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《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案
第 1 章线性规划（复习思考题）
1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？
答：线性规划（ Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是
应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化
工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决
策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条
件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的
线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？
答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；
（2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；
（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？
答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项b i0 ，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业
来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约
束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答：可行解：满足约束条件AX b，X0 的解，称为可行解。
基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：
5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
max Z 4x1 x2 2x3
8x1 3x2 x3 2
. 6x1 x2 x3 8
x1 , x2 , x3 0
解：标准化max Z 4x1 x2 2x3
8x1 3x2 x3 x4 2
. 6x1 x2 x3 x5 8
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
列出单纯形表
c j 4 1 2 0 0
i
C B X B b x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 2 [8] 3 1 1 0 2/8
0 8 6 1 1 0 1 8/6
4 1 2 0 0
j
4 x1 1/4 1 3/8 [1/8] 1/8 0 (1/4)/(1/8)
0 13/2 6 － 5/4 1/4 －3/4 1 (13/2)/(1/4)
j 0 － 1/2 3/2 -1/2 0
2 x
3 2 8 3 1 1 0
0 6 －2 －2 0 － 1 1
－12 －5 0 － 2 0
j
故最优解为 X * (0,0,2,0,6)T，即 x1 0, x2 0, x3 2 ，此时最优值为 Z ( X *) 4 ．6．表 1— 15 中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中a1 , a2 ,c1 ,c2 , d 为何值及变量属于哪一类型时有：（ 1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以x1代替基变量 x5；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。
表 1—15某极大化问题的单纯形表
c j
c 1
c 2
i
C B
X B b
x 1 x 2 x 3 x 4
x 5
0 x 3 d
4 a 1
1 0 0 0 x 4 2
－ 1
－5 0 1 0 0
x 5
3
a 2 －3
0 0 1
j
c 1 c 2
解：（1） d 0, c 1 0, c 2 0 ；
（2） d 0, c 1 0, c 2 0（ c 1 , c 2中至少有一个为零） ；
（3） c 1
0, a 2 0,
d
3 ；
4
a 2
（4） c 2 0, a 1 0 ；
（5） x 1 为人工变量，且 c 1 为包含 M 的大于零的数，
d 3
；或者 x 2 为人工变量，
4
a 2
且 c 2 为包含 M 的大于零的数， a 1 0, d 0 ．
7．用大 M 法求解如下线性规划。
max Z 5x 1 3x 2 6x 3
.
x 1 2x 2 x 3 18
2x 1 x 2 3x 3 16
x 1 x 2 x 3 10
x 1, x 2 , x 3 0
解：加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下：
max Z 5x 1 3x 2 6x 3 0x 4 0x 5 Mx 6
x 1 2x 2 x 3 x 4 18 2x 1 x 2 3x 3 x 5
16 .
x 2
x 3 x 6 10 x 1 x i 0 (i 1,2,
,6)
列出单纯形表
c j 5 3 6 0 0 －M
i C B X B b x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 x4 18 1 2 1 1 0 0 18/1 0 16 2 1 [3] 0 1 0 16/3 －M x6 10 1 1 1 0 0 1 10/1 j 5+M 3+M 6+M 0 0 0
0 x4 38/3 1/3 5/3 0 1 －1/3 0 38/5 6 x3 16/3 2/3 1/3 1 0 1/3 0 16 －M x6 14/3 1/3 [2/3] 0 0 －1/3 1 14/2
1 2
0 0 1
j 1M 1M 2M
3 3 3
0 x4 1 －1/2 0 0 1 1/2 －5/2 －6 x3 3 [1/2] 0 1 0 1/2 －1/2 6 3 x2 7 1/2 1 0 0 －1/2 3/2 14
1/2 0 0 0 －3/2 3
j M
2
0 x4 4 0 0 1 1 1 －3
5 x1
6 1 0 2 0 1 －1
3 x2
4 0 1 －1 0 － 1 2
j 0 0 －1 0 － 2 －1－M 故最优解为X * (6,4,0,4,0,0) T ，即 x1 6, x2 4, x3 0 ，此时最优值为Z ( X *) 42 ．
8． A， B， C 三个城市每年需分别供应电力320，250 和350 单位，由I ，II 两个电站提供，它们的最大可供电量分别为400 单位和 450 单位，单位费用如表1—16 所示。
由于需要量大于可供量，决定城市 A 的供应量可减少 0～30 单位，城市 B 的供应量不变，城市 C 的供应量不能少于 270 单位。试建立线性规划模型，求将可供电量用完的最低总费用分配方案。
表 1—16单位电力输电费（单位：元）
电站
城市
A B C I 15 18 22
II
21
25
16
解：设 x ij 为“第 i 电站向第 j 城市分配的电量”（ i =1,2;
j =1,2,3 ），建立模型如下：
max Z
15x 11 18x 12 22x 13 21x 21 25x 22 16 x 23
x 11 x 12 x 13 400
x 21 x 22 x 23 450
x
11
x
21
290 x
11
x
21
320
.
x 22 250
x 12
x 13 x 23 270 x
13
x
23
350
x
ij
0,i 1,2; j 1,2,3
9．某公司在 3 年的计划期内，有 4 个建设项目可以投资：项目 I 从第一年到第三
年年初都可以投资。 预计每年年初投资， 年末可收回本利 120%，每年又可以重新将所获 本利纳入投资计划；项目 II 需要在第一年初投资，经过两年可收回本利 150%，又可以 重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资不得超过 20 万元；项目 III
需要在第二年年初投资， 经过两年可收回本利 160%，但用于该项目的最大投资不得超过
15 万元；项目 IV 需要在第三年年初投资，年末可收回本利 140%，但用于该项目的最大
投资不得超过 10 万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有
30 万元。问
怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？
解：设 x i (1) 表示第一次投资项目 i ，设 x i ( 2) 表示第二次投资项目 i ，设 x i ( 3) 表示第三 次投资项目 i ，（ i =1,2,3,4 ），则建立的线性规划模型为
max Z
1.2x 1(3 ) 1.6x 3(1) 1.4 x 4(1)
x 1(1) x 2(1)
30
x 1(2 ) x 3(1)
1.2x 1(1 ) 30 x 1(1)
x 2(1)
x 1( 3) x 4(1)
1.2x 1( 2) 1.5x 2(1) 1.2 x 1(1)
30 x 1(1 ) x 2(1) x 1(2 ) x 3(1)
.
x 2(1) 20 x 3(1) 15
x 4(1)
10
x i (1) , x i ( 2) , x i (3 )
0,i 1,2,3,4
通过 LINGO 软件计算得： x (1) 10, x (1) 20, x ( 1) 0, x ( 2) 12, x (2)
44 ．
1
2
3
1
1
10．某家具制造厂生产五种不同规格的家具。每种家具都要经过机械成型、打磨、
上漆几道重要工序。每种家具的每道工序所用的、每道工序的可用、每种家具的利由
表 1—17 出。工厂如何安排生，使利最大？
表1— 17家具生工耗和利表
所需（小）每道工序可用
生工序
1 2 3 4 5 （小）
成型 3 4 6 2 3 3600
打磨 4 3 5 6 4 3950
上漆 2 3 3 4 3 2800 利（百元） 3 3
解： x i表示第i种格的家具的生量（i =1,2, ?,5 ），
max Z 2.7 x1 3x2 4.5x3 2.5x4 3x5
3x1 4x2 6x3 2x4 3x5 3600
4x1 3x2 5x3 6x4 4x5 3950
.
3x2 3x3 4x4 3x5 2800
2x1
x i 0, i 1,2, ,5
通 LINGO件算得：x1 0, x2 38, x3 254, x4 0, x5 642, Z 3181．11．某厂生甲、乙、丙三种品，分A，B，C 三种加工。已知生
位品所需的台数、的有加工能力及每件品的利如表2—10 所示。
表 1—18品生工消耗系数
甲乙丙能力
A（小） 1 1 1 100
B（小）10 4 5 600
C（小） 2 2 6 300
位品利（元）10 6 4
（1）建立性划模型，求厂利最大的生划。
（2）品丙每件的利增加到多大才得安排生？如品丙每件的利增加
到 6，求最生划。
（3）品甲的利在多大范内化，原最划保持不？
（4） A 的能力如q，确定保持原最基不的q 的化范。
100+10
（5）如合同定厂至少生10 件品丙，确定最划的化。解：（1）x1, x2, x3分表示甲、乙、丙品的生量，建立性划模型
max Z 10 x16x24x3
. 标准化得
x1x2x3100 10x14x25x3600 2x12x26x3300 x1 , x2 , x30
max Z 10x1 6x2 4x3 0 x4 0x5 0x6
x1 x2 x3 x4 100
10x1 4 x2 5x3 x5 600
.
2x2 6x3 x6 300
2x1
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
列出单纯形表
c j 10 6 4 0 0 0
C B X B b x1 x2 x3 x4 x5 x6
i 0 x4 100 1 1 1 1 0 0 100 0 600 [10] 4 5 0 1 0 60 0 x6 300 2 2 6 0 0 1 150
j 10 6 4 0 0 0
0 x4 40 0 [3/5] 1/2 1
－
0 200/3 1/10
10 x1 60 1 2/5 1/2 0 1/10 0 150 0 x6 180 0 6/5 5 0 － 1/5 1 150
j 0 2 －1 0 －1 0
6 x2 200/3 0 1 5/6 5/3 － 1/6 0
10 x1 100/3 1 0 1/6 － 2/3 1/6 0
0 x6 100 0 0 4 －2 0 1
0 0 －
－10/3 － 2/3 0
j
8/3
故最优解为 x1 100 / 3, x2 200 / 3, x3 0 ，又由于 x1 , x2 , x3取整数，故四舍五入可得
最优解为 x1 33, x2 67, x3 0 , Z
max 732 ．
（2）产品丙的利润 c 3 变化的单纯形法迭代表如下：
c j
10
6
c 3
i
C B X B b x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
x 6
6 x 2 200/3 0 1 5/6 5/3 － 1/6 0 10 x 1 100/3 1 0 1/6 － 2/3 1/6 0 0
x 6
100
0 0 4
－2 0 1
c 3 －
－10/3
－ 2/3
j
20/3
要使原最优计划保持不变， 只要 3
20 0 ，即 c 3
2 ．故当产品丙每
c 3
66.67
3
3
件的利润增加到大于时，才值得安排生产。
如产品丙每件的利润增加到 6 时，此时 6<，故原最优计划不变。
（3）由最末单纯形表计算出
1
2
1
，
3
1
6
c 1
0,
4
10
3
c
1
0, 5 1
6
c
1
解得 6 c 1 15 ，即当产品甲的利润 c 1 在 [ 6,15] 范围内变化时，原最优计划保持不变。
5 / 3
1/ 6 0 （4）由最末单纯形表找出最优基的逆为 B 1
2 /
3 1/ 6 0 ，新的最优解为
2
1
5 / 3 1/
6 0
100 10q 1 200 50q X B
B 1b
2 /
3 1 / 6 0 600 100 20q0
2
1
300
3 3(100 20q)
解得 4 q
5 ，故要保持原最优基不变的 q 的变化范围为 [ 4,5] ．
（5）如合同规定该厂至少生产 10 件产品丙，则线性规划模型变成
max Z 10x 1 6 x 2 4x 3
x 1 x 2 x 3 100 10x 1 4x 2 5x 3
600 .
2x 1 2x 2 6x 3
300
x 3 10
x 1, x 2 , x 3 0
通过 LINGO 软件计算得到： x 1 32, x 2 58, x 3 10, Z 708 ．
第 2 章对偶规划（复习思考题）
1．对偶问题和对偶向量（即影子价值）的经济意义是什么？
答：原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润，后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品
生产带来的，同时又是资源消耗带来的。
对偶变量的值 y i表示第i种资源的边际价值，称为影子价值。可以把对偶问题的解Y定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。
2．什么是资源的影子价格？它与相应的市场价格有什么区别？
答：若以产值为目标，则y i是增加单位资源i 对产值的贡献，称为资源的影子价格（ShadowPrice ）。即有“影子价格 =资源成本 +影子利润”。因为它并不是资源的实际价格，而是企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场来决定，所以叫影子价格。可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时，企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂不购进资源，减少不必要的损失。
3．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？
答：（1）最优性定理：设X ,Y 分别为原问题和对偶问题的可行解，且CX b T Y ，则 X ,Y 分别为各自的最优解。
（2）对偶性定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值相等。
（3）互补松弛性：原问题和对偶问题的松弛变量为X S和 Y S，它们的可行解X * ,Y * 为最优解的充分必要条件是Y * X S 0,Y S X * 0 ．
（4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形表中，初始基变量的检验数的负
值。若Y S对应于原问题决策变量x 的检验数，则Y 对应于原问题松弛变量x S的检验
数。
4．已知线性规划问题
max Z 4x1x22x3
8x13x2x3 2 （第一种资源）
.6x1x2x38 （第二种资源）
x1 , x2 , x30
（1）求出该问题产值最大的最优解和最优值。
（2）求出该问题的对偶问题的最优解和最优值。
（3）给出两种资源的影子价格，并说明其经济含义；第一种资源限量由 2 变为 4，最优解是否改变？
（4）代加工产品丁，每单位产品需消耗第一种资源 2 单位，消耗第二种资源 3 单位，应该如何定价？
解：（1）标准化，并列出初始单纯形表
c j 4 1 2 0 0
i
C B X B b x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 2 [8] 3 1 1 0 2/8
0 8 6 1 1 0 1 8/6
4 1 2 0 0
j
4 x1 1/4 1 3/8 [1/8] 1/8 0 2
0 13/2 6 － 5/4 1/4 －3/4 1 26
0 － 1/2 3/2 -1/2 0
j
2 x
3 2 8 3 1 1 0
0 6 － 2 －2 0 － 1 1
－12 －5 0 － 2 0
j
由最末单纯性表可知，该问题的最优解为： X * (0,0,2,0,6)T，即 x1 0, x2 0, x3 2 ，
最优值为 Z 4 ．
（2）由原问题的最末单纯形表可知，对偶问题的最优解和最优值为：
y12, y20, w 4 ．
（3）两种资源的影子价格分别为 2、0，表示对产值贡献的大小；第一种资源限量由2 变为 4，最优解不会改变。
（4）代加工产品丁的价格不低于 2 2 0 3 4 ．
5．某厂生产 A，B，C，D4 种产品，有关资料如表2—6 所示。
表 2—6
资源消耗产品资源供应量原料成本资源 A B C D （公斤）（元 / 公斤）甲 2 3 1 2 800
乙 5 4 3 4 1200
丙 3 4 5 3 1000
单位产品售价（元）21
（1）请构造使该厂获利润最大的线性规划模型，并用单纯形法求解该问题（不计
加工成本）。
（2）该厂若出租资源给另一个工厂，构成原问题的对偶问题，列出对偶问题的数
学模型，资源甲、乙、丙的影子价格是多少？若工厂可在市场上买到原料丙，工厂是否应该购进该原料以扩大生产？
（3）原料丙可利用量在多大范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变）？
（4）若产品 B 的价格下降了元，生产计划是否需要调整？
解：（1）设x1, x2, x3, x4分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型max Z x15x23x34x4
2x1 3x2 x3 2x4 800
5x1 4x2 3x3 4 x4 1200
.
4x2 5x3 3x4 1000
3x1
x i 0, i 1,2,3,4
初始单纯形表
c j 1 5 3 4 0 0 0
i
C
B X
B
b
x x x3 x
4
x5 x6 x7
1 2
0 x5 800 2 3 1 2 1 0 0 800/3
0 x6 1200 5 4 3 4 0 1 0 1200/4
0 x7 1000 3 [4] 5 3 0 0 1 1000/4
j 1 5 3 4 0 0 0
最末单纯形表
c j 1 5 3 4 0 0 0
i C B X B b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 1 1/4 -1
4 x4 200 2 0 -2 1 0 1 -1
5 x2 100 -3/4 1 11/4 0 0 -3/4 1
j
-13/4 0 -11/4 0 0 -1/4 -1
解得最优解为： X * (0,100,0,200,100)T，最优值Z 1300．
（2）原问题的对偶问题的数学模型为
min w 800 y11200 y21000 y3
2 y1 5 y23y
3 1
3y1 4 y2 4 y3 5
. y1 3 y25y3 1
2y1 4 y2 3 y3 4
y1 , y2 , y30
解得影子价格分别为2、、。对比市场价格和影子价格，当市场价低于影子价格时购进。
（3）原料丙可利用量在 [900,1100] 范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品
种不变（即最优基不变）。
（4）若产品 B 的价格下降了元，生产计划不需要调整。
6．某企业生产甲、乙两种产品，产品生产的工艺路线如图2—1 所示，试统计单位产品的设备工时消耗，填入表 2—7。又已知材料、设备 C和设备 D等资源的单位成本和拥有量如表 2—7 所示。
表2—7 资源消耗与资源成本表
产品资源消耗资源成本
资源元/ 单位资源资源拥有量
甲乙
材料（公斤）60 50 200 4200
设备 C（小时）30 40 10 3000
设备 D（小时）60 50 20 4500
据市场分析，甲、乙产品销售价格分别为 13700 元和 11640 元，试确定获利最大的产品生产计划。
（1）设产品甲的计划生产量为x1，产品乙的计划生产量为x2，试建立其线性规划的数学模型；若将材料约束加上松弛变量 x3，设备C约束加上松弛变量 x4，设备D约束加上松弛变量 x5，试化成标准型。
（2）利用 LINDO 软件求得：最优目标函数值为18400，变量的最优取值分别为x1 20, x2 60, x3 0, x4 0, x5 300 ，则产品的最优生产计划方案是什么？并解释
x3 0, x4 0, x5 300 的经济意义。
（3）利用 LINDO软件对价值系数进行敏感性分析，结果如下：
Obj Coefficient Ranges
Current Allowable
Variable Allowable Decrease
Coef Increase
x12008820
x2240
试问如果生产计划执行过程中，甲产品售价上升到13800 元，或者乙产品售价降低60元，所制定的生产计划是否需要进行调整？
（4）利用 LINDO软件对资源向量进行敏感性分析，结果如下：
Right hand Side Ranges
Resource Current Rhs Allowable Allowable Increase Decrease
材料4200 300 450 设备 C 3000 360 900 设备 D 4500 Infinity 300 试问非紧缺资源最多可以减少到多少，而紧缺资源最多可以增加到多少？解：（1）建立的线性规划模型为
max Z 200x1240 x2
. 将其标准化60x150x24200 30x140x23000 60x150x24500 x1 , x20
max Z 200x1240 x2
60x1 50x2 x3 4200
30x1 40x2 x4 3000
.
50x2 x5 4500
60 x1
x i 0, i 1,2, ,5
（2）甲生产 20 件，乙生产 60 件，材料和设备C充分利用，设备 D剩余 600 单位。
（3）甲上升到 13800 需要调整，乙下降60 不用调整。
（4）非紧缺资源设备 D 最多可以减少到 300，而紧缺资源—材料最多可以增加到300，紧缺资源—设备 C 最多可以增加到 360。
第 3 章整数规划（复习思考题）
1．整数规划的类型有哪些？
答：纯整数规划、 0-1 规划和混合整数规划。
2．试述整数规划分枝定界法的思路。
答：（1）首先不考虑整数条件，求解整数规划相应的线性规划问题。若相应的线性
规划问题没有可行解，停止计算，这时原整数规划也没有可行解。
（2）定界过程。对于极大化的整数规划问题，当前所有未分枝子问题中最大的目
标函数值为整数规划问题上界；在满足整数约束的子问题的解中，最大的目标函数值为
整数规划问题的下界。当上下界相同时，则已得最优解；否则，转入剪枝过程。
（3）剪枝过程。在下述情况下剪除这些分枝：①若某一子问题相应的线性规划问
题无可行解；②在分枝过程中，求解某一线性规划所得到的目标函数值Z 不优于现有下界。
（4）分枝过程。当有多个待求分枝时，应先选取目标函数值最优的分枝继续进行
分枝。选取一个不符合整数条件的变量x i作为分枝变量，若 x i的值是 b i*，构造两个新的
约束条件： x
i [ b* ] 或 x
i
[b * ] 1 ，分别并入相应的数学模型中，构成两个子问题。对
i i
任一个子问题，转步骤（1）．
3．试用分枝定界法求如下线性规划：
max Z 40 x1 90 x2
9x1 7 x2 56
7 x1 20x2 70
.
x1 , x2
x1, x2 取整数
解：
最优整数解为： x14, x22, Z340 ．
4．有 4 名职工，由于各人的能力不同，每个人做各项工作所用的时间不同，所花
费时间如表 3—7 所示。
表 3—7（单位：分钟）
时间任务
A B C D
人员
甲15 18 21 24
乙19 23 22 18
丙26 17 16 19
丁19 21 23 17 问指派哪个人去完成哪项工作，可使总的消耗时间最少？
1 ，任务 i 由人员j完成
， t ij为个人i对于任务j的时间耗费矩阵，解：设 x ij ，任务 i不由人员 j 完
成
则建立整数规划模型为：
4 4 min Z x ij
t
ij
i 1 j 1
4 x
ij 1
i 1
4
. x ij 1
j 1
x ij
或
1, i , j 1,2,3,4 0
解得： x121, x211, x331, x441，其余均为零，Z70 ，即任务 A 由乙完成，任务 B 由甲完成，任务 C 由丙完成，任务 D 由丁完成。
5．某部门一周中每天需要不同数目的雇员：周一到周四每天至少需要50 人，周五至少需要80 人，周六周日每天至少需要90 人，先规定应聘者需连续工作 5 天，试确定聘用方案，即周一到周日每天聘用多少人，使在满足需要的条件下聘用总人数最少。
解：设 x i表示在第i 天应聘的雇员人数（ i =1,2,3,4,5,6,7 ）。数学模型为
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 x4 x5 x6 x7 50
x1 x2 x5 x6 x7 50
x1 x2 x3 x6 x7 50
x1 x2 x3 x4 x7 50
. x1 x2 x3 x4 x5 80
x2 x3 x4 x5 x6 90
x3 x4 x5 x6 x7 90
x i 0, i 1,2, ,7
x i取整数 , i 1,2, ,7
解得： x1 0, x2 4, x3 32, x4 10, x5 34, x6 10, x7 4, Z 94 ．
第 4 章目标规划（复习思考题）
1．某计算机公司生产A， B， C 三种型号的笔记本电脑。这三种笔记本电脑需要在
复杂的装配线上生产，生产一台A，B，C型号的笔记本电脑分别需要 5 小时、 8 小时、
12 小时。公司装配线正常的生产时间是每月1700 小时，公司营业部门估计A，B，C三
种笔记本电脑每台的利润分别是1000 元、1440 元、 2520 元，而且公司预测这个月生产的笔记本电脑能够全部售出。公司经理考虑以下目标：
第一目标：充分利用正常的生产能力，避免开工不足；
第二目标：优先满足老客服的需求，A， B， C 三种型号的电脑各为50 台、 50 台、80台，同时根据三种电脑三种电脑的纯利润分配不同的加权系数；
第三目标：限制装配线加班时间，最好不超过200 小时；
第四目标：满足各种型号电脑的销售目标，A， B， C 三种型号分别为100 台、 120 台、 100 台，再根据三种电脑的纯利润分配不同的加权系数；
第五目标：装配线加班时间尽可能少。
请列出相应的目标规划模型，并用LINGO软件求解。
解：建立目标约束。
（1）装配线正常生产
设生产 A，B，C型号的电脑为x1, x2, x3（台），d1为装配线正常生产时间未利用数，d1为装配线加班时间，希望装配线正常生产，避免开工不足，因此装配线目标约束为
min{ d1 }
5x18x212x3d1d11700
（2）销售目标
优先满足老客户的需求，并根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子，A，B，C 三
种型号的电脑每小时的利润是1000
,
1440
,
2520
，因此，老客户的销售目标约束为5812
min{ 20d 2 18d3 21d4 } x1 d 2 d 250
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案 第1章 线性规划（复习思考题） 1．什么是线性规划线性规划的三要素是什么 答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解； （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 3．什么是线性规划的标准型松弛变量和剩余变量的管理含义是什么 答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ，决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。 答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示：
课程学习 《管理运筹学基础》 判断正误 线性规划问题的一般模型中不能出现等式约束。 正确答案：说法错误 2.在线性规划模型的标准型中,b j（j=1，2，…m）一定是非负的。正确答案：说法正确 解答参考： 3. 判断正误 线性规划问题的基本解一定是基本可行解 正确答案：说法错误 解答参考： 5. 判断正误 同一问题的线性规划模型是唯一的。 正确答案：说法错误 解答参考： 12.第一个顶点和最后一个顶点相同的闭链叫回路。 正确答案：说法错误 解答参考： 14. 判断正误
Djisktra算法可求出非负赋权图中一顶点到任一顶点的最短距离。 正确答案：说法正确 解答参考： 15.简述编制统筹图的基本原则。 参考答案：统筹图是有向图，箭头一律向右；统筹图只有一个起始点。一个终点，没有缺口；两个节点之间只能有一个作业相连；统筹图中不能出现闭合回路。 17.简述西北角法、最小元素法、差值法确定运输问题初始基本可行解的过程并指出那种方法得出的解较优。 参考答案：西北角法：按照地图中的上北下南，左西右东的判断，对调运表中的最西北角上的空格优先满足最大供应，之后划去一行或一列，重复这种做法，直至得到初始可行解。最小元素法：对调运表中的最小运价对应的空格优先没醉最大供应，之后划去一行或一列，重复这种做法，直至得到初始可行解。差值法：在运价表中，计算各行和各列的最小运价和次最小运价之差，选出最大者，它所在某行或某列中的最小运价对应的空格优先满足最大供应，重复这种做法，直至得到初始可行解。一般来讲，用差值法求出的初始可行解最接近最优解，也就是最优的。 2. 用图解法求最优解时，只需求出可行域顶点对应的目标值，通过比较大小，就能找出最优解。 正确答案：说法正确 单纯形法计算中，选取最大正检验数对应的变量作为换入变量，将使目标函数的值增加更快。 正确答案：说法错误 解答参考： 6.若原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定有无穷多最优解。 正确答案：说法正确 解答参考： 8.表上作业法中，任何一种确定初始基本可行解的方法都必须保证有（m + n -1）个变量。正确答案：说法正确 解答参考： 9.用分枝定界法求解一个极大化整数规划问题时，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的下界 正确答案：说法正确
《管理运筹学》第四版课后习题解析（上） 第2章 线性规划的图解法 1．解： （1）可行域为OABC 。 （2）等值线为图中虚线部分。 （3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解1x = 127，2157x =；最优目标函数值697 。 图2-1 2．解： （1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解12 0.2 0.6x x =??=?，函数值为3.6。 图2-2 （2）无可行解。 （3）无界解。 （4）无可行解。 （5）无穷多解。
（6）有唯一解 12203 8 3x x ?=????=?? ，函数值为923。 3．解： （1）标准形式 12123max 32000f x x s s s =++++ 1211221231212392303213229,,,,0 x x s x x s x x s x x s s s ++=++=++=≥ （2）标准形式 1212min 4600f x x s s =+++ 12112212121236210764,,,0 x x s x x s x x x x s s --=++=-=≥ （3）标准形式 1 2212min 2200f x x x s s ''''=-+++ 12 211 2212221 2212355702555032230,,,,0x x x s x x x x x x s x x x s s '''-+-+=''''-+=''''+--=''''≥ 4．解： 标准形式 1212max 10500z x x s s =+++ 1211221212349528,,,0 x x s x x s x x s s ++=++=≥ 松弛变量（0，0） 最优解为 1x =1，x 2=3/2。 5．解：
1 课程：管理运筹学 管理运筹学作业 第二章线性规划的图解法 P23：Q2：（1）－（6）；Q3：(2) Q2：用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有唯一最优解，无穷多最优解，无界解或无可行解。 （1）Min f＝6X1+4X2 约束条件：2X1+X2>=1, 3X1+4X2>=3 X1, X2>=0 解题如下：如图1 Min f＝3.6 X1=0.2, X2=0.6 本题具有唯一最优解。 图1 （2）Max z＝4X1+8X2 约束条件：2X1+2X2<=10 -X1+X2>=8 X1,X2>=0 解题如下：如图2： Max Z 无可行解。 图2 1
2 2 （3） Max z ＝X1+X2 约束条件 8X1+6X2>=24 4X1+6X2>=-12 2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图3： Max Z=有无界解。 图3 （4） Max Z ＝3X1-2X2 约束条件：X1+X2<=1 2X1+2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图4： Max Z 无可行解。 图 4
3 (5)Max Z＝3X1+9X2 约束条件：X1+3X2<=22 -X1+X2<=4 X2<=6 2X1-5X2<=0 X1,X2>=0 解题如下：如图5： Max Z =66；X1=4 X2=6 本题有唯一最优解。 图5 (6)Max Z=3X1+4X2 约束条件：-X1+2X2<=8 X1+2X2<=12 2X1+X2<=16 2X1-5X2<=0 X1,X2>=0 解题如下：如图6 Max Z =30.669 X1=6.667 X2=2.667 本题有唯一最优解。 3
《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案 第1章线性规划(复习思考题) 1. 什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？ 答：线性规划(Lin ear Programmi ng , LF)是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2. 求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：(1)唯一最优解：只有一个最优点； (2)多重最优解：无穷多个最优解； (3)无界解：可行域无界，目标值无限增大； (4)没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 3. 什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？ 答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项 ' ，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业 来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明 “遅 约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 4?试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关 系。 答：可行解：满足约束条件 扎—‘丸 的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示： 5 ?用表格单纯形法求解如下线性规划 解：标准化 1 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 基可行解 SA] + S 2
四 川 大 学 网 络 教 育 学 院 模 拟 试 题( A ) 《管理运筹学》 一、 单选题（每题２分，共20分。） 1．目标函数取极小（minZ ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大的线性规 划问题求解，原问题的目标函数值等于（ C ）。 A. maxZ B. max(-Z) C. –max(-Z) D.-maxZ 2. 下列说法中正确的是（ B ）。 Ａ．基本解一定是可行解 Ｂ．基本可行解的每个分量一定非负 Ｃ．若B 是基，则B 一定是可逆Ｄ．非基变量的系数列向量一定是线性相关的 3．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为 （ D ） 多余变量 B ．松弛变量 C ．人工变量 D ．自由变量 4. 当满足最优解，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得（ A ）。 Ａ．多重解 Ｂ．无解 Ｃ．正则解 Ｄ．退化解 5．对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足 （ D ）。 A ．等式约束 B ．“≤”型约束 C ．“≥”约束 D ．非负约束 6. 原问题的第ｉ个约束方程是“＝”型，则对偶问题的变量i y 是（ B ）。 Ａ．多余变量 Ｂ．自由变量 Ｃ．松弛变量 Ｄ．非负变量 7.在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目( C )。 A.等于m+n B.大于m+n-1 C.小于m+n-1 D.等于m+n-1 8. 树Ｔ的任意两个顶点间恰好有一条（ B ）。 Ａ．边 Ｂ．初等链 Ｃ．欧拉圈 Ｄ．回路 9．若G 中不存在流f 增流链，则f 为G 的 （ B ）。 A ．最小流 B ．最大流 C ．最小费用流 D ．无法确定 10.对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足（ D ） Ａ．等式约束 Ｂ．“≤”型约束 Ｃ．“≥”型约束 Ｄ．非负约束 二、多项选择题（每小题4分，共20分） 1．化一般规划模型为标准型时，可能引入的变量有 （ ） A ．松弛变量 B ．剩余变量 C ．非负变量 D ．非正变量 E ．自由变量 2．图解法求解线性规划问题的主要过程有 （ ） A ．画出可行域 B ．求出顶点坐标 C ．求最优目标值 D ．选基本解 E ．选最优解 3．表上作业法中确定换出变量的过程有 （ ） A ．判断检验数是否都非负 B ．选最大检验数 C ．确定换出变量 D ．选最小检验数 E ．确定换入变量 4．求解约束条件为“≥”型的线性规划、构造基本矩阵时，可用的变量有 （ ） A ．人工变量 B ．松弛变量 C. 负变量 D ．剩余变量 E ．稳态 变量 5．线性规划问题的主要特征有 （ ） A ．目标是线性的 B ．约束是线性的 C ．求目标最大值 D ．求目标最小值 E ．非线性 三、 计算题（共60分） 1. 下列线性规划问题化为标准型。(10分)
上交作业课程题目可以打印，答案必须手写，否则该门成绩0分。 管理运筹学 作业题 一、名词解释(每题3分，共15分) 1. 可行解：满足某线性规划所有的约束条件（指全部前约束条件和后约束条件）的任意一 组决策变量的取值，都称为该线性规划的一个可行解，所有可行解构成的集合称为该线性规划的可行域（类似函数的定义域），记为K 。 2. 最优解：使某线性规划的目标函数达到最优值（最大值或最小值）的任一可行解，都称 为该线性规划的一个最优解。线性规划的最优解不一定唯一，若其有多个最优解，则所有最优解所构成的集合称为该线性规划的最优解域。 3. 状态：指每个阶段开始时所处的自然状态或客观条件。 4. 决策树：决策树(Decision Tree ）是在已知各种情况发生概率的基础上，通过构成决策 树来求取净现值的期望值大于等于零的概率，评价项目风险，判断其可行性的决策分析方法，是直观运用概率分析的一种图解法。由于这种决策分支画成图形很像一棵树的枝干，故称决策树。 5. 最大最小准则：最大最小准则又称小中取大法或悲观法。为不确定型决策的决策准则之 一，其决策的原则是“小中取大”。这种决策方法的思想是对事物抱有悲观和保守的态度，在各种最坏的可能结果中选择最好的。决策时从决策表中各方案对各个状态的结果选出最小值，即在表的最右列，再从该列中选出最大者。这种方法的基本态度是悲观与保守。其基本思路是首先找出最不利情况下的最大收益。 二、 简答题（每题6分，共24分） 1. 简述单纯形法的基本步骤。 答：（1）把一般线形规划模型转换成标准型；（2）确定初始基可行解；（3）利用检验数j σ对初始基可行解进行最优性检验，若0≤j σ ，则求得最优解，否则，进行基变换；（4）基变换找新的可行基，通过确定入基变量和出基变量，求得新的基本可行解；（5）重复步骤（3）、（4）直至0≤j σ，求得最优解为止。 2. 简述动态规划的基本方程。 答：对于n 阶段的动态规划问题，在求子过程上的最优指标函数时，k 子过程与k+1过程有如下递推关系： 对于可加性指标函数，基本方程可以写为 n k s f x s r s f k k k k k s D x k k opt k k k ,,2,1)}(),({)(11) ( =+=++∈ 终端条件：f n+1 (s n+1) = 0
管理运筹学 ——管理科学方法谢家平 第一章 第一章 1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（Decision Variable）是决策问题待 定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制， 保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式， 有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2.（1）设立决策变量； （2）确定极值化的单一线性目标函数； （3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量； （4）非负约束。 3.（1）唯一最优解：只有一个最优点 （2）多重最优解：无穷多个最优解 （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大 （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集 无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0 , 决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 5. 可行解：满足约束条件AX =b,X≥0的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 6. 计算步骤： 第一步，确定初始基可行解。 第二步，最优性检验与解的判别。 第三步，进行基变换。 第四步，进行函数迭代。 判断方式： 唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即σj< 0 无穷多最优解：若所有非基变量的检验数σj≤ 0 ，且存在某个非基变量xNk 的检验数σk= 0 ，让其进基，目标函数
09 <<运筹>>期末考试试卷（A）答案 一、不定项选择题（每小题2分共20分） 1、A 2、B 3、ABCD 4、ABC 5、D 6、C 7、B 8、ABCD 9、ABC 10、ABC 二、名词解释（每小题4分，共20分） 1、运筹学是一门以人机系统的组织、管理为对象，应用数学和计算机等工具来研究各类有限资源的合理规划使用期并提供优化决策方案的科学。 2、线性规划是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。 3、如果系统中包含元素A、B、C、K….等，按照经典意义（非模糊，非统计意义）的原则来聚类。 4、系统的综合性原则是指系统内部各组成部分的联系与协调，包含要素间的协调及系统与环境问题的协调。 5、TSP问题称为“旅行推销员问题”，是指：有N个城市A、B、…….等，它们这间有一定的距离，要求一条闭合路径，由某城市出发，每个城市经历过一次，最终返回原城市，所经历的路程最短。 三、简答题（每小题5分，共28分） 1、列出一些企业产品结构优化的柔性模型约束条件。 （1）关键设备的生产能力（2）各类能源的约束（3）工艺的约束 （4）产品类结构关系，以及物流过程中上、下游产品供需的约束 （5）某些产品的下限约束（6）非负约束 2、排队规则：损失制等待制：先到先服务、后到先服务、随机服务、优先权 服务混合制 3、运筹学的特点：（1）以最优性为核心。（2）以模型化为特征（3）以计算机为主要实现手段。（4）多学科交融 4、神经元的功能：（1）整合功能（2）兴奋与抑制（3）突触延时与不应期（4）学习、遗忘与疲劳
四、应用题。（每题15分，共45分） 1、设A、B的产量为X、Y 模型：目标MAX利润=500X+900Y 约束条件：9X+4Y≤360 4X+5Y≤200 3X+10Y≤300 X、Y均大于或等于零 图解略 最优解：X=20千克 Y=24千克利润31600元 2、企业在选择运用“农村包围城市”还是“城市中心”的指导思想时，应考虑自己的条件，竞争对手的情况，宏观和中观形势。 如，我国不少实力较弱的汽车企业，在发展之初，面临国内合资企业和国外汽车巨头的压力下，以农村，或三、四线城市为突破口，先在这些国内合资企业和国外汽车巨头不太重视的地区发展市场，在积累资金、经验、管理、技术等生产经营资源后，向大城市等竞争激烈的地区进军。 如果企业与国外合资，或在资金、技术、品牌、管理等方面有较大的优势，企业可以一开始就以广州等一线城市为主战场。 3、（1）如果两国没有任何的协调，A国最终会选择报复，因为只要A国选择报复，不论B国如何选择，对A国来说都最佳选择。反之亦然。 （2）如果两国协调，如果协调成功两国的对策是都不报复，如果两国协调不成功，两国都会选择报复。
第2章 线性规划的图解法 1．解： x ` A 1 (1) 可行域为OABC (2) 等值线为图中虚线部分 (3) 由图可知，最优解为B 点， 最优解：1x = 712，7152=x 。最优目标函数值：769 2．解： x 2 1 0 1 (1) 由图解法可得有唯一解 6.02.021==x x ，函数值为3.6。 (2) 无可行解 (3) 无界解 (4) 无可行解 (5) 无穷多解
(6) 有唯一解 38320 21== x x ，函数值为392。 3．解： (1). 标准形式： 3212100023m ax s s s x x f ++++= 0,,,,9 2213 2330 2932121321221121≥=++=++=++s s s x x s x x s x x s x x (2). 标准形式： 21210064m in s s x x f +++= ,,,4 6710 26 3212121221121≥=-=++=--s s x x x x s x x s x x (3). 标准形式： 21''2'2'10022m in s s x x x f +++-= 0,,,,30 22350 55270 55321''2'2'12''2'2'1''2'2'11''2'21≥=--+=+-=+-+-s s x x x s x x x x x x s x x x 4．解： 标准形式： 212100510m ax s s x x z +++= ,,,8259 432121221121≥=++=++s s x x s x x s x x 松弛变量（0，0） 最优解为 1x =1，x 2=3/2.
习题参考答案 习题一 1．设选用第1种、第2种、第3种、第4种、第5种饲料的量分别为12345,,,,x x x x x 。 Min 543218.03.07.04.02.0x x x x x Z ++++= 1234512345 1234512345326187000.50.220.530..0.50.220.8100,,,,0 x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x ++++≥??++++≥?? ++++≥??≥? 2．设x ij 为生产第i 种食品所使用的第j 种原料数，i ＝1，2，3分别代表甲、乙、丙，j ＝1，2，3分别代表A 、B 、C 。其数学模型为： Max Z =) (0.1)(5.1)(2)(95.1)(45.2)(9.2332313322212312111333231232221131211x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++?-++?-++?-++?+++?+++? s.t . ) 3,2,1,3,2,1(,05 .06 .015 .02 .06 .012002500200033 323133 23 222123 23 222121 13 121113 13 121111 332313322212312111==≥≤++≤++≥++≤++≥++≤++≤++≤++j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 3．将下列线性规划问题化为标准形式 （1）引入剩余变量1s ，松弛变量2 s
管理运筹学第二版课后 习题参考答案 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案 第1章 线性规划（复习思考题） 1．什么是线性规划线性规划的三要素是什么 答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解； （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 3．什么是线性规划的标准型松弛变量和剩余变量的管理含义是什么 答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0 i b ，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。 答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示： 5．用表格单纯形法求解如下线性规划。 . ??? ??≥≤++≤++0,,862383 21321321x x x x x x x x x 解：标准化 32124max x x x Z ++= . ?? ? ??≥=+++=+++0,,,,862385432153 214 321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表
第一章 第一章 1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（Decision Variable）是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2.（1）设立决策变量； （2）确定极值化的单一线性目标函数； （3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量； （4）非负约束。 3.（1）唯一最优解：只有一个最优点 （2）多重最优解：无穷多个最优解 （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大 （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集 无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0 , 决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 5. 可行解：满足约束条件AX =b,X≥0的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 6. 计算步骤： 第一步，确定初始基可行解。 第二步，最优性检验与解的判别。 第三步，进行基变换。 第四步，进行函数迭代。 判断方式： 唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即σj< 0 无穷多最优解：若所有非基变量的检验数σj≤ 0 ，且存在某个非基变量xNk 的检验数σk= 0 ，让其进基，目标函数的值仍然保持原值。如果同时存在最小θ值，说明有离基变量，则该问题在两个顶点上同时达到最优，为无穷多最优解。无界解：若某个非基变量xNk 的检验数σk> 0 ，但其对应的系数列向量P k' 中，每一个元素a ik' (i=1,2,3,…,m)均非正数，即有进基变量但找不到离基变量。
四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?
五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当 于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10b-1f g X32C O11／5 X l a d e01 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解 第四章线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3
第二章 2.5 表2-3为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为 12max 53z x x =+，约束形式为≤，34,x x 为松弛变量，表中解代入目标函数后得10z =。 (1)求a ~g 的值； (2)表中给出的解是否为最优解。 解：a=2,b=0,c=0,d=1,e=4/5,f=0,g=5；表中给出的解为最优解。 2.6 表2-4中给出某求最大化线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表，45,x x 为松弛变量，求表中a ~l 的值及各变量下标m ~t 的值。 解：a=-3,b=2,c=4,d=-2,e=2,f=3,g=1,h=0,i=5,j=-5,k=3/2,l=0；变量的下标为m —4,n —5,s —1,t —6 2.10下述线性规划问题：
2.11某单位加工制作100套工架，每套工架需用长为2.9m 、2.1m 和1.5m 的圆钢各一根。已知原材料长7.4m 。问如何下料使得所用的原材料最省？ 解：简单分析可知，在每一根原材料上各截取一根2.9m,2.lm 和1.5m 的圆钢做成一套工架，每根原材料剩下料头0.9m ，要完成100套工架，就需要用100根原材料，共剩余90m 料头。若采用套截方案，则可以节省原材料，下面给出了几种可能的套截方案，如表2-5所示。 实际中，为了保证完成这100套工架，使所用原材料最省，可以混合使用各种下料方案。 设按方案A,B,C,D,E 下料的原材料数分别为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5，根据表2-5可以得到下面的线性规划模型 12345124345 1235min 00.10.20.30.82100 22100..3231000,1,2,3,4,5 i z x x x x x x x x x x x s t x x x x x i =++++++=??++=?? +++=??≥=? 用大M 法求解此模型的过程如表2-6所示，最优解为：x *=(0,40,30,20,0)T ，最优值为z *=16。
《管理运筹学》作业题参考答案 一、简答题 1. 试述线性规划数学模型的结构及各要素的特征。 2. 求解线性规划问题时可能出现哪几种结果，哪些结果反映建模时有错误。 3. 举例说明生产和生活中应用线性规划的方面，并对如何应用进行必要描述。 4. 什么是资源的影子价格，同相应的市场价格之间有何区别，以及研究影子价格的意义。 5. 试述目标规划的数学模型同一般线性规划数学模型的相同和异同之点。 （答案参考教材） 二、判断题 1. (√) 2. (√) 3. (×) 4. (√) 5. (√) 三、计算题 1. 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。 (a) min z =6x 1+4x 2 (b) min z =4x 1+8x 2 ??? ??≥≥+≥+0,5.1431 2.st 2 12121x x x x x x ??? ??≥≥+-≥+0,101022.st 2 12121x x x x x x (c) min z =x 1+x 2 (d) min z =3x 1-2x 2 ?????? ?≥≥-≥+≥+0 ,4212642468.st 2122 121x x x x x x x ??? ??≥≥+≤+0,4221 .st 2 12121x x x x x x (e) min z =3x 1+9x 2 ????? ????≥≤-≤≤+-≤+0 ,0 5264 2263.st 212 122121x x x x x x x x x 2. (a)唯一最优解，z* =3，x 1=1/2，x 2= 0；(b)无可行解；(c)有可行解，但max z 无界；（d ）无可行解；（c ）无穷多最优解，z*=66；（f ）唯一最优解，z*=.3/8,3/20,3 2 3021==x x
（1）解： , 5 3351042..715min 212 1 1 21 21≥≥+≥≥++=y y y y y y y t s y y ω （2）解： 无限制 3213 21 3132 3213121,0,0 2 520474235323. .86max y y y y y y y y y y y y y y y t s y y ≤≥=++≤-=+≥+--≤++=ω 解：例3原问题 6 ,,1,0603020506070 ..min 166554433221654321Λ=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=j x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z j 对偶问题： 6 ,,1,0111111 ..603020506070max 655443322161654321Λ=≥≤+≤+≤+≤+≤+≤++++++=j y y y x y y y y y y y y y t s y y y y y y j ω
解： （1）由最优单纯形表可以知道原问题求max ，其初始基变量为54,x x ，最优基的逆阵为 ????? ? ??-=-316102 11 B 。 由P32式（）（）（）可知b B b 1 -='，5,,1,,1Λ='-=='-j P C c P B P j B j j j j σ，其中b 和j P 都是初始数据。设???? ??=21b b b ，5,,1,21Λ=???? ??=j a a P j j j ，()321,,c c c C =，则 ?????? ??=???? ???????? ??-?='-2525316102 1 211 b b b B b ，即?????=+-=25316 12521211b b b ，解得???==10521b b ????? ? ??-=???? ???????? ??-?='-021******** 102 12322211312111 a a a a a a P B P j j ，即 ???????????????=+-=-=+-==+-=0 31 6 112121316121 211 316 1021 231313221212211111a a a a a a a a a ，解得???????????==-====12 1130231322 122111a a a a a a
0后退" 地址匹I hi ip://wvw.doc in. c om/p-34224062, html 笫2章线性规划的图解法 a 可行城为OABC b ?聲值线为图中W 线所示。 C.IIIRH 可知.加优解为B 点，衆优M ： x, = y x 2 = y , 69 〒 文件匕）編辑电）查看电）版藏逻 工具① 帮 址优JI 杯沥数们:
b 无可行解 C 无界斛 d 无可行解 e 尢穷多解 20 戈厂三 92 f 冇唯一解 ?两数值为学 8 3 3、Vh a 标准形式： max / = 3? + 2r 2 + 0打 + 0s 2 + 0% max / = 一4* 一 6X 3 - 0刁-0孔 v =（）2 冇呱一解宀―“函数值为3.6 x 2 ■ 0.6
3勺 _ 兀2 一 B ■ 6 X] + 2X2+s2 = 10 7.v1 - 6A2二 4 f汕』2 2 0 C标准形式:max f =-?i； + 2.v s一2x； - 0片 - Qs2 -a— + 5X2-5A* +斗二70 2A； - 5.Vj + 5xj 二50 3x\ + 2x z一2r； - s2 =- 30 f 2 , *2，?，*2 2 ° 4、斡 标浪形式：max c = 10A（十5.v2十0、十0.T2 3\ + 4.V2 +耳二9 5x1 + 2X2 +52 = 8 兀“工2?亠? 0 5 .餅： 标ME形式：min f - 11xj + + 5 + O.v2 + O.v3 10A,+2X2 - 51— 20 3.V, + 3.V2-s2 =18 4x1 + 9X2一内=36 斗=0,y2 =0,^ = 13 6 >贻 b 1 s q 兰 3 c 2Sq S6 x2 = 4 e 斗G（4,8）x2 = 16 -2v1 2 f变化。廉斜率从-彳变为-1
5、线性规划数学模型具备哪几个要素？答：（1）.求一组决策变量x i或x ij的值（i =1，2，…m j=1，2…n）使目标函数达到极大或极小；（2）.表示约束条件的数学式都是线性等式或不等式；（3）.表示问题最优化指标的目标函数都是决策变量的线性函数 第二章线性规划的基本概念 一、填空题 1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。 2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。 3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。 4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。 5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关 6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。 8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。 9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。 10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。 11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。 13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。 14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。
15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解 16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。 17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。 18.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。 19.如果某个变量X j为自由变量，则应引进两个非负变量X j′,X j〞,同时令X j＝X j′－X j。 20.表达线性规划的简式中目标函数为max(min)Z=∑c ij x ij。 21..(2.1 P5))线性规划一般表达式中，a ij表示该元素位置在i行j列。 二、单选题 1．如果一个线性规划问题有n个变量，m个约束方程(m 最新管理运筹学(第二版)课后习题参考答案 第1章 线性规划（复习思考题） 1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？ 答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？ 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解； （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？ 答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ，决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。 答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示： 5．用表格单纯形法求解如下线性规划。 第一章线性规划1、 由图可得：最优解为 2、用图解法求解线性规划： Min z=2x1+x2 ? ? ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≤ ≥ + ≤ + - 10 5 8 24 4 2 1 2 1 2 1 x x x x x x 解： 由图可得：最优解x=1.6,y=6.4 Max z=5x 1+6x 2 ? ?? ??≥≤+-≥-0 ,23222212 121x x x x x x 解： 由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞ Maxz = 2x 1 +x 2 ????? ? ?≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x 由图可得：最大值?????==+35121x x x ， 所以?????==2 3 21x x max Z = 8. 12 12 1 2 5.max23 28 416 412 0,1,2 maxZ. j Z x x x x x x x j =+ ?+≤ ? ≤ ? ? ≤ ? ?≥= ? 如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2 6将线性规划模型化成标准形式： Min z=x1-2x2+3x3 ? ? ? ? ? ? ? ≥ ≥ - = + + - ≥ + - ≤ + + 无约束 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ,0 ,0 5 2 3 2 7 x x x x x x x x x x x x 解：令Z’=-Z,引进松弛变量x4≥0，引入剩余变量x5≥0，并令x3=x3’-x3’’,其中x3’≥0,x3’’≥0 Max z’=-x1+2x2-3x3’+3x3’’ ? ? ? ? ? ? ? ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ - = + + - = - - + - = + - + + ,0 ,0 '' ,0 ' ,0 ,0 5 2 3 2 '' ' 7 '' ' 5 4 3 3 2 1 3 2 1 5 3 3 2 1 4 3 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x