个公式再认识微分中值定理，接着仿照一元函数微分中值定理给出证明及其几何意义．第二部分中，对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出n元函数微分中值定理的成立条件和中值公式，同样通过构造“辅助函数”证明定理成立，并自由想象多元函数微分中值定理的几何意义．第三部分中，从二元函数微分中值定理入手，仿照二元函数中值定理的形式，探讨微分中值定理在复数域上的表

述．接着再通过构造“辅助函数”给出定理证明．

1傅立叶级数

自然界中周期现象的数学描述就是周期函数．最简单的周期现象，如单摆的摆动等，都可以用正玄函数sin

y a wt

=或余弦函数cos

=表示．但是，

y a wt

复杂的周期现象，如热传导、电磁波以及机械振动等，就不能仅用一个正弦函数和余弦函数表示，需要用很多个甚至无限多个正弦函数和余弦函数的叠加表示．因此，傅里叶级数就应运而生．傅里叶级数就是将周期函数展成无限多个正弦函数与余弦函数之和的一种解决问题的简便方法．其主要是研究级数的敛散性问题，从而利用傅里叶级数解决其他生活中的很多相关问题．傅里叶级数应用到我们生活中的各个角落，主要是在数字信号处理等方面有重要应用，为我们的生活无私的奉献着．

1.1 一元函数中值定理及其几何意义

从“几何”的角度来看待傅里叶级数，当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的坐标轴上．

考虑一个简单的二维平面的例子. 如下图所示，给定两个向量u和v，从u的末端出发作到v所在直线的垂线，得到一个跟v同向的新向量p．这个过程就称作u到v所在直线的投影，得到的新向量p就是u沿v方向的分量。图中的系数c是p跟v的比例，也就是u在v轴上的“坐标”．可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量u和v都是代数形式的，怎么用代数的方法求c？

图片1：向量u 到v 所在直线的投影

知道u cv -这个向量是“正交”于v 的，用数学语言表达就是()0u cv Tv -=．马上就可以得到 c 的表达式如下：

T T u v

c v v

= (1) 如下图所示，现在引进一组正交基 12{,}v v ，那么u 可以展开成以下形式 1122u c v c v =+ (2)

图片2：向量u 在正交基12{,}v v 上的展开

从图上来看，(2)式其实说的是可以把u “投影”到 1v 和2v 这两个坐标轴上，1c 和2c 就是u 的新“坐标”. 问题是：怎么求1c 和2c 呢？利用之前关于投影的讨论，可以直接得出答案，直接利用(1)式就可以得到如下的表达式：

111T T u v c v v = ； 222

T T

u v c v v = ；

如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把(1)式中的v 换成新坐标轴就好了. 这些东西跟傅里叶级数有什么关系？给定一个周期是21的周期函数() f x ，它的傅里叶级数为：

()01cos sin n n n n x n x f x a a b l l ππ∞

?=++ ??

?∑ ()4

其中系数表达式如下：

()1

2f x dx a l

-=?；

()1

cos

,1n n x

f x dx l a n l π-=

≥?

()1

sin

,1n n x f x dx l b n l

π-=

≥?

从几何角度来看，()f x 可以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）组成的“正交基”来展开，22{1,cos

,sin

,cos

,sin ,......}x

x x

l l

ππππ 从几何投影的观点来看待傅里叶级数，理解变得更加容易，因为容易理解投影的概念；同事，傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住，想忘记都难了. 还可以尝试着用不同的角度去看待同一个问题，这样做会发现更多的简便方法和问题.

1.2 傅里叶级数的敛散性问题

定义１若函数()f x 在区间[],a b 除有限个第一类剪短点外皆连续，则称函数()f x 在[],a b 逐段连续．若函数()f x 与它的导函数()'f x 都逐段连续，则称函数()f x 在[],a b 逐段光滑．

显然，逐段光滑的函数是可积的．

1.2.1 相关定理

定理１若()f x 是n 元函数f 在凸区域R 上以2π为周期的在[],ππ-逐段光滑的函数，则函数()f x 的傅里叶级数在R 收敛，其和函数式

()()1

002f x f x ++-???

?，即

[]

,x ππ?∈-，

有

()()1002f x f x ++-????=()01

c o s

2n n n a a nx b nx ∞=++∑．

，使得

()10

120201

,0i

x n n i i f x

x x x x x x θθθ='+?+?+??=∑．

特别地，当1=n 时，()10120201

,,,0i

x n n i i f x x x x x x x θθθ='+?+?+??=∑变为

()()()0000f x x x x x θ'=+--．

因为0x x ≠，所以，()()()000,0.1f x x x θθ'+-=∈．即

()0f c '=，()0,c x x ∈．

这就是一元函数的罗尔定理的公式．

n 元函数罗尔定理的几何意义：在1+n 维空间里，闭区域D 上有连续超曲

面()10200,,,n y f x x x =，超曲面上每一点都存在超切平面，且在超曲面的底面与

1n x x x -面平行，

则超曲面上至少有一点()()1212,,,,,,

,n n C f ξξξξξξ，

使得过该点的超切平面平行于12

1n x x x -面．

定理2（n 元函数拉格朗日定理）设n 元函数f 在凸区域n R D ?上连续，在D 的所有内点都可微，对D 内任意两点，()11012020,,

,n n P x x x x x x +?+?+?， ()210200,,

,n P x x x D ∈，()1,0∈?θ，使得

()()101202010200,,

,,,,n n n f x x x x x x f x x x +?+?+?-

()10120201

,i n

x n n i i f x x x x x x x θθθ='=+?+?+??∑．

(2-1) 证明令()()1012020,n n t f x t x x t x x t x ?=+?+?+?，()01t ≤≤．

它是定义在[]1,0上的一元函数，由定理中的条件知()t φ在[]1,0上连续，在()

1,0

内可微，于是根据一元函数微分中值定理，()1,0∈?θ，使得

()()()10???θ'-=．

由复合函数的求导法则

()()10120201,,,i

x n n f x x x x x x x ?θθθθ''=+?+?+??+

()1012020,,,n

x n n n f x x x x x x x θθθ'+?+?+??．

()10120201

,,,i

x n n i i f x x x x x x x θθθ='=+?+?+??∑，()0,1θ∈．

而()()01φφ-=()()101202010200,,,,,,n n n f x x x x x x f x x x +?+?+?-．所以，

()()101202010200,,,,,,n n n f x x x x x x f x x x +?+?+?-

()10120201,,

,i n

x n n i i f x x x x x x x θθθ='=+?+?+??∑．

特别地，当1=n ，则由(2-1)式有

()()()()()0000f x f x f x x x x x θ'-=+--，()01θ<<．

这就是一元函数的拉格朗日中值公式．

n 元函数拉格朗日定理的几何意义：在1+n 维空间里，闭区域D 上有连续

超曲面()10200,,,n y f x x x =，超曲面上每一点都存在超切平面，超曲面被超平面

α所切得面β，则超曲面上至少有一点()()12

12,,,,,n n C f ξξξξξξ，使得过该点

的超切曲面平行于面β．

定理3（n 元函数柯西中值定理）设n 元函数f 和g 在凸开域n R D ?上连续，在D 内关于各个变元具有连续的偏导数，对D 内任意两点),,,(020101n x x x P ，

21012020(,,

,)n n P x x x x x x D +?+?+?∈，∑=≠??+?+'n

i i n n x x x x x x g i 101100),,(θθ ，则有

10101001010100(,

,)(,,)

n n n n n n f x x x x f x x g x x x x g x x +?+?-+?+?-

10110

101

(,,)(,

,)i

x n n i i n

x n n i

i f x

x x x x g x

x x x x θθθθ=='+?+??=

'+?+??∑∑，(01)θ<<．

证明首先证明0),,(),,(0100110≠-?+?+n n n x x g x x x x g ，用反证法．假设

0),,(),,(0100110=-?+?+n n n x x g x x x x g ．即

),,(),,(0100110n n n x x g x x x x g =?+?+．

根据n 元函数的罗尔定理，)1,0(∈?θ，使得

0),,(1

0110

=??+?+'∑=n

i i n n x x x x x x

g i

θθ ，

与已知条件∑=≠??+?+'n

i i n n x x x x x x g i

01100),,(θθ 矛盾．

其次作辅助函数

--?+?+=ψ),,(),,()(0100110n n n x x f x t x x t x f t

)],,(),,([)

,,(),,()

,,(),,(010011001001100100110n n n n n n n n n x x g x t x x t x g x x g x x x x g x x f x x x x f -?+?+-?+?+-?+?+，

其中10≤≤t ．由定理中的条件知)(t ψ在]1,0[上连续，在)1,0(内可微，且(1)0ψ=，

(0)0ψ=，根据一元函数的罗尔定理，存在)10(<<θθ使得0)(=ψ'θ．由复合函

数的求导法则

-??+?+'=ψ'∑=n

i i n n x x x x x x f i 10110),,()(θθθ

101

100101011010

100

(,,)

(,,)(,,)(,,)i n

n n n

x n n i i n n n f x x x x f x x g x x x x x g x x x x g x x θθ=+?+?-'+?+?

?+?+?-

∑．

又0)(=ψ'θ．所以，

)

,,(),,()

,,(),,(01001100100110n n n n n n x x g x x x x g x x f x x x x f -?+?+-?+?+

∑∑==??+?+'??+?+'=

i i

n n x n

i i n n x x x x x x

g x x x x x

f i

0110

10110

),,(),,(θθθθ ，(01)θ<<．

函数在一点的导数表示的是曲线在这点的切线，一元函数微分中值定理表示的是过一点的切线与割线的位置关系．那么当函数变为n 元函数时，中值定理又对应着怎样的几何意义呢？

通过对一元函数泰勒中值定理与二元函数泰勒中值定理的探讨，不难有这样的问题：在n 元函数与高阶导数有怎样的关系，泰勒中值定理又会变成怎样的形式呢？

定理4（n 元函数的泰勒中值定理）设函数12(,,,)n u f x x x =在点

010200(,,

,)n P x x x 的某一邻域()0U P 内连续，且具有一阶及二阶连续偏导数，

10120200(,,

,)()n n x x x x x x U P +?+?+?∈，则(0,1)θ?∈，使得 ),,,(0220110n n x x x x x x f ?+?+?+

102001020011

(,,

(,,,)n

n n i i i

f x x x f x x x x R x =?=+?+?∑

，

其中∑∑==?????+?+?+?=n i n i j j i j

i n n x x x x x x x x x x f R 1022011021)

,,,(!21θθθ ．

证明考虑函数

),,,()(0220110n n x t x x t x x t x f t ?+?+?+= φ，10≤≤t ．

则

),,,()0(02010n x x x f =φ，),,,()1(0220110n n x x x x x x f ?+?+?+= φ．

由于函数),,,(21n x x x f u =在点),,,(020100n x x x P 的某一邻域)(0P U 内连续，并且具有一阶及二阶连续偏导数，从而复合函数),,,()(0220110n n x t x x t x x t x f t ?+?+?+= φ

傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换

傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。傅里叶级数的指数形式一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o

)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω，（1）其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω，（2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω，（3）根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω，（4）若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω，（5）

傅里叶级数通俗解析

傅里叶级数通俗解析-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

傅里叶级数本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。 1.完备正交函数集要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果n个函数 ,…构成一个函数集，若这些函数在区间上满足如果是复数集，那么正交条件是为函数的共轭复函数。有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。先证明三角函数集：设，,把代入(1)得当n时 = = =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时 = = 再证两个都是正弦的情况设，,把代入(1)得

当n时 = = =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时 = = 最后证明两个是不同名的三角函数的情况设，,把代入(1)得 = = =0 (n,m为任意整数) 因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以从n，m的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。证毕。由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。接着是复指数函数集的证明设，,则把代入(2)得当n时，根据欧拉公式

= =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时， =1 (n,m=1,2,3,…,n) 所以，复指数函数集也是正交函数集。因为n，m的取值范围是所有整数，所以复指数函数集是完备的正交函数集。明明是讨论傅里叶级数，为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。因为，在自然界中，没有规则的信号，比如说找一个正弦信号，是完全不可能找到的。有的是一堆杂乱的信号，无规律的波形。我们要研究它，基本的思想是把它拆分，分解成一个一个有规律的可研究的波形，这些波形能用数学表达式准确表达出来。把一个复杂的信号分解的过程，可以理解成用已知的可以准确表达的函数表示他，比如一个复杂的信号把它分解，就是其中，…是我们所熟悉的函数，比如二次函数，一次函数，三角函数，指数函数等等。我们的任务就是求出所分解出来的函数，以及前方的系数n，然后对其研究。那么怎么求呢。完备正交函数集给了我们提供了一种方法。完备正交函数集就像是空间直角坐标系，集合里面的每一个元素相当于坐标系的一条轴，我们知道空间直角坐标系只有3条轴，3条轴，足够表示空间上所有点的位置，不需要再多一条，但是如果只有两条轴，又不能准确地表达立体空间上所有的点，所以3条就是完备的。对于一个函数集的完备性也可以这么理解，表达任意一个周期信号只需要用不多于函数集里面元素的函数就可以表达清楚。再说其正交性，所谓正交，就是函数集里两个不同函数之乘积的积分为0，正交性可以理解成函数集内任意两函数不相关。既然三角函数集和复指数函数集是完备的正交函数集，那么用其中的一种函数集都可以表达周期信号。用复指数函数集来表示一个复杂信号： = 其中，(n=1,2,3,…,n)。用三角函数集表示一个复杂信号：

傅里叶级数及其应用.

毕业论文题目：傅里叶级数及其应用作者：姜广辉指导教师：李博职称：讲师院系：理学院数学系专业：数学与应用数学班级：10级1班日期： 2014年5月

傅里叶级数及其应用摘要：傅里叶级数是数学分析中的一个重要概念，具有较好的几何和代数性质，伴随着科技的进步与发展，涉及了许多数学命题的讨论和应用，傅里叶级数的相关知识已经成为从事科学研究和工程设计等科技人员必备的数学基础.通过对傅里叶、拉格朗日、狄利克雷、黎曼等人在傅里叶级数方面的贡献，介绍了傅里叶级数起源和发展历程.同时文章以在图案设计和铁路客运量预测上的应用说明了傅里叶级数的价值.在图案设计设计方面，运用MATLAB软件，编写傅里叶级数的程序语言，通过自定义函数、编写画图函数程序、对图形多余部分处理、图形线条加粗等步骤，进而得到傅里叶级数的图形.通过对最基本的傅里叶级数的图形的组合、排列可以构成丰富的图案.在铁路客运量预测方面，基于傅里叶级数预测模型，以我国2004—2009年铁路客运量为数据基础，通过将时间序列划分为趋势性和季节性部分，分别采用最小二乘法和傅里叶级数预测法对两者进行拟合，应用MATLAB软件，求出预测模型，并进行预测.通过对预测结果的误差分析，表明：采用傅里叶级数预测法预测我国铁路客运量的效果较好.因此傅里叶级数在一定程度上受到了很多数学家的欢迎. 关键词：傅里叶级数；收敛性；MATLAB软件；图案设计；预测模型

Fourier series and its applications Abstract：Fourier series is a mathematical analysis of an important concept，and has good geometry and algebraic properties，along with the progress and development of technology，involving a lot of discussion and application of mathematical propositions，Fourier series of relevant knowledge has become a mathematical foundation for scientific research and engineering design and other technical personnel necessary. Through Fourier，Lagrange，Dirichlet, Riemann，who contribute in terms of Fourier series，Fourier series introduces the origin and development process，while the article in the graphic design and rail application passenger traffic forecast illustrates the value of the Fourier series. In the design of graphic design，the use of MATLAB software program written in the language of Fourier series，via a custom function，the preparation process of drawing functions，the excess part of the graphics processing，graphics，bold lines and other steps，then get the Fourier series pattern by the combination of the basic pattern of the Fourier series，the arrangement may constitute a rich patterns. Railway passenger traffic forecast，prediction model based on Fourier series to the railway passenger traffic volume of 2004-2009 data base，by the time series into trend and seasonal part，respectively，using the least squares method and fourier Fourier series prediction method for both fitting using MATLAB software，find the prediction model and predict the outcome of the prediction error by analysis showed that：Fourier series prediction method to predict the effect of China's railway passenger volume better. So to some extent，the Fourier series has been welcomed by many mathematicians. Keywords：Fourier series；convergence；MATLAB software；graphic design；prediction model

傅里叶级数课程及习题讲解

第15章傅里叶级数 §15.1 傅里叶级数一基本内容一、傅里叶级数在幂级数讨论中 1 ()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x 线性表出而得．不妨称 2 {1,,,,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系函数列{ }1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．对于一个在[,]ππ-可积的函数系{} () [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??，如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{} () [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系．由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?，所以三角函数系在[ ] ,ππ-上具有正交性，故称为正交系．利用三角函数系构成的级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,, ,,,n n a a b a b 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数

傅里叶级数和应用毕业论文

傅里叶级数及其应用专业：数学与应用数学班级：姓名：

目录引言 (3) 1 傅立叶级数的计算 (5) 1.1 傅立叶级数的几何意义 (5) 1.2 傅里叶级数的敛散性问题 (10) 1.3 傅里叶级数的展开 (11) 1.4 关于傅里叶级数展开的个别简便算法 (16) 1.5 利用二元函数微分中值定理研究函数性质 (19) 2 傅里叶级数的相关定理及其应用 (21) 2.1 n元函数中值定理及其几何意义 (21) 2.2 利用n元函数微分中值定理研究函数的性质 (28) 3 微分中值定理在复数域上的推广 (32) 3.1 复数域上的中值定理 (32) 3.2 利用复数域内中值定理研究函数性质 (36) 结论 (39) 致谢 (40) 参考文献 (41)

傅里叶级数

傅里叶级数（Fourier Series ）引言正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数就是一个以ωπ 2为周期的函数。其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为角频率，?为初相。但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说，将周期为)2(ωπ =T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数 )sin(n n t n A ?ω+组成的级数来表示，记为其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ?都是常数。将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，这种展开称为谐波分析。其中常数项0A 称为 )(t f 的直流分量；)sin(11?ω+t A 称为一次谐波（又叫做基波）；而)2sin(22?ω+t A ， )3sin(33?ω+t A 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ?ω+按三角公式变形，得 t n A t n A t n A n n n n n n ω?ω??ωsin cos cos sin )sin(+=+，令x t A b A a A a n n n n n n ====ω??,cos ,sin ,2 00，则上式等号右端的级数就可以改写成这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。 1.函数能展开成傅里叶级数的条件（1）函数)(x f 须为周期函数；（2）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果0x 是函数)(x f 的间断点，但左极限)0(0-x f 及右极限)0(0+x f 都存在，那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点）（3）在一个周期内至多只有有限个极值点。

周期信的傅里叶级数

计算机与信息工程学院实验报告专业：通信工程年级/班级：2012级通信工程2013—2014学年第二学期一、实验目的 1、分析典型的矩形脉冲信号，了解矩形脉冲信号谐波分量的构成。 2、观察矩形脉冲信号通过多个数字滤波器后，分解出各谐波分量的情况。 3、掌握用傅里叶级数进行谐波分析的方法。 4、观察矩形脉冲信号分解出的各谐波分量可以通过叠加合成出原矩形脉冲信号。

二、实验仪器或设备一台装有MATLAB的计算机一台三、设计原理 1. 信号的时间特性与频率特性信号可以表示为随时间变化的物理量，比如电压u(t )和电流i(t )等，其特性主要表现为随时间的变化，波形幅值的大小、持续时间的长短、变化速率的快慢、波动的速度及重复周期的大小等变化，信号的这些特性称为时间特性。信号还可以分解为一个直流分量和许多不同频率的正弦分量之和。主要表现在各频率正弦分量所占比重的大小不同；主要频率分量所占的频率范围也不同，信号的这些特性称为信号的频率特性。无论是信号的时间特性还是频率特性都包含了信号的全部信息量。 2. 信号的频谱信号的时间特性和频率特性是对信号的两种不同的描述方式。根据傅里叶级数原理，任意一个时域的周期信号f(t)，只要满足狄利克莱(Dirichlet)条件，就可以将其展开成三角形式或指数形式的傅里叶级数。例如，对于一个周期为T的时域周期信号f(t)，可以用三角形式的傅里叶级数求出它的各次分量，在区间（t1,t1+T）内表示为

即将信号分解成直流分量及许多余弦分量和正弦分量，研究其频谱分布情况。 3. 信号的时间特性与频率特性关系信号的时域特性与频域特性之间有着密切的内在联系，这种联系可以用图4-1 来形象地表示。其中图 4-1(a)是信号在幅度--时间--频率三维坐标系统中的图形；图 4-1(b)是信号在幅度--时间坐标系统中的图形即波形图；把周期信号分解得到的各次谐波分量按频率的高低排列，就可以得到频谱图。反映各频率分量幅度的频谱称为振幅频谱。图 4-1(c)是信号在幅度--频率坐标系统中的图形即振幅频谱图。反映各分量相位的频谱称为

傅里叶级数

第八节傅里叶级数内容分布图示 ★ 引言 ★ 引例 ★ 三角函数系的正交性 ★ 傅里叶级数的概念 ★ 狄利克雷收敛定理 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 非周期函数的周期延拓 ★ 例4 ★ 利用傅氏展开式求数项级数的和 ★ 正弦级数与余弦级数 ★ 例5 ★ 例6 ★ 函数的奇延拓与偶延拓 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题11-8 ★ 返回讲解注意：一、三角级数三角函数系的正交性早在18世纪中叶，丹尼尔. 伯努利在解决弦振动问题时就提出了这样的见解：任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和. 这一事实用数学语言来描述即为：在一定的条件下，任何周期为T )/2(ωπ=的函数)(t f ，都可用一系列以T 为周期的正弦函数所组成的级数来表示，即 ∑∞ =++=1 0)sin()(n n n t n A A t f ?ω (8.1) 其中n n A A ?,,0),3,2,1( =n 都是常数. 十九世纪初，法国数学家傅里叶曾大胆地断言：“任意”函数都可以展成三角级数. 虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创了“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念. 傅里叶的工作被认为是十九世纪科学迈出的极为重要的第一个大步，它对数学的发展产生的影响是他本人及同时代的其他人都难以预料的. 而且，这种影响至今还在发展之中. 这里所介绍的知识主要是由傅里叶以及与他同时代的德国数学家狄利克雷等人的研究结果. 二、函数展开成傅里叶级数傅里叶系数 ?????? ?====??--).,3,2,1(,sin )(1 ),,2,1,0(,cos )(1 n nxdx x f b n nxdx x f a n n ππ ππππ (8.5) 将这些系数代入(8.4)式的右端，所得的三角级数 ∑∞=++1 )sin cos (2n n n nx b nx a a (8.6)

傅里叶级数

第十五章傅里叶级数 §1 傅里叶级数教学目标掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理．教学要求 (1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数． (2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)．教学建议 (1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)． (2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展开的方法与步骤．教学程序一、 Fourier 级数的定义背景： ⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频 T 1 ( ωπ2=T ) . 倍频. ⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 . ⑶ n R 中用Descartes 坐标系建立坐标表示向量思想的推广: 调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier 建立了Fourier 分析理论的基础. （一）定义设()f x 是(,)-∞+∞上以2π为周期的函数，且()f x 在[,]ππ-上绝对可积，称形如 01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 的函数项级数为()f x 的 Fourier 级数或三角级数(()f x 的 Fourier 展开式)，其

中 01 ()a f x dx π π π- = ?，1 ()cos ,1,2,n a f x nxdx n π ππ - ==?L ， 1 ()sin ,1,2,n b f x nxdx n πππ - = =?L 称为()f x 的 Fourier 系数，记为0 1 ()~ (cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 定理15.1 若级数∑∞ =++1 0) |||| (2||n n n b a a 收敛 , 则级数 01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 在R 内绝对且一致收敛 . 证明：用M 判别法. （二）说明 1）在未讨论收敛性，证明01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑一致收敛到()f x 之前，不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示 01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑是()f x 的 Fourier 级数，或者说()f x 的 Fourier 级数是01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑. 2) 要求[,]ππ-上()f x 的 Fourier 级数,只须求出Fourier 系数. 例1 设()f x 是以2π为周期的函数，其在[,]ππ-上可表示为 1,0()0,0x f x x π π≤≤?=? -<

傅里叶级数课程习题讲解

第15章傅里叶级数 §15.1 傅里叶级数一基本内容一、傅里叶级数在幂级数讨论中 1 ()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x L L 线性表出而得．不妨称2{1,,,,,}n x x x L L 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx L L 称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L ，定义两个函数的内积为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??，如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L 为正交系．由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ π-=?=?=? ≠??； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ π-=?=?=? ≠??； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x ππ -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?，所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系．利用三角函数系构成的级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b L L 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积，

傅里叶级数的其收敛性及其应用

傅里叶级数的收敛性及其应用摘要傅里叶级数是数学分析的一个重要组成部分.本文首先介绍了傅里叶级数的相关知识、以2π为周期函数的傅里叶级数展开式、以2l为周期函数的傅里叶级数展开形式.其次，通过狄利克雷积分和黎曼—勒贝格引理及局部化定理傅里叶 f t展开成傅里叶级数的收敛定理及其证明.级数的收敛定理分析了周期函数() 最后，给出了傅里叶级数一些简单应用，其原理主要是利用傅里叶级数均方误差证明了傅里叶级数部分和趋于无穷大时吉伯斯现象不存在以及利用傅里叶级数展开法研究了平顶高斯光束通过有光阑限制的近轴ABCD光学系统的传输特性问题. 关键词：傅里叶级数；收敛性；积分；周期函数

CONVERGENCE OF FOURIER SERIES AND ITS APPLICATION ABSTRACT Fourier series is an important part in Mathematical Analysis. The first introduced the knowledge of Fourier series, toπ2for the periodic function of the Fourier series expansion, to l2for the periodic function of the Fourier series expansion. Second, analyzed periodic function()x f expand into Fourier series convergence theorem and its proof by Dirichlet integral and Riemann-Lebesgue Lemma and local theorem of Fourier series convergence theorem . Finally, some simple application of Fourier series, and its main principle is to use the mean square error of the Fourier series is proved, and tends to infinity, some of Gibbs phenomenon does not exist and the use of fourier Fourier series expansion of the flattened Gaussian beams through apertured paraxial optical system ABCD, the transmission characteristics of the problem. Key words:Fourier series; Convergence; Integral; Periodic function ----

傅里叶变换及应用

傅里叶变换在MATLZB里的应用摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种

连续时间信号傅里叶级数分析及MAtlAB实现

课程设计任务书学生姓名:专业班级: 指导教师:工作单位: 题目: 连续时间信号傅里叶级数分析及MATLAB实现初始条件： MATLAB 6.5 要求完成的主要任务：深入研究连续时间信号傅里叶级数分析的理论知识，利用MA TLAB强大的图形处理功能，符号运算功能以及数值计算功能，实现连续时间周期信号频域分析的仿真波形。 1.用MATLAB实现周期信号的傅里叶级数分解与综合。 2.用MATLAB实现周期信号的单边频谱及双边频谱。 3.用MATLAB实现典型周期信号的频谱。 4.撰写《MATLAB应用实践》课程设计说明书。时间安排：学习MATLAB语言的概况第1天学习MATLAB语言的基本知识第2、3天学习MATLAB语言的应用环境，调试命令，绘图能力第4、5天课程设计第6-9天答辩第10天指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日

目录摘要................................................................................................................................................ I Abstract .......................................................................................................................................... II 绪论. (1) 1 MATLAB简介 (2) 1.1 MATLAB语言功能 (2) 1.2 MATLAB语言特点 (2) 2 傅里叶级数基本原理概要 (4) 2.1 周期信号的傅里叶分解 (4) 2.2 三角形式和指数形式傅里叶级数及各系数间的关系 (4) 2.3 周期信号的频谱 (5) 3 用MATLAB实现周期信号的傅立叶级数分解与综合 (6) 3.1 合成波形与原波形之间的关系 (6) 3.2 吉布斯现象 (6) 4 用MATLAB实现周期信号的单边频谱及双边频谱。 (8) 4.1 单边，双边（幅度，相位）频谱及其关系 (8) 4.1.1单边，双边（幅度，相位） (8) 4.1.2 单边，双边频谱关系 (9) 4.2以单边幅度频谱为例，研究脉冲宽度与频谱的关系 (10) 4.3以单边幅度频谱为例，研究脉冲周期与频谱的关系 (11) 5用MATLAB实现典型周期信号的频谱 (13) 5.1 周期方波脉冲频谱的MATLAB实现 (13) 5.2 周期三角波脉冲频谱的MATLAB 实现 (14) 6 小结及心得体会 (17) 参考文献 (18) 附录： (19)

傅里叶级数

9.5 傅里叶级数 9.5.1 三角级数三角函数系的正交性在自然界和工程技术中周期现象是经常出现的,如振动、电磁波等,当用函数来描述这些现象时出现的就是周期函数.描述简谐振动的正弦函数)sin(?ω+=t A y 是一种简单而又为人们所熟悉的周期函数,其中y 表示动点的位置,t 表示时间,A 为振幅,ω为角频率,?为初相.周期为 ω π 2.现在类似于将函数展开成幂级数,我们也想将周期函数展开成由简单的三角函数组成的级数.具体的说,希望将以?? ? ? ?= ωπ2T 的周期函数)(t f 表示为 ∑∞ =++ =1 0),sin()(n n n t n A A t f ?ω (1) 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ?都是常数. 在利用三角恒等式,变形为 ∑∞ =++ =1 0);sin cos cos sin ()(n n n n n t n A t n A A t f ω?ω? 令 x t A b A a A a n n n n n n ====ω??,cos ,sin ,2 00,则得到级数 ∑∞ =++ 1 0).sin cos (2 n n n nx b nx a a (2) 称(2)式的级数为三角级数,其中),3,2,1(,,0 =n b a a n n 都是常数. 称三角函数系 ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x (3) 在区间],[ππ-上正交,就是指在三角函数系(3)中任何不同的两个函数的乘积在区间 ],[ππ-上的积分等于零,即 ?- ==π π),3,2,1(0cos n nxdx , ?- ==π π),3,2,1(0 sin n nxdx , ?- ==π π),3,2,1,(0cos sin n k nxdx kx , ?- ≠==π π),,3,2,1,(0 cos cos n k n k nxdx kx ,

傅里叶级数

傅里叶级数诀窍就在于从“几何”的角度来看待傅里叶级数。当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。 1.什么是投影我们先来复习什么是投影吧。考虑一个简单的二维平面的例子。如下图所示，给定两个向量 u 和 v ，我们从 u 的末端出发作到 v 所在直线的垂线，得到一个跟 v 同向的新向量 p 。这个过程就称作 u 到 v 所在直线的投影，得到的新向量 p 就是 u 沿 v 方向的分量。图中的系数 c 是 p 跟 v 的比例，也就是 u 在 v 轴上的“坐标”。我们可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量 u 和 v 都是代数形式的，我们怎么用代数的方法求 c ？我相信只要有基本线性代数知识的同学都可以轻松解决这个问题。我们知道 u-cv这个向量是“正交”于 v 的，用数学语言表达就是(u-cv)T v=0。我们马上就可以得到 c 的表达式如下。（1） 2.向量在一组正交基上的展开

在讲傅里叶级数之前，我们还需引进线性代数中“正交基”的概念。如果这个概念你觉得陌生，就把它想成是互相垂直的“坐标轴”。回到刚才这个例子，如下图所示，现在我们引进一组正交基 {v1，v2}，那么 u 可以展开成以下形式（2）从图上来看，(2)式其实说的是我们可以把 u“投影”到 v1 和 v2 这两个坐标轴上，c1 和 c2 就是 u 的新“坐标”。问题是：我们怎么求 c1 和 c2 呢？你会说，我们可以(2)式两边同时乘以 v1 或 v2，然后利用它们正交的性质来求 c1，c2。没错，数学上是这么做的。但是利用之前关于投影的讨论，我们可以直接得出答案，直接利用(1)式就可以得到如下的表达式：（3） 3.傅里叶级数的几何意义现在我们已经明白一件事情了：如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把(1)式中的 v 换成新坐标轴就好了。说了半天，这些东西跟傅里叶级数有什么关系？我们先回忆一下傅里叶级数的表达式。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数为：

傅里叶级数

傅里叶级数一：指数形式给定一个周期为T的函数f(t)，那么它可以表示为无穷级数： f(t)=∑ k=-∞+∞a k *e ik(2∏/T)t（i为虚数单位）（1） ak=(1/∏)∫ 02∏f(t)*e-ik(2∏/T)t d t 二：正弦形式 1：在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波), 它是形如Asin(ωt+Φ) 的波,其中A是振幅, ω是角频率, Φ是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设f(t)是一个周期为T 的波,在一定条件下可以把它写成 f(t)=A0+∑n=1+∞A n sin(nωt+Φ) =A0+∑n=1+∞a n cos(nωt)+b n sin(nωt) （根据sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ) 其中A n sin(nωt+Φ)=a n cos(nωt)+b n sin(nωt) 是n阶谐波, 我们称上式右端的级数是由f(t) 所确定的傅里叶级数 2：三角函数正交性设c是任意实数, 是长度为[c,c+2∏] 的区间,由于三角函数是周期为2∏ 的函数,经过简单计算, 有

利用积化和差的三角公式容易证明还有我们考察三角函数系其中每一个函数在长为的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零，而每个函数自身平方的积分非零。我们称这个函数系在长为的区间上具有正交性。

三：傅里叶级数设函数f(x)已展开为全区间设的一致收敛的三角级数f(x)=(a0/2)+Σk=1+∞a k cos(kx)+b k sin(kx),现在利用三角函数系数的正交性来研究系数a0,a k,b k (k=1,2....n)与f(x) 的关系。将上述展开式沿区间[-Π,+Π]积分，右边级数可以逐项积分，由(1)得到又设n是任一正整数，对f(x)的展开式两边乘以cos(nx)沿[-Π,+Π]积分，由假定，右边可以逐项积分，由(1)和(2)(3) ，得到即：同样可得：