行列式的定义和性质及若干应用论文
行列式及其在初等数学中的应用
【摘 要】行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下四个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式;综述了行列式在解析几何中的若干应用,最后列举三阶行列式在高中数学的应用
【关键词】: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组
引言
行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、n 维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何及高中数学四个方面的应用。
1 行列式的定义和性质
1.1行列式的定义
行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数，符号为正，逆序数为奇数，符号为负。
例1 n
n D n 000
00010020
0100
计算行列式 . 解： n D 不为零的项一般表示为！１ｎ－１n a a a a nn n n 1122 ,故!)
1(2
)
2)(1(n D n n n
1.2行列式的性质
行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变；5、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零； 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。
例 2 一个n 阶行列式ij n a D 的元素满足,,,2,1,,n j i a a ji ij 则称反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.
证明： 由 ji ij a a 知ii ii a a ，即n i a ii ,2,1,0 .故行列式可表示为
00032132313
223
12
11312
n n
n
n n
n n a a a a a a a a a a a a D , 由行列式的性质'A A ，
000)1(0
000321323
13223121131232132313
22312
11312
n n n n n
n n n
n
n
n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n D 1 .
为奇数时，得当n ,
n n D D 因而得0 n D . 2行列式的若干应用
2.1 行列式在线性方程组中的一个应用
设含有n 个变元的1 n 个一次线性方程组为
.
0,0,0,122,111,122221*********n n n n n n
n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1） 设方程组（1）的系数矩阵A 的秩是1 n , 不失一般性, 假定不等于零的1 n 阶行列
式是
n
n n n n
n a a a a a a a a a A ,13,12
,122322
113121
. 行列式1A 中的元素, 就是矩阵A 中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列.
我们把n x x x ,,,32 看作是未知数, 1x 是已知数, 解方程组(1), 得
1
1
A x d x i i
),,3,2(n i （2） 式中i d 是行列式1d 的第1 i 列元素换以1,12111,,, n a a a 所成的行列式. 也就是
n
n i n n i n n n n
i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,11,13,12
,121,2211,22322
11,1111,11312
. 把i d 中第1 i 列移到第一列, 得
n
n i n i n n n n
i i n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,12,11,121,21,2222111,11,112112
)1(
. 上式右边的行列式用i A 表示, 行列式i A 是矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素所组成. 故
i i i A d 2)1( .
代入（2）式, 得
112)1(A x A x i i i , 或1
1
1
)1(A x A x i i i . 结论[2]
: 方程组（1）中的n x x x ,,,21 与n n A A A A 1
321)1(,,,, 成比例, 式中
i A ),,2,1(n i 是从矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素做成的行列式.
3行列式在初等代数中的几个应用
3.1 用行列式分解因式
利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.
例3.1.1 分解因式：3
23
23
2
3
23
2
3
2b ac c ba a cb b ca a bc c ab .
解: 222222()()()abc bc b c a c ac ab a b 原式
()()()abc bc c b ab a c ab b a 1111
1
1
c a a abc bc
ac
ab
b c b
11
1010
bc a bc
a
abc ab c abc ab bc c a ac b ac bc b a
()()()()abc ab bc b a ac bc c a
()()()()abc b a c b a c a b c a
()()()abc a b c a b c .
例3.1.2 分解因式: ))((4)(2d b c a bc ab cd .
解: 原式2()2()cd ab ab bc bc cd cd ab
22()(2)
cd ab
ab cd bc
bc cd ab cd bc
1
(2)
2()1
cd ab
ab cd bc bc cd
2
(2)ab cd bc .
3.2 用行列式证明不等式和恒等式
我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.
例3.2.1 已知0 c b a , 求证abc c b a 33
3
3
.
证明： 令abc c b a D 33
3
3
, 则
00003
21
a
c
b b a
c a
c
b
b a
c c b a c b a c b a a
c
b
b a c
c b a D r r r . 命题得证.
例
3.2.2
已知
,
1,1,1 ay cx cy bx by ax 求证
222c b a ca bc ab .
证明： 令)(2
2
2
c b a ca bc ab D , 则
00
001
11
1
11213
c b
a c
b a cy bx c
b
ay cx a c by ax b a c b
a c
b a D y
c x c c
命题得证.
例3.2.3 已知0 c b a , 求证a c c b b a c a b c a b 3
3
3
3
3
3
.
证明： 令)(3
33333c a b c a b a c c b b a D , 则
2131
2
22222
222222
1
1
1
1
c c c c ab bc ca
ab bc ab ca ab
bc ab ca ab
D c
b a
c a c b c a c b c
()()()()()()b c a b c b c a c b a c a c
()()()()b c a c a b c a c
而0 c b a , 则0 D , 命题得证.
4． 行列式在解析几何中的几个应用
4.1 用行列式表示公式
4.1.1 用行列式表示三角形面积
以平面内三点),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 为顶点的PQR 的面积S 是
1
11
2133
2211y x y x y x (3) 的绝对值.
证明: 将平面),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 三点扩充到三维空间, 其坐标分别为
112233(,,),(,,),(,,)x y k x y k x y k , 其中k 为任意常数. 由此可得：
2121(,,0)PQ x x y y u u u r , 3131(,,0)PR x x y y u u u r
则
21
2131
31
(0,0,)x x y y PQ PR x x y y u u u r u u u r
PQR 面积为
1sin ,2
S PQ PR PQ PR u u u
r u u u r u u u r u u u r
=12PQ PR u u u
r u u u
r
21
2131
3112x x y y x x y y
1
121
2131
3111
02
x y x x y y x x y y
112
23
311
121
x y x y x y . 4.1.2 用行列式表示直线方程
直线方程通过两点),(11y x P 和),(22y x Q 的直线PQ 的方程为
01
11
2211 y x
y x y x . （4） 证明: 由两点式, 我们得直线PQ 的方程为
2
12
212y y y y x x x x .
将上式展开并化简, 得
021122121 y x y x y x y x xy xy
此式可进一步变形为
01
11
12
2
112121
y x y x x x y
y y x
此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证. 4.1.3 应用举例
例 :若直线l 过平面上两个不同的已知点11(,)x y , 22(,)x y , 求直线方程. 解: 设直线l 的方程为0 c by ax , 不全为0, 因为点),(),,(2211y x y x 在直线
l 上, 则必须满足上述方程, 从而有
.
0,0,022
11c by ax c by ax c by ax 这是一个以c b a ,,为未知量的齐次线性方程组, 且c b a ,,不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 其系数行列式等于0, 即
01
11
22
11 y x y x y x . 则所求直线l 的方程为
01
11
22
11 y x y x y x . 同理, 若空间上有三个不同的已知点),,(),,,(),,,(333222111z y x C z y x z y x , 平面
S 过C ,, , 则平面S 的方程为
01
11
13
33222111 z y x z y x z y x z y x . 同理, 若平面有三个不同的已知点),(),,(),,(332211y x C y x y x , 圆O 过C ,, , 则圆O 的方程为
01
11
133
23
232222
2211212122 y x y x y x y x y x y x y x
y x . 4.2 行列式在平面几何中的一些应用
4.2.1 三线共点
平面内三条互不平行的直线
.
0,0,
03333
22221111 c y b x a L c y b x a L c y b x a L 相交于一点的充要条件是03
3
3
2221
11 c b a c b a c b a . 4.2.2 三点共线
平面内三点),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 在一直线的充要条件是01
1133
22
11
y x y x y x . 4.2.3 应用举例
例: 平面上给出三条不重合的直线:
00
3333
22221111 c y b x a L c y b x a L c y b x a L , 若03
3
3
2221
11 c b a c b a c b a , 则这三条直线不能组成三角形. 证明：设1L 与2L 的交点为),(11y x P , 因为
行列式的定义及其性质证明
行列式的定义及其性质证明 摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。 关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数 1 基本定理与性质的证明 引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…p n的逆序数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性不变。 证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。 定理1 n阶行列式也可定义为 证明由定义1和引理即可证得。 性质1 行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。 (根据性质1知对行成立的性质对列也成立) 性质2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。 性质3 如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列式等于零。 证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等，由性质2可知 又A is=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，M i+s又可以展开成n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类推，M i+s 总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即 (mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由于这
行列式的性质
行列式的性质 基本性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。 推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。 推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。 性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j 列的元素都是两数之和 性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。 一般利用行列式的定义计算高阶行列式比较繁琐，下面我们将推导出行列式的一些性质，为行列式的计算做准备. 设 111212122212 n n n n nn a a a a a a D a a a = ， 112111222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称行列式T D 为D 的转置行列式．T D 可以看成是D 的元素沿着主对角线旋转180所得，亦可看成是将D 的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所谓行列互换）． 性质1. 1 行列式的值与其转置行列式的值相等，即 111212122212 n n n n nn a a a a a a a a a 112111222212n n n n nn a a a a a a a a a = . 证明 将等式两端的行列式分别记作D 和T D ，对行列式的阶数用数学归纳法. 当2n =时，可以直接计算出T D D =成立，假设结论对小于n 阶的行列式都成立，下面考虑n 阶的情况. 根据定义 1111121211n n D a A a A a A =++ +，
行列式的计算及应用毕业论文
行列式的计算及应用毕业论文 目录 1. 行列式的定义及性质 (1) 1.1 行列式的定义 (1) 1.1.1 排列 (1) 1.1.2 定义 (1) 1.2 行列式的相关性质 (1) 2. 行列式的计算方法 (5) 2.1 几种特殊行列式的结果 (5) 2.1.1 三角行列式 (5) 2.1.2 对角行列式 (5) 2.2 定义法 (5) 2.3 利用行列式的性质计算 (5) 2.4 降阶法 (6) 2.5 归纳法 (7) 2.6 递推法 (8) 2.7 拆项法 (9) 2.8 用德蒙德行列式计算 (10) 2.9 化三角形法 (10) 2.10 加边法 (11) 2.11 拉普拉斯定理的运用 (12) 2.12 行列式计算的Matlab实验 (13) 3. 行列式的应用 (15) 3.1 行列式应用在解析几何中 (15) 3.2 用行列式表示的三角形面积 (15) 3.3 应用行列式分解因式 (16) 3.4 利用行列式解代数不等式 (17) 3.5 利用行列式来证明拉格朗日中值定理 (17) 3.6 行列式在实际中的应用 (18) 总结 (20) 参考文献 (21) 附录1 (22) 附录2 (22)
附录3 (23) 谢辞 (24)
1. 行列式的定义及性质 1.1 行列式的定义 1.1.1 排列[1] 在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数. 1.1.2 定义[1] n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 = 就相当于全部不同行、列的n 个元素的乘积 n nj j j a a a 2121 (1-1-1) 的代数和，这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，（1-1-1）是正值，当n j j j 21是奇排列时，（1-1-1）是负值.这一定义可以表述为 n n n nj j j j j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212121) (21 22221 11211 )1(∑-= = τ ， (1-1-2) 这里 ∑ n j j j 21表示对所有n 级排列求和. 由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为 n i i i i i i i i i nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a D 21)(21 22221 11211 212121)1(∑-== τ. （1-1-3） 1.2 行列式的相关性质 记 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 112 11 = ,nn n n n n a a a a a a a a a D 212 2212 12111 '=,
线性代数行列式算与性质
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
行列式的计算方法总结 毕业论文
1 行列式的概念及性质 1.1 行列式的概念 n 级行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a 2121的代数和，这里的n j j j 21是1，2，…，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，带有正号；当n j j j 21是奇排列时，带有负号。这一定义可写成 ， 这里 ∑ n j j j 21表示对所有n 级排列的求和。 1.2 行列式的性质[1] 性质1 行列互换，行列式值不变，即 =nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a 212 22121 2111 性质2 行列式中某一行（列）元素有公因子k ，则k 可以提到行列式记号之外， 即 =nn n n in i i n a a a ka ka ka a a a 2 1 2111211nn n n in i i n a a a a a a a a a k 21 21 11211 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个 n n n nj j j j j j r j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a 21212121) (2 1 2222111211) 1(∑-=
数乘以此行列式。 事实上， nn n n in i i n a a a ka ka ka a a a 212111211=11i i A ka +22i i A ka +in in A ka + =21(i i A a k +22i i A a +)in in A a + nn n n in i i n a a a a a a a a a k 2121 11211= ， 令k =0，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。 性质3 如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即 ),,2,1(n i c b a ij ij ij =+=，则这个行列式等于另两个行列式之和。 即 nn nj n n j n j nn nj n n j n j nn nj nj n n j j n j j a c a a c a a c a a b a a b a a b a a c b a a c b a a c b a 12221111112221111112222111111+ =+++ 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而 这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。 性质4 如果行列式中有两行（列）相同，则行列式等于零。所谓的两行相同就是 说两行的对应元素都相等。 性质5 如果行列式中两行（列）成比例，则行列式等于零。 性质6 如果行列式中的某一行（列）的各元素同乘数k 后加到另一行（列）的对 应元素上去，则行列式不变。 性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。 2 行列式的计算方法 行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n 阶行列式的展开式有n ！项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应
行列式的定义及性质
行列式的定义及性质 （张俊敏） ● 教学目标与要求 通过学习，使学生理解n 阶行列式的定义，熟练掌握二、三阶行列式性质，能运用性质求行列式的值。 ● 教学重点与难点 教学重点：n 阶行列式的定义及性质。 教学难点：n 阶行列式定义的理解。 ● 教学方法与建议 通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式，了解行列式及其应用，在此基础上引出一般意义上的n 阶行列式定义。要特别指出：行列式是一种运算，其结果是一个数；其意义在于在由数组成的形式（方阵）与数域之间建立了一种联系，使得我们可以通过数来研究形式的东西，同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。 ● 教学过程设计 1.问题的提出 求解二、三元线性方程组 （二元线性方程组???=+=+22221 211 212111b x a x a b x a x a ，当021122211≠-a a a a 时，可用消元法求得解为： 22 21 1211 222121********* 122211a a a a a b a b a a a a b a a b x = --= 二阶、三阶行列式
22 212 1122 211112112221121 12112a b a a a a b a a a a a a b b a x = --= ）二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式：（回顾高中时的二阶与三阶行列式） 1112 112212212122 det()a a A a a a a a a = =-，其中A 为方程组的系数矩阵。 2. 三阶行列式： 32 3122 21133331232112333223221133 32 31 23222113 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 注：（1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式算出来也是一个数。 (2)三阶行列式 也是方形矩阵上定义的一种运算。 2. n 阶行列式的定义： 1112122 23 221 23 22122211 12 23 1 3 1 2 21 22 2,1 111 2 ,1 (1)n n n n n n nn n n nn n n nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-= =-+ +- n 阶行列式中去掉元素ij a 所在行所在列的元素后，得到的 1n -阶行列式叫做ij a 的余子式，记作ij M ，即11 1,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1 ,1 ,1 j j n i i j i j n n ij i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+= 并称(1)i j ij ij D M +=-为ij a 的代数余子式。引入这两个记号则可将(2.4)式简记为 111111********* det (1)(1)k n n n n k k k A a M a M a M a M ++==-+ +-=-∑ （2.5）
行列式的若干应用 毕业论文
行列式的若干应用 The Number of Applications of The Determinants 专业: 数学与应用数学 作者: 指导老师:
摘要 行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下三个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式; 最后综述了行列式在解析几何中的若干应用. 关键词: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组
Abstract Determinant is a kind of important tools in the mathematical study, it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following three aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution of linear equations; examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; in the final, we have made overview of the number of applications of the determinants in analytic geometry. Keywords:Determinant; Matrix; Linear equations; Rank; Factorization; Plane group; Point group
行列式的计算技巧与方法总结讲解
行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法 适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性． 例1 计算行列式0 004003002001000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故 004003002001000=() () 241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质 即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法 上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：
nn n n n a a a a a a a a a a a a a 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a 22113 2 1 33323122211100 0000=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= + 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形． 解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得 121n 1121000 0D 0 n n n a a a b b b b b += =. 2.2.2 连加法 这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．
线性代数行列式基本概念
目录 目录 (1) 一、行列式 (2) 见ppt。 (2) 二、矩阵特征值 (2) 三、正定矩阵 (2) 四、幺模矩阵 (3) 五、顺序主子阵 (4) 六、正定二次型 (6) 七、矩阵的秩 (6) 八、初等变换（elementary transformation） (7)
一、行列式 见ppt。 二、矩阵特征值 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。 求矩阵特征值的方法 Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。 |mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。 如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。 三、正定矩阵 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。 正定矩阵的性质： 1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩 2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
行列式的计算方法研究毕业论文
昆明学院2010 届毕业设计（论文） 设计（论文）题目行列式的计算方法研究 姓名 学号 S006054127 所属系数学系 专业年级数学与应用数学2006级数学<1>班 指导教师 2010年 5 月
摘要 在线性代数中，行列式是个函数。在本质上，行列式描述的是在n维空间中一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。行列式的概念出现的根源是解线性方程组。本论文首先，对行列式的计算方法进行总结，并对计算方法进行举例。其次，n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法。最后，值得注意的是，在同一个行列式有时会有不同的求解方法，这就要根据行列式的特点选择适当的方法了。 关健词：行列式计算方法方法举例
Abstract In linear algebra, the determinant is a function.In essence, the determinant dimensional space described in a linear transformation.The formation of "parallel polyhedron" and "volume".The concept of the root of the determinant there is solution of linear equations.The paper on the summary of the calculation of the determinant and the calculation method for example.n-order determinant have many the calculation methods,Fewer non-zero elements Can be calculated using the definition(1.In accordance with the start of a column or a row. 2.Full expansion.). More determinant of the nature of the calculation is to use.In particular, observe the characteristics of the subject request,Flexible Selection Method.It is to be noted that In the same determinant sometimes will have different methods for solving. Here are some commonly used methods and illustrate with examples.
行列式计算方法研究毕业论文
行列式计算方法研究毕业论文 目录 摘要………………………………………………………………………………………...I Abstract…………………………………………………………………………………….. .II 第1章行列式的计算方法 (1) 第1节利用行列式定义与性质计算 (1) 第2节化三角形法 (3) 第3节降阶法 (4) 第4节递推公式法及数学归纳法 (5) 第5节利用德蒙行列 (7) 第6节行列式的特殊计算法 (8) 第2章行列式的应用 (11) 第1节行列式在代数中的应用 (11) 第2节行列式在几何中的应用 (12)
第3节行列式在多项式理论中的应用 (14) 结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)
第１章 行列式的计算方法 第1 节 利用行列式定义与性质计算 定义1[1] 对任何n 阶方阵()ij n A a =，其行列式记为ij n A a = ． () ( ) 12 1212 121n n n n t p p p ij p p p n p p p A a a a a == -∑ ． 其中12 n p p p 是数组1，2，…，n 的全排列，∑表示对关于这些全排列的项(共有!n 项)全体求和． 性质1 行列互换，行列式不变，即 nn n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212 2212 1211121 22221 11211= . 性质1表明，行列式中行与列的地位是对称的，所以凡是有关行的性质，对列同样成立． 性质2 对换行列式两行的位置，行列式反号． 性质3 若行列式有两行相同，则行列式等于0． 性质4 用一个数乘以行列式的某一行，等于用这个数乘以这个行列式，或者说某一行的公因式可以提出来，即 nn n n in i i n nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a 212111************ =. 推论1 若行列式某行（列）元素都是0，则行列式等于0． 推论2 若一个行列式的任两行成比例，则行列式值为0． 性质5 行列式具有分行相加性，即
行列式解法小结 数学毕业论文
行列式的解法小结 摘要：本文列举了行列式的几种计算方法：如化三角形法，提取公因式法等， 并指明了这几种方法的使用条件。 关键词：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循环行列式 行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，阶数不超过3的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定义求值。对于一般n 阶行列式，特别是当n 较大时，直接用定义计算行列式几乎是不可能的事。因此，研究一般n 阶行列式的计算方法是十分必要的。由于不存在计算n 阶行列式的一般方法，所以，本文只给出八种特殊的计算方法，基本上可解决一般n 阶行列式的计算问题。 1 升阶法 在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展 开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上 添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种 计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除 主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升 阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点 作出选择。 例1计算n 阶行列式 2 2 1 222 1212121 n n n n n n a c a a a a a a a c a a a a a a a c D +++= ，其中0≠c 解 2 212221 212121 210001n n n n n n n a c a a a a a a a c a a a a a a a c a a a D +++= c a c a c a a a a n n 0000001212 1---= 将最后一个行列式的第j 列的11--j a c 倍加到第一列（)13,2+=n j ，就可以
特殊行列式与行列式计算方法总结
特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1 221222,11,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 0000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L L L L M M M M M M M M M N L L L L 3. 分块行列式（教材P14例10） 一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????= =? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????= =-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法 n 阶行列式的定义 n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11=∑ -n n n j j j nj j j j j j a a a 212 1 2121) () 1(τ 2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和; 3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积; 特点:(1)(项数)它是3!项的代数和; (2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为: (3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列; 三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列. § 行列式的性质 性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。 即nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11=nn n n n n a a a a a a a a a 2122212121 11； 行列式对行满足的性质对列也同样满足。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号. 如: D= d c b a =ad-b c , b a d c =bc-ad= -D 以r i 表第i 行，C j 表第j 列。交换 i ,j 两行记为r j i r ?,交换i,j 两列记作 C i ? C j 。 32 2311332112312213a a a a a a a a a ---3221133123123322113332 31 232221 13 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1
行列式的计算技巧与方法总结(修改版)
行列式的若干计算技巧与方法 内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 定义法 利用行列式的性质 降阶法 升阶法（加边法） 数学归纳法 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 拆行（列）法 构造法 特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 降阶法和递推法 逐行相加减和套用范德蒙德行列式
构造法和套用范德蒙德行列式
行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即
行列式的计算开题报告总结.doc
怀化学院本科毕业论文任务书 论文题目行列式的计算 学生姓名系别数学系专业数学与应用数学指导老师姓名职称 题目来源1. 科学技术□ 2. 生产实践□ 3. 社会经济□4. 自拟■ 5. 其他□ 毕业论文（设计）内容要求： 1 选题内容符合专业培养目标要求. 2 主题突出，层次清晰，结构合理，无科学性错误，并能做一些适当的创新. 3 文字简练、通顺，格式符合规范要求. 主要参考资料 : [1]北京大学数学系 . 高等代数 ( 第三版 )[M]. 北京 : 高等教育出版社 ,2003. [2]张禾瑞 , 郝鈵新 . 高等代数 [M]. 北京 : 高等教育出版社 ,1993. [3]同济大学数学系 . 线性代数 ( 第五版 )[M]. 北京 : 高等教育出版社 ,2007. [4]方文波 . 线性代数及其应用 [M]. 北京 : 高等教育出版社 ,2011. [5]卢刚，冯翠莲 .线性代数 [M]. 北京大学出版社， 2006. [6]万勇，李兵 . 线性代数 [M]. 上海：复旦大学出版社， 2006. 毕业论文（设计）工作计划： 1、 2013.11.14接受毕业论文任务； 2、 2013.11.15-11.28完成开题报告书； 3、 2013.11.29-2014.2.11完成论文初稿； 4、 2014.2.12-4.30 在指导老师的指导下修改、完善论文,论文定稿； 5、 2014.5.1-5.10论文答辩. 接收任务日期2013 年 11 月14 日要求完成任务日期2014 年 5 月 1 日 学生（签名）年月日 指导教师（签名）年月日 系主任（签名）年月日 说明：本表为学生毕业论文（设计）指导性文件，由指导教师填写，一式两份，一份交系（部）存档备查，一份发给学生。
行列式计算方法归纳总结
数学与统计学学院 中期报告 学院: 专业: 年级: 题目: 学生姓名: 学号: 指导教师姓名职称: 年月日
目录 1 引言 (1) 2行列式性质 (2) 3行列式计算方法 (6) 3.1定义法 (6) 3.2递推法 (9) 3.3化三角法 (9) 3.4拆元法 (11) 3 .4加边法 (12) 3.6数学归结法 (13) 3.7降价法 (15) 3.8利用普拉斯定理 (16) 3.9利用范德蒙行列式 参考文献....................................................................................................... 错误！未定义书签。8
行列式的概念及应用 摘要： 本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。 关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式 The concept and application of determinant Summary: This article lists calculated properties of determinants, and then sum up the determinant method, including: Definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered by, mathematical resolution method, cut method, using Laplace theorem, using the vandermonde determinant. Keywords: determinant;Linear equations;;Vandermonde determinant 1 引言 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。
行列式的计算及应用
***大学 2014 届本科毕业论文 论文题目： 行列式的计算及应用 学生姓名：*** 所在院系：数学科学学院 所学专业：数学与应用数学（金融方向）导师姓名：*** 完成时间：***年***月***日
行列式的计算及应用 摘要 在高等代数这门课程里，行列式是最基本而又重要的内容之一，同时也是数学研究中的重要的工具之一，在线性代数、数学分析、解析几何等众多课程理论中以及实际问题中许也发挥着重要作用，了解如何计算和应用行列式显得尤为重要。 本文首先阐述行列式的基本理论，在此研究的基础上介绍了降阶法，归纳法，化三角形法等几种常见的且有一定技巧的解行列式的方法,并列举了相关的例子，更直观地了解解行列式方法的精髓。另外，本文又介绍了行列式在解析几何、代数及其他课程当中的应用，进一步加深了对行列式的理解。最后本文又列举实例阐述行列式在实际当中的应用，实现了行列式的理论与实际相结合。研究行列式的计算方法及其应用可以提高对行列式的认识，有利于把行列式的研究推向深入。通过这一系列的方法可以进一步提升对行列式的认识，为以后学习奠定了基础。 关键词：行列式，因式分解，化三角形法, 归纳法，加边法，Matlab软件
Determinant calculation and application Abstract This course in advanced algebra, the determinant is one of the most basic and important content, while many math curriculum theory is one of the important research tools, linear algebra, mathematical analysis, analytic geometry, etc. as well as practical problems also plays an important role in understanding how to calculate and apply the determinant is particularly important. This paper first describes the basic theory of determinants, based on this study describes the reduction method, induction techniques and a certain common determinant of several methods of solution method, the method of the triangle, and cited relevant examples, more intuitive understanding of the essence of the solution determinant method. In addition, this paper describes the determinant in analytic geometry, algebra and other courses which further deepened the understanding of the determinants. Finally, they provide examples described determinant application in practice to achieve a theoretical and practical determinant combined. Research determinant calculation method and its application can improve the understanding of the determinant, is conducive to deepen the study of determinants. You can further enhance the understanding of the determinants through this series of methods, laid the foundation for future learning. Keywords: determinants, factorization of a triangle, induction, plus side method, Matlab software