带原点平移的反幂法解特征值
书P65
5、已知矩阵????
??????----=43033101
3A 的一个特征值为5≈λ，试用反幂法求λ和相应的特征向量，要求.10411
11-----≤-k
k k βββ
解：根据原点平移的反幂法，先分解矩阵：
LU I A =????
?
??-----=-13038101
85
L =
1.0000 0 0
-0.1250 1.0000 0
0 0.3810 1.0000
U =
-8.0000 1.0000 0
0 -7.8750 -3.0000
0 0 0.1429
（1）取初始向量T u )0,0,1(0=
解方程组001)5(u y u I A ==-
解得=1u （-0.1111 0.1111 -0.3333）T
T u
u
y)
9045
.0
,
3015
.0
,
3015
.0
(
2
1
1
1
-
-
=
=
（2）再解方程组
1
2
)
5
(y
u
I
A=
-
解得=
2
u（0.3685 2.6465 -7.0350）T
T u
u
y)
93484
.0
,
35168
.0
,
04896
.0(
2
2
2
2
-
=
=
（3）再解方程组
2
3
)
5
(y
u
I
A=
-
解得=
3
u（0.3452 2.8110 -7.4980）T
T u
u
y)
93549
.0
,
35072
.0
,
04307
.0(
2
3
3
3
-
=
=
（4）再解方程组
3
4
)
5
(y
u
I
A=
-
解得=
4
u（0.3460 2.8112 -7.4980）T
T u
u
y)
93548
.0
,
3507
.0
,
04317
.0(
2
4
4
4
-
=
=
所以
015150
.8
)
4980
.7
,
8112
.2,
3460
.0(
)
93549
.0
,
35072
.0,
04307
.0(
4
3
4
=
-
?
-
=
=
T
T u
y
β
特征值12476
.5
5
1
4
=
+
≈-β
λ
特征向量
T u
u
y
x)
93549
.0
,
35072
.0
,
04307
.0(
2
3
3
3
-
=
=
≈
幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量
数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量 —一 .幂法 1. 幕法简介： 当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幕法计算其主特征值 (按模最大) 及其特征向量。矩阵A 需要满足的条件为： ⑴I 1 I I 2|n |- 0, i 为A 的特征值 (2)存在n 个线性无关的特征向量，设为 X i ,X 2，…，X n 1.1计算过程： n 对任意向量x (0)，有x (0)八：-M —不全为0,则有 i 4 X (k 岀)=Ax (k)= = A k 岀乂。) n n A k 1 aq a 扌1 5 i =1 i =1 ■k 1 2 可见，当 1 — 1 越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有 ? "1 2算法实现 ⑶.计算x Ay,… max(x); ⑷若| ?一十：；,输出-,y,否则,转(5) (5)若N ,置k 「k 1^ -,转3,否则输出失败信息，停机. 3 matlab 程序代码 (冲1 %叫 x (k 1) [x (k) k 二 u x (k) > (k+1) 1，对应的特征向量即是 x (1).输入矩阵A ，初始向量X ，误差限 最大迭代次数N (k) 0; y (k) max(abs(x (k ))
k=1; z=0; y=x0./max(abs(x0)); x=A*y; % z相当于■ %规范化初始向量%迭代格式 b=max(x); % b相当于： if abs(z-b)
幂法及反幂法
随机产生一对称矩阵，对不同的原点位移和初值(至少取3个)分别使用幂法求计算矩阵的主特征值及主特征向量，用反幂法求计算矩阵的按模最小特征值及特征向量。 要求 1）比较不同的原点位移和初值说明收敛性 2）给出迭代结果，生成DOC 文件。 3）程序清单，生成M 文件。 解答： >> A=rand(5) %随机产生5*5矩阵 求随机矩阵 A = 0.7094 0.1626 0.5853 0.6991 0.1493 0.7547 0.1190 0.2238 0.8909 0.2575 0.2760 0.4984 0.7513 0.9593 0.8407 0.6797 0.9597 0.2551 0.5472 0.2543 0.6551 0.3404 0.5060 0.1386 0.8143 >> B=A+A' %A 矩阵和A 的转置相加，得到随机对称矩阵B B = 1.4187 0.9173 0.8613 1.3788 0.8044 0.9173 0.2380 0.7222 1.8506 0.5979 0.8613 0.7222 1.5025 1.2144 1.3467 1.3788 1.8506 1.2144 1.0944 0.3929 0.8044 0.5979 1.3467 0.3929 1.6286 B=??? ???? ???? ?? ???6286.13929.03467.15979.08044.03929.00944.12144.18506.13788.13467.12144.15025.17222.08613.05979.08506.17222.02380.09173.08044.03788.18613.09173.04187.1
北航数值分析大作业第一题幂法与反幂法
《数值分析》计算实习题目 第一题： 1. 算法设计方案 （1）1λ，501λ和s λ的值。 1)首先通过幂法求出按模最大的特征值λt1，然后根据λt1进行原点平移求出另一特征值λt2，比较两值大小，数值小的为所求最小特征值λ1，数值大的为是所求最大特征值λ501。 2)使用反幂法求λs ，其中需要解线性方程组。因为A 为带状线性方程组，此处采用LU 分解法解带状方程组。 （2）与140k λλμλ-5011=+k 最接近的特征值λik 。 通过带有原点平移的反幂法求出与数k μ最接近的特征值 λik 。 （3）2cond(A)和det A 。 1）1=n λλ2cond(A)，其中1λ和n λ分别是按模最大和最小特征值。 2）利用步骤（1）中分解矩阵A 得出的LU 矩阵，L 为单位下三角阵,U 为上三角阵，其中U 矩阵的主对角线元素之积即为det A 。 由于A 的元素零元素较多，为节省储存量，将A 的元素存为6×501的数组中，程序中采用get_an_element()函数来从小数组中取出A 中的元素。 2.全部源程序 #include
实验6反幂法求矩阵按模最小特征值
西华数学与计算机学院上机实践报告 课程名称：计算方法A 年级：2010级 上机实践成绩： 指导教师：严常龙 姓名：李国强 上机实践名称：反幂法求矩阵按模最小特征值 学号：362011********* 上机实践日期：2013.12.18 上机实践编号：6 上机实践时间：14:00 一、目的 1．通过本实验加深对反幂法的构造过程的理解； 2．能对反幂法提出正确的算法描述编程实现，得到计算结果。 二、内容与设计思想 自选方阵，用反幂法求解其按模最小特征值。 可使用实例： ????? ??---=90688465441356133A 三、使用环境 操作系统：Win 8 软件平台：Visual C++ 6.0 四、核心代码及调试过程 #include
{ printf("the input n is larger than MAX_N,please redefine the MAX_N.\n"); return 1; } if(n<=0) { printf("please input a number between 1 and %d.\n",MAX_N); return 1; } //输入A矩阵 printf("请输入矩阵的值a[i][j] i,j=0...%d;\n",n-1); for(i=0;i 《数值分析》实验8 一．实验名称：反幂法 二、实验目的： （1） 掌握求矩阵按模最小特征值及其对应的特征向量的规范化反幂法； （2） 掌握原点移位法。 三、实验要求 （1） 按照题目要求完成实验内容 （2） 写出相应的实验原理与C 语言程序 （3） 给出实验结果，结果分析 （4） 写出相应的实验报告 四、实验题目： 用反幂法求以下矩阵的指定特征值及其特征向量（迭代终止误差为1e-3）： 41411014110?? ? ? ??? 接近2的特征值及其特征向量. 程序： #include 幂法和反幂法的matlab实现 幂法求矩阵主特征值及对应特征向量 摘要 矩阵特征值的数值算法，在科学和工程技术中很多问题在数学上都归结为矩阵的特征值问题，所以说研究利用数学软件解决求特征值的问题是非常必要的。实际问题中，有时需要的并不是所有的特征根，而是最大最小的实特征根。称模最大的特征根为主特征值。 幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）及对应特征向量的迭代方法，它最大的优点是方法简单，特别适用于大型稀疏矩阵，但有时收敛速度很慢。 用java来编写算法。这个程序主要分成了四个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块；第四部分为页面设计及事件处理。其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列的验证和迭代得到结果。 关键字：主特征值；特征向量；线性方程组；幂法函数块 POWER METHOD FOR FINDING THE EIGENVALUES AND CORRESPONDING EIGENVECTORS OF THE MATRIX ABSTRACT Numerical algorithm for the eigenvalue of matrix, in science and engineering technology, a lot of problems in mathematics are attributed matrix characteristic value problem, so that studies using mathematical software to solve the eigenvalue problem is very necessary. In practical problems, sometimes need not all eigenvalues, but the maximum and minimum eigenvalue of real. The characteristic value of the largest eigenvalue of the modulus maximum. Power method is a calculation of main features of the matrix values (matrix according to the characteristics of the largest value) and the corresponding eigenvector of iterative method. It is the biggest advantage is simple method, especially for large sparse matrix, but sometimes the convergence speed is very slow. Using java to write algorithms. This program is divided into three parts: the first part is the matrix is transformed into linear equations; the second part for the sake of feature vector of the maximum; the third part is 幂法反幂法求解矩阵大小特征值及其对应的特征向量 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量 一.幂法 1. 幂法简介： 当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。矩阵A 需要满足的条件为： (1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21 ≥≥≥> (2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,21 1.1计算过程： i n i i i u x x αα,1 ) 0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有 1 11111221 12111 1 1 11 1 011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k n i i k i i n i i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈? ? ????+++======∑∑ 可见，当||1 2 λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)11 11)11111λαλαλ=??????==+++(k )(k k (k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。 2 算法实现 . ,, 3,,1 , ).5() 5(,,,,||).4();max(,).3() (max(;0,1).2(,).1()() () (停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←= ←←k k N k y x Ay x x abs x y k N x A k k k 3 matlab 程序代码 数值分析之幂法及反幂法C 语言程序实例 1、算法设计方案： ①求1λ、501λ和s λ的值： s λ：s λ表示矩阵的按模最小特征值，为求得s λ直接对待求矩阵A 应用反幂法即可。 1λ、501λ：已知矩阵A 的特征值满足关系 1n λλ<< ，要求1λ、及501λ时，可 按如下方法求解： a ． 对矩阵A 用幂法，求得按模最大的特征值1m λ。 b ． 按平移量1m λ对矩阵A 进行原点平移得矩阵1m B A I λ=+，对矩阵B 用反幂法 求得B 的按模最小特征值2m λ。 c ． 321m m m λλλ=- 则：113min(,)m m λλλ=，13max(,)n m m λλλ=即为所求。 ②求和A 的与数5011 140 k k λλμλ-=+最接近的特征值 ik λ（k=0，1，…39）： 求矩阵A 的特征值中与k μ最接近的特征值的大小，采用原点平移的方法： 先求矩阵 B=A-k μI 对应的按模最小特征值k β，则k β+k μ即为矩阵A 与k μ最接近的特征值。 重复以上过程39次即可求得ik λ（k=0，1，…39）的值。 ③求A 的（谱范数）条件数2cond()A 和行列式det A ： 在（1）中用反幂法求矩阵A 的按模最小特征值时，要用到Doolittle 分解方法，在Doolittle 分解完成后得到的两个矩阵分别为L 和U ，则A 的行列式可由U 阵求出，即：det(A)=det(U)。 求得det(A)不为0，因此A 为非奇异的实对称矩阵，则： max 2()s cond A λλ= ，max λ和s λ分别为模最大特征值与模最小特征值。 书P65 5、已知矩阵???? ??????----=43033101 3A 的一个特征值为5≈λ，试用反幂法求λ和相应的特征向量，要求.104 11 11-----≤-k k k βββ 解：根据原点平移的反幂法，先分解矩阵： LU I A =???? ? ??-----=-1303810185 L = 1.0000 0 0 -0.1250 1.0000 0 0 0.3810 1.0000 U = -8.0000 1.0000 0 0 -7.8750 -3.0000 0 0 0.1429 （1）取初始向量T u )0,0,1(0= 解方程组001)5(u y u I A ==- 解得=1u （-0.1111 0.1111 -0.3333）T T u u y) 9045 .0 , 3015 .0 , 3015 .0 ( 2 1 1 1 - - = = （2）再解方程组 1 2 ) 5 (y u I A= - 解得= 2 u（0.3685 2.6465 -7.0350）T T u u y) 93484 .0 , 35168 .0 , 04896 .0( 2 2 2 2 - = = （3）再解方程组 2 3 ) 5 (y u I A= - 解得= 3 u（0.3452 2.8110 -7.4980）T T u u y) 93549 .0 , 35072 .0 , 04307 .0( 2 3 3 3 - = = （4）再解方程组 3 4 ) 5 (y u I A= - 解得= 4 u（0.3460 2.8112 -7.4980）T T u u y) 93548 .0 , 3507 .0 , 04317 .0( 2 4 4 4 - = = 所以 015150 .8 ) 4980 .7 , 8112 .2, 3460 .0( ) 93549 .0 , 35072 .0, 04307 .0( 4 3 4 = - ? - = = T T u y β 特征值12476 .5 5 1 4 = + ≈-β λ 特征向量 T u u y x) 93549 .0 , 35072 .0 , 04307 .0( 2 3 3 3 - = = ≈ 数值分析幂法与反幂法 matlab程序 随机产生一对称矩阵，对不同的原点位移和初值(至少取3个)分别使用幂法求计算矩阵的主特征值及主特征向量，用反幂法求计算矩阵的按模最小特征值及特征向量。 要求 1）比较不同的原点位移和初值说明收敛性 2）给出迭代结果，生成DOC文件。 3）程序清单，生成M文件。 解答： >> A=rand(5) %随机产生5*5矩阵求随机矩阵 A = 0.7094 0.1626 0.5853 0.6991 0.1493 0.7547 0.1190 0.2238 0.8909 0.2575 0.2760 0.4984 0.7513 0.9593 0.8407 0.6797 0.9597 0.2551 0.5472 0.2543 0.6551 0.3404 0.5060 0.1386 0.8143 >> B=A+A' %A矩阵和A的转置相加，得到随机对称矩阵B B = 1.4187 0.9173 0.8613 1.3788 0.8044 0.9173 0.2380 0.7222 1.8506 0.5979 0.8613 0.7222 1.5025 1.2144 1.3467 1.3788 1.8506 1.2144 1.0944 0.3929 0.8044 0.5979 1.3467 0.3929 1.6286 B=?? ????? ???? ?? ???6286.13929.03467.15979.08044 .03929.00944 .12144.18506 .13788.13467.12144.15025.17222.08613.05979.08506.17222.02380.09173.08044.03788.18613 .09173 .04187.1 编写幂法、反幂法程序： function [m,u,index,k]=pow(A,u,ep,it_max) % 求矩阵最大特征值的幂法，其中 % A 为矩阵； % ep 为精度要求，缺省为1e-5； % it_max 为最大迭代次数，缺省为100； % m 为绝对值最大的特征值； % u 为对应最大特征值的特征向量； % index ，当index=1时，迭代成功，当index=0时，迭代失败 if nargin<4 it_max=100; end if nargin<3 ep=1e-5; end n=length(A); index=0; k=0; m1=0; m0=0.01; % 修改移位参数，原点移位法加速收敛，为0时，即为幂法 I=eye(n) T=A-m0*I while k<=it_max v=T*u; [vmax,i]=max(abs(v)); m=v(i); u=v/m; if abs(m-m1) 图形在坐标中的平移（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换. 2. 运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图. 【要点梳理】 要点一、点在用坐标中的平移 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)． 要点诠释： （1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减； （2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减； （3）在坐标系内，平移点的坐标规律：沿x轴方向平移纵坐标不变,沿y轴方向平移横坐标不变． 要点二、图形在坐标中的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 要点诠释： （1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决． （2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 【典型例题】 类型一、点在用坐标中的平移 1．（2016?藁城区校级模拟）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′，若点A′位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（） A．m＜0，n＞0 B．m＜1，n＞﹣2 C．m＜0，n＜﹣2 D．m＜﹣2，m＞﹣4【思路点拨】根据点的平移规律可得向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到（m﹣1+3，n+2+2），再根据第二象限内点的坐标符号可得． 【答案与解析】 解：点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点A′（m+2，n+4），∵点A′位于第二象限， ∴，解得：m＜﹣2，n＞﹣4，故选D． 【总结升华】此题主要考查了点的坐标平移规律，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 2. 如果将点P（3，4）沿x轴方向平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位后的坐标是_______． 【答案】（1,1）或（5，1） 【解析】 解：直接利用平移中点的变化规律求解即可．由点P的平移规律可知，此题规律是（x-2，y-3），或（x+2,y-3） 数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量附Matlab程序 矩阵的特征值与特征向量的计算 摘要 物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题（桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等）、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。 幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。其基本思想是任取一个非零的初始向量。由所求矩阵构造一向量序列。再经过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。 反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。然后经过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。 关键词：矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法 THE CALCULATIONS OF EIGENVALUE AND EIGENVECTOR OF MATRIX ABSTRACT Physics, mechanics, engineering technology in a lot of problems in mathematics are attributed to matrix eigenvalue problem, such as vibration (vibration of the bridge, mechanical vibration, electromagnetic vibration, etc.) in physics, some critical values determine problems and 聚能教育学科教师辅导教案 学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课主题 图形在坐标中的平移 教学目标 1、 授课日期及时段 教学内容 1、如图，A ，B 的坐标为（2，0），（0，1）若将线段AB 平移至11A B ，则a b +的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2、将点P 向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P '（1-，3），则点P 的坐标是______． y O (01)B ， (20)A ， 1(3)A b ， 1(2)B a ， x 课前检测 图形在坐标中的平移 4、如图，在边长为1的正方形网格中，将ABC △向右平移两个单位长度得到A B C ''' △，则与点B'关于x 轴对称的点的坐标是（） A．() 01 - ， B．() 11， C．() 21 - ， D．() 11 - ， 1．点的平移： 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）； 将点（x，y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）； 将点（x，y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x，y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。 注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。 平移口诀：“左＋右－、上＋下－” 知识梳理 2.图形的平移 图形向左平移m个单位，纵坐标不变，横坐标m个单位；图形向右平移m个单位， 纵坐标不变，横坐标m个单位；图形向上平移个单位，横坐标，纵坐标增加 n个单位；向下平移n个单位，不变，减小n个单位。 3.图形的旋转 类型一：点的平移 例1、.如上图，已知直角坐标系中的点A，点B的坐标分别为A（2，4），B（4，0），且P为AB的中点，若将线段AB向右平移3个单位后，与点P对应的点为Q，则点Q的坐标为（） A.（3，2） B.（6，2） C.（6，4） D.（3，5） 1、线段CD是由线段AB平移得到的，点(14) A-，的对应点为(47) C，，则点(41) B--，的对应点D的坐标是． 类型二：图形的平移 例2、三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A(2，－1)、B(1，－3)、C(4，－3.5)． 把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点 的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；在平面直角坐标系中，将点M（1，0）向右平移3个单位，得到点 1 M，则 点 1 M的坐标为________． 1、矩形ABCD在坐标系中的位置如图3所示，若矩形的边长AB为1，AD为2，则点A，B，C，D的坐标依次为________； 典型例题 2 4 1 3 3 1 O x y A B P 4 一、问题的描述及算法设计 （一）问题的描述 我所要做的课题是：对称矩阵的条件数的求解设计 1、求矩阵A 的二条件数 问题 A=?? ?? ? ?????----210121012 2、设计内容： 1）采用幂法求出A 的 错误!未找到引用源。. 2）采用反幂法求出A 的错误!未找到引用源。. 3）计算A 的条件数 ⅡA Ⅱ2* ⅡA -1Ⅱ2=cond2（A ）=错误!未找到引用源。/错误!未找到引用源。.（精度要求为10-6） 3、设计要求 1）求出ⅡA Ⅱ2。 2）并进行一定的理论分析。 （二）算法设计 1、幂法算法 （1）取初始向量u )0(（例如取u )0(=(1,1,…1)T ）,置精度要求ε，置k=1. （2）计算 v )(k =Au )1(-k ,m k =max(v )(k ), u )(k = v )(k / m k （3）若| m k = m 1-k |<ε，则停止计算（m k 作为绝对值最大特征值1λ，u )(k 作为相应的特征向量）否则置k=k+1，转（2） 2、反幂法算法 （1）取初始向量u )0(（例如取u )0(=(1,1,…1)T ）,置精度要求ε，置k=1. （2）对A 作LU 分解，即A=LU （3）解线性方程组 Ly )(k =u )1(-k ,Uv )(k =y )(k （4）计算 m k =max(v )(k ), u )(k = v )(k / m k （5）若|m k =m 1-k |<ε，则停止计算（1/m k 作为绝对值最小特征值n λ，u )(k 作 为相应的特征向量）;否则置k=k+1，转（3）. 二、算法的流程图（一）幂法算法的流程图 当前位置：第7章>>第1节>>7.1.3 逆幂法 逆幂法是求实方阵按模最小特征值及相应的特征向量的一种反迭代方法。 1. 求A按模最小的特征值 设非奇异矩阵A的n 个特征值为，其相应的特征向量为e ，则的特征值为 其相应的特征向量仍为。 按模最大的特征值的倒数则为矩阵A按模最小的特征值。 利用乘幂法求按模最大的特征值。 任取初始非零初始向量，作迭代序列 它等价于 （7.5） 我们可以通过反迭代过程，即解方程组. 求得. 当k 充分大时，则有 在实际计算中，为了减少运算量，先将矩阵A作三角分解A=LR 然后再求解方程组 2．求在附近的特征值 设与最接近的特征值为即有 作矩阵，它的特征值和相应的特征向量为 若用逆幂法于矩阵，则有 则可求出矩阵的按模最小的特征值和相应的特征向量为 于是得A在附近的特征值和相应的特征向量为 （7.6） 例3 用逆幂法求矩阵在3.4附近的特征值和相应的特征向量 解对进行三角分解得： 用半次迭代法，取，则 得 再解 得 再解 得 于是 练习7.1 1.用乘幂法求矩阵按模最大特征值与特征向量 . 乘幂法的计算公式 设矩阵A的n个特征值按模的大小排列为： 其相应的特征向量为且它们是线性无关的。 先任取非零初始向量，作迭代序列 首先将表示为 所以 为了得出计算和的公式，下面分三种情况讨论 1．为实根，且。 当不为0，k充分大时，则有 所以（7.1）2．为实根，且。 当不为0，k充分大时，则有 （7.2）于是得 从而有 （7.3）3．,且。当k充分大时，则有 在实际应用幂法时，可根据迭代向量个分量的变化情况判断属于那种情况。 若迭代向量各分量单调变化，且有关系式，则属于第1种情况； 若迭代向量各分量不是单调变化，但有关系式，则属于第2种情况； 四年级平移教案 【篇一：四年级数学精品教案《平移》】 《平移》教学设计 人教版小学数学四年级下册执教者：徐昕焉耆县第一小学 教学目标： 1.能根据平移前后的图形，确定图形移动的方向和移动的格数。 2.能根据图形移动的方向和移动的格数画出平移后的图形。教学重点： 能根据平移前后的图形，确定图形移动的方向和移动的格数。 教学难点： 在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。教学过程 一情境创设导入新课 师：同学们，请看这些物体的运动是什么现象？ 生：平移现象 师：什么是平移？（生答的不完整） 师：那我们把物体从一个位置沿着直线运动到另一个位置的现象叫 做 平移。 师：那这些物体在平移的过程中什么变了？什么没变？ 生说：形状大小没变，位置变了 师板书：形状大小没变，位置变了。 师：这是平移的特点。今天这节课我们将更深入地学习有关图形平 移 的知识。（板书课题：平移）先来看这节课的学习任务 二、出示目标 1.能根据平移前后的图形，确定图形移动的方向和移动的格数。 2.能根据图形移动的方向和移动的格数画出平移后的图形。师：要 想完成这两个任务，要靠同学们的自学。请看自学指导 三．出示自学指导 1、认真看小亭子是怎样向不同方向平移的？各平移了几格？ 2.怎样才能快速准确的数出图形平移的格数？ （生看微课）下面就来检测你们的自学效果 四检测及后教 1师（拿一张学具单）：数一数，填一填小旗向哪个方向平移了几格？（生完成检测，师巡视） 师：谁来说说小旗向哪个方向平移了几格？ 生：小旗向右平移了9格 师：和他数的一样的请举手？还有数的不一样的吗？（可能出现数7格的，10格的）谁能说说你是怎样数出9格的？（生） 2师：投影出示学习单学生边说，边画。让学生说完 师：他是按照两点间算一格的方法来数的。并追问：你刚才从这里开始数的，那这里的这个端点叫什么？ 生：关键点。 师：你的第一步也就是选关键点（师板书）那你为什么要数到这个点？这个点叫什么？ 生：这个点叫对应点。 师：你的第二步就是找对应点。师板书 师：最后呢？ 生：数关键点和对应点之间的格数 师：你的第三步就是：数格数。 师：其实这3步就是我们数图形平移格数的方法. 谁能再来说一说我们数图形平移格数的方法.师板书 3师：谁还能找其它的关键点，来数一数？ 师：下面请同桌两人再找出不同的关键点数一数和它对应的点之间的格数是几格？ 生：汇报数的格数9格。 师：你发现了什么？ 生：不管找哪个关键点去数，平移的格数都是相等的。 师：你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲。 五：当堂训练 1.师：下面请同学们来做一道选择题（课件小帆船的题） 叫举手的学生回答。(预设:如有学生答１号小船平移了五格，师：你的速度真快，已经发现他的格数移错了，就只有格子移错了吗？）可以叫其他学生来补充说。 2.平移游戏 师:接着我们来玩个的游戏。 先看游戏规则（课件出示） 游戏规则明确了吗？我们只取前四名。听老师口令：预备，开始 东北大学秦皇岛分校 数值计算课程设计报告 幂法及反幂法 学院数学与统计学院 专业信息与计算科学 学号****** 姓名*** 指导教师*** *** 成绩 教师评语： 指导教师签字： 2014年07月07日 1 绪论 1.1 课题的背景 矩阵特征值的数值算法，在科学和工程技术中很多问题在数学上都归结为矩阵的特征值问题。例如，结构的振动波形和频率可分别由适当矩阵的特征向量和特征值来决定，结构的稳定性由特征值决定；又如机械和机件的振动问题，无线电工及光学系统第电磁振荡问题和物理学中各种临界值都牵涉到特征值计算。所以说研究利用数学软件解决求特征值的问题是非常必要的。 求矩阵特征值的一种方法是从原始矩阵出发，求出其特征多项式及其根，即得到矩阵的特征值。但高次多项式求根问题尚有困难，而且重根的计算精度较低。另外，原始矩阵求特征多项式系数的过程，对舍入误差非常敏感，对最终结果影响很大。所以，从数值计算的观点来看，这种求矩阵特征值的方法不够好。 实际问题中，有时需要的并不是所有的特征根，而是最大最小的实特征根。称模最大的特征根为主特征值。解决特征值计算的算法有很多种，古老的雅可比方法、兰乔斯方法以及较为常用的幂法、QR方法。QR方法是一种变换法，可求全部的特征值；幂法和反幂法是迭代法，只求模最大与模最小的特征值及特征向量。下面主要来研究一下幂法、反幂法，利用MATLAB解决矩阵特征值问题。 幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）及对应特征向量的迭代方法，特别适用于大型稀疏矩阵。反幂法是计算海森伯格阵或三对角阵的对应一个给定近似特征值的特征向量的有效方法之一。 1.2 概念的认识 对于n阶矩阵A，若存在数λ和n维向量x满足：x =，则称λ为矩阵A的特征值， Axλ x为相应的特征向量。 病态矩阵：求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵。例如希尔伯特矩阵就是一类著名的病态矩阵。本次课题不对病态矩阵做深入研究。 非亏损矩阵：矩阵存在n个线性无关的特征向量，即有一个完全的特征向量组。 2 MATLAB特征值计算工具简介 查阅MATLAB HELP可以知道，利用eig函数可以快速求解矩阵的特征值和特征向量。可利用该函数对以下所做的幂法及反幂法程序进行检验。 矩阵的特征值与特征向量的计算 摘要 物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题（桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等）、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。 幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。其基本思想是任取一个非零的初始向量。由所求矩阵构造一向量序列。再通过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。 反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。然后通过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。 关键词：矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法 THE CALCULATIONS OF EIGENVALUE AND EIGENVECTOR OF MATRIX ABSTRACT Physics, mechanics, engineering technology in a lot of problems in mathematics are attributed to matrix eigenvalue problem, such as vibration (vibration of the bridge, mechanical vibration, electromagnetic vibration, etc.) in physics, some critical values determine problems and theoretical physics in some of the problems. Matrix eigenvalue calculation is a very important part in matrix putation. In this paper, we use the power method and inverse power method to calculate the maximum of the matrix, according to the minimum characteristic vector and the corresponding characteristic value. Power method is an iterative method to calculate the eigenvalues of a matrix. It has the advantage that the method is simple and suitable for sparse matrices, but sometimes the convergence rate is very slow. The basic idea is to take a non - zero initial vector. Construct a vector sequence from the matrix of the matrix. Then the eigenvalues and eigenvectors are obtained by using the constructed vector sequence. The inverse power method is used to calculate the minimum feature vectors and their eigenvalues of the matrix, and to calculate the eigenvalues of the matrix. In this paper, we use实验8 反幂法
幂法和反幂法的matlab实现
幂法反幂法求解矩阵大小特征值及其对应的特征向量
数值分析之幂法及反幂法C语言程序实例
带原点平移的反幂法解特征值
数值分析幂法与反幂法-matlab程序
图形在坐标中的平移知识讲解
数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量附Matlab程序
图形在坐标中的平移经典讲义
数值分析试验幂法与反幂法matlab
乘幂反幂法
四年级平移教案
关于幂法与反幂法的研究
数值方法课程设计报告幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量-附Matlab程序