平面向量及其应用经典试题(含答案)百度文库

一、多选题1．题目文件丢失！

2．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3

π

，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）

A ．△ABC 的外接圆面积是493

π

； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；

C ．b ＋c 可能等于16；

D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大

值是

3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >

D ．

sin sin sin +=+a b c

A B C

4．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）

A ．()

a c

b

c a b c ?-?=-? B ．()

()

b c a c a b ??-??与c 不垂直 C ．a b a b -<-

D ．(

)()

22

323294a b a b a b +?-=-

5．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且

AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）

A ．1A

B CE ?=- B ．0OE O

C +=

C ．32

OA OB OC ++=

D ．ED 在BC 方向上的投影为

76

6．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++

D ．AB AC BD CD -+-

7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）

A ．2OA OD ?=-

B ．2OB OH OE +=-

C ．AH HO BC BO ?=?

D ．AH 在AB 向量上的投影为2-

8．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且

()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）

A ．sin :sin :sin 4:5:6A

B

C = B ．ABC ?是钝角三角形

C ．ABC ?的最大内角是最小内角的2倍

D ．若6c =，则ABC ?外接圆半径为

87

7

9．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ） A ．5B ．

23

C ．23

-

D 510．下列命题中，结论正确的有（ ） A ．00a ?=

B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-

C ．若//AB C

D ，则A ?B ?C ?D 四点共线；

D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ?=，则四边形ABCD 为菱形. 11．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ?中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ?中，不等式sin cos A B >恒成立

C ．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC ?必是等腰直角三角形

D ．在ABC ?中，若060B =，2b ac =，则ABC ?必是等边三角形

12．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)-

B ．(6,15)

C ．(2,3)-

D ．(2,3)

13．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =

B ．AB B

C =

C ．AB C

D AD BC -=+ D ．AD CD CD CB +=-

14．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-

C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||b

D ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-

15．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量

B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个

C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得

()11122122e e e e λμλλμ+=+

D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==

二、平面向量及其应用选择题

16．已知圆C 的方程为2

2

(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x

上，线段AB 为圆C

的直径，则PA PB ?的最小值为（） A ．2

B ．

52

C ．3

D ．

72

17．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ?=?≠，则a b =

C ．若,,,A B C

D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ?>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ?<，则a 与b 的夹角为钝角 18．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且

3

03

aGA bGB cGC ++

=.则BAC ∠等于（ ） A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

19．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，

()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当01

05

t <<

时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π?? ???

B ．,32ππ?? ???

C ．2,23ππ??

??

?

D ．20,

3π?? ???

20．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ?的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ?的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形

D ．等边三角形

21．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若

2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（

）

A ．5

B ．22

C ．4

D ．16

22．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为

1S ，ABC 的面积为2S ，则1

2

S S =

A ．310

B ．38

C ．

25

D ．

421

23．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ） A ．sin sin A B >

B ．cos cos A B <

C ．sin2sin2A B >

D ．cos2cos2A B <

24．在ABC ?中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ?的重心和外心，则

()AG AW BC +?=（ ）

A ．4

B ．6

C ．10

D ．14

25．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若

()2

2S a b c +=+，则cos A 等于（ ）

A ．

45

B ．45

-

C ．

1517

D ．1517

-

26．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）

A 3

B ．

22

C 31

- D 21 27．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

28．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在

OC 方向上的投影相同，则a =（ ）

A ．12

-

B ．

12

C ．-2

D ．2

29．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，

则①AD ＝－b －

12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋1

2

b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

30．ABC ?中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ?一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

31．已知ABC ?的内角A 、B 、C 满足()()1

sin 2sin sin 2

A A

B

C C A B +-+=--+

，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +> C ．612abc ≤≤

D ．1224abc ≤≤

32．奔驰定理：已知O 是ABC ?内的一点，BOC ?，AOC ?，AOB ?的面积分别为A S ，

B S ，

C S ，则0A B C S OA S OB S OC ?+?+?=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的

结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ?内的一点，A ，B ，C 是ABC ?的三个内角，且点

O 满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则必有（ ）

A ．sin sin sin 0A OA

B OB

C OC ?+?+?= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ?+?+?= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=

D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ?+?+?= 33．已知1a b ==，1

2

a b ?=

，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，

b ，对于任意实数m ，n ，不等式a

c b

d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为

（ ）

A ．(

-∞ B ．)

+∞

C ．(

-∞ D ．)

+∞

34．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ）

A ．等腰直角三角形

B ．等腰三角形

C ．直角三角形

D ．等边三角形

35．在ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（ ） A ．2

3BG BE = B ．2CG GF = C ．1

2

DG AG =

D ．0GA GB GC ++=

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．无 2．ABD 【分析】

根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】

对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确； 对于B ，根据正弦定 解析：ABD 【分析】

根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】

对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理

2sin a R A =，可得R =ABC 的外接圆面积是249

3

S R ππ==

，故A 正确； 对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为

2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．

对于C ，22(sin sin )2[sin sin(

)]3

b c R B C R B B π

+=+=+-

114(cos )14sin()223

B B B π=+=+

14b c ∴+≤，故C 错误．

对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得

11

sin 22

ad bc A =，即sin bc A

d a

=

，再根据①中的结论，可得d =D 正确． 故选：ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．

3．ACD 【分析】

根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】

对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确； 对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误； 对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角

解析：ACD 【分析】

根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】

对于A ，在ABC ，由正弦定理得

2sin sin sin a b c

R A B C

===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；

对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2

A B π

+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错

误；

对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以

A B >，故C 正确；

对于D ，由正弦定理得

2sin sin sin a b c

R A B C

===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C

R B C B C ++==++，故D 正确.

故选：ACD. 【点睛】

本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 4．ACD

【分析】

A ，由平面向量数量积的运算律可判断；

B ，由平面向量垂直的条件、数量积的

运算律可判断；C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D ，由平

解析：ACD 【分析】

A ，由平面向量数量积的运算律可判断；

B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；

C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；

D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】

选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，

()()()()()()()()

0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ????-???=???-???=???-???=??

， ∴()()b c a c a b ??-??与c 垂直，即B 错误；

选项C ，∵a 与b 不共线，

∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；

若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：

由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；

选项D ，()()

22

223232966494a b a b a a b a b b a b +?-=-?+?-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】

本小题主要考查向量运算，属于中档题.

5．BCD 【分析】

以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】

由题E 为AB 中点，则，

以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，

解析：BCD 【分析】

以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】

由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，

以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，123

(0,0),(1,0),(1,0),3),(,

)33

E A B C D -， 设123

(0,),3),(1,),(,3

O y y BO y DO y ∈==-，BO ∥DO ， 所以3133y y -

=-，解得：3

2

y =

， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；

3

2OA OB OC OE OC OE ++=+==

，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ?=，所以选项A 错误；

123(,33

ED =，(1,3)BC =，

ED 在BC 方向上的投影为12

7

326BC BC

ED +?==，所以选项D 正确.

故选：BCD 【点睛】

此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.

6．BD

【分析】

根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】

对于选项：，选项不正确； 对于选项： ，选项正确； 对于选项：，选项不正确； 对于选项： 选项正确. 故选：

解析：BD 【分析】

根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】

对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确； 对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确； 对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；

对于选项D ：()()

0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确. 故选：BD

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.

7．AB 【分析】

直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】

图2中的正八边形，其中， 对于；故正确． 对于，故正确．

对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于

解析：AB 【分析】

直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】

图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，

对于3:11cos

4A OA OD π=??=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．

对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32

||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】

本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

8．ACD 【分析】

先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】 因为

所以可设：（其中），解得： 所以，所以A 正确；

由上可知：边最大，所以三角形中角最大， 又 ，所以角为

解析：ACD 【分析】

先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】

因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=

所以可设：91011a b x

a c x

b

c x +=??

+=??+=?

（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===

所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确； 由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，

又222222(4)(5)(6)1

cos 022458

a b c x x x C ab x x +-+-===>?? ，所以C 角为锐角，所以B 错

误；

由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，

又222222(6)(5)(4)3

cos 22654

c b a x x x A cb x x +-+-===??，

所以2

1

cos22cos 18

A A =-=

，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π??∈ ???

所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =

，又sin 8

C ==

所以

28

R =

，解得：7

R =，所以D 正确. 故选:ACD. 【点睛】

本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.

9．AD 【分析】

利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】

由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】

本题考查利用正弦定理与同

解析：AD 【分析】

利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】

由正弦定理sin sin b a B A

=，可得1

20sin 22sin 153

b A B a ?

===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.

因此，cos 3

B ==±. 故选：AD. 【点睛】

本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.

10．BD 【分析】

根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】

解：对于A ，，故A 错误；

对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确； 对于C ，，则或与共线，故C 错误； 对于D ，在四边形中，若

解析：BD 【分析】

根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】

解：对于A ，00a ?=，故A 错误； 对于B ，若a b ⊥，则0a b ?=，所以2222

||2a b a b a b a b +=

++?=+，

2222

||2a b a b a b a b -=+-?=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；

对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；

对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ?=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD 【点睛】

本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.

11．ABD 【分析】

对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得

解析：ABD 【分析】

对于选项A 在ABC ?中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >?>?>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ?中，由

02

2

A B π

π

>>

->，可得

sin sin()cos 2

A B B π

>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ?中，由

cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ?中，利用余弦定理可得：

2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =?，即可得到ABC ?的形状，即

可判断出正误. 【详解】

对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ?中，A ，(0,

)2

B π

∈，

2

A B π

+>

，∴

02

2

A B π

π

>>

->，

sin sin()cos 2

A B B π

∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；

对于C ，在ABC ?中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：

sin cos sin cos A A B B =， sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，

22A B ∴=或222A B π=-，

A B ∴=或2

A B π

+=，

ABC ?∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.

对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，

可得2

()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===?，故正确.

故选：ABD . 【点睛】

本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.

12．ABC 【分析】

设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】 第四个顶点为， 当时，，

解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得

解析：ABC 【分析】

设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.

第四个顶点为(,)D x y ，

当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，

解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，

解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，

解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】

本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.

13．BCD 【分析】

由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】

菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误； 因为，，且， 所以，即C 结论正确； 因为，

解析：BCD 【分析】

由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】

菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误；

因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确； 因为AD CD BC CD BD +=+=，

||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.

故选：BCD 【点睛】

本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.

14．AB

若，则反向，从而； 若，则，从而可得；

若，则同向，在方向上的投影为

若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得； 对于选

解析：AB 【分析】

若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=； 若a b ⊥，则0a b ?=，从而可得||||a b a b +=-；

若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a

若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得

a b λ=；

对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ?=，

222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+?+-=-?+,可得||||a b a b +=-；

对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;

对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.

15．AD 【分析】

根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】

由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的. 对于B,由平面向量基本

解析：AD 【分析】

根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为

0时，λ有无数个,故不正确. 【详解】

由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的.

对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确； 对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个，所以不正确. 故选:AD . 【点睛】

本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.

二、平面向量及其应用选择题

16．B 【分析】

将PA PB ?转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ?的最小值. 【详解】

()()()()

PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ?=+?+=+?-2

222||||||22

PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】

本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 17．C 【分析】

根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】

因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ?=?≠，但a b ≠，故B 不正确；

,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形

ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且

||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ?>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正

确. 故选：C

【点睛】

本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积. 18．D 【分析】

由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入

303aGA bGB cGC ++=中可得3()0b a GB c a GC ??-

+-= ? ???,由,GB GC 不共线可得0

03

b a a -=?-=?,即可求得,,a b

c 的关系,进而利用余弦定理求解即可 【详解】

因为点G 是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=, 所以GA GB GC =--,

代入30aGA bGB cGC ++=可得3()03b a GB c a GC ??-+-=

? ???, 因为,GB GC 不共线,所以0

0b a a -=?-=,

即b a c =???=??,所以222cos 22b c a BAC bc +-∠==

,故30BAC ?∠=, 故选:D 【点睛】

本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角 19．C 【解析】 【分析】

根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，

()()2

2

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出

012cos 54cos t θθ

+=

+，再由01

05t <<，可求得夹角θ的取值范围.

【详解】 因为2cos OA OB θ?=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，

()()22

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，

∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ

+=

+，又01

05t <<，则

12cos 1054cos 5

θθ+<

<+，得1

cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，

所以223ππθ<<，

故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题. 20．D 【分析】

先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】

因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ， 所以()sin 0B A -=，所以A B =， 又因为2B A C B π=+=-，所以3

B π

=，

所以3

A B π

==，所以ABC 是等边三角形.

故选：D. 【点睛】

本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 21．C 【分析】

根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4

A π

=,再根据面积公式可求得6(2bc =,

再代入余弦定理求解即可. 【详解】

ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,

又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,

∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,

∴4

A π

=

.∵1sin 1)24

ABC

S

bc A ===-,

∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得2

2

()22cos a b c bc bc A =+--,

∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++?-=,可得4b c +=.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 22．A 【解析】

∵2350OA OB OC ++=，∴()()

23OA OC OB OC +=-+． 设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-, ∵MN 为ABC 的中位线，且

32

OM ON

=

， ∴3

613

225

54

10

OAC

OMC

CMN

ABC ABC S

S

S

S S ??==?=?= ???，即12310

S S =．选A ． 23．C 【分析】

由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ． 【详解】

设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ， 由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确； 由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；

sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =， 当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；

2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确． 故选：C ． 【点睛】

本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 24．C 【解析】 【分析】

取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ?的重心和外心，则0DW BC ?=， 再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】

解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ?的重心和外心 0DW BC ∴?=

()()

22113323

AG AD AB AC AB AC ∴=

=?+=+ ()

1

2

AW AD DW AB AC DW =+=

++