人教版九年级数学上册 旋转几何综合(篇)(Word版 含解析)

人教版九年级数学上册旋转几何综合（篇）（Word版含解析）

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，

AP＝1

3

AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，

连接PC，且ABE为等边三角形．

（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP 与EC的数量关系是．

（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为

93，求线段AC的长．

【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）

7 7

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；

（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；

（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．

【详解】

解：（1）∵△ABE是等边三角形，

∴∠ABE＝60°，AB＝BE，

∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，

∴∠CBP＝60°，BC＝BP，

∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，

即∠ABP＝∠EBC，

∴△ABP≌△EBC（SAS），

∴AP＝EC；

故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；

（2）成立，理由如下，

∵△ABE是等边三角形，

∴∠ABE＝60°，AB＝BE，

∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，

∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，

∴△ABP≌△EBC（SAS），

∴AP＝EC；

（3）过点C作CD⊥m于D，

∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴△PBC是等边三角形，

∴3

2

93

∴PC＝3，

设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，∴AC＝2t，

∵m∥n，

∴∠CAD＝∠AEB＝60°，

∴AD＝1

2

AC＝t，CD33，

∵PD2+CD2＝PC2，∴（2t）2+3t2＝9，

∴t＝37

7

（负值舍去），

∴AC＝2t 67

．

【点睛】

本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得

解．

2．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G 为FC的中点，连接GD，ED．

（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．

（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．

（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．

【答案】（1）DE＝2DG；（2）成立，理由见解析；（3）DE的长为42或32．【解析】

【分析】

（1）根据题意结论：DE=2DG，如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM，证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF=CM，GM=GE，再证明△DCM≌△DAE （SAS）即可解决问题；

（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM=GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R，其证明方法类似；

（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E，F，C共线时．②如图3-3中，当E，F，C 共线时，分别求解即可．

【详解】

解：（1）结论：DE＝2DG．

理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，

∵∠AEF＝∠B＝90°，

∴EF∥CM，

∴∠CMG＝∠FEG，

∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，

∴△CMG≌△FEG（AAS），

∴EF＝CM，GM＝GE，

∵AE＝EF，

∴AE＝CM，

∴△DCM≌△DAE（SAS），

∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，

∴∠EDM＝∠ADC＝90°，

∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，

∴△EGD是等腰直角三角形，

∴DE＝2DG．

（2）如图2中，结论成立．

理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．

∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，

∴△CGM≌△FGE（SAS），

∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，

∴CM∥ER，

∴∠DCM＝∠ERC，

∵∠AER+∠ADR＝180°，

∴∠EAD+∠ERD＝180°，

∵∠ERD+∠ERC＝180°，

∴∠DCM＝∠EAD，

∵AE＝EF，

∴AE＝CM，

∴△DAE≌△DCM（SAS），

∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，

∴∠EDM＝∠ADC＝90°，

∵EG＝GM，

∴DG＝EG＝GM，

∴△EDG是等腰直角三角形，

∴DE2DG．

（3）①如图3﹣1中，当E ，F ，C 共线时，

在Rt △ADC 中，AC ＝

22AD CD +＝

2255+＝52，

在Rt △AEC 中，EC ＝22A AE C -＝22(52)1-＝7， ∴CF ＝CE ﹣EF ＝6， ∴CG ＝

1

2

CF ＝3， ∵∠DGC ＝90°，

∴DG ＝22CD CG -＝2253-＝4， ∴DE ＝2DG ＝42．

②如图3﹣3中，当E ，F ，C 共线时，同法可得DE ＝32．

综上所述，DE 的长为2或2． 【点睛】

本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

3．已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝5，20

3

AD =，AE ⊥BD ，垂足是E ．点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．

（1）求AE 和BE 的长；

（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，求出相应的m 的值； （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的

ABF 为A BF ''，在旋转过程中，设A F ''所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ，若△DPQ 为等腰三角形，请直接写出此时DQ 的长．

【答案】（1）4；3 （2）3或163 （3）2512525310103243

-、、103 【解析】 【分析】

（1）由矩形的性质，利用勾股定理求解BD 的长，由等面积法求解AE ，由勾股定理求解

BE 即可，

（2）利用对称与平移的性质得到：AB ∥A′B′，∠4＝∠1，BF ＝B′F′＝3．当点F′落在AB 上时，证明BB′＝B′F′即可得到答案，当点F′落在AD 上时，证明△B′F′D 为等腰三角形，从而可得答案，

（3）分4种情况讨论：①如答图3﹣1所示，点Q 落在BD 延长线上，证明A′Q ＝A′B ，利用勾股定理求解'

,,F Q BQ 从而求解DQ ，②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，证明点A′落在BC 边上，利用勾股定理求解,BQ 从而可得答案，③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，证明∠A′QB ＝∠A′BQ ，利用勾股定理求解,BQ ，从而可得答案，④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，证明BQ ＝BA′，从而可得答案． 【详解】

解：（1）在Rt △ABD 中，AB ＝5，20

3

AD =

， 由勾股定理得：2

22025

533BD ??=+= ???

．

11

,22

ABD

S

BD AE AB AD =

?=?． 253

20

53 4.AB AD

AE BD

?

?∴=

== 在Rt △ABE 中，AB ＝5，AE ＝4， 由勾股定理得：BE ＝3．

（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示： 由对称的性质可知，∠1＝∠2．

由平移性质可知，AB ∥A′B′，∠4＝∠1，BF ＝B′F′＝3．

①当点F′落在AB 上时， ∵AB ∥A′B′， ∴∠3＝∠4， ∴∠3＝∠2，

∴BB′＝B′F′＝3，即m ＝3； ②当点F′落在AD 上时， ∵AB ∥A′B′，∴∠6＝∠2，

∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，

,AB AD ⊥ ∴ A′B′⊥AD ，

'''',B F D B DF ∴∠=∠

∴△B′F′D 为等腰三角形， ∴B′D ＝B′F′＝3，

2516333

BB BD B D ''∴=-=

-=，即163m =．

（3）DQ 的长度分别为2512525310103243

-

-、、或10

3．

在旋转过程中，等腰△DPQ 依次有以下4种情形：

①如答图3﹣1所示，点Q 落在BD 延长线上，且PD ＝DQ ， ∴ ∠2＝2∠Q ，

∵∠1＝∠3+∠Q ，∠1＝∠2，

∴∠3＝∠Q ， ∴A′Q ＝A′B ＝5， ∴F′Q ＝F′A′+A′Q ＝4+5＝9． 在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：222293310BQ F Q F B ''=

+=+=．

253103

DQ BQ BD ∴=-=-

； ②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝DQ ，∴∠2＝∠P ，

∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠P ，∴BA′∥PD ， ∵PD ∥BC ，∴此时点A′落在BC 边上． ∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，

∴BQ ＝A′Q ，∴F′Q ＝F′A′﹣A′Q ＝4﹣BQ ．

在Rt △BQF′中，由勾股定理得：'2

'

2

2

,BF F Q BQ += 即：2

2

2

3(4),BQ BQ +-= 解得：258

BQ =

， 25251253824

DQ BD BQ ∴=-=

-=； ③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，且PD ＝DQ ，

∴ ∠3＝∠4．

∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，1

49022

∴∠?

∠＝﹣． ∵∠1＝∠2，1

49012

∴∠=?-

∠． 1

49012

A Q

B ∴∠'∠?∠＝＝﹣，

1

18019012

A BQ A Q

B ∴∠'?∠'∠?∠＝﹣﹣＝﹣，

∴∠A′QB ＝∠A′BQ ，∴A′Q ＝A′B ＝5，

∴F′Q ＝A′Q ﹣A′F′＝5﹣4＝1．

在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：223110BQ =+=，

25

103

DQ BD BQ ∴=-=

-； ④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝PD ，

∴ ∠2＝∠3．

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠4， ∴BQ ＝BA′＝5，

2510533

DQ BD BQ ∴=-=

-=． 综上所述，DQ 的长度分别为2512525310103243

-

-、、或10

3．

【点睛】

本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点．第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算．

4．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=?，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点．

（1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明；

（2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转(

)

090a α?

<

（3）将CDF 绕点C 逆时针旋转一周，如果6BC =，32CF =，直接写出线段CE 的范围．

【答案】（1）ED EB =，DE BE ⊥，证明见解析；（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值22= 最小值32

2

=． 【解析】 【分析】

（1）在Rt △ADF 中，可得DE=AE=EF ，在Rt △ABF 中，可得BE=EF=EA ，得证ED=EB ；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB 的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°； （2）如下图，先证四边形MFBA 是平行四边形，再证△DCB ≌△DFM ，从而推导出△DMB 是等腰直角三角形，最后得出结论；

（3）如下图，当点F 在AC 上时，CE 有最大值；当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值． 【详解】

（1）∵DF ⊥AC ，点E 是AF 的中点 ∴DE=AE=EF ，∠EDF=∠DFE ∵∠ABC=90°，点E 是AF 的中点 ∴BE=AE=EF ，∠EFB=∠EBF ∴DE=EB ∵AB=BC ， ∴∠DAB=45°

∴在四边形ABFD 中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°

∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB) =360°－2×135°=90° ∴DE ⊥EB

（2）如下图，延长BE 至点M 处，使得ME=EB ，连接MA 、ME 、MF 、MD 、FB 、DB ，延长MF 交CB 于点H

∵ME=EB，点E是AF的中点

∴四边形MFBA是平行四边形

∴MF∥AB，MF=AB

∴∠MHB=180°－∠ABC=90°

∵∠DCA=∠FCB=a

∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a

∵∠DCF=45°，∠CDF=90°

∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形

∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a

∴∠DCB=∠DFM

∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形

∴DC=DF，BC=AB=MF

∴△DCB≌△DFM(SAS)

∴∠MDF=∠BDC，DB=DM

∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°

∴△DMB是等腰直角三角形

∵点E是MB的中点

∴DE=EB，DE⊥EB

（3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：

∵BC=6，∴在等腰直角△ABC 中，AC=62 ∵CF=32，∴AF=32 ∴CE=CF+FE=CF+

12AF 922

= 当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值，图形如下：

同理，CE=EF －CF 32

2

= 【点睛】

本题考查三角形的旋转变换，用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，解题关键是构造并证明△BDM 是等腰直角三角形．

5．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，连接BD ，将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△（B ′与B 重合），且点D '刚好落在BC 的延长上，A D ''与

CD 相交于点E ．

（1）求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE ''）的面积；

（2）将A B D

'''

△以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与A B D

'''

△重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得AA B''

△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．

【答案】（1）2

45

2

cm；（2）

2

2

3316

24(0)

225

88020016

(4)

3335

x x x

y

x x x

?

--+≤<

??

=?

?-+≤≤

??

；（3）存在，使得AA B''

△成为等腰三角形的x的值有：0秒、

3

2

秒、

69

5

．

【解析】

【分析】

（1）先用勾股定理求出BD的长，再根据旋转的性质得出10

B D BD cm

''==，

2

CD B D BC cm

'=''-=，利用B D A

∠'''的正切值求出CE的值，利用三角形的面积差即可求阴影部分的面积；

（2）分类讨论，当

16

5

x

≤<时和当

16

4

5

x

≤≤时，分别列出函数表达式；

（3）分类讨论，当AB A B

'=''时；当AA A B

'=''时；当AB AA

'='时，根据勾股定理列方程即可．

【详解】

解：（1）6

AB cm

=，8

AD cm

=，

10

BD cm

∴=，

根据旋转的性质可知10

B D BD cm

''==，2

CD B D BC cm

'=''-=，

tan

A B CE

B D A

A D CD

''

'''

∠==

'''

，

6

82

CE

∴=，

3

2

CE cm

∴=，

()2

86345

22

222

A B CE A B D CED

S S S cm

'

'''''

?

∴==-?÷=

-；

（2）①当1605x ≤<

时，22CD x '=+，3

2

CE x =， 233

+22

CD E S x x '∴=

△， 221333

68242222

y x x x ∴=??-=--+；

②当

1645x ≤≤时，102BC x =-，()4

1023

CE x =- ()2

21488020010223333

y x x x ∴=?-=-+．

（3）①如图1，当AB A B '=''时，0x =秒；

②如图2，当AA A B '=''时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+

，24

5

A M N

B '==， 2236AN A N +'=，

22

2418623655x ?

???∴-++= ? ??

???，

解得：6695x -=

秒，（669

5

x --=舍去）； ③如图2，当AB AA '='时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+

，24

5

A M N

B '==， 2222AB BB AN A N +'=+'

22

224183646255x x ?

???∴+=-++ ? ??

???

解得：3

2

x =

秒． 综上所述：使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有：0秒、

32秒、6695

-．

【点睛】

本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．

6．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜

90°）得到矩形A1BC

1

D1，点A1在边CD上．

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；

（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若161

A E

EC

=-，求

n

m

的值．

（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB上有一点P，BP=2，点E是直线DC上一动点，在BE左侧作矩形BEFG且始终保持

BE n

BG m

=，设AB=33，试探究点E移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1

5

；（2

3

；（3）存在，63

【解析】

【分析】

（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出

∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；

（2）由△BCE∽△BA2D2，推出22

2

A D

CE n

CB A B m

==，可得CE=2n

m

，由161

A E

EC

=推出16

A C

EC

=A1

2

6

n

m

，推出BH=A1

2

6

n

m

，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；

（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF 的长度为最小值；先证明△FDG∽△FME，得到

3

FG

F

FM FE

D

==，再结合已知条件和解直角三角形求出PM和FM的长度，即可得到PF的最小值.

【详解】

解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．

∴AD=HA 1=n=1，

在Rt △A 1HB 中，∵BA 1=BA=m=2， ∴BA 1=2HA 1， ∴∠ABA 1=30°， ∴旋转角为30°， ∵22125+= ∴D 到点D 1所经过路径的长度3055

π??=； （2）∵△BCE ∽△BA 2D 2，

∴222A D CE n

CB A B m

==， ∴2n CE m =，

∵161EA

EC =， ∴16A C

EC = ∴A 12

6n m

，

∴BH=A 12

2

2

6n m n m

-=，

∴4

2

2

26n m n m

-=?，

∴m 4﹣m 2n 2=6n 4，

∴24

2416n n m m

-=?，

∴

3

3

n m =

（负根已舍去）． （3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；

由（2）可知，

3

3

BE n BG m ==

， ∵四边形BEFG 是矩形， ∴

3FG FE =

∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°， ∴∠DFG=∠MFE ， ∵DF ⊥PF ，即∠DFM=90°，

∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°， ∴∠FDG=∠FME ， ∴△FDG ∽△FME ， ∴

3

FG F FM FE D ==

， ∵∠DFM=90°，tan 3

3

FD FMD FM ∠=

=

， ∴∠FDM=60°，∠FMD=30°， ∴3

FM DM =

； 在矩形ABCD 中，有

3

3

AD AB =

3

33

=3AD =， ∵MN ⊥AB ，

∴四边形ANMD 是矩形， ∴MN=AD=3，

∵∠NPM=∠DMF=30°， ∴PM=2MN=6， ∴NP=33AB =， ∴DM=AN=BP=2，

∴332322

FM DM =

=?=， ∴63PF PM MF =+=+； 【点睛】

本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.

7．综合与实践 问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展教学活动老师给每个小组发了两个等模直角三角形ABC 和DEC ，其中

90,2,2ACB DCE AC CD ?∠=∠===.

观案发现

（1）将两个等腰直角三角形如图①摆放，设DE 的中点是,F AE 的中点是,H BD 的中点是G ，则HFG ∠=______度； 操作证明

（2）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，使点A C E 、、三点在一条直线上，如图②，其余条件不变，小明通过测量发现，此时FH FG =，请你帮助小明证明这个结论. 探究发现

（3）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，旋转角为(

)

0180αα??

<<，

DEC 在旋转的过程中，当直线FH 经过点C 时，如图③，请求出线段FG 的长.

（4）在旋转过程中，在Rt ABC 和Rt CDE △中，始终有由,AC BC CE CD ⊥⊥，你在图③中还能发现哪两条线段在旋转过程中始终互相垂直？请找出并直接写出这两条线段.

【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3）31BD =；（4）AD BE ⊥ 【解析】 【分析】

（1）根据题意，运用中点的性质找到线段之间的位置关系即可求解；

（2）根据旋转的性质及等腰三角形ABC 可知()ACD BCE SAS ???，进而通过中位线定

理即可得到FH FG =；

（3）根据旋转的性质及勾股定理，先求出BF 的长，再由BD BF DF =-即可求出BD 的长；

（4）根据旋转的性质及垂直的判定可知AD BE ⊥. 【详解】 （1）

,,90CE CD AC BC ECA DCB ==∠=∠=?，

BE AD ∴=，

F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，

G 是BD 的中点， //,//HF AD FG BE ∴，

AD BE ⊥，HF GF ∴⊥， 90HFG ∴∠=?；

（2）证明：如下图，连接AD BE ，，

由旋转可知CE CD =，90ECD ACD ∠=∠=?， 又∵AC=BC ，

()ACD BCE SAS ∴???，

AD BE ∴=，

F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，

G 是BD 的中点，

11

,22

FH AD FG BE ∴==，

FH FG ∴=；

（3）解：由题意可得CF DE CFD CFE ⊥??，，都是等腰直角三角形，

2CD =1CF DF ∴==，

2BC AC ==，223BF BC CF ∴=-=

31BD BF DF ∴=-=，

G 是BD 的中点，31

DG -∴=

31BD BF DF ∴=-=；

（4）AD BE ⊥.

连接AD ，由（3）知，CF DE ⊥， ∵ECD ?是等腰直角三角形， ∴F 是ED 中点， 又∵H 是AE 中点，

∴AD∥HF，

∵HF⊥ED，

∴AD BE

⊥.

【点睛】

本题主要考查了中的的性质，中位线定理，三角形全等，勾股定理等三角形综合证明，熟练掌握三角形的相关知识点是解决本题的关键.错因分析：（1）不能熟练运用重点的性质找到线段之间的关系；（2）未掌握旋转的性质；（3）不能将题目探究中的发现进行推广.

8．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.

（1）求证：BE＝CE

（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）

①求证：△BEM≌△CEN；

②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；

③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.

【答案】（1）详见解析；（262 +

【解析】

【分析】

（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；

（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；

②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，3m，6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.

【详解】

（1）证明：如图1中，