管理运筹学基础(邓又华)

管理运筹学自学指导

一、课程性质、目的和任务

运筹学是一门广泛应用现有的科学技术知识和数学工具，以定性与定量相结合的方法研究和解决管理、经济和工程技术中提出的实际问题，为决策者选择最优决策提供定量依据的一门决策科学。运筹学的理论内容丰富，他的时间背景和应用范围涉及到工业、农业、军事、经济管理科学、计算机科学等领域，它具有鲜明的实践性和经济性，许多问题的解决丰富了数学理论和方法的发现，甚至产生了应用数学的多个新的分支。

开设本课程的目的是让学生熟悉一些运筹学的基本模型及其求解原理、方法技巧，掌握运筹学整体优化的思想和若干定量分析的优化技术，从而使学生正确应用各类模型分析、解决不十分复杂的实际问题。

二、学习基本要求

1、要求正确理解运筹学方法论，掌握运筹学整体优化思想。

2、掌握线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等基本模型的功能和特点，熟悉其建模条件、步骤及相应的技巧，能根据实际背景抽象出适当的运筹学模型。

3、熟练掌握各种模型特别是确定性模型的求解方法，并能对求解结果作简单分析。

4、掌握与基本模型有关的基本概念及基本原理，做到思路清晰、概念明确。

5、具有初步运用运筹学思想和方法分析、解决实际问题的能力和创新思维与应用能力。

三、考核方式

开卷笔试。总成绩中，期末考试成绩占70%，平时成绩占30%（平时成绩由面授出勤率、学习表现和作业等评定）。

四、作业（注意：作业写在A4纸上，于期末考试前交给班长。）

P8 习题1、5、6（1）

P31 习题1、（只要求用单纯形法解第一章习题1）

P95 习题1、（只要求用最小元素法求解）2 .

绪言

一．运筹学定义：

运筹学是一种科学决策的方法；

运筹学是依据给定目标和条件从众多方案中选择最优方案的最优化技术；

运筹学是一门寻求在给定资源条件下，如何设计和运行一个系统的科学决策的方法。

运筹学就是专门研究对各种经营做出优化决策的科学。也称为最优化理论。运筹学常用的数学方法是：

（1）建立一个数学模型来表示研究中的系统（即建模）；

（2）由模型导出一个解；

（3）检验模型及由此导出的解；

（4）确立对解的控制；

（5）实施。

二．运筹学模型：

1．在建立模型的过程中，需要对被研究系统进行深入细致的分析，可增加人们对系统的理解和把握；

2．模型可以更全面的描述一个复杂的系统，并揭示系统的一些其他方法不可能发现其内在联系；

3．利用模型，人们可以对系统进行多种试验分析，而这种分析是不可能利用实际系统完成的。

三．运筹学分析的主要步骤：

第一章线性规划基础

基本要求：

1、初步掌握建立线性规划模型方法；

2、掌握线性规划模型特征；如何化线性规划模型为标准型；

3、掌握两个变量线性规划问题的图解法；

重点：线性规划数学模型的标准化，线性规划的图解法。

重点掌握：将一般的线性规划模型化为标准的线性规划模型，即1．目标函数为求最大值：maxＺ＝ＣＸ；

2．约束条件方程为等式：“＝”；

3．所有变量都是非负变量：x j≥０，j＝１，２，…，n；

4．约束条件方程右边的常数非负：b i≥0，i＝１，２，…，m。

一．线性规划模型：

线性规划实质上是解决稀缺资源在有竞争的使用方向中如何进行最优分配的问题。这类最优分配问题大部分是从经营管理中引出的，例如：产品的最优组合，生产排序，最优投资方案，人力资源分配等。在这类问题中，一个共性的问题是一些稀缺或有限的资源必须被分配到一些指定的生产活动中去，而这些资源是使用会伴随着费用或效益的发生。

举例：生产计划问题；

例1胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元，椅子售价30元，生产桌子和椅子需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？

解：1.确定决策变量：可定义：X1=生产桌子的数量，X2=生产椅子的数量。

2.确定目标函数：目标函数决定线性规划问题的优化方向，

Max Z=50 X1+30 X2

3.确定约束方程：一个正确的模型应通过约束方程来反映这些客观条件的

限制。

本例中的约束条件是每月可用的木工和油漆工的工时分别不能超过

120小时和50小时。这两个条件由以下方程表示：

4 X 1+3 X 2 ≤120

2 X 1+ X 2 ≤50

4.变量取值限制：一般情况下，决策变量只取正值（非负值）。因此模型

中应有变量的非负约束。本例中，非负约束为X 1 ≥ 0 ，X 2 ≥ 0 。

将以上几部分结合起来就得到反映家具厂经营活动的完整的数学模型：

Max Z=50 X 1+30 X 2

S ．t ． 4 X 1+3 X 2 ≤120

2 X 1+ X 2 ≤50 X 1 ≥ 0 ，X 2 ≥ 0；

下面从数学的角度来归纳线性规划的模型特点：

（1） 每一个问题都有一组变量——称之为决策变量，一般记为1x ，2x …n x 。

对决策变量的每一组值：T

n x x x ),,()0()0(2)0(1 代表了一种决策方案。通常要求决策

变量取值非负，即0≥j x （j =1，2，…n ）.

（2）每个问题都有决策变量须满足的一组约束条件——线性的等式或不等式。 （3）每个问题都有一个关于决策变量的线性函数——称为目标函数，要求这个目标函数在满足约束条件下实现最大或最小化。

我们将约束条件及目标函数都是决策变量的线性函数的规划问题称之为线性规划。其一般模型为

n n x c x c x c z +++= 2211max(min)（目标函数，或实现最大化，或实现最小化） s.t ?????

????≥≥=≤++≥=≤++≥=≤++0,,),(),(),(21221

12222212111212111n m

n mn m m n n n n x x x b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

s.t 是subject to 的英文缩写，它表示“以…为条件”、“假定”、“满足”之意。

另外，通常称目标函数中j x 的系数j c 为价值系数，i b 表示第i 种资源的拥有量。

用∑可将上述模型简化成： ∑==n

j j j x c z 1max(min)

(非负约束) (资源约束)

s.t ??

???=≥=≥=≤∑=)

,1(0),1(),(1

n j x m i b x a j j

n

j j

ij

用向量形式表示时，上述模型可写为：

CX z =max(min)

s.t ?????≥≥=≤∑=0

),(1

X b

x P n

j j

j

式中),,(21n c c c C =，??????? ??=n x x x X 21，??????

? ??=mj j j j a a a P 21，??

??

???

??=m b b b b 21

用矩阵表示为

CX z =max(min)

s.t ??

?≥≥=≤0

),(X b AX

其中

A=??

?

?

?

?

?

??mn m m n n a a a a a a a a a 2

1

22221

11211

称为约束方程组的系数矩阵。 二．线性规划的一般形式

1.由决策变量构成的反应决策者目标的线性目标函数；

2.一组由决策变量的线性等式或不等式构成的约束方程；

3.限制决策变量取值范围的非负约束。 三．线性规划的标准型：

目标函数可以求最大化也可以求最小化；约束类型可以是≤， ≥或＝；变量限制既可非负，也可非正或无限制。

线性规划的标准型规定如下：

max 1122n n z c x c x c x =+++

..s t 1111221121122222

112212,,,0

n n n n m m mn n m

n a x a x a x b a x a x a x b

a x a x a x

b x x x +++=+++=+++=≥

线性规划的标准型要求所有的约束必须为等式约束，所有的变量为非负变量，对目标函数的类型原则上没有硬性规定，求最大化和最小化都可以。规定目标函数最大化为标准型。

四．如何将线性规划问题转化为标准型：

任何一个非标准型的线性规划问题都可以通过适当的变化而转为标准形式。转化方法为：

1． 将最小化的目标函数转化为最大化的目标函数：求一个函数的最小值

等价于求该负函数的最大值，min ()max ()f x f x =-。因此只需要改变目标函数的符号就可以在最大和最小之间转换。

2． 把不等式约束转换为等式约束：可在约束中加入松弛变量或剩余变

量。例如，把小于等于约束1210x x +≤化为标准约束，需引入一松弛变量0s x ≥，标准约束即可写为1210s x x x ++=。将大于等于约束

1210x x +≥化为标准形式，可引入一个剩余变量0s x ≥，约束可改写为120s x x x +-=。

3． 变量取值限制约束的转化：变量的非正约束0i x ≤可通过变量代换改

为非负约束，即令i i y x =-，代入原模型后，新变量i y 即为非负变量。如果变量i x 是自由变量，则可做变量代换：i i i x u v =-，0,0,i i u v ≥≥，代入原模型后，自由变量i x 被两个非负变量i u ，i v 取代。

例2：将下列线性规划模型转变为标准形式：

min 12334x x x -+

..s t

1231231212250

2303500,0

x x x x x x x x x x -+≥+-≤-=≥≤

解：令2x y =-，3x u v =-；并引入松弛变量12s s ，，标准型为：

max 1344x y u v

--++ ..s t

1112111225502330350

0,0,0,0,0,00

x y u v s x y u v s x y x y u v s s ++--=--++=+=≥≥≥≥≥≥≥，

线性规划的基本理论：

1）满足线性规划问题所有约束条件的向量是该问题的可行解。 2）线性规划问题全部可行解的集合构成线性规划问题的可行域。 3）使目标函数达到极值的可行解称为线性规划问题的最优解。

第二章 单纯形法

基本要求：

1、掌握图解法和单纯形法的基本思想和计算步骤，理解线性规划问题的几

何意义。

2、了解线性规划理论依据——几个基本定理、求解线性规划问题基本思路；

3、掌握线性规划模型及其单纯形算法。

4、了解引入工人变量目的；

5、牢固掌握大M 法和两阶段法求解过程、判别什么情况下无解； 重点：会利用单纯形法求解线性规划模型。即单纯形法的计算步骤： 1．确定初始基可行解，建立初始单纯形表；

2．检验各非基变量的检验数σj 是否全部满足σj ≤0，若是，已得最优解，停止计算；否则，转下一步。

3．确定换出与换入变量后，进行迭代，得到一新的单纯形表。重复２、３可求出最优解。

难点：单纯形法的计算步骤。 重点掌握：单纯型法原理 1．单纯型问题的的标准形式： （1） 一般形式

n n x c x c x c z +++= 2211max(min)

s.t ?????

????≥=+

+=++=

++0

,,212

2112

22221211

1212111n m

n mn m m n

n n

n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

(2) ∑记号形式

∑==n

j j j x c z 1

m a x (m i n )

s.t ??

???=≥==∑=)

,1(0),1(1

n j x m i b x a j j

n

j j ij

（3）矩阵形式

CX z =max(min)

s.t ??

?≥=0

X b

AX A=??

?

??

?

?

??mn m m n n a a a a a a a a a 2

1

2222111211

，??????? ??=m b b b b 21，???????

??=n x x x X 21

3.单纯型解的概念：

∑==n

j j j x c z 1m a x （1.1） s.t ?????

=≥==∑=)

,1(0)

,1(1n j x m i b x a j j n j j ij （1.2）

可行解： 满足上述约束条件（1.2）的解

T n x x x X ),,(21 =，

称为线性规划问题的可行解。全部可行解的集合称为可行域。 最优解：使目标函数（1.1）达到最大值的可行解称为最优解。

基：设n m ij a A ?=)(为约束方程组（1.2）得系数矩阵，设（n ?m ）设其秩为m,B 是矩阵A 的一个m ×m 阶的满秩子矩阵，称B 是问题的一个基。不失一般性，设

),(11111m mm m m P P a a a a B =???

??

??=

B 中的每一列向量j P （),1m j =称为基向量。与基向量对应的变量j P 对应的变量j x 称为基变量。LP 中除基变量以外的变量称为非基变量。

基解：在约束方程（1.2）中令非基变量=0的解称为基解。 基可行解：满足变量非负约束条件的基解称为基可行解。

取值无约束

可行基：对应于基可行解的基称为可行基。

例3：找出下述问题单纯型问题的全部基解，指出其中的基可行解，并确定最优解。

Maxz=21x +32x +3x

s.t ??????

?≥=+=++=+0

4

10

255

~15

24

2

1

3

1x x x x x x x x 解：首先1x ，2x ，3x 是基，对应的基解为 3x =5-1x 4x =10-1x -22x 5x =4-2x

令1x =2x =3x =0，得3x =5，4x =10，5x =4。为基可行解。 同理，可求出其它基解及基可行解。 4．单纯形迭代原理：

若从某一基本可行解（今后称之为初始基本可行解）出发，每次总是寻找比上一个更“好”的基本可行解，逐步改善，直至最优。这需要解决以下三个问题：

（1） 如何找到一个初速的基本可行解。

（2） 如何判别当前的基本可行解是否已达到了最有解。

（3） 若当前解不是最优解，如何去寻找一个改善了的基本可行解。 例4 求解线性规划模型

max 125030z x x =+ ..s t

12121243120

250

,0

x x x x x x +≤+≤≥

解：单纯形方法由以下步骤构成： 将原问题转化为标准模型： m a x 125030z x x =+ ..s t

123124123443120250,,,0

x x x x x x x x x x ++=++=≥

寻找初始可行解：通过观察可发现，松弛变量34,x x 对应的单位矩阵可以作为初始可行基。因此，可令34,x x 为基变量；12,x x 为非基变量。将式中的非基变量12,x x 移到等式的右边，可改写为： m a x 125030z x x =+ ..s t

312

412

123412043502,,,0

x x x x x x x x x x =--=--≥

是用非基变量来表示基变量和目标函数的形式，固定非基变量12,x x 的值，基变量34,x x 的值容易求解。

换基迭代：寻找下一个可行解需要进行换基迭代，换基的关键是从非基变量中找一个变量入基。换基后还需满足： 1）新的解仍是基本可行解； 2）目标函数得到改善。 检验数与最优检验：

1） 如果所有的检验数都小于等于零，当前解已是最优解。

2） 如果存在至少一个检验数大于零，且该检验数对应的列向量中至少 有一个正分量，则问题还未达最优。

3） 如果存在至少一个检验数大于零，该检验数对应的列向量的所有分 量都小于零，则不存在有界最优解。 如何寻找初始基本可行解：

1）将所有约束的右边项值调整为大于或等于零：对于右边项为负的约束，约束两边同时乘以1-。

2）对于小于等于型约束，仍引入一个松弛变量。

3）对于大于等于型约束，引入一个剩余变量和一个人工变量。 4）对于等于型约束，引入一个人工变量。

第三章 对偶问题及其对偶单纯形法

基本要求：

1、了解改进单纯形方法的思想；

2、掌握改进单纯形法计算步骤；

3、掌握对偶规则；

4、了解线性对偶理论、影子价格的意义；

5、牢固掌握对偶单纯形法；

重点：线性规划的对偶问题与对偶理论，对偶单纯形法。 难点：对偶单纯形法。 重点掌握：

一、对偶关系对应表

对于给定的线性规划模型根据对偶原理可确定其对偶问题的模型，即：

1．目标函数“min ”化为“max ”。 2．约束条件“≥”化为“≤”。 3．价值系数c j 与常数b j 互换。 例：写出下列问题的对偶问题：

max 123

243z x x x =+- ..s t

1231231231210

43532580,0

x x x x x x x x x x x -+≤-+-=+-≥≥≤

解：min 123

1058w y y y =-+ ..s t 12

312312332

424

2353

y y y y y y y y y -+≥-++≤--=-

二、用对偶单纯形法求解线性规划模型。

1．列出初始单纯形表，检查b 列的数字，若都为非负，检验数为非正，则已得最优解，停止计算。若b 列的数字至少有一个负分量，检验数非正，则转下一步。

2．确定换出与换入变量。

3．按原单纯形法在表中进行迭代运算，得到新的计算表，重复1，2，3可求出最优解。

第四章 整数规划

基本要求:

1、了解割平面法的基本思路；

2、掌握割平面约束的生成、割平面法的求解步骤；

3、了解分枝定界法的基本思路，掌握两个分枝的求法、定界与剪枝的原则，掌握分枝定界法解题过程；

4、掌握0-1型整数规划求解过程；掌握指派问题的匈牙利解法。 重点：分枝定界法求解，定界与剪枝原则。

难点：0-1型整数规划变量的不可行性指标计算。 重点掌握：

1、整数规划是线性规划的特殊情形，求解的基本思路是利用单纯形法或对偶

单纯形法先求出最优解，如果不满足整数约束条件再将问题分枝求解。 2、0-1型整数规划是一种隐枝举法，通过增加过滤条件可以减少运算次数。 一．整数规划的数学模型及特点

要求一部分或全部决策变量必须取整数值的规划问题称为整数规划。 整数规划是线性规划的特殊情形，求解的基本思路是利用单纯形法或对偶单纯形法先求出最优解，如果不满足整数约束条件再将问题分枝求解。 整数规划模型为：

Max(或min)z=

∑=n

j j

j x

c 1

s.t ???

???

?=≥=≥=≤∑=n

j n

j i ij ij x

x x n j x m i b x a ,,,2,10,2,1),(211

整数规划可以分为以下几类：

中部分或全部取整数

1．纯整数规划： 所有决策变量取整数值 2．混合整数规划： 部分决策变量取整数值

3．0—1整数规划：若要求决策变量只能取值0或1的整数规划

例6：某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑公司A i （i=1，2，…5）对新商店B j （1，2，…5）的建造费用的报价（万元）为ij c （i ，j=1,2,…5）,见表5-9。商业公司应当对5家建筑公司怎样分派建筑任务，才能使总的建筑费用最少？

解：这是一标准的指派问题。若设0-1变量

ij x =???0

1

则问题的数学模型为

Min z=411x +812x +…+1054x +655x

s.t ????

?

????======∑∑==5,2,1,1,05,2,115,2,1151

5

1 j i x i x j x ij j ij i ij

第五章 运输问题与指派问题

基本要求：

1、理解运输问题的数学模型的特点，熟练掌握表上作业法，了解产销不平衡运输问题的求解思路和求解方法。

2、掌握用最小元素法求初始基可行解。

当A i 承建B j 时 当A i 不承建B j 时

i,j=1,2, (5)

3、理解指派问题的数学模型的特点，熟练掌握匈牙利法求解指派问题。

重点：运输问题的数学模型，表上作业法；指派问题的数学模型、匈牙利法

难点：闭回路法

重点掌握：用表上作业法求最优解的步骤：

1．用最小元素法确定初始基可行解。

2．用闭回路法求非基变量的检验数，若检验数存在负数，则需要改进。

3．用闭回路调整法进行改进，得到新的基可行解，重复2、3可得最优解。

第八章动态规划

基本要求:

1、了解多阶段决策过程的基本特点，掌握动态规划的基本概念：阶段、状

态、决策、策略、状态转移方程、指标函数和最优化函数、最优策略；

2、了解动态规划的基本理论：最优性定理和最优性原理；

3、掌握动态规划基本思想和基本方程；牢固掌握动态规划的顺序解法和逆

序解法。

重点：动态规划的概念、基本原理及基本方程。

难点：动态规划模型的建立与求解。

重点掌握：概念及最短路问题

动态规划（Dynamic Programming）是20世纪50年代由美国数学家贝尔曼（Richard Bellman）及他的学生们一同建立和发展起来的一种解多阶段决策问题的优化方法。

所谓多阶段决策问题是指一类活动过程。它可按时间或空间把问题分为若干个相互联系的阶段。在每一阶段都要作出选择（决策），这个决策不仅仅决定这一阶段的效益，而且决定下一阶段的初始状态，从而决定整个过程的走向（从而称为动态规划）。每当一阶段的决策一一确定之后，就得到一个决策序列，称为策略。所谓多阶段决策问题就是求一个策略，使各个阶段的效益总和达到最优。

研究的解决多阶段的决策问题的最优化的称之为动态规划的数学方法，仅仅是一种解决问题的思路，而不是一种算法。这一点与线性规划不同。线性规划是一种算法。

下面从一典型的例子去说明动态规划的基本思想与原理：

例7：某地要从A向F地铺设一条输油管道，各点间连线上的数字表示距离。问应选择什么路线，可是总距离最短？

先引入几个符号与概念：

（1） 阶段与阶段变量：先把问题从中间站B ，C ，D ，E 用空间位置分成5个阶段，阶段用阶段变量k 来描述，k=1,表示第一阶段，k=2表示第二阶段，…

（2） 状态与状态变量：每一阶段的左端点（初始条件）集合称为本阶段的状态（即开始的客观条件，或称阶段初态）。如第三阶段有四个状态S 3 =｛C 1 ,C 2，C 3，C 4｝, 第四阶段有三个状态 S 4=｛D 1, D 2 , D 3｝, …

描述过程状态的变量称为状态变量：用小写s 1 ,s 2 ,s 3 …表示第一，第二，第三…阶段的状态变量。当处在状态C 2时，我们可记 s 3= C 2

正像离散型R.V “X=2”代表一事件一样。

(3) 决策与决策变量：如当处于C 2状态时，下一步怎么走？如何选择路线？即如何决策。是走向D 1，还是走向D 2？当过程处于某一阶段的某一状态时，可以作出不同的决策（或选择），从而确定下一阶段的状态，这种决定（或选择）叫决策。如选择D 2，记

u 3（C 2）= D 2

说，当处于C 2状态时，下一步的决策为D 2。

其中)(k k s u 表示第k 阶段当状态处于k s 时的决策变量。

一般地，用)(k k s D 表示第k 阶段从状态k s 出发的允许决策集合。如

)(23C D =｛D 1 ，D 2｝ 显然，)(k k s u ∈)(k k s D 。

（4）策略与最优策略：每一阶段产生一个决策，5个阶段的决策就构成一个决策序列：

)(11s u ，)(22s u ，)(33s u ，)(44s u ，)(55s u

称为一策略。所谓策略是指按一定的顺序排列的决策组成的集合，也称决策序列。

这里的最短路径成为最优策略。

动态规划就是在允许策略集中选最优策略。

（5）状态转移方程：是描述由第k 阶段到第k+1阶段状态转移规律的关系式。

1+k s =),(k k k u s T 上例中状态转移方程为： 1+k s =)(k k s u

（6）指标函数与最优指标函数：用于衡量所选定策略优劣的数量指标称为指标函数。相当于动态的目标函数，最后一个阶段的目标函数就是总的目标函数。它分阶段指标函数和过程指标函数。阶段指标函数是指第k 阶段，从状态k s 出发，采用决策k u 时的效益，用),(k k k u s d 表示。最优指标函数是指从第k 阶段状态k s 采用最优策略到过程终止时的最佳效益值，用)(k k s f 表示。

第九章 图与网络分析

基本要求：

1、掌握关于简单图、有向图的基本概念；

2、熟悉通过建立图的模型解决实际问题的方法；了解树的基本性质；

3、掌握求解最小树的方法——避圈法和破圈法；

4、了解任意两点间最短距离的矩阵算法；了解网络流的概念与特点； 重点：关于图论的基本概念及概念之间的相互关系；树的基本性质；最短路问题。 难点：图、连通图的基本概念、最小树的求解方法、用标号法计算网络最大流。 重点掌握：图与树的一些基本概念；利用“破圈法”或“避圈法”求图的一个最小支撑树。

定义：一个图是一个有序二元组（V ，E ），记为G=（V ，E ），其中V={Vi}为点集，E={e k }为边集，V 中的元素u i 叫做顶点，E 中的元素e k 叫做边。

不含环和多重边的图称为简单图，含有多重边的图称为多重图。 每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全图。 无向图：由点和边构成的图，记作G=（V ，E ）。 有向图：由点和弧构成的图，记作D=（V ，A ）。

连通图：对无向图G ，若任何两个不同的点之间至少存在一条链，则G 为连通图。 回路： 若路的第一个点和最后一个点相同，则该路为回路。

赋权图：对一个无向图G 的每一条边(vi,vj)，相应地有一个数wij ，则称图G

为赋权图，wij 称为边(vi,vj)上的权。

网络：在赋权的有向图D 中指定一点，称为发点，指定另一点称为收点，其它点

称为中间点，并把D 中的每一条弧的赋权数称为弧的容量，D 就称为网络。 最短路问题：对一个赋权的有向图D 中的指定的两个点Vs 和Vt 找到一条从 Vs

到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，这条路被称之为从Vs 到Vt 的最短路。这条路上所有弧的权数的总和被称为从Vs 到Vt 的距离。 一、求解最短路的Dijkstra 算法(双标号法） 步骤：

1.给出点V1以标号(0,s)

2.找出已标号的点的集合I ，没标号的点的集合J 以及弧的集合

3.如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt 已标号（lt,kt ），则 vs 到vt 的距离为lt ，而从 vs 到vt 的最短路径，则可以从kt 反向追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs 到vt 的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步。

4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。在所有的 sij 中，找到其值为最小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd ），则给此弧的终点以双标号（scd,c ）,返回步骤2。

例8 求下图v1到v6的最短路

v 2 3

5 2 7 5 3

1 5

1

2

v 1

v 6

v 5

v 3

v 4

解：采用Dijkstra 算法，可解得最短路径为v1，v3，v4，v6 各点的标号图如下：

例8最终解得：

最短路径v1，v3，v5，v6，v7，每点的标号见下图

管理运筹学复习题

一、填空题：

1．风险条件下的决策是指存在一个以上的自然状态，并且决策者具有提供将 概率 值分配到每个可能状态的信息。

2．除图解法外，常用的求解线性规划问题的方法是 单纯形 法

3．某些运输问题会出现数字格的数目小于行数+列数-1的现象，这种现象称为 退化 现象。

4．在线性规划问题中，若存在两个最优解时，必有 相邻的顶点是 最优解。 5．树图中，任意两个顶点间有且仅有 一条链 。

6．称无圈的连通图为树，若图的顶点数为p ，则其边数为 p －1 。

(3,1) 3 5 2 7 5 3 1 5

1

2

v 5

(8,4)

(2,1)

(3,3)

15

17

6

2

4 4

3

10

6

5

(13,3) (22,6)

V 5 (14,3)

V 6

(16,5)

V 3 (10,1)

V 4 (18,5)

7．在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为 可行解 。 8．在线性规划问题中，图解法适合用于处理 变量 为两个的线性规划问题。 9．对偶问题的对偶规划正是 原问题 。

10．在非标准线性规划问题中，如果在约束条件中出现等式约束，增加 人工变量 为了产生初始可行基。

11．库存管理系统中，每当__实际库存量__下降到订货点时，就要订货。 12．线性规划是一种合理利用和分配各种__资源__，并使某个目标达到最优的方法。

二、选择题：

1．下列概念中，不属于线性规划理论中的变量形式的是??D ???： A ．松弛变量 B ．人工变量 C ．决策变量 D ．环境变量

2．在单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中???B ??。

A ．不影响解的可行性

B ．至少有一个基变量的值为负值

C ．找不到出基变量

D ．找不到进基变量

3．线性规划模型的标准形式中，约束条件的形式是??A ???。 A ．= B ．＜ C ．≥ D ．≤

4．在单纯形迭代过程中，若有某个k σ＞0对应的非基变量k x 的系数列向量k p ??B ??时，则此问题是无界的。 A ．0≥k p B ．0≤k p C ．0=k p D ．0≠k p 13.

下列选项中，不属于大批量采购的缺点

A 。 A .由于大批量进货，订货费用就较高

B .库存货物的更换率较低

C .库存货物会变得陈旧过时

D .需占用更多的资金

5．同单纯形法求解极大化线性规划问题时，若某非基变量检验数=0，而其他非基变量检验数全部＜0，则说明本问题???B ??。

A ．有唯一最优解

B ．有多重最优解

C ．无界

D ．无解 6．如果*Z 是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优目标

函数值*

w ??A ???。

A ．**z w =

B ．**z w ≠

C ．**z w ≤

D ．**z w ≥ 7．在某生产规划问题的线性规划问题模型中，变量j x 的目标系数j c 代表该变量所对应的产品的利润，则当某一非基变量的目标系数发生???B ??变化时，其有可能进入基底。

A ．减少

B ．增大价格

C ．无论怎么变化都不会进入基底

D ．不变 8．供过于求的不平衡运输问题，下列说法不正确的是??C ??。 A ．在应用表上作业法之前，应将其转化为平衡的运输问题 B ． 不能应用表上作业法求解

C ．可不经处理直接用表上作业法求解

D ．可虚设一个需求地点，令其需求量为供应量与需求量之差 12. 线性规划的可行域的形状主要决定于 D A .目标函数 B .约束函数的个数

C .约束函数的系数

D .约束条件的个数和约束条件系数

三、名词解释：

1．线性规划：将约束条件及目标函数都是决策变量的线性函数的规划问题称之

为线性规划。

2.需求：对存储来说，需求就是输出。最基本的需求模式是确定性的，在这种情

况下，某一种货物的未来需求都是已知的

3．损益值：把各种方案在不同的自然因素影响下所产生的效果的数量，称作损

益值（也有人称为益损值，它因效果的含义不同而不同，效果可以是费用的数量，也可以是利润的数量）。

4.风险型决策：风险型决策问题是指决策者根据以往的经验及历史统计资料，可

以判明各种自然 因素出现的可能性大小（即概率）。通过自然因素出现的概率来做决策，这样做是需冒一定的风险的，故称风险型决策。

5. 运筹学：运筹学是专门研究对各种经营做出优化决策的科学，称最优化理论。

6.运输问题：将一批物资从若干仓库（简称为发点）运往若干目的地（简称为收

点），通过组织运输，使花费的费用最少，这类问题就是运输问题