2006年全国考研数学一真题完整打印版.doc

2006年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上

) (1)0ln(1)

lim 1cos x x x x . (2)微分方程(1)

y x y x

的通解是. (3)设是锥面22z x y (01z )的下侧,则

23(1)xdydz ydzdx z dxdy

. (4)点(2,1,0)到平面3450x y z 的距离z = .

(5)设矩阵21

12A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E ,则

B = .

(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则max{,}1P X Y = .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中

,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内

) (7)设函数()y

f x 具有二阶导数,且()0,()0f x f x ,x 为自变量x 在0x 处的增量,y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分

,若0x ,则(A)0

dx y (B)0y dy (C)0

y dy (D)0dy

y (8)设(,)f x y 为连续函数,则14

00(cos ,sin )d f r r rdr 等于

(A)22

12

0(,)x x dx f x y dy (B)221200(,)x dx f x y dy

(C)2212

0(,)y y dy f x y dx (C)221200(,)y dy f x y dx

(9)若级数

1n n a 收敛,则级数

(A)

1n n a 收敛(B)1(1)n

n n a 收敛(C)

11n n n a a 收敛

(D)112n n n a a 收敛(10)设(,)f x y 与

(,)x y 均为可微函数,且1

(,)0y x y .已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y 下的一个极值点,下列选项正确的是

(A)若00(,)0x f x y ,则00(,)0y f x y (B)若00(,)0x f x y ,则

00(,)0

y f x y (C)若00(,)0x f x y ,则00(,)0y f x y (D)若00(,)0x f x y ,则

00(,)0

y f x y (11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n 矩阵,下列选项正确的是

(A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,

,,s A αA αA α线性相关(B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,

,,s A αA αA α线性无关(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,

,,s A αA αA α线性相关(D)若12,,

,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关. (12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2

列得C ,记1

1001

0001

P ,则(A)1C P AP (B)1C

PAP (C)T C P AP

(D)T C PAP (13)设,A B 为随机事件,且()

0,(|)1P B P A B ,则必有(A)()()P A B P A (B)()()

P A B P B

(C)()()

P A B P A (D)()()P A B P B (14)设随机变量X 服从正态分布211(

,)N ,Y 服从正态分布222(,)N , 且12{||1}{||1},P X

P Y 则(A)

12(B)12(C)12(D)12

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

) (15)(本题满分10分)

设区域D=22,1,0x y x y x ,计算二重积分2211D xy I

dxdy x y .

(16)(本题满分12分)

设数列n x 满足110

,sin 1,2,...n x x x n . 求:(1)证明lim n x x 存在,并求之.

(2)计算2

1

1lim n x n x n x x .

(17)(本题满分12分)

将函数22x

f x x x 展开成x 的幂级数.

(18)(本题满分12分)

设

函数0,,f u 在内具有二阶导数且22z f x y 满足等式22220z

z x y .

(1)验证0f

u f u u .

(2)若10,11,f f 求函数()f u 的表达式.

(19)(本题满分12分)

设在上半平面,0D x y y 内,数,f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t 都有2,,f tx ty t f x y .

证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线

L ,都有

(,)(,)0L yf x y dx xf x y dy

.

(20)(本题满分9分)

已知非齐次线性方程组

1

2341

2341

2341435131x x x x x x x x ax x x bx 有3个线性无关的解,

(1)证明方程组系数矩阵A 的秩2r A

. (2)求,a b 的值及方程组的通解

. (21)(本题满分9分)

设3阶实对称矩阵

A 的各行元素之和均为3,向量121,2,1,0,1,1T T αα是线性方程组0x A 的两个解.

(1)求A 的特征值与特征向量.

(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T Q AQ A .

(22)(本题满分9分)

随机变量x 的概率密度为2

1

,1021,02,,4

0,令其它x x f x x y x F x y 为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.

(1)求Y 的概率密度Y f y .

(2)1

,42F .

(23)(本题满分9分)

设总体X 的概率密度为(,0)F X 1

00

112x x 其它

,其中是未知参数(01),12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1

的个数,求

的最大似然估计.

赠送以下资料

考研英语作文模板（英语一）大作文

考研英语大作文一般是看图写作，从一幅图分析含义及意义，所以只需要几

个好的模板，根据题目套上去就行了。题目反映的意义无非三种：积极，消极和

中性。所以我准备了三个不同类型的模板，到时候大家根据题目自己分析一个写

作方向，再结合模板，把内容填进模板就好了。

模板只是保证文章结构不过于混乱，具体的写作还希望大家多背历年写作真

题和资料书上的作文，总结出自己喜欢的句子背下来，背熟之后根据原文的中文

意义用自己的语言再把文章写出来，这样才能得到更好的效果。

切记：模板只能起到应急和保证结构的作用，真正写好作文拿高分还需要自

己不断地背诵和练习，祝大家考试顺利！

模板一：积极（图画反映了什么积极现象，我们应提倡…）

………（开头：为了避免跟大部分模板有重复之嫌，我们可以在第一句写

一句跟作文话题有关的句子，俗语和谚语皆可，也可以是一句关于话题的感悟。

如果实在写不出可以不写）……….，The picture above symbolically/subtly illustrate/demonstrate that ……(描述图画)……。Below the drawing，there is a caption which indicates……(图片下的标题)………..。或者：【on the drawing，there are huge Chinese characters reads ：……(图片上的中文字)…….】

Undoubtedly，we can deduce from the cartoon that the painter is trying to show us that ……（主旨）………..。To begin with，……………。In addition，…………..。………（小结）………..。

As far as I am concerned ，it is high time that we highlighted the significance

of ………and cultivated the citizens’awareness that ……….is essential to us 。only by enforcing these measures into practice ，can our society be more harmonious，our economy be more prosperous and we，as individuals ，embrace more promising prospect。

模板二：消极（图画反映了什么消极现象，我们应采取行动改变…）

………（开头：为了避免跟大部分模板有重复之嫌，我们可以在第一句写

一句跟作文话题有关的句子，俗语和谚语皆可，也可以是一句关于话题的感悟。

如果实在写不出可以不写）……….，The picture above symbolically/subtly illustrate/demonstrate that ……(描述图画)……。Below the drawing，there is a caption which indicates……(图片下的标题)………..。或者：【on the drawing，there are huge Chinese characters reads ：……(图片上的中文字)…….】

Undoubtedly，we can deduce from the cartoon that due attention has to be paid to the issue of ………….。The causes of this phenomenon are as follows ：To begin with，……………。In addition，…………..。Last but not least ，…………………。

If we let this situation continue as it is，our…………will suffer a great destruction/damage/injury。The problem will be worse and worse 。

As far as I am concerned ，It is imperative for us to take drastic and effective measures t o reverse the disturbing trend revealed in the above picture。On the one hand，……………..。on the other hand，……………….。Only by enforcing these measures into practice can we curb the current phenomenon/surmount this difficulty，and we will have a brilliant future。

模板三：中性（图画反映的现象是一把双刃剑，只要好好利用…）

………（开头：为了避免跟大部分模板有重复之嫌，我们可以在第一句写

一句跟作文话题有关的句子，俗语和谚语皆可，也可以是一句关于话题的感悟。

如果实在写不出可以不写）……….，The picture above symbolically/subtly illustrate/demonstrate that ……(描述图画)……。Below the drawing，there is a caption which indicates……(图片下的标题)………..。或者：【on the drawing，there are huge Chinese characters reads ：……(图片上的中文字)…….】

Apparently，we can deduce from the cartoon that the painter is trying to attract our attention to the issue of ………….。A coin has two sides ，the …………likes a double-edged sword 。On the one hand，……………..。on the other hand，……………….。……（小结）……..。

As far as I am concerned，……itself is not good or bad and we can benefit a lot from …….as long as we take a good control over them 。Only by doing so can

our society be more harmonious，our economy be more prosperous and we ，as individuals，embrace more promising prospect。