因式分解专项训练.docx

因式分解方法技巧

专题一

分解因式的常用方法：一提二用三查 ，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公 式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。

常见错误：

1、 漏项，特别是漏掉

2、 变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化

3、 分解不彻底 首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏 1,括号里面分到“底”

［例题］把下列各式因式分解：

2

1. x(y-x)+y(y-x)-(x-y)

2.a 5 -a

3. 3(x 2 2 -4x) -48 2 2 2 2 2 、2a(x 1) -2ax 3 、3a -6a

3 JlJi 2 2 2 2 4、56xyz+14xyz — 21xy Z 5 专题二

二项式的因式分解：二项式若能分解，就一定要用到两种方法： 1提公因式法2平方差公式 法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式

a 2-

b 2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中 a,b 所代表的整式，将一个数或者一个整式化 成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。

平方差公式运用时注意点：

根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式：

A 、 多项式为二项式或可以转化成二项式；

B 、 两项的符号相反；

C 、 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；

D 、 首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；

E 、 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式 ._ 2

3 1、3x -12x 3 2 2

、—4a + 16a b — 26ab 6、m 4 - 16n 4

［例题］分解因式：3(x+y) -27

1)x5-X3 2 ) m4 -16n43)252

—16X

4)9 a2- 1b2.

2

5 ) 25- 16x ;6

2 1 2 )9a—1b

44

专题三

三项式的分解因式：如果一个能分解因式，一般用到下面2种方法：1提公因式法2完全平方公式法。先观察三项式中是否含有公因式，然后再看三项式是否是完全平方式，即a2+2ab+b2 或者a2-2ab+b2的形式

完全平方公式运用时注意点：

A. 多项式为三项多项式式；

B. 其中有两项符号相同，且这两项的绝对值均可以化为某两数（或代数式）的平方；

C. 第三项为B中这两个数（或代数式）的积的2倍，或积的2倍的相反数。

【例题】将下列各式因式分解：

2 2 4 2

1）ax -2axy+ay 2）x -6x +9

1)25x 2+ 20xy + 4y2 3 2

2) X + 4x + 4x 3) 8a3b2 -12ab4 4ab

4) -3χ3 *12χ2 -?9x 5) C 2n?

2x y n 1 3n-1

X y

专题四

多项式因式分解的一般步骤：

① 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

② 如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③ 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④ 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn 分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式 a ,把它后 两项分成一组，并提出公因式 b ,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式 m+n 从而得 至 U (a+b)(m+n)

［例题］分解因式

1. m 2 +5n-mn-5m

2. χ3n I y nJL ■ 2χ2n 1y 2nj X nI y 3n 」

5 2

(2) x (χ - 2y) x (2y -χ)

2 2

3 4

(3) a (x _ y) - 2a(x _ y) (x _ y) L L

2.已知：X + = -3,求X 4 + 4的值。 X X

1、a 2-b 2-4a 4b 2 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

(1) (a 2)2 -(3a -L)2

3.若a , b , C 是三角形的三条边，求证： a 2 _b 2 _c 2 _2bc ：：：0

5

专题五

完全平方公式(a b)^a 2 2ab b 2,(a -b)2 = a 2 -2ab b 2在使用时常作如下变形：

2 2 2 2 2 2 (1) a b = (a b) -2ab,a b =(a-b) 2ab

(2) (a +b)2 =(a -b)2 +4ab,( a -b)2 =(a +b)2 -4ab

(3) (a b)2 (a —b)2 = 2(a 2 b 2)

2 2 1 2 2

(4) a 2 b 2 [(a b)2 (a —b)2]

2 1 2 2

(5) ab [(a b)2 -(a-b)2]

2 2 2 2 1 2 2 2

(6) a b C -ab-bc-ca [(a-b) (b-c) (c-a)]

2 例1已知长方形的周长为 40,面积为75,求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积 之和是多少？

例2 已知长方形两边之差 为4，面积为12,求以长方形的 长与宽之和为边长的正方形面

积?

例3若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的 整数的平方和

例5 已知两数的和为10,平方和为52 ,求这两数的积

2倍也可以表示为两个