无界函数的广义积分
§10.2 无界函数的广义积分
一 无界函数广义积分的概念
定义1 设()f x 在x b =的临近无界（我们称b 点为()f x 的奇点），但对于任意充分小的正数η，()f x 在[],a b η-上可积，即
lim ()b a
f x dx η
η+-→?
存在时，称这极限值I 为无界函数()f x 在[,]a b 上的广义积分。记作
()0
lim ()b
b a
a
f x dx f x dx η
η+-→=?
?
。
如果上述的极限不存在，就称()b
a
f x dx ?发散。
类似可定义
()b
a
f x dx ?（a 为奇点）.
如果()f x 在[,]a b 内部有一个奇点c ，a c b <<，当()c
a
f x d x ?
和()b
c
f x dx ?都收敛时，
就称
()b
a
f x dx ?收敛，并且有
()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+?
??。
如果上式右边的任何一个积分发散，就称()f x dx +∞
-∞
?
发散。
例1：讨论积分
()
1
b
p
a
dx x a -?()0p >的收敛性。
例2：讨论积分
1
?
的收敛性。
二 无界函数积分的性质
性质1 定积分的一些性质包括分部积分法和换元积分法对无界函数的广义积分也成立。 柯西收敛原理
()b
a
f x d x ?（
x a =是奇点）收敛的充分必要条件是：0ε?>，0δ?>，当0,'ηηδ<<时，总有 ()'
a a f x d x ηη
ε++
.
定义2 若积分
()b
a
f x dx ?（x a =是奇点）收敛，就称()b a
f x dx ?绝对收敛。收敛但不
绝对收敛的积分成为条件收敛。
定理2 绝对收敛的广义积分必收敛。但反之不然。
三 无界函数广义积分的收敛性判别法
1. 柯西判别法
设x a =是()f x 的奇点，如果()f x ()
p c
x a ≤
-()0c >，1p <，那么 ()b
a
f x dx ?
绝对收敛. 如果()()0()p
c
f x c x a >>-，1p ≥，那么
()
b
a
f x d x ?发散。
2. 柯西判别法的极限形式
如果 ()lim p
x x
f x l →+∞
=， 则
（1）当0l ≤<+∞时，1p >，那么积分
()a f x dx +∞
?绝对收敛； （2）当0l <≤+∞时，1p ≤，那么积分
()a
f x dx +∞
?
发散。
例3：求下列广义积分：
1
?
1-?
例4：讨论广义积分
1
0?的收敛性。
定义3 设()f x 在[],a b 内无界，c 是唯一的奇点, 如果
()()0
l i m
c b
a
c f x dx f x dx η
η
η-+→??+???
?
??
存在，我们就称此极限为广义积分
()b a
f x dx ?的柯西主值，记为
()()()0..lim b
c b
a
a c PV f x dx f x dx f x dx ηηη-+→??=+????
?
??.
同样，对于无穷限的广义积分，柯西主值为
()()..lim
A
A
A PV f x dx f x dx +∞
-∞
-→+∞=?
?
例5：设a c b <<，求
1
b
a
dx x c
-?
的主值. 例6 讨论反常积分?-1
121dx x
的收敛性.
解: 函数21x
在区间[-1, 1]上除x =0外连续, 且∞=→201lim x x .由于
+∞=--=-=-→--?1)1(lim ]1[100
1012x x dx x
x , 即反常积分?-0121dx x 发散, 所以反常积分?-1
121dx x
发散.
例7 讨论反常积分?-b
a q
a x dx )(的敛散性.
解: 当q =1时, +∞=-=-=-??b a b a b
a q a x a
x dx a x dx )][ln()(.
当q >1时, +∞=--=--?b a q b
a q a x q
a x dx 1])(11[)(. 当q <1时,
q b a q b
a q a
b q a x q
a x dx ----=--=-?1 1)(11])(11[)(. 因此, 当q <1时, 此反常积分收敛, 其值为q a
b q ---1)(11; 当q ≥1时, 此反常积分发散.
五大基本初等函数性质及其图像
五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如，， ，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的，且都经过（1,1）点。当 时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数： 的图形，如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2
图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数，定义域 ，值域；当时函数为单调增加 的；当时为单调减少的，曲线过点。高等 数学中常用的指数函数是时，即。以与 为例绘出图形，如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数
函数称为对数函数，其定义域 ，值域。当时单调增加，当 时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面 内。与互为反函数。当时的对数 函数称为自然对数，当时，称为常用对数。以为例绘出图形，如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ，它们都是周期函 数。对三角函数作简要的叙述： （１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。
图1-1-6正弦函数图形 图1-1-7余弦函数图形 （２）正切函数，定义域，值 域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为 ，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。 图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为 ，为无界函数，周期在定义域为奇函 数，图形如图1-1-11。
无界函数的广义积分
§10.2 无界函数的广义积分 一 无界函数广义积分的概念 定义1 设()f x 在x b =的临近无界（我们称b 点为()f x 的奇点），但对于任意充分小的正数η，()f x 在[],a b η-上可积，即 lim ()b a f x dx η η+-→? 存在时，称这极限值I 为无界函数()f x 在[,]a b 上的广义积分。记作 ()0 lim ()b b a a f x dx f x dx η η+-→=? ? 。 如果上述的极限不存在，就称()b a f x dx ?发散。 类似可定义 ()b a f x dx ?（a 为奇点）. 如果()f x 在[,]a b 内部有一个奇点c ，a c b <<，当()c a f x d x ? 和()b c f x dx ?都收敛时， 就称 ()b a f x dx ?收敛，并且有 ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ??。 如果上式右边的任何一个积分发散，就称()f x dx +∞ -∞ ? 发散。 例1：讨论积分 () 1 b p a dx x a -?()0p >的收敛性。 例2：讨论积分 1 ? 的收敛性。 二 无界函数积分的性质 性质1 定积分的一些性质包括分部积分法和换元积分法对无界函数的广义积分也成立。 柯西收敛原理 ()b a f x d x ?（ x a =是奇点）收敛的充分必要条件是：0ε?>，0δ?>，当0,'ηηδ<<时，总有 ()' a a f x d x ηη ε++
无界是指没有界限
无界是指没有界限，但是并没有一个趋势 无穷大是有确定趋势的 你也可以从定义上把它们区分开 例如： 自然数列1，2，......，n，......在n增大的过程中稳定地趋于正无穷，它的通项是无穷大。 数列1，0，2，0，......，n，0，......在n增大的过程中肯定是无界的，但不是无穷大，因为无穷大要求从某一项开始后面的所有项都要大于某个大正数M，这个数列办不到这点。 无穷大一定无界，无界不见得是无穷大。 补充说明：上面的例子不是特例，一般来说无界而又不是无穷大的变量都是由于它们时大时小，不能稳定地趋于无穷。 无穷大，是x的某个变化过程中，|f(x)|无限增大。 对于f(x)=xsinx，x趋向于无穷大时，|f(x)|不是趋向于无穷大，因为它总有为零的点。 所以xsinx是无界变量，但不是无穷大变量。 （当X m(m下标)= m*pi 时，f(x)等于0） 无穷大：我的函数值在这里摆着，你来一瞧，哇，好大啊！那到底有多大呢？不管你随便说一个多大的正数M，我的函数值都比你的M大，就是说要多大有多大，很大，非常大，这个就是无穷大！ 无穷大是和自变量一个点x0或者一个极限过程(如趋向于x0或正无穷或负无穷) 有界和无界：无界就是有界的对立面，所以我先说有界，有界和无界都是区间！特性，一定和一个区间对应。 有界：在一个区间内，函数值就那么多，值域也就是一个集合，你来了，随便说了一个正数M,一看所有的函数值的绝对值都小于你说的那个M，也就是说所有的函数值都在-M到M之间，被你这个M圈住了,这个就是有界； 无界：在一个区间内，函数值就那么多，值域也就是一个集合，你来了，随便说了一个正数M想把所有的函数值都圈住,发现有的函数值的绝对值小于你说的那个M，但总有的函数值大于你说的M，最糟糕的是，发现不管你说一个多大的M总能找到圈不住的函数值，完了，看来是无边无界了。。。
无界函数广义积分的数值计算[开题报告]
毕业论文开题报告 信息与计算科学 无界函数广义积分的数值计算 一、选题的背景、意义 微积分从20世纪初开始进入中学，他作为人类文化的宝贵财富，正在武装一代又一代的新人，终将成为世人皆知的常识[1].通常谈到积分，最先想到的往往是定积分.研究函数的定积分，常常有两个比较重要的约束条件，即积分区间的有界性和被积函数的有界性[2].但在很多实际问题中往往需要突破这两个条件，考虑无穷区间上的积分或是无界函数的积分，通常也称他们为广义积分.通过以往对定积分学习，发现它可以使很多复杂的问题简单化，但是实际生活广义积分的应用更加具有实际意义.因此关于它的计算自然而然地成了很重要的研究课题，这也是本论文的研究中心. 广义积分的敛散性的判定是分析学的重要内容，有不少人对其研究，已得出了许多判定方法.有学者认为，由于积分与级数在理论上是统一的，因此有关正项级数的根式判别法可被推广以判别无穷限积分和 [3] .也有学者认为，将无穷积分及无界函数积分的被积函数运用 无穷小和无穷大比较的方法进行比较，得到了相应的反常积分敛散性极限审敛法的等价定理 [4] ，从而可运用等价定理灵活的判断反常积分的敛散性.总之，广义积分目前已有多种判别 收敛性的方法，但每个判别法都有其应用的局限性[5] ，随着广义积分理论的逐渐发展，相 信这些局限性会日趋减弱。 广义积分的敛散性的判别方法固然是很重要的问题，对于广义积分的计算的研究具有很重要的现实意义.在解析方法中，收敛的广义积分是通过用非奇异点（或有限点）代替奇异点（无穷点）并对其取极限的方法处理的 [6] .通常的积分计算直接利用公式 ()()()b a f x dx F b F a =-? 进行，但是，在实际问题中，这样往往是有困难的，有些被积函 数()f x 的原函数不能用初等函数表示成有限的形式；有些被积函数表达式很复杂；有些没有具体的解析表达式.而且，广义积分是指把积分扩展为函数在积分区间上无界或积分区间
广义积分
第九章 广义积分习题课 一、主要内容 1、基本概念 无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序 包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。 对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy 法。 3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。 注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。 注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。 二、典型例子 下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。 例1 判断广义积分?+∞+=0q p x x dx I 的敛散性。 分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。 解、记?+=101q p x x dx I ，?+∞+=12q p x x dx I
(整理)9广义积分习题课
第九章广义积分习题课 一、主要容 1、基本概念 无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy收敛准则、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序 包括定义在的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。 对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy法。
3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。 注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。 注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。 二、典型例子 下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。 例1 判断广义积分?+∞ +=0q p x x dx I 的敛散性。 分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。 解、记?+=1 01q p x x dx I ，?+∞+=12q p x x dx I 对1I ，先讨论简单情形。 q p =时，1
p 时，由于
本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数
§3 Euler 积分 本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即)(s Γ和),(q p B . 它们统称为 Euler 积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数. 一. Gamma 函数 )(s Γ 考虑无穷限含参积分 ?+∞ --01 dx e x x s , ) 0 (>s 当1 0<--x s e x .利用非负函数积的 Cauchy 判别法, 注意到 , 11 , 1) (lim 110?<-=---+ →s e x x x s s x 1 0<s 时积分? 1 收敛 . ? +∞ 1 : ) ( , 0112+∞→→=?-+--x e x e x x x s x s 对∈?s R 成立,.因此积分? +∞ 1 对∈?s R 收敛. 综上 , 0 >s 时积分?+∞ --01 dx e x x s 收敛 . 称该积分为Euler 第二型积分. Euler 第二型积分定义了) , 0 (∞+∈s 内的一个函数, 称该函数为Gamma 函数, 记为)(s Γ, 即 )(s Γ=?+∞ --01 dx e x x s , ) 0 (>s . -Γ函数是一个很有用的特殊函数 .
2. -Γ函数的连续性和可导性: )(s Γ在区间) , 0 (∞+内非一致收敛 . 这是因为0=s 时积分发散. 这里利用了 下面的结果: 若含参广义积分在] , (b a y ∈内收敛, 但在点a y =发散, 则积分在 ] , (b a 内非一致收敛 . 但)(s Γ在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛 .即在任何?],[b a ) , 0 (∞+上 , )(s Γ一致收敛 . 因为b a <<0时, 对积分?10 , 有x a x s e x e x ----≤11, 而积分?--1 1 dx e x x a 收敛. 对积分? +∞1 , x b x s e x e x ----≤11, 而积分?+∞ --1 1 dx e x x b 收敛. 由M —判法, 它们都 一致收敛, ? 积分?+∞--0 1 dx e x x s 在区间],[b a 上一致收敛 . 作类似地讨论, 可得积分dx e x s x s )(10'--+∞ ?也在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛. 于是 可得如下结论: )(s Γ的连续性: )(s Γ在区间) , 0 (∞+内连续 . )(s Γ的可导性: )(s Γ在区间) , 0 (∞+内可导, 且 ? ?∞ +∞+----=??=Γ'0 011ln )()(dx x e x dx e x s s x s x s . 同理可得: )(s Γ在区间) , 0 (∞+内任意阶可导, 且 ?+∞ --=Γ0 1) () ln ()(dx x e x s n x s n . 3. )(s Γ函数的凸性与极值: 0) ln ()(201>=Γ''?+∞ --dx x e x s x s , ? )(s Γ在区间) , 0 (∞+内严格下凸. 1)2()1(=Γ=Γ ( 参下段 ), ? )(s Γ在区间) , 0 (∞+内唯一的极限小值点 ( 亦为 最小值点 ) 介于1与2 之间 .
无穷限广义积分的计算
指导教师：陈一虎 作者简介：陈雪静(1986-),女,陕西咸阳人，数学与应用数学专业2008级专升本1班． 无穷限广义积分的计算 陈雪静 （宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013） 摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣. 关键词: 广义积分;收敛;计算方法 广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法. 1 无穷限广义积分的定义 定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限 lim ()d t a t f x x →+∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）,
(完整版)六大基本初等函数图像与性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）； α
1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 反常积分与定积分有何区别和联系 要想得出定积分和广义积分的区别与联系，我们需要先明确两者的定义。从定义的角度出发，对其进行讨论 定积分：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b]任意插入n-1个分点， a=x 0 广义积分被积函数的极限 顾敏康 01830535 （徐州师范大学 数学系 徐州 221116） 摘 要 本文讨论了广义积分 ? +∞ a dx x f )(的被积函数)(x f 当+∞→x 时的极限情况，这里我总结出了几个 0)(lim =+∞ →x f x 的条件. 关键词 广义积分; 被积函数 ; 极限 由文献[1]知无穷积分? +∞a dx x f )(收敛，则有当+∞→x 时0)(→x f 是否成立？反之是否 成立？结果答案都是否定的.例如2 sin lim x x +∞ →不存在，但dx x a ? +∞ 2 sin 收敛，而01lim =+∞ →x x ， dx x a ? +∞ 1发散.由此可见，这一结果和数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是不一致的。广 义积分和级数之间有内在的联系，而在这一点上两者不一样，所以一个自然的问题就是广义积分的被积函数在什么样的条件下极限存在且当+∞→x 时为零. 引理1 若函数)(x f 在[)+∞,a 连续，且b x f x =+∞ →)(lim ， 则函数)(x f 在[)+∞,a 上一致连续. 证明 已知b x f x =+∞ →)(lim ，即0>?ε，a M >?，()+∞∈?,,21M x x ，有 ε<-)()(21x f x f . 已知)(x f 在]1,[+M a 上连续,根据一致连续性定理,则)(x f 在[]1,+M a 一致连续,即()(),:1,,,100,02121δδδε<-+∈?<<>?>?x x M a x x 有 ε<-)()(21x f x f . 于是 [),,,2121δ<-+∞∈?x x a x x 且 都有 ε<-)()(21x f x f . 故函数)(x f 在[)+∞,a 上一致连续. 引理2 若函数)(x f 在区间I 满足李普希茨条件，即I y x ∈?,，有y x k y f x f -≤-)()(，其中是常数， 则)(x f 在I 上一致连续. 1 01 01.ln 1ln A B A 00A B 00B A xdx B dx x x x x x ======??关于无穷限反常积分和无界反常积分的研究 判断无界反常积分(暇积分)和定积分 请分别判断，是定积分还是反常积分因为中处被积函数无界，所以是它的暇点，所以是反常积分。 因为中处被积函数有界为0，所以不是它的暇点，所以是定积分。 2.无穷限反常积分与无界反常积分的审敛法比较 a.无穷限反常积分(书上的结论全部是在当f(x)>00()()()()()()()a a p f x g x a x g x f x M M f x f x x x +∞+∞≤≤≤≤+∞≤≤? ?的情况下给出的， 至于f(x)<0时会怎么样呢？) 反常积分的审敛首先要清楚的一点是，被积函数收敛性与反常积分收敛性的关系。收敛函数的反常积分也收敛，发散函数的反常积分也发散。 比较审敛原理：时，若收敛，则比较审敛法和极限审敛法，这两个其实是一回事，都是将被积函数和p 级数进行比较。 时收敛 ()().1()()p q b q a x f x xf x b x a dx x a +≤-∞-?时发散存在时收敛 存在时发散 无界函数反常积分(暇积分)能不能也将被积分函数和p 级数比较呢？ 是不是也有q 1时发散，p>1时收敛呢的结论呢？ 答案是否定的！！！ 因为无穷限反常积分和幂级数里面都是x->,所以审敛法与级数审敛法很接近， 很好理解，而无界函数在暇点处则不是趋近于无穷而是0。所以审敛法有些不一样。现在考虑这个暇积分()11() 0()()11q p b q b q a a x a p x x a dx x a x a q +--∞-->??-??--??≥? 被积函数为，暂且把它叫作q 级数，它和级数有些相似，但p 级数中x->而q 积数中。正是因为这个区别导致=的敛散性与p 级数有着相反的结论: 当q<1时积分收敛，当q 时积分发散 无穷限广义积分的计算 陈雪静 （宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013） 摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣. 关键词: 广义积分;收敛;计算方法 广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法. 1 无穷限广义积分的定义 定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限 lim ()d t a t f x x →+∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）,记作()d a f x x +∞ ? ,即 ()d a f x x +∞ ? =lim ()d t a t f x x →+∞?; 这时也称反常积分()d a f x x +∞? 收敛;如果上述极限不存在,函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分()d a f x x +∞ ?就没有意义,习惯上称为反常积分()d a f x x +∞? 发 散,这时记号()d a f x x +∞? 不再表示数值了. 类似地,设函数()f x 在区间(,]b -∞上连续,取t b <. 如果极限 lim ()d b t t f x x →-∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间(,]b -∞上的反常积分,记作()d b f x x -∞ ? ,即 ()d b f x x -∞ ? =lim ()d b t t f x x →-∞?; 这时也称反常积分()d b f x x -∞ ?收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分()d b f x x -∞ ? 发散. 设函数()f x 在无穷区间(,)-∞+∞内连续,如果广义积分 ()d c f x x -∞ ? 和()d c f x x +∞ ? （c 为常数） 都收敛,则称上述两个反常积分之和为函数()f x 在无穷区间(,)-∞+∞内的广义积 分,记作()f x dx +∞ -∞ ? ,即 ()d f x x +∞ -∞ ? =()d c f x x -∞ ? +()d c f x x +∞ ? =lim ()d c t t f x x →-∞?+lim ()d t c t f x x →+∞? 这时也称广义积分()d f x x +∞ -∞ ? 收敛;否则就称反常积分()d f x x +∞ -∞ ? 发散. 上述反常积分统称为积分区间为无穷区间的广义积分或无穷限广义积分. 2 无穷限广义积分的计算方法 2.1利用广义积分的定义求无穷限广义积分 由定义计算可以分两步: 1求定积分()d A a f x x ?=()F A .需要说明的是原函数()F A 均指有限形式. §6. 6 广义积分与-Γ函数 课 题：§6.6 广义积分 教学内容：两种广义积分的计算 教学目的：通过学习，使学生掌握两种广义积分的计算 教学重点：无穷去见上广义积分的计算 教学难点：无界函数广义积分的计算 教学过程： 一、无穷限的广义积分 定义1 设函数f (x )在区间[a , +∞)上连续, 取b >a . 如果极限 dx x f b a b )(lim ? +∞→ 存在, 则称此极限为函数f (x )在无穷区间[a , +∞)上的广义积分, 记作dx x f a )(?+∞ , 即 dx x f dx x f b a b a )(lim )(??+∞→+∞ =. 这时也称广义积分dx x f a )(?+∞ 收敛. 如果上述极限不存在, 函数f (x )在无穷区间[a , +∞)上的广义积分dx x f a )(?+∞ 就没有意义, 此时称广义积分dx x f a )(?+∞ 发散. 类似地, 设函数f (x )在区间(-∞, b ] 上连续, 如果极限 dx x f b a a )(lim ? -∞→ (a 第2节 无界函数的反常积分 我们知道，在[,]a b 上可积的函数都在[,]a b 上有界。下面我们考虑如果()f x 在某点[,]c a b ∈的附近无界，该怎么积分()b a f x dx ?？ 如果()f x 在c 的任意邻域内都无界，则c 称为()f x 的瑕点（反常点）。分别如下3种情况。 （1）设()f x 在[,]a b 上只有唯一的瑕点b ；又设[,)t a b ?∈， ()f x 在[,]a t 上都可积。考虑极限 0()lim ()()[]b b a a f x dx f x dx A A f x a b ε ε+-→??? =???? 不存在，则称反常积分发散（不存在）；存在，则称为在,上的反常积分，记为 ()lim ()b b a a f x dx A f x dx ε ε+-→==? ? 此时称()b a f x dx ?收敛。（先把积分区间缩小一点点。） 如果在[,)a b 上()F x 是()f x 的随便一个原函数，则 ()lim ()()()b b a a b f x dx F F a F x ττ- →=-=? （记住：b 是怎样代进去的？） （2）设()f x 在[,]a b 上只有唯一的瑕点a ；又设(,]t a b ?∈， ()f x 在[,]t b 上都可积。考虑极限 0()lim ()()[]b b a a f x dx f x dx A A f x a b ε ε++→??? =???? 不存在，则称反常积分发散（不存在）；存在，则称为在,上的反常积分，记为 ()lim ()b b a a f x dx A f x dx ε ε++→==? ? 此时称()b a f x dx ?收敛。（先把积分区间缩小一点点。） 如果在(,]a b 上()F x 是()f x 的随便一个原函数，则定积分和广义积分的区别与联系
广义积分被积函数的极限
关于无穷限反常积分与无界函数反常积分的研究
最新无穷限广义积分的计算(1)
§6广义积分与函数
第06章02节无界函数的广义积分