倍角公式教案

二倍角的正弦、余弦、正切公式

一、教学目标：

1.学会利用S (α+β) C (α+β) T (α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式 间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。 ２、记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用 公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。

二、教学重难点：

二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性

三、教学方法：

讨论式教学＋练习

五、教学过程

1 复习引入

前面我们学习了和(差)角公式，现在请一位同学们回答一下和角公式的内容： sin （α+β）=

cos （α+β）=

tan （α+β）=

计算三角函数值时，有些情况中，只用加或减不能满足要求，比如，角α，我们要求它的二倍，三倍，即2α，3α，等等，该如何求呢今天我们就先来学习二倍角的相关公式。

2 公式推导

在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢请同学们阅读课本132页——133页，并填写课本中的空白框。（让学生做5分钟）

（1）提问：

sin2α=sin （α+α）= sin αcos α+cos αsin α= 2sin αcos α

cos2α=cos （α+α）= cos αcos α－sin αsin α= cos 2α－sin 2α

tan2α= tan （α+α）=

tanα+ tanα1－tanαtanα =2tanα1－tan 2α

整理得:

sin2α=2sin αcos α

cos2α= cos 2α-sin 2α

tan2α= 2tanα1－tan 2α （2）提问：对于cos2α= cos 2α－ sin 2α，还有没有其他的形式

利用公式sin 2α + cos 2α=1变形可得：

cos2α = cos 2α－sin 2α=cos 2α－（1－cos 2α）=2cos 2α－1

cos2α = cos 2α－sin 2α=（1－sin 2α ）－sin 2α =1－2sin 2α

因此：cos2α = cos 2α－sin 2α

=2cos 2α－1

=1－2sin 2α

注意：1、要使tan2α= 2tanα1－tan 2α

有意义，α须满足 α∈﹛α∣α≠ k π+ π2，且α≠ k 2

π+ π4﹜ 2、这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去。

3、倍角的相对性：二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，比如4α是2α的二倍，α是α2 的二倍，这里蕴含着换元思想。

课堂练习：（学生做题，教师巡视）

化简求值 1、2sin15°cos15°

2、cos

2π6 －sin 2π6 3、tan22.5°1－tan 222.5°

4、2cos 2π4－1

答：○1 12 ○2 12 ○3 12

○4 0 3、公式应用（正用，逆用，活用） 例1 已知求sin2α= 513

，π4＜α＜π2 ，求sin4α，cos4α，tan4α的值． 解：详见教材133页

变式练习：（学生做题，教师巡视）

１、已知cos α= - 45

，π＜α＜2π，求sin2α，cos2α，tan2α的值． （sin2α= 2425 ，cos2α= 725 ，tan2α= 247

） 2、已知sin α－ cos α= 15

，0＜α＜π，求sin2α，cos2α，tan2α的值．

（sin2α = 2425 ，cos2α= - 725 ，tan2α= - 247

） 总结：sin α+ cos α，sin α- cos α，sin αcos α，知一求二，但要注意符号 的判断。

例2 化简 1、(sin α- cos α)2 2、cos 4α- sin 4α

解：1、原式 = sin 2α-2sin αcos α+ cos 2α

=（sin 2α+ cos 2α）-2sin αcos α

=1-sin2α

2、原式 =（cos 2α+sin 2α）（cos 2α-sin 2α）

= cos 2α-sin 2α

=cos2α

四、课堂小结

1、倍角公式： sin2α=2sinαcosα

cos2α = cos2α-sin2α

= 2cos2α-1

= 1-2sin2α

及推导过程

tan2α= 2tanα

1－tan2α

2、要注意倍角的相对性，及tan2α公式中角α的取值范围

3、公式的正用比较容易，逆用同学们还不够熟练，需要多加强。

五、板书设计

标题

1、两角和的正、余弦公式例1、随堂练习

2、二倍角公式例2、学生板书

六、作业布置

P137 2、3