数学建模常用软件1

数学建模常用软件选讲

钦州学院数计学院 吴志远 编

2010年11月28日

第1章 Word 的使用

1.1 Microsoft Word 中的“公式编辑器”

数学排版由于其特殊性需要特殊的软件来支持。一般数学公式的排版最常用的是微软的办公软件Microsoft Word 中的“公式编辑器”。一般安装Word 时并没有安装自带的“公式编辑器”，需要安装使用时，可从菜单“工具>自定义>命令>”中的左边列表中选择“插入”，再在右边列表框内选中“α公式编辑器”，并将其拖出至Word 文件的常用工具栏中，点击α，此时会出现安装对话框，将Word 安装盘放入光驱后，单击确定即可完成“公式编辑器”的安装。

“公式编辑器”的使用非常简单，一般参照其帮助文件做些练习即可学会。

例：输入以下数学公式：

1）121011

11()

(0)0

()2

dx t k x k t dt x x t c t t v ?=-+≥??

?=???=≥??

（）

2）0255

6B 235

6537

4??

??=??????

1.2 页码的设置

数学建模论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。

页码从任意页开始

1、将光标定位于需要开始编页码的页首位置。

2、选择“插入-分隔符”，打开“分隔符”对话框，在“分隔符类型”下单击选中“下一页”单选钮。

3、选择“视图-页眉和页脚”，并将光标定位于页脚处。

4、在“页眉和页脚”工具栏中依次进行以下操作： ①单击“链接到前一个”按钮，断开同前一节的链接。

②单击“插入页码”按钮，再单击“设置页码格式”按钮，打开“页码格式”对话框。

③在“起始页码”后的框中键入相应起始数字。 ④单击“关闭”按钮。

第2章 excel 的使用

2.1 用Excel 中的规划求解功能进行最值的求解 2.1.1一元函数的最值

例1 求函数()12

3f x x x

=+

[]()1,8x ∈上的最值 建立规划求解方案与求解的的步骤如下：

（1）在Excel 工作表中选定1B 单元中的数据作为自变量x ，在2B 单元格中输入目标函数公式“=3*B1+12/B1”；

（2）选中2B ，然后进入菜单栏上的“工具\规划求解…”

，在对话框中输入

图 1

如下内容(如图3) ：将“设置目标单元格”设置成“$B$2”，并设置成最小值；可变单元格设置成“$B$1”；添加约束条件“$B$1<=8”和“$B$1>=1”；单击求解；

（3）得出如下内容（如图1）：单元格$B$1的值为2，单元格$B$2的值为12，所以当2x =时，()min 12f x =

2.1.2二元函数的最值

例2.已知实数,x y 满足22

12516

x y +=，求23x y +的最大值

建立规划求解方案与求解的的步骤如下： （1）在Excel 工作中表选定B1单元格中的数据作为自变量x ，选定B2单元格中的数据作为自变量y ，在B3单元格中输入目标函数公式“=B1^2+3*B2”；

（2）选中B3,然后进入菜单栏上的“工具”|“规划求解…”,在对话

框中输入如下内容(如图2) :将“设置目标单元格”设置成“$B$3”，并设置成最大值；可变单元格设置成“$B$1: $B$2”；添加约束条件“$B$4=1”，单击求解；

（3）得出如下内容（如图2）：单元格$B$1的值为4.854，单元格$B$2的值为0.96，单元格$B$3的值为26.44，所以当 4.854x =，0.96y =时，

()2

m a x

326.44

x

y +=

2.1.3求解线性规划

例3 一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲

车间用12h 加工成3kg A1，或者在乙车间用8h 加工成4kg A2。根据市场需求，生产出的A1，A2全部能售出，且每千克A1获利24元，每千克A2获利16

元。

图 2

现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480h ，并且甲车间的设备每天至多能加工100kg A1，乙车间的设备的加工能力可以认为没有上限限制（即加工能力足够大）。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大。

分析

决策变量：设每天用1x 桶牛奶生产A1，用2x 桶牛奶生产A2

目标函数：设每天获利为z （元），1x 桶牛奶生产31x (kg)A1，获利24×31x ，

2x 桶牛奶生产42x (kg) A2，获利16×41x ，故z=721x +642x .

约束条件：

原料供应：生产A1，A2的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即1x +2

x ≤50（桶）；

劳动时间：生产A1，A2的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，

即 121x +82x ≤480（h ）； 设备能力：A1的产量不得超过甲车间设备每天的加工 能力，即31x ≤100；

非负约束：1x ，2x 均不能为负值。

即有模型：

12

1212112max 7264..50

1284803100,0

z x x s t

x x x x x x x =++≤??+≤??

≤??≥?

求解过程：

（1）在Excel 工作表中选定B8单元格中的数据作为1x ，B9单元格中的数据作为2x ，在单元格B2:D7分别输入目标函数和约束条件的系数，在单元格E3中输入“=B3*$B$8+C3*$B$9”，并用填充柄拉至E7，在B10单元格中输入目标函数公式“=B2*B8+C2*B9”；

（2）选中B10 ,然后进入菜单栏上的“工具”|“规划求解…”,在对话框中输入如下内容：将“设置目标单元格”设置成“$B$10”，并设置成最大值；可变单元格设置成“$B$8:$B$9”；添加约束条件“$E$3<=$D$3；$E$4<=$D$4；$E$5<=$D$5；$E$6>=$D$6；$E$7>=$D$7”；单击求解；

（4）得出如下内容：单元格$B$10的值为3360，单元格$B$8的值为20，单元格$B$9的值为30，所以当120x =，230x =时，max 3360z =。

如果在例3中添加12,x x Z ∈时，我们只须在上面的求解中添加约束条件：“$B$8＝整数；$B$9＝整数”即可。

2.2 利用excel 进行回归分析 2.2.1 一元回归分析

例4：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x

（吨）与相应的生产耗能y （吨标准煤）的几组对照数据

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程?

??

=+；

y bx a

（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品耗能为90吨标准煤；试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产耗能比技术改造前降低多少吨标准煤？

1.首先打开EXCEL；在工具一栏里找到“加载宏”，选中“分析工具库”，点击“确定”；

在EXCEL里建立上表；如图1

选中数据区域，在“工具”栏里点击“插入图表”，选择“XY散点图”；

点击“完成”，出现如下图所示的情况；

鼠标放到散点图的点上，点变成黄色，点击鼠标右键，选择“添加趋势线”

在“选项”里选择“显示公式”和“显示R2值”。

点“确定” ，结果如下图

从图中我们可以看到回归方程0.70.35y x =+，及相关指数20.98R =。

x ＝100时，0.70.3570.35y x =+=，所以预测生产100吨甲产品的

生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．

点评：这个19.65是指的平均值或者是估计值，不是完全确定的值．相关指数20.98R =．这说明x ，y 具有很强的线性相关性，说明解释变量对预报变量的贡献率是98%，即耗煤量的98%是来自生产量，只有约2%来自其它因素，这与我们的直观感觉是十分符合的．

2.2.2 一元非线性回归

例5 1989-2003年我国城镇居民家庭人均可支配收入指数（1978=100）

的数据如表1。试以时间t为自变量拟合线性模型、二次曲线和三次曲线模型，对三个模型的结果进行比较，从中选择一个模型预测2004年和2005年的数值。

表1我国城镇居民家庭人均可支配收入指数（1978=100）

年份t 收入指数

1989 1 182.5

1990 2 198.1

1991 3 212.4

1992 4 232.9

1993 5 255.1

1994 6 276.8

1995 7 290.3

1996 8 301.6

1997 9 311.9

1998 10 329.9

1999 11 360.6

2000 12 383.7

2001 13 416.3

2002 14 472.1

2003 15 514.6

方法与一元回归的方法类似，其中二次曲线、三次曲线拟合是绘制好散点图后，在添加趋势线时选择“多项式”而不是“线性”。

Excel估计的三个回归方程如下。

（1）线性方程：

y=143.4714+21.5561t 方程修正的R2=0.9524

（2）抛物线：

y=187.21765 +6.1163t+0.9650t2 方程修正的R2=0.9813 （3）三次曲线：

y=144.7581 +33.6247t -3.1977t2+0.1734t3方程修正的R2=0.9967 从三个方程修正的R2来看，三次方程的拟合效果最好

2.2.3 多元线性回归分析

例6寻找以下数据z与x,y之间的线性函数关系，即z=f(x,y)。

x y z

174 101 1016

158 44 683

179 58 815

91 92 727

172 56 787

82 43 452

117 96 821

95 48 517

157 89 909

99 47 522

150 18 530

88 92 713

148 16 516

80 102 741

111 47 560

164 72 842

169 85 922

116 76 719

111 40 525

105 76 684

114 9 380

176 6 548

155 96 937

88 78 644

133 50 640

93 99 767

161 48 713

122 88 798

170 19 596

单击excel的“工具”菜单，选择“数据分析”选项（如果没有该选项，必须选择“工具”菜单中的“加载宏”加载“分析工具库”），在数据分析对话框中选择“回归”选项，产生如下对话框。

在”Y值输入区域”输入z列数据区域（注意第一行是文本标题，不能选入区域内，以下同），在”X值输入区域”输入x,y列数据区域，勾选“置信度”，然后在输入区域处选择“输出区域”，选择一个空白单元格用来输出结果，最后确定即可。

最后得结果

从而得模型结果：3510

=+-

z x y

第3章 lingo的使用

LINGO是Linear Interactive and General Optimizer的缩写，即“交互式的线性和通用优化求解器”，由美国LINDO系统公司（Lindo System Inc.）推出的，可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择。其特色在于内置建模语言，提供十几个内部函数，可以允许决策变量是整数(即整数规划，包括 0-1 整数规划)，方便灵活，而且执行速度非常快。

3.1 Lingo程序特点：

（1）目标函数必须由“min =”或“max =”开头；

（2）每条语句后必须使用分号“；”结束。问题模型必须由“MODEL:”命令开始，“END”结束；

（3）变量与其系数间要有乘号。

3.2 线性规划问题

例如何在LINGO中求解如下的LP问题：

,6002100

350.

.32min 21211

2121≥≤+≥≥++x x x x x x x t s x x

在模型窗口中输入如下代码：

Model:

min=2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100; 2*x1+x2<=600; end

然后点击工具条上的按钮 即可。

3.3 二次规划问题

目标函数是二次函数，约束条件是线性的规划问题 例如：

??

?

??<=+>++-+=7.011.19.02.1..4.03min 22y y x y x t s y xy y x f

model:

min=3*x^2+y^2-x*y+0.4*y; 1.2*x+0.9*y>1.1; x+y=1; y<0.7; end

3.4 非线性规划问题

《数学模型》（第三版）（姜启源等编）第四章第三节例1中,

解法三得到一个非

线性规划模型:

123max 234z x x x =++ 123.. 1.535600s t x x x ++≤

12328025040060000x x x ++≤ 11(80)0x x -≥ 22(80)0x x -≥ 33(80)0x x -≥

123 , , x x x 均为整数

输入lingo: MODEL:

MAX= 2 * X1 + 3 * X2 + 4 * X3 ; 1.5 * X1 + 3 * X2 + 5 * X3 <= 600 ; 280 * X1 + 250 * X2 + 400 * X3 <= 60000 ; X1*( X1-80) >= 0 ; X2*( X2-80) >= 0 ; X3*( X3-80) >= 0 ;

@GIN( X1); @GIN( X2); @GIN( X3); END

第4章 matlab 的使用

Matlab 是matrix laboratory 的缩写，是矩阵实验室的意思，它是一个功能强大的数学工具软件。Matlab 的产生是与数学计算紧密联系在一起的，1980年美国新墨西哥大学计算机科学系主任cleve Moler 在给学生讲授线性代数课程时，发现学生利用高级语言编程解决线性代数问题花费很多时间，为了减轻学生编程的负担，用高级语言编写了最早的MATLAB 。

Matlab 语言是一种用于工程计算的高性能语言，它主要包括两大内容：核心函数和工具箱。Matlab 的典型应用包括以下几个方面：数学计算、算法开发、

建模及仿真、数据分析及可视化、科学及工程绘图、应用开发。

4.1 基本运算与函数

在MATLAB下进行基本数学运算，只需将运算式直接打入提示号（>>）之后，并按入Enter键即可。例如：

>> (5*2+1.3-0.8)*10/25

ans =4.2000

又如：

求10的阶乘

>> factorial(10)

C可用

求15

30

>> nchoosek(30,15)

MATLAB会将运算结果直接存入一变量ans，代表MATLAB运算后的答案（Answer）并显示其数值于屏幕上。

由上例可知，MATLAB认识所有一般常用到的加（+）、减（-）、乘（*）、除（/）的数学运算符号，以及幂次运算（^）。

1．三角函数

pi：常数

2.指数和对数函数

4.2 数组及其运算

数组是matlab最基础的内容之一，几乎所有的数据都是用数组的形式存储的，这就是matlab又被称为矩阵实验室的原因。

4.2.1数组（向量）的创建

一维数组（向量）创建有直接输入法、步长生成法、定数线性采样法和定数对数采样法等。

1．直接输入法

（1）使用分号，创建一维列向量

>> x1=[pi;log10(100);7*2;2^3]

x1 =

3.1416

2.0000

14.0000

8.0000

（2）使用空格或逗号，创建一维行数组

>> x2=[pi log10(100) 7*2 2^3]

x2 =

3.1416 2.0000 1

4.0000 8.0000

2．步长生成法

采用通用格式a:step:b。其中a表示数组的第一个元素；step表示数组的间隔，即步长；b表示数组的最后一个元素。如果省略step，默认值为1。

>> x3=1:2:10

x3 =

1 3 5 7 9

3. 定数线性采样法

在设定了总个数的条件下，均匀采样分布生成一维行向量。

采用通用格式：x=linspace(a,b,n)

其中a,b分别是数组的第一个和最后一个元素，n表示采样点数。

例如：

>> x=linspace(1,10,5)

x =

1.0000 3.2500 5.5000 7.7500 10.0000

4.2.2 一维向量元素寻访和赋值

1．子向量的寻访

>> x=linspace(1,10,5) %定义向量

x =

1.0000 3.2500 5.5000 7.7500 10.0000

>> x(2) %查看向量第二个元素

ans =

3.2500

>> x([1 3 5]) %查看向量第一、三、五个元素组成的子向量

ans =

1.0000 5.5000 10.0000

2．子向量的赋值

>> x(2)=5

x =

1.0000 5.0000 5.5000 7.7500 10.0000

>> x(4) = [] % 删除第四个元素

MATLAB亦可取出向量的一个元素或一部份来做运算：

y=x(2)*3+x(4) % 取出x的第二个元素3倍后和x的第四个元素来相加，最后赋给变量y。

4.2.3向量的代数运算

4.2.4 向量的常用函数

min(x): 向量x的元素的最小值

max(x): 向量x的元素的最大值

mean(x): 向量x的元素的平均值

median(x): 向量x的元素的中位数

std(x): 向量x的元素的标准差

diff(x): 向量x的相邻元素的差

sort(x): 对向量x的元素进行排序

length(x): 向量x的元素个数

sum(x): 向量x的元素总和

prod(x): 向量x的元素总乘积

dot(x, y): 向量x和y的内积

4.3 matlab求解数学问题

4.3.1 符号表达式的生成

在高等数学中，常常需要做极限、微分、求导数等运算，MATLAB称这些运算为符号运算。MATLAB的符号运算功能是通过调用符号运算上具箱(Symbolic MathToolbox)内的上具实现，其内核是借用Maple数学软件。MATLAB的符号运算上具箱包含了微积分运算、化简和代换、解方程等几个方面的工具。

MATLAB符号运算上具箱处理的对象主要是符号变量与符号表达式。要实现

其符号运算，首先需要将处理对象定义为符号变量或符号表达式，其定义格式如下:

格式1: sym(‘变量名’)或sym(‘表达式’) 功能:定义一个符号变量或符号表达式。 例如:

>>sym(‘x ‘)%定义变量x 为符号变量 >>sym(‘x+1')%定义表达式x+1为符号表达式

格式2: syms 变量名1 变量名2 …… 变量名n 功能:定义变量名1、变量2……、变量名n 为符号变量。 注意是变量名之间要用空格或分号隔开

4.3.2 符号方程的求解

1.方程的解 命令格式

X=solve(‘eqn ’) %直接求出方程eqn 的根

X=solve(‘eqn ’,’x ’) %直接求关于指定变量的方程eqn 的根 例如：求方程2560x x ++=的根 >> X=solve('x^2+5*x+6=0') 以如：求方程220x ax -+=的解 如果x 是未知数，则

>> X=solve('x^2-a*x+2=0','x') 如果a 是未知数，则

>> X=solve('x^2-a*x+2=0','a') 2.方程组的解 命令格式

直接求出方程组的根：

[x,y,z,…]=solve(‘eqn1’， ‘eqn2’，…, ‘eqnn ’) 直接求出关于指定变量的方程组的根：

[x,y,z,…]=solve(‘eqn1’， ‘eqn2’，…, ‘eqnn ’,’x,y,z...’) 例如：

求方程组2312312214122

x x x x x x x +=??

++=??-=?

的解

>> [x1,x2,x3]=solve('x2+2*x3=1','x1+x2+4*x3=1','2*x1-x2=2')

又如求解方程组22280

4x y x ?+-=?=?的解

>> [x,y]=solve('x^2+y^2-8=0','x^2=4')

4.3.3 极限

格式：limit (f, t, a, ‘left'or’right’)

功能：求符号变量t 趋近a 时，求左极限，函数f 的(左或右)极限。`right ’表示求右极限，`left ’表示左极限，省略时表示求一般极限;a 省略时变量t 趋近0。

例子：32lim(1)x

x t x

→∞

+

>> s=sym('(1+2*t/x)^(3*x)') >> syms x t >> limit(s,x,inf)

4.3.4 导数和微分

1 导数

diff 函数用以演算一函数的微分，相关的函数语法有下列4个： diff(f) 传回f 对预设独立变量的一次微分值 diff(f,'t') 传回f 对独立变量t 的一次微分值 diff(f,n) 传回f 对预设独立变量的n 次微分值 diff(f,'t',n) 传回f 对独立变量t 的n 次微分值 diff(diff(f,x,m),y,n) 高阶混合偏导数

先定义下列三个方程式，接着再演算其微分项：