常微分方程平衡点及稳定性研究

本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型

()()()() ()

.1

1N t

N t r t N t

cN t ττ

--

=

--

的平衡点1

x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。

关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性

Abstract

In this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1

x=of the following delay single population model

()()()() ()

.1

1N t

N t r t N t

cN t ττ

--

=

--

is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature.

Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity

摘要...............................................................................................................................I Abstract ...........................................................................................................................I 目录............................................................................................................................. II 第1章引言 (1)

第2章微分方程平衡点及稳定性分析 (3)

2.1 平衡点及稳定性定义 (3)

2.2 自治系统零解的稳定性 (4)

2.2.1 V函数 (4)

2.2.2 Liapunov稳定性定理 (5)

2.3 非自治系统的稳定性 (8)

2.3.1 V函数和k类函数 (8)

2.3.2 零解的稳定性 (10)

2.4 判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法 (14)

2.4.1 相关定义 (14)

2.4.2 判定平衡点稳定性的方法 (14)

2.5 判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法 (15)

2.5.1 相关定义 (15)

2.5.2 判定平衡点稳定性的方法 (15)

第3章一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性 (17)

3.1 差分方程(3-7)的全局渐近稳定性 (17)

3.2 微分方程(3-1)的全局吸引性 (19)

第4章常微分方程稳定性的一个应用 (23)

第5章结论 (25)

参考文献 (27)

致谢 (29)

第1章引言

20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学（如物理化学生物天文）和社会科学（如工程经济军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。稳定性模型不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。

20世纪50～60年代，在美国贝尔曼(R．Bellman)、莱夫谢茨(S．Lefschetz)及拉萨尔(J．P．LaSalle)等的大力介绍和推动下，稳定理论在世界范围内迅速发展起来。在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡下，形成一支可观的研究队伍。

叶鲁金等研究李雅普诺夫第1方法中一次近似系统特征数与稳定性保持问

题的关系，并进一步探讨特征数的性质与计算等。50年代马尔金提出特征数的稳定性问题，贝洛夫等则研究了最大、最小特征数的上、下稳定性和特征数的重合等问题。

对于李雅普诺夫第2方法，切塔也夫等研究李雅普诺夫稳定性条件。提出了一致稳定性等概念，建立了著名的切塔也夫不稳定定理。同时研究了李雅普诺夫稳定性条件的必要性。通过分类并应用微分方程的解构造V函数，基本上解决了各种稳定性定理的逆问题。

关于稳定性定理条件的研究，除了个别条件的削弱，例如dv dt定号性的减弱等条件之外，最有名的是向量李雅普诺夫函数和微分不等式比较方法的引入。60年代贝尔曼和马特洛索夫通过向量V函数将微分方程稳定性的研究转化为以V 函数为自变量的另一微分方程的正解的稳定性的研究。

李雅普诺夫定义的稳定性原是局部性质的概念，在实际应用中往往要考虑全相空间的情形。50年代初巴尔巴辛和克拉索夫斯基引进了无限大函数的概念把李雅普诺夫定理推广到全空间，建立了全局稳定性理论。其结果后来广泛应用于自动调节系统、电力系统和生态系统中。

早在60年代，拉萨尔便应用拓朴动力系统的极限集概念建立了“不变性原理”。用李雅普诺夫函数刻划微分方程解的极限集位置。70年代以来，不变性原理用于全局稳定性的各种研究。从力学问题中还提出了部分变元稳定性概念。通过对V函数条件的改进也得到了部分变元稳定性的有关定理。

70年代以来，稳定性理论得到了进一步的发展。除了50～60年代发展起来的控制系统的绝对稳定性、临界情形稳定性、向量李雅普诺夫函数和比较方法等继续得到发展外，在科学技术发展的推动下还提出了若干新的问题和方法。同时，稳定性理论与方法，已广泛地渗透到其他学科中去。

李雅普诺夫方法已不限于研究稳定性问题，也可应用于研究解的有界性、振动性等。吉泽太郎(T．Yoshizawa)曾深入研究概周期微分方程的稳定性、有界性。同时，利用李雅普诺夫函数研究周期解、概周期解的存在性。

李雅普诺夫稳定性理论与方法已渗透到各类学科中去。对动力系统、泛函微分方程、随机微分方程、微分积分方程、含脉冲系统及偏微分方程建立了相应的稳定性理论。李雅普诺夫特征数在浑沌(Chaos)和分形(Fractals)研究中也起着重要作用。今后，稳定性理论将继续在新技术的应用中发挥作用，并在控制理论、偏微分方程、微分积分方程等学科中得到发展。同时，动力系统理论、非线性科学的发展和电子计算机的应用将为稳定性理论的发展开拓新的方向。

第2章 微分方程平衡点及稳定性分析

2.1 平衡点及稳定性定义

初始值的微小变化对不同系统的影响不同。例如初始值问题

dx ax dt

= 0(0)x x = 0t ≥，00x ≥ (2-1) 的解为0()at x t x e =.0x =是(2-1)的一个解，我们称它为零解。当0a >时，无论0x 多小，只要0x 0≠，当t →+∞时，总有()x t →∞，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大；而当0a <时，0()at x t x e =与零解的误差不会超过初始误差0x ，且随着t 的增加很快就会消失，所以当0x 很小时，()x t 与零解的误差也很小。这个例子表明0a >时(2-1)的零解是“不稳定的”，而当0a <时(2-1)的零解是“稳定”的。下面我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。

设微分方程

(,)d t dt

=x f x ，00()t =x x ，n R ∈x (2-2) 满足解的存在惟一性定理的条件，其解00()(,,)t t t =x x x 的存在区间是(,)-∞+∞，(,)t f x 还满足条件

(,)t =00f (2-3)

(2-3)保证()x t =0是(2-2)的解，我们称它为零解。

定义2.1 若对任意给定的0ε>，都能找到0(,)t δδε=，使得当0δ

则称(2-2)的零解是稳定的，否则称(2-2)的零解是不稳定的。 注1 (2-2)零解稳定的意义是对任意给定的半径ε，总能在n R 中找到一个以原点为中心、半径为δ的开球B δ，使得(2-2)在0t t =时刻从B δ出发的解曲线当0t t >时总停留在半径为ε的开球B ε内。

注2 (2-2)的零解不稳定的数学描述是至少存在一个00ε>，使得对任意的0δ>，在开球B δ内至少有一个点0x 和一个时刻10t t >，使得00(,,)t t ε≥x x ．

注3 对(2-2)的任何一个解都可以定义稳定性。事实上，若0

___0()(,,)t t t =x x x 是(2-2)的一个解，为了考察其他解00()(,,)t t t =x x x 和它的接近程度，我们就可以令()())t t t =-y x x _(，带入(2-2)得

__()(,()())(,())d t t t t t t dt

=+-y f y x f x (2-5) 这样一来，(2-2)解_()t x 的稳定性就转化为(2-2)零解的稳定性。所以在本文的讨论中，我们仅研究(2-2)零解的稳定性。

定义2.2 设U 是n R 中包含原点的一个开区域，对所有0U ∈x 和任意给定的0ε>，总能找到一个00(,,)T T t ε=x ，使得当0t t T >+时，有00(,,)t t ε

U 是(2-2)零解的一个吸引域，更简单的描述是对所有0U ∈x ，均有00l i m (,,)t t t →+∞=x x 0.即从U 中出发的解趋于0。

定义2.3 若(2-2)的解释稳定的，又是吸引的，则称(2-2)的零解是渐近稳定的；如果(2-2)的零解的吸引域是整个n R ，则称(2-2)的零解是全局渐近稳定的。

定义2.4 若定义2.1中的δ与0t 无关，则称(2-2)的零解是一致稳定的；若定义2.2中的T 与0t 和0x 无关，则称(2-2)的零解是一致吸引的；若(2-2)的零解是一致稳定和一致吸引的，则称(2-2)的零解是一致渐近稳定的。

定义2.5 若有正数α，对任意给定的0ε>，有0δ>，使得当0δ

0()00(,,)t t t t e αε--

则称(2-2)的零解是指数渐近稳定的。

2.2 自治系统零解的稳定性

前面给出了微分方程稳定性的概念，并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求出其解析解，这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性，Liapunov 直接方法就是解决这一问题的有效途径。这一节中我们先引入V 函数的定义，然后再给出Liapunov 稳定性定理。

2.2.1 V 函数

设函数()V x 在n R 中原点的某邻域U 中有定义，()V x 在U 中连续可微，且满足()0V =0。

定义2.6 若除原点外对所有U ∈x 均有()0(()0)V V >

例如，222123

()V x x x =++x 是3R 中的正定函数，2212()V x x =+x 是3R 中的半正

定函数，而2212()V x x =-x 是3R 中的变号函数。

由定义2.6看出，()V x 正定时必是半正定的。另外正定和半正定与空间的维

数和邻域U 的大小有关。例如2212()V x x =+x 是2R 中的正定函数，而它在3R 中仅

是半正定的。利用化为极坐标的方法可以看出，函数22441212

()V x x x x =++-x 在2R 中的区域221212

x x +<中是正定函数，而在22122x x +<中却不是正定函数。 最常用的V 函数是二次型()V A τ=x x x ，因为二次型的表达式简单，其符号类型可以利用线性代数中有关A 的特征值理论来判定，且一些复杂的V 函数往往可以通过对二次型的修改得到。

一般V 函数的符号判断十分困难，通常是把()V x 在原点展开为Taylor 级数

1()()()m m V V V +=++?x x x

其中()m V x ，1()m V +x 分别是x 的m 次、1m +次齐次函数，根据()V x 展开式中的最低次项，在许多情况下就可以确定()V x 在原点邻域内的符号。

对正定函数()V x ，容易证明当0c >充分小时，()V c =x 是n R 中包围原点的闭曲面，且随着c 趋于零，()V c =x 缩向坐标原点。事实上，由正定函数的定义可知，在U 内的闭曲面δ=x 上，()V x 有正的下界ε，当0c ε<<时，在连接原点与δ=x 任一点的任一条连续曲线的线段上至少有一点0x ，使0()V c =x ，所以()V c =x 是包围原点的闭曲面。

2.2.2 Liapunov 稳定性定理

设n 维自治微分方程

(),()d dt

==x f x f 00 (2-6) 的解为12((),(),,())n x t x t x t τx 。为了研究(2-6)解的稳定性，考察随时间变化时

(())V t x 的变化情况。将(())V t x 视为t 的复合函数，关于t 求导得 1212(())n n dx dx dx dV t V V V dt x dt x dt

x dt ???=+++???x 1()()()n k k k V f V x ??=?==?∑x x x (2-7) (2-7)为函数()V x 沿着(2-7)轨线的全导数。

定理2.1 若有原点的邻域U 和一个正定(负定)函数()V x ，使得()V ?

x 是半负定(半正定)的，则系统(2-6)的零解是稳定的；且使得()V ?x 负定(正定)时， (2-6)的零解是渐近稳定的。

定理2.1的几何意义是函数()V x 正定时，()V c =x 是包围原点的闭曲面族，且随着c 的减少而缩向原点。当全导数()V ?x 半负定时，在0t t =时过0x 的轨线()t =x x 上，(())V t x 的值不会增加，(2-6)的轨线只能停留在0()()V V =x x 内，所

以原点是稳定的。当()V ?x 负定时，原点邻域内(2-6)的轨线不断跑向闭曲面族()V c =x 中更小的一个闭曲面，最终趋于原点，所以(2-6)的零解是渐近稳定的。该几何意义也正是我们证明定理2.1的基本思想。

证 设()V x 正定，对任意给定的0ε>(不妨假设闭球{},B εε=≤x x 在U 中)，取

min ()0m V ε

==>x x ， 则当l m <时，()V l ，使得当δ

当()V ?

x 负定时，(2-6)的零解稳定，只要lim ()t t →+∞=x 0，即可证明(2-6)的零解渐近稳定。利用反证法，设(2-6)的零解不是渐近稳定的，则至少有一个从上述原点的δ邻域内某点出发的解_()t x ，使得_lim ()t t →+∞

≠x 0。由于()V ?x 负定，故_(())V t x 单调下降，从而由V 的正定性知必有_*

lim (())0t V t V →+∞=>x ，且0t t ≥时_

*(())V t V ≥x 。由()V x 的连续性知，必存在0ηε<<，使得0t t ≥时()t η>x 。

又由于()V ?x 是负定的，必有0α>，在区域ηε<

<-

_(())dV t dt α<-x ， 0t t ≥ (2-8) 对(2-8)式两边积分得

__0(())()()V t V t t α≤--x x (2-9)

(2-9)表明_lim (())t V t →+∞=-∞x ，这与_*(())0V t V ≥>x 矛盾。故(2-6)的零解是渐近稳定的。

例2.1 讨论系统022=++x dt dx dt x d 零解的稳定性

解 令dt dx x 1

2=，将该方程化为等价的微分方程组

12212dx x dt dx x x dt

?=????=--?? (2-10) 令()22121122,322V x x x x x x =++，显然()12,V x x 是正定函数，容易求得()12,V x x 沿

(2-10)轨线的全导数为()()221212,2V x x x x ?

=-+，它是负定函数，由定理2.1知该系统的零解是渐近稳定的。

应当注意，如果取()()2212121,2

V x x x x =+，那么，所求得的()2122,V x x x ?=-， ()12,V x x ?是半负定的，由定理2.1只能得到(2-10)的零解稳定这一结论，得不到渐近稳定性。这表明构造适当的V 函数是非常重要的。当一个系统的零解事实上是渐近稳定时，我们有可能构造出V 函数用定理2.1来证明零解是渐近稳定的。也可能所构造出V 函数仅能证明零解是稳定的，也可能构造不出V 函数，连零解的稳定性也无法得到。

例2.1也提示我们在证明零解渐近稳定时，()V ?x 负定这一条件有可能再补充其他条件后削弱为半负定，这就是下面的定理2.2，它降低了()V ?x 负定这一条件，给出了判定渐近稳定性的又一结果。

定理2.2 设在原点的邻域U 内存在正定函数1，它沿着(2-6)轨线的全导数()V ?x 是半负定的，如果集合

(){}

|M V ?==x x 0 内除原点=x 0外，不在包含系统的其他轨线，则(2-6)的零解是渐近稳定的。

证 由定理2.1知，在定理2.2的条件下(2-6)的零解是稳定的。于是对给定的00ε>(不妨假设{}0|B εε=≤x x 含在U 内)，可以找到0δ>

，使得0δ≤x 时，(2-6)满足00()t =x x 的解00()(,,)t t t =x x x ；当0t t ≥时满0()t ε

()()*lim 0t V t V →+∞=≥x

由于()00,,t t x x

的正半轨有界，故它的ω极限0

x Ω非空，若0x ?∈Ωx ，则()*V V ?=x ， ()

0V ?=x .这表明M ∈x ，从而有0

x M Ω?。由于0x Ω是由(2-6)的整条轨线组成，而在M 中除=x 0外不再包含(2-6)的其他轨线，故有{}0

x Ω=0。于是有

()00lim ,,t t t →+∞=x x 0。零解的渐近稳定性得证。

例2.2 讨论非线性振动系统

()()12212dx x dt dx f x g x dt

?=????=--?? (2-11) 零解的渐近稳定性。其中()f x 和()g x 都是连续函数，且满足下列条件

(1) ()()()11100,00f x f x x =>≠，

(2) ()()()22200,00g x g x x =>≠

解 选取()121221101(,)2

x V x x x f x dx =+?，由条件(1)知，12(,)V x x 是正定函数。计算12(,)V x x 沿着(2-11)的轨线的全导数得()1222(,)V x x x g x ?=-.由(2)知12(,)V x x ?是半负定的。又因为集合

(){}

(){}1212122,|(,)0,|0M x x V x x x x x ?==== 由(2-11)可见20x =时，满足方程组的解必有10x =，从而集合M 内除(0,0)外不再包含(2-11)的其他轨线，所以(2-11)的零解是渐近稳定的。

2.3 非自治系统的稳定性

这一节研究非自治系统 ()(),,,d t t dt

==x f x f 00 (2-12) 零解的稳定性问题，将建立与上一节类似的定理。

2.3.1 V 函数和k 类函数

设[0,)t +∞I =，U 是n R 中包含闭球{}|h B h =≤x x 的一个邻域，(),V t x 是I U ?上定义的连续可微函数，()W x 是U 上定义的连续可微函数。

定义2.7 若有正定(负定)函数()W x ，使得

()()(,)(),()V t W V t W ≥≤x x x x

在I U ?上成立，且(),0V t =0，则称(),V t x 是I U ?上的正定(负定)函数。若()()(),0,0V t V t ≥≤x x ，则称(),V t x 是半正定函数(半负定函数)。

注:分析定理2.1的证明过程，不难发现，正定(负定)函数下述性质是证明的关键所在，即η≥x 时， ()0V l ≥>x (η≥x 时()0V l ≤-≠x x ，则上述性质不一定能保持。

例如()()221212,,t V t x x e x x -=+。

这就是为什么要通过()V x 的正定性来定义(),V t x

正定的原因。

例如()()()22

1212,,1t V t x x e x x -=++是2I R ?的正定函数，而()12,,V t x x =()22

12t e x x -+仅是半正定函数。

定义2.8 若()W x 是n R 的正定函数，且lim ()x W →+∞

=+∞x ，则称()W x 是n R 上

的无穷大正定函数。

定义2.9 若有正定函数()1W x ，使得()()1,V t W ≤x x ，则称(),V t x 具有无穷小上界；若有无穷大正定函数()2W x ，使得()()2,V t W ≥x x ，则称(),V t x 具有无穷大下界。

例如对()()()22

1212,,1t V t x x e x x -=++，可以取()()()2211212,1t W x x e x x -=++，

()()()22

11212,1t W x x e x x -=++，所以有()()()21212112,,,,W x x V t x x W x

x ≤

≤，即()12,,V t x x 是具有无穷小上界和无穷大下界的函数。

函数(),V t x 具有无穷小上界的特征是当(),0V t l ≥>x 时，必有正数δ，使得

δ>x ，即x 充分小时， (),V t x 可以充分小。当()(),V t V ≡x x 时，这就等价于()0V =0，()V x 连续。由此不难理解引入无穷小上界的原因。而(),V t x 具有无穷大下界的特征是当x 充分大时，(),V t x 可以任意大。

定义2.10 设()r ?是R R ++→的连续函数{}()|0R r r +=≥，且()00?=，()r ?严格单调递增，则称()r ?是k 类函数，记为()r K ?∈。若()r ?还满足

()l i m r r ?→∞

=∞，则称()r ?为无穷大k 类函数。

k 类函数与正定函数、有无穷小上界的函数和有无穷大下界函数之间有着十

分密切的关系。

引理2.1 (1) ()W x 是正定函数的充分必要条件是有()1r ?，()2r K ?∈，使得

()()()12W ??≤≤x x x (2-13)

(2) 若有()1r K ?∈，使得()()1,V t ?≥x x ，则(),V t x 必是正定函数，反之亦真；

(3) 若有()2r K ?∈，使得()()2,V t ?≤x x ，则(),V t x 具有无穷小下界，反之亦真；

(4)若有无穷大k 类函数()r ?，使得()(),V t ?≥x x ，则(),V t x 是具有无穷大下界的函数，反之亦真。

证 由于引理2.1的(2)~(4)又可以从定义和引理2.1的(1)直接推出，故在此

仅证明(1)。

若有()1r ?，()2r K ?∈，使得(2-13)成立，则显然有()00W =和

()()00W >≠x x ，故()W x 为正定函数，充分性得证。反过来，若()W x 是正定函数，则可以定义函数()()1min r h

r

r W h ?≤≤=

x x ，由()W x 的正定性和连续性知，()1r ?连续，()100?=，且0r >时，()10r ?>.又当0h <≤x 时，

(

)()()()1min min h h

x

W W W h ?≤≤≤≤=≤≤x y x y x y y x

当120r r <<时，

()()()()122112111min

min min ()

r h r h r h r r r

r W W W r h h h ??≤≤≤≤≤≤=≤<=x x x x x x

这表明1()r ?是严格单调递增的函数，且满足()()1W ?≤x x .同理可定义

()2()max r

r W r ?≤=+x x .

按前面类似的过程可以验证2()r ?是满足()()2W ?≥x x 的k 类函数。所以(2-13)式成立，必要性得证。

2.3.2 零解的稳定性

设(,)V t x 是I U ?上定义的连续可微函数，00()(,,)t t t =x x x 是(2-12)的解。定义(,)V t x 沿着(2-12)解的全导数为

1(,)(,)(,)

(,)(,)n k k k

dV t V t V t f t V t dt t x ??=??=+=??∑x x x x x 利用前面给出的一些定义，可以得到下面关于零解稳定性的定理。

定理2.5 (1) 若有正定函数(,)V t x ，使得(,)V t ?

x 半负定，则(2-12)的零解稳定； (2) 若(,)V t x 正定且有无穷小上界，(,)V t ?

x 半负定，则(2-12)的零解一致渐近稳定。

证 定理2.5证明思路是利用k 类函数的性质:当()()r ??ε<时必定有r ε<.其证明过程就是利用k 类函数的这些性质对任意给出的ε寻找满足相应稳定性定义的δ，而给出δ时要反复利用引理3.1中V 函数与k 类函数的关系。

(1) 由于(,)V t x 是正定函数，由引理 2.1得，有k 类函数1()r ?，使得1(,)()

V t ?≥x x .0ε?>(h ε<)，1()0?ε>，由0(,)0V t =0及(,)V t x 的连续性知，必有0(,)0t δδε=>，使得当0

δ

01(,)()V t ?ε

≤x ，故当

0t t ≥时有

0000001((,,))(,(,,))(,)()t t V t t t V t ??ε≤≤

由k 类函数的单调性知，00(,,)t t ε

(2) 当(,)V t x 是具有无穷小上界的正定函数时，由引理2.1知，必有k 类函数

1()r ?和2()r ?，使12()(,)()V t ??≤≤x x x

0ε?>，取1

21(())0δ??ε-=>，当0

δ

时，由(,)0V t ?

≤x 得

00010000221211((,,))(,(,,))(,)

()()(())()

t t V t t t V t ???δ??ε?ε-≤≤≤≤==x x x x x x

由k 类函数的单调性知，00(,,)t t ε≤x x .故(2-12)的零解是一致稳定的。

(3)当(,)V t x 正定，且有无穷小上界，(,)V t ?

x 负定时，由(2)知，(2-12)的零解一致稳定，下面仅证明(2-12)的零解一致吸引。由引理2.1知，必有k 类函数1()r ?，

2()r ?和3()r ?，使得

12()(,)()V t ??≤≤x x x (2-14)

3(,)()V t ??

≤-x x

对任意给定的0ε>(2

h ε<)，0δ?>

，使得当0δ

t t ≥有

0(,,)2h

t t ε<

21()322(())

h dv

T v ??ε??-=?.由于2h ε<，故1220()()()2h ?ε?ε?<≤<，且当12()()2

h v ?ε?≤≤时， 132(())0v ??->，所以T 是一个有限正数。由于

()

(

)()()

()

()

()

(

)()()

0000

0301

0320dV ,,,,,,,,V ,,,t t t V

t t t dt

t t t t t ????

-=≤-≤-x x x x x x x x

对上式两边积分得

0000(,(,,))

01

(,)

32()(())

V t t t V t dv

t t v ??-≤--?

x x x

即

0000(,)

01(,(,,))

32()(())

V t V t t t dv

t t v ??--≤?

x x x (2-15)

再由132(())v ??-的非负性和(2-14)，(2-15)得

02010()

01

((,,))

32()(())

t t dv

t t v ????--≤?

x x x (2-16）

所以当0δ≤x ，0t t T ->时，由(2-16)得

220110()

()221

1

()

((,,))

32322(())

(())

h h t t dv

dv

v v ???ε?????--≤?

?

x x

120101()

()

21

1

((,,))

()

3232(())

(())

h t t dv

dv

v v ?ε???ε????--=+?

?

x x (2-17)

120

101()

()

21

1

((,,))

()

32320(())

(())

h t t dv

dv

v v ?ε??

?ε????--≥>??

x x

由0v >得132(())0v ??->，再由上式得

0110()((,,))t t ?ε?>x x ，

最后由1()r ?的单调性知，00(,,)t t ε

例2.3 讨论方程

()12

221

2sin dx x dt

dx x t x

dt

?

=???

?=--+?? (2-18) 零解的稳定性。

解 取()222

121

,,2sin x V t x x x t

=++

()12,,V t x x 沿(2-18)解的全导数为()()

2

122

2

42sin cos ,,02sin t t

V t x x x t ?

++=-≤+。

因为()2222

1

1212,,3

x x V t x x x x +≤≤+，所以，()12,,V t x x 是具有无限小上界的正定函

数，()12,,V t x x ?

半负定，由定理2.5知，(2-18)的零解是一致稳定的。

例2.4 讨论

21

12

212

t dx x e x dt

dx x x

dt

-?=--???

?=-?? (2-19) 零解的稳定性。

解 取()()222

1212,,1t V t x x x e x -=++，显然有()()

022*********,,1t x x V t x x x e x -+≤≤++。所

以()12,,V t x x 是具有无限小上界的正定函数，又因为

()()()()()

222

12112222

11222

221212,,2122t V t x x x x x e x x x x x x x x x ?

-??=--++??

≤--+=-+--

即()12,,V t x x ?

是负定的，所以由定理2.5知，(2-19)的零解是一致渐近稳定的。

例2.5 讨论系统-2(-1)(2-1)-2dx

x x x dt

dy y dt ?=????=??的平衡点及其稳定性

解:根据定义平衡点为123

1

(0,0),(1,0),(,0)2

P P P 。 1.间接法:用Mathematica 数学软件的Dsolve 求解功能解出系统的两组解

为:

1112212-212-4--4()

2(-4)()c c t t t c t t e e e e e x t e e y t C e

?=??

?=? 1112222-222

-4--4()

2(-4)()c c t t t c t t e e e e e x t e e y t C e ?=??

?=? 再用Mathematica 数学软件的Limit 求极限讨论系统解的变化趋势，可以得出，当t →+∞时，系统的解1122()0,()0,()1,()0x t y t x t y t →→→→，所以

1(0,0),P 2

(1,0)P 为系统的稳定的平衡点，31

(,0)2

P 为系统的不稳定的平衡点 2.直接法:根据上面的讨论，研究系统在平衡点处的线性近似方程，有: 在点1(0,0)P 处，系统的线性近似方程的系数矩阵为:

1-20,4,40-2A p q ??

=== ???

故1(0,0)P 是系统的稳定的平衡点；

在点2(1,0)P 处，系统的线性近似方程的系数矩阵为:

2-20,4,40-2A p q ??

=== ???

故2(1,0)P 是系统的稳定的平衡点；

在点31

(,0)2

P 处，系统的线性近似方程的系数矩阵为:

310,1,20-2A p q ??===- ???

故31

(,0)2

P 是系统的不稳定的平衡点。

2.4 判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法

2.4.1 相关定义

定义2.11 右端不显含自变量的微分方程称为自治方程（自治系统） 在这里我们仅讨论右端不显含自变量的一阶微分方程形如

()()x t f x ?

= (2-20)

定义2.12 代数方程()0f x =的实根0x x =称为微分方程(2-20)的平衡点。 定义 2.13 从0x 某邻域的任意值出发，使方程(2-20)中的解()x t 满足

0li m ()t x t x →∞

=，则称0x 是渐近稳定的，否则是不稳定的。

2.4.2 判定平衡点稳定性的方法

1.间接法: 从0x 某邻域的任意值出发，使方程(2-20)中的解()x t 满足

0lim ()t x t x →∞

=，则称0x 是渐近稳定的，否则是不稳定的。这样的判断方法称为间

接法；

2.直接法:不求方程式(2-20)的解()x t 的方法，成为直接法。方法:将()f x 在0

x 处作泰勒展开，只取一次项，有微分方程(2-20)可近似为

00()'()(-)x t f x x x = (2-21)

称为(2-20)的近似线性方程0x 也是(2-21)的平衡点， (2-21)式的解为

0'()0()f x t x t x Ce =+ (2-22)

因为,'()000lim (),'()00x f x x t f x t →∞??

，所以有下列定理

定理2.6 关于方程(2-20)的平衡点的稳定性，有如下结论: 1.若'

()0f x <，则0x 称为方程(2-21)和(2-22)的稳定的平衡点 2.若'()0f x >，则0x 称为方程(2-20)和(2-22)的不稳定的平衡点 例2.6 讨论Logistic 模型的平衡点的稳定性 解:

1.间接法:根据定义2，Logistic 模型的两个平衡点为:0x =，m x x =，模型的解为:-()1(1)m

rt

m

x x t x

e x =

+-，则根据定义2.13，当t →+∞时，总有()m x t x →，

则平衡点m x x =是稳定的平衡点，平衡点0x =是不稳定的平衡点

2.直接法: ()(1-

)m x f x r x x =，则有2'()(1-)m

x

f x r x =，则0'()0x f x r ==>，则根据定理2.6，0x =是不稳定的平衡点；'()

0,m

m x x f x r x x ==<=是稳定的平衡点

分析:从平衡点的稳定性来看，随着时间的推移，人口的增长在m x x =处趋于稳定，也就是人口达到了自然资源和环境条件所容纳的最大人口数量m x .符合Logistic 模型的假设

2.5 判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法

2.5.1 相关定义

定义2.14 右端不显含自变量的微分方程组

()(,)

()(,)

x t f x y y t g x y ?

?

?=???=? (2-23) 是二阶自治方程（系统），二阶方程可以表示为两个一阶方程组

定义 2.15 代数方程组(,)0

(,)0f x y g x y =??=?的实根00,x x y y ==组成的点000(,)p x y 称

为自治系统(2-23)的平衡点或奇点。

定义 2.16 对于自治系统(2-23)的平衡点000(,)P x y 若以所有可能的初始条件出发的解(),()x t y t ，满足00t t lim x(t)=x ,lim y(t)=y →∞

→∞

，则称平衡点0p 稳定；否则称0p 不

稳定。

2.5.2 判定平衡点稳定性的方法

为了用直接法讨论系统(2-23)平衡点的稳定性，要先研究线性常系数微分方程组

()()x t ax by

y t cx dy

?

?

?=+???=+? (2-24) 的平衡点及其稳定性。000(,)P x y 是(2-24)式的唯一的平衡点，它的特征方程是

det (-)0I A λ=，则(2-24)式的特征根为21,2(- -4)

2p p q λ±=，(2-24)式的一般

解的形式为12t t 1212c e +c e ()λλλλ≠或12t t 1212c e +c e ()λλλλ=，所以根据稳定性的定义2.16可得下列定理

定理2.7:关于(2-24)的平衡点的稳定性，有如下结论: 1.若0p >且0q >，则(2-24)式的平衡点(0,0)P 稳定； 2.若0p <或0q <，则(2-24)式的平衡点(0,0)P 不稳定；

那么对于系统(2-23)式平衡点000(,)P x y 的稳定性，也是用线性近似方法来判

断，将(,),(,)f x y g x y 在点000(,)P x y 处作泰勒展开，只取一次项，得(2-23)在

000(,)P x y 的线性近似方程为:

.

0000.

0000()(,)(,)()(,)(,)x y x y x t f x y x f x y y

y t g x y x g x y y ?=+???=+?

(2-25) 微分方程(2-25)的讨论跟(2-24)是一样的，并且有下列的结论成立 :在非临界的情况下（即,0p q ≠），(2-23)平衡点000(,)P x y 的稳定性与(2-24)式平衡点000(,)P x y 的稳定性相同，而在临界的条件下（,0p q =）

，二者可以不一致，比如说，线性近似方程的平衡点为中心时，要用其它的方法来判断(2-23)平衡点的稳定性。

第3章 一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性

考虑单种群增长模型———一阶非线性时滞微分方程

()()()

()

()

11N t N t r t N t cN t ττ?

--=-- (3-1)

及初始条件

()(),0N t t t φτ=-≤≤ (3-2)

其中

()[)[)()()[]()[)()

1110,,0,,,0,0,0,0,1,0,c r t c t c c c e c φτφτ--??

??∈∞∞∈- ? ?

???

?<∈∈∞ (3-3) 方程(3-3)详细的生物学意义和研究该方程的实际作用[]7

。

当0c =时，方程(1)退化为下述著名的Logistic 微分模型

()()()().

1N t r t N t N t τ=--???? (3-4)

方程(3-4)解的各种性态已被广泛研究[]

16-。

Kuang ，Zhang 和Zhao 研究了方程(3-1)和(3-2)解的有界性和全局吸引性[]7，

证明了:

如果

()0

r d θθ∞

=∞? (3-5)

且存在0δ>和0T >使得

()1,t

t r d ce δτ

θθδ-

≤≤-?t T ≥ (3-6)

则(3-1)与(3-2)的每个整体解(存在区间为[0，∞))趋向1。

在此首先研究与方程(3-1)相关的一个差分方程

11exp 1n n n x X x αβ+??

-= ?-??

0,1,2..

n = (3-7) 的平衡点1x =的全局渐近稳定性，其中

()()010,,0,1,0,

x αββ?

?

∈∞∈∈ ??

?

(3-8) 然后应用于方程(3-1)，获得其平衡点1N =全局吸引(即所有解趋向1)的充分条件，该条件改进了(3-6)式。

3.1 差分方程(3-7)的全局渐近稳定性

引理3.1 假设条件(3-8)成立，

1αβ+≤ (3-9)

则方程(3-7)有唯一平衡点1x =。

引理3.2 假设条件(3-8)和(3-9)成立，定义映射

()1exp 1x g x x αβ??

-= ?-??

(3-10)

则映射g 将区间1(0,)β映为1

(0,)β。

引理3.1、3.2容易直接验证，详细证明略。

引理 3.3 假设条件(3-8)和(3-9)成立，则方程(3-7)的平衡点1x =是局部渐近稳定的。

证 方程(3-7)在平衡点1x =处线性化方程为11n n Y Y αβ+=

-，当11

α

β=- 时，由线性化稳定性理论知方程(3-7)的平衡点1x =是局部渐近稳定的[8 1.3.1]，推论，当

11

α

β=-时，g(x)在1x =处的Schwarzian 导数 ()()()()()2

1

'''''31

0'2'2

x g x g x sg x g x g x =??

=-=-< ? ???

是渐近稳定的，(3-7)的平衡点1x =亦是局部渐近稳定的[]1709,P

，证毕。

引理3.4 假设

(i) f 将某个区间 I 映到自身； (ii) x 是f 在I 上唯一不动点； (iii) 在I 上f 的Schwarzian 导数为负； (iv) f 在I 上单调递减。 如果差分方程

()1n n x f x += (3-11)

的平衡点x 是局部渐近稳定的，则x 也是全局渐近稳定的[]8

。

定理3.1 假设条件(3-8)和(3-9)成立，则方程(3-7)的平衡点1x =在区间1

(0,)

β

上是全局渐近稳定的。

证 设映射g 如(3-10)式所令，只需验证g 在区间1

(0,)β

上的Schwarzian

导数为负，事实上，对于任一010,x β??

∈ ???

，g(x)的Schwarzian 导数为

()()()()()()()2

22

4'''''1310'2'21g x g x sg x g x g x x αββ??

??-=-=-< ? ? ? ?-????