中考数学专题复习 圆压轴八大模型题-圆外一点引圆的切线和直径的垂线

圆压轴题八大模型题（六）

泸州市七中佳德学校 易建洪

引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题

的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型5 圆外一点引圆的切线和直径的垂线

如图， 点P 是⊙O 外的一点，过点P 作PA 与⊙O 相切于点A ，PO ⊥BO 于点O ，交AB 于点C.

(1)求证：CP ＝AP ；

(2)延长BO 交⊙O 于点D ，连结AD ，过点P 作PE ⊥AB 于点E ，找出与△BOC 相似的三角形. (3)若⊙O

，OC ＝1，求PA 的长.

【分析】(1)如图3连接OA 得OA ＝OB ,∴∠OAB ＝∠B ,由等角的余角相等得∠PCA ＝∠PAC ,∴PC ＝P A.

(2)由∠APE ＝∠CPE ＝∠B 得：△BOC ∽△BAD ∽△PCE ≌△PAE .

(3)在Rt △OPA 中，设PC ＝PA ＝x ，则有（x ＋1）2＝1＋x 2

.解得PA ＝x ＝2.

基本图形及其变式图

1. 如图1~6，PA 与圆O 相切于点A ，PD ⊥BO （或BO 的延长线）于点D ，直线AB 与PD 相交于点C ，求证：PA ＝P C. 图1 图(1)

图3

图(2)

图(3)

图2

【典例】

（2018湖北随州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CN 为⊙O 的切线，OM ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CN 于D 、M 两点． （1）求证：MD ＝MC ；

（2）若⊙O 的半径为5，AC ＝4，求MC 的长．

【分析】（1）连接OC ，利用切线的性质证明即可； （2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．

解：（1）连接OC ，∵CN 为⊙O 的切线， ∴OC ⊥CM ，∠OCA ＋∠ACM ＝90°， ∵OM ⊥AB ，∴∠OAC ＋∠ODA ＝90°， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ， ∴∠ACM ＝∠ODA ＝∠CDM ， ∴MD ＝MC ；

（2）由题意可知AB ＝5×2＝10，AC ＝4， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴BC ＝，

∵∠AOD ＝∠ACB ，∠A ＝∠A ，∴△AOD ∽△ACB ， ∴，即，可得：OD ＝，

设MC ＝MD ＝x ，在Rt △OCM 中，由勾股定理得：（x ＋）2

＝x 2

＋52

， 解得：x ＝， 即MC ＝． 【点拨】

图(4) 图(5)

图(6)

图6-1

图a

连半径，造等腰三角形，借等角的余角相等再证边等。由切线的性质、直径所对的圆周角是直角以及等腰三角形三线合一找直角三角形、等腰三角形、相似三角形，运用比例线段、勾股定理和相似三角形面积关系解决问题.

【变式运用】

1． (2018 江苏连云港)如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC 交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝___44°___．

2.（2016?兰州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE＝D C．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，BC＝，求DE的长．

证明：连接OC，∵OA＝OC，

∴∠A＝∠OCA，∵OD⊥AB，

∴∠A＋∠AEO＝90°，∵DE＝DC，

∴∠DEC＝∠DCE，∵∠AEO＝∠DEC，

∴∠AEO＝∠DCE，∴∠OCE＋∠DCE＝90°，

∴∠OCF＝90°，∴OC⊥CF，

∴CF是⊙O切线．

（2）作DH⊥AC于H，则∠EDH＝∠A，

∵DE＝DC，∴EH＝HC＝1

2 EC，

∵⊙O的半径为5，BC10∴AB＝10，AC＝10

∵△AEO∽△ABC，∴AO AE AC AB

=，

∴AE

510

3

310

=，∴EC＝AC﹣AE

410

，

∴EH＝1

2

EC＝

210

3

，∵∠EDH＝∠A，∴sin∠A＝sin∠EDH，

图6-2

图b

图6-3

∴BC EH

AB DE

=，∴DE＝

AB EH

BC

g

1020

3

?

=

3.如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙A相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.

（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；

（2）若PC＝25，求⊙O的半径和线段PB的长；

（3）若⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围.

解：（1）AB＝A C．理由如下：如图c，连接OB，

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

∴∠OBA＝∠OAC＝90°，

∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠CPA＝90°，

∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OP B．

∵∠OPB＝∠APC，∴∠ACP＝∠ABC，

∴AB＝A C．

（2）如图d，延长AP交⊙O于D，连接BD，

设圆半径为r，则由OA＝5得，OP＝OB＝r，PA＝5－r．

又∵PC＝

AB2＝OA2－OB2＝52－r2，

AC2＝PC2－PA2＝（

2－（5－r）2，

∵由（1）知AC＝AB，

∴52－r2＝（

2－（5－r）2，

解得：r＝3，即⊙O的半径是3；

∴AB＝AC＝4.∵PD是直径，∴∠PBD＝90°＝∠PA C.∵∠DPB＝∠CPA,∴△DPB∽△CP A.

∴CP AP

PD BP

=,

2

BP

=,解得PB

.

（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，

则OE＝1

2

AC＝1

2

AB＝1

2

又∵圆O要与直线MN有唯一交点，

图d

图c

图6-4

∴OE ＝

1

2

r ，∴r

，

又∵圆O 与直线l 相离， ∴r ＜5.

∴⊙O 的半径r

r ＜5.

4.(2018·湖北黄冈) 如图，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP AD ⊥，OP 与AB 的延长线交于点P ，过B 点的切线交OP 于点C . （1）求证：CBP ADB ∠=∠.

（2）若2OA =，1AB =，求线段BP 的长.

证明：（1）连接OB ，则OB ⊥BC ，

90OBD DBC ∠+∠=o ，又AD 为直径， 90DBP DBC CBP ∠=∠+∠=o ，

∴OBD CBP ∠=∠

又OD OB =，OBD ODB ∠=∠； ∴ODB CBP ∠=∠，即ADB CBP ∠=∠ （2）解：在Rt ADB ?和Rt APO ?中，

DAB PAO ∠=∠，Rt ADB Rt APO ??∽ 1AB =，2AO =，4AD =，

AB AD

AO AP

=

，8AP =,7BP =.

图e

图6-5

图f