一元二次方程专题练习(解析版)

一元二次方程解法专项训练以及题型分类

一元二次方程题型分类讲解 一元二次方程解法《基础训练篇》 （1）直接开平方 1.方程 (3x －1)2=－5的解是 。 2.用直接开平方解下列方程： (1)4x 2－1＝0 ； (2)(x+4)2 = 9； (3)81(x-2)2=16 ； (4)4(2x+1)2-36=0 ； (5)2 2 )32()2(+=-x x （4）因式分解法 1、填写解方程2-2-3=0x x 的过程 解： x -3 x 1 -3x+x=-2x 所以2-2-3=x x （x- ）（x+ ） 即（x- ）（x+ ）=0 即x- =0或x+ =0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 2、用十字相乘法解方程6x 2－x -1=0 解： 2x 1 2x- x=-x 所以6x 2－x -1=（2x ）（ ） 即（2x ）（ ）=0 即2x =0或 =0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 例题1、26=x x 2、4(3+)7(3+)x x x = 3、 244-y+=0 39y 4、2 2-1=9x x （2） 5、20322--x x =0； 练习：解方程 1、22-3=0x x 2、(3)3(3)x x x -=- 3、24-12x-9=0x 4、22 -3=25+4x x （）（）

5、2 2-3=-9x x （） 6.3x 2 ＋7x －6=0 ； 7.2216-3(4)x x =+ 8.22 (-3)+436x x = 9.(-3)2(2)x x =+（x+2） 10.2 (4-3)+44-3+4=0x x （） 11. 2x 2 ＋5x ＋2=0； 12.27196=0x x -- （2）配方法 1、填空： （1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2； (3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2；(5)x 2+px+ =(x+ )2； 2、用配方法解下列方程： (1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0； (3)x 2+23x-4=0； (4)x 2-32x-3 2 =0. （3）公式法 1.用公式法解下列方程： (1) 3 y 2-y-2 = 0 (2) 2 x 2+1 =3x (3)4x 2-3x-1=x-2 (4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1) 一元二次方程考点以及典型例题《提高篇》

一元二次方程的基本解法

第一讲：一元二次方程的基本解法 【知识要点】 ① 一元二次方程及其标准形式： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程。 形如ax 2+bx+c=0(a 、b 、c 为常数，且a≠0)的方程叫一元二次方程的标准形式。 任何一元二次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等过程，转化为标准形式。 ② 一元二次方程的解法主要有： 直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法。 一元二次方程的求根公式为x 1,2=)04(2422≥--±-ac b a ac b b . ③一元二次方程解（根）的含义：使方程成立的未知数的值 【经典例题】 例1、直接开平方法 （1）x 2－196＝0; （2）12y 2－25＝0； （3）（x ＋1）2－4＝0； （4）12（2－x ）2－9＝0. 例2 、配方法： （1）x 2－2x ＝0； （2）2 12150x x +-= （3）24x 2x 2=+ （4）17x 3x 2+= 例3 、求根公式法： (1) 1522-=x x (2) 052222 =--x x

（3）（x ＋1）（x －1）＝x 22 （4）3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1). 例4 、因式分解法： (1) x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0. (2)4x 2 ＋19x －5＝0； (3) ()()2232 -=-x x x （4）x （x ＋1）－5x ＝0. 例5、换元法解下列方程： （1）06)12(5)12(2=+---x x (2) 06)1 (5)1(2=+---x x x x 例6、配方法的应用：求证：代数式122+--x x 的值不大于 4 5.

(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根 即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x

方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） 解：二次项系数化为1，得 ， 移项 ，得 ， 配方, 得 ， 方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况： （1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因 （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5） 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+

备战中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)附答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以 3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？ (2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？ (3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ 【答案】（1）PQ=62cm；（2）8 5 s或 24 5 s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2． 【解析】 试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可； （2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值； （3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E． 则根据题意，得 EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm； 在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得 PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，

∴ cm； ∴经过2s时P、Q两点之间的距离是 ；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm． （16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64， ∴16-5x=±8， ∴x1=8 5 ，x2= 24 5 ； ∴经过8 5 s或 24 5 sP、Q两点之间的距离是10cm； （3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2． ①当0≤y≤16 3 时，则PB=16-3y， ∴1 2PB?BC=12，即 1 2 ×（16-3y）×6=12， 解得y=4； ②当16 3 ＜x≤ 22 3 时， BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则 1 2BP?CQ= 1 2 （3y-16）×2y=12， 解得y1=6，y2=-2 3 （舍去）； ③22 3 ＜x≤8时， QP=CQ-PQ=22-y，则 1 2QP?CB= 1 2 （22-y）×6=12， 解得y=18（舍去）． 综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2． 考点：一元二次方程的应用． 2．已知关于x的方程230 x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程 2 (1)320 k x x a -+-=②有实数根，又k为正整数，求代数式 2 2 1 6 k k k - +- 的值． 【答案】0. 【解析】 【分析】 由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨

一元二次方程题型分类总结

一元二次方程题型分类总结 一、知识结构：一元二次方程考点类型一概念(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： ⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A B C D 变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。例 2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。针对练习：★ 1、方程的一次项系数是，常数项是。★ 2、若方程是关于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。★★ 3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。★★★ 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（） A、m=n=2

B、m=3,n=1 C、n=2,m=1 D、m=n=1考点类型二方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例 1、已知的值为2，则的值为。例 2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。例 3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为。例 4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为。针对练习：★ 1、已知方程的一根是2，则k为，另一根是。★ 2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。⑴求k的值；⑵方程的另一个解。★ 3、已知m是方程的一个根，则代数式。★★ 4、已知是的根，则。★★ 5、方程的一个根为（）A B1 C D ★★★ 6、若。考点类型三解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型 一、直接开方法：※※对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程：

一元二次方程的解法(二)配方法(基础)

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能 力. 【要点梳理】 知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： . (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【典型例题】

一元二次方程较难题型

九年级数学《一元二次方程》（C ）课标版 课前巩固提高 1当x 取何值时， 9X ?1 ? 3的值最小？最小值是多少? 、4a 2 -12a +9- + 4a 2 -20a +25(3 < a < 5) 3化简 2 2 考点 --- 元二次方程定义的考查 2若关于x 的一元二次方程（m -1）x 2 ? 5x ? m 2 - 3m ? 2 = 0的常数项为0，则m 的值等于（） A 、1 B 、2 C 、1 或 2 D 、0 3试说明关于x 的方程（a 2 -8a ■ 20）x 2 2ax 1=0无论a 取何值，该方程都是一元二次方程； 4（2011年重庆江津区七校联考） 若关于x 的一元二次方程（m 「1）x 2 ? 5x ? m 2 -3m - 2=0的常数项为0, 则m 的值等于（） A 、1 B 、2 C 、1 或 2 D 、0 考点二利用一元二次方程三种变形巧解等式求值问题 5已知/ +兀+ 1二0 ,则F + X + 2忑+ ?的值是 ________________ 。 6已知II ，则J -.」?「!」的值是（） A. 1989 B. 1990 C. 1994 D. 1995 - + 3 + ——- 7 设 x a -5x + l = 0 ,则 x 十 1 _______ 。 2已知 y 二 x 2 - 4 4 -x 2 x 2 x 8 求x y y x -2 14的值

2 8 （重庆一中初2011级10—11学年度下期3月月考）已知x 是一元二次方程 x ，3x-1=0的实数根, 5 I x - 2的值. 9 （2012黑龙江省绥化市，21, 5分）先化简，再求值： ：_3 （m 2 ），其中 m 是方程 3m -6m m — 2 x 2 ? 3x -1 = 0 的根. 考点三一元二次方程的解法技巧 12 （ 2011四川南充3分）方程（x+1） （x - 2） =x+1的解是 5, 3分）方程x （x-2）+x-2=0 的解是（ D .2, — 1 求代数式: x -3 3x 2 -6x 10 （2011山东淄博4 分） 已知a 是方程x 2 x -1=0的一个根，则 2 a 2 -1 J —的值为 a 「a B. ------- 2 C.— 1 D. 11用因式分解法解方程 B 3 C 、- 1, 2 D - 1, 3 13（2012四川省南充市, A.2

一元二次方程应用题典型题型归纳

一元二次方程应用题典型题型归纳 （一）传播与握手问题 1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一 个人传染了个人。 2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支， 主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。 3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有 个队参加比赛。 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有 个队参加比赛。 5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组 共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？ 6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有 多少人？ 7.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ （二）平均增长率问题 变化前数量×（1 x）n＝变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450 公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均 每次降价率是。 3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始 涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。 4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同， 求每次降价的百分率？

5.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. （三）商品销售问题 售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额 1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件) 与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产 品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。 (1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？ (2)若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？ 3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。 为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

(完整版)解一元二次方程配方法练习题

- 1 - 解一元二次方程练习题(配方法) 步骤：（1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 1．用适当的数填空： ①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x － ）2； ③x 2 + x+ =（x+ ）2 ；④ x 2 －9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若 x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则 m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ． 9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2-x-4=0 （5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=52 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 12．将二次三项式4x 2－4x+1配方后得（ ） A ．（2x －2）2+3 B ．（2x －2）2－3 C ．（2x+2）2 D ．（x+2）2－3 13．已知x 2－8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式， 其中正确的是（ ） A ．x 2－8x+（－4）2=31 B ．x 2－8x+（－4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2－4x+4=－11 14．已知一元二次方程x 2－4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程。 （1）你选的m 的值是 ；（2）解这个方程． 15．如果x 2－4x+y 2 ，求（xy ）z 的值

一元二次方程应用题经典题型汇总

一元二次方程应用题经典题型汇总 认真阅读题目，分析题意，学会分解题目，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的几大典型题目，举例说明. 一、面积问题： 例1：如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直 的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设 道路的宽为x米，则可列方程为（） A．100×80-100x-80x=7644 B．（100-x）（80-x）+x2=7644 C．（100-x）（80-x）=7644 D．100x+80x=356 二、增长率问题：（变化前的基数a，增长率x，变化的次数n，变化后的基数b，关系：a（1+x）n=b）例2：恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 三、商品价格问题 例3：某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件。若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 四、储蓄问题 例4：王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 五、情景对话类 例5：春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

2013年中考数学知识点：一元二次方程——解一元二次方程专题练习

解一元二次方程专题练习 直接开平方法 1．如果(x －2)2=9，则x ＝ ． 2．方程(2y －1)2－4=0的根是 ． 3．方程(x+m)2＝72有解的条件是 ． 4．方程3(4x －1)2=48的解是 ． 配方法 5．化下列各式为(x +m )2+n 的形式． (1)x 2－2x －3=0 ． (2)210x = ． 6．下列各式是完全平方式的是( ) A ．x 2+7n =7 B ．n 2－4n －4 C ．21 1 216x x ++ D ．y 2－2y +2 7．用配方法解方程时，下面配方错误的是( ) A ．x 2+2x －99=0化为(x +1)2=0 B ．t 2－7t －4=0化为2765 ()24t -= C ．x 2+8x +9=0化为(x +4)2=25 D ．3x 2－4x －2=0化为2210 ()39x -= 8．配方法解方程． (1)x 2+4x =－3 (2)2x 2+x=0

因式分解法 9．方程(x +1)2=x +1的正确解法是( ) A ．化为x +1=0 B ．x +1＝1 C ．化为(x +1)(x +l －1)＝0 D ．化为x 2+3x +2＝0 10．方程9(x +1)2－4 (x －1)2=0正确解法是( ) A ．直接开方得3(x +1)=2(x －1) B ．化为一般形式13x 2+5＝0 C ．分解因式得[3(x +1)+2(x －1)][3(x +1)－2(x —1)]=0 D ．直接得x +1＝0或x －l ＝0 11．(1)方程x (x +2)=2(z +2)的根是 ． (2)方程x 2－2x －3=0的根是 ． 12．如果a 2－5ab －14b 2=0，则235a b b += ． 公式法 13．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的求根公式是 ，其中b 2 —4ac ． 14．方程(2x +1)(x +2)=6化为一般形式是 ，b 2—4ac ，用求根公式求得x 1= ，x 2= ，x 1+x 2= ，12x x = ， 15．用公式法解下列方程． (1)(x +1)(x +3)＝6x +4． (2)21)0x x ++=． (3) x 2 －(2m +1)x +m ＝0． 16．已知x 2－7xy +12y 2＝0(y ≠0)求x ：y 的值． 综合题

初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编及解析

初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编及解析 一、选择题 1．今年深圳的房价平均20000元/平方米，政府要控房价预计后年均价在16000元/平方米，若每年降价均为x%，则下列方程正确的是（ ） A ．220000(1x%)16000+= B ．220000(1x%)16000-= C ．220000(12x%)16000+= D ．()2200001x %16000-= 【答案】B 【解析】 【分析】 已知今年房价及每年降价率，可依次算出降价后明年及后年的房价. 【详解】 解：根据每年降价均为x%，则第一次降价后房价为20000(1-x%)元，第二次在20000(1-x%)元基础上又降低x%，变为20000(1-x%)(1-x%)元，即220000(1-x%)，进而可列出方程： 220000(1x%)16000-= 故选B 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率与下降率问题，关键是公式a(1x%)n b ±=的应用，理解公式是解决本题的关键. 2．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞﹣1 C ．m ＞1 D ．m ＜﹣1 【答案】C 【解析】 试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根， ()2 24241440b ac m m ?=-=--??=-<， 解得： 1.m > 故选C ． 3．代数式2x -4x +5的最小值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．5 【答案】B 【解析】 2x -4x +5 =2x -4x +4-4+5 =2(2)x -+1

一元二次方程应用题经典题型汇总含答案

z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0， 解这个方程，得a1＝25，a2＝31. 因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答需要进货100件，每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.

例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0. 解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？ 解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m. 则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0. 解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1. 所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5. 答渠道的上口宽2.5m，渠深1m. 说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.

一元二次方程解法讲义

龙文教育学科教师辅导讲义 课 题 一元二次方程的解法 教学目标 1. 理解一元二次方程及其有关概念 2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 重点、难点 1. 一元二次方程的判定，求根公式 2. 一元二次方程的解法与应用 考点及考试要求 1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去 3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用 教学内容 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式： 2 =++c bx ax 时，应满足（a≠0） (4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112 =-+ x x C 0 2 =++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

解一元二次方程练习题汇编

一元二次方程练习题 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2 (1)9x -=； （2）2 (21)3x +=； （3）2 (61)250x --=． （4）2 81(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2）21 (31)644 x +=； （3）2 6(2)1x +=； （4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2 ． （2）22 3x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2 ． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)； 2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程

1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21 (1)2(1)02 x x ---+= 7. 方程22 103 x x - +=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． 12. 用适当的方法解方程 （1）2 3(1)12x +=； （2）2 410y y ++=； （3）2884x x -=； （4）2 310y y ++=． 13. 已知关于x 的一元二次方程2 2 (21)10m x m x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．

一元二次方程经典习题及深度解析

一元二次方程及解法经典习题及解析 知识技能： 一、填空题： 1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ． 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ ◆答案：⑤④③①,,, ◆解析：判断一个方程是否是一元二次方程，要根据一元二次方程的定义，看是否同时符合条件 2．已知，关于2的方程12)5(2 =-+ax x a 是一元二次方程，则a ◆答案：5-=/ 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程． ◆答案：2± 4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， · ◆答案：直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ． ◆答案： ◆解析：此题不可漏掉042≥-ac b 的条件． 6．方程0322=--x x 的根是 ．◆答案：3.1- 7．不解方程，判断一元二次方程022632=+--x x x 的根的情况是 ． ◆答案：有两个不相等的实数根 8．若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ． ◆答案：425≤ k ◆解析：‘．．方程有实根，?≤∴≥-=-∴4 25,045422k k ac b 9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根．◆答案：43≥ ◆解析：。．‘方程0)2()12(2 2=-+++m x m x 有实数根． ?≥ ∴≥-=-+-++=--+=-∴4 3,0152016164144)2(4)12(42.2222m m m m m m m m ac b 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ． ◆答案：无实根 ∴<-∴>+∴≥,04,02,0222ac b k k Θ原方程无实根． 二、选择题：

一元二次方程练习题(难度较高)

一元二次方程练习题 1、已知关于x 的方程0)1(222=+--k x k x 有两个实数根1x 、2x ⑴、求k 的取值范围； ⑵、若12121-?=+x x x x ，求k 的值。 2.、已知关于x 的一元二次方程 有两个实数根1x 与2x (1)求实数m 的取值范围； (2)若7)1)(1(21=--x x ，求m 的值。 3.已知)(11y x A ， ，)(22y x B ， 是反比例函数x y 2 - = 图象上的两点，且212-=-x x ，321=?x x ． （1）求21y y - 的值及点A 的坐标； （2）若－4＜y ≤ －1，直接写出x 的取值范围． 4.（本小题8分）已知关于x 的方程014 )1(22 =+++-k x k x 的两根是一个矩形的两邻边的长。 （1）k 为何值时，方程有两个实数根； （2）当矩形的对角线长为 时，求k 的值。

5已知关于x 的一元二次方程 . （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）当Rt △ABC 的斜边长 ，且两直角边和是方程的两根时，求△ABC 的周长和面 积. 6如果一元二次方程02 =++c bx ax 的两根1x 、2x 均为正数，且满足1＜ 2 1 x x ＜2（其中1x ＞2x ），那么称这个方程有“邻近根”． （1）判断方程03)13(2=++-x x 是否有“邻近根”，并说明理由； （2）已知关于x 的一元二次方程01)1(2=---x m mx 有“邻近根”，求m 的取值范围． 7设关于x 的一元二次方程0122=++px x 有两个实数根，一根大于1，另一根小于1，试求实数p 的范围． 8已知方程052=++-m mx x 有两实数根α、β，方程0715)18(2=+++-m x m x 有两实数根α、 γ，求βγα2的值。

一元二次方程及其解法

第2课时 一元二次方程及其解法 一·基本概念理解 1 一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 2、一元二次方程的解法 （1）、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如 b a x =+2 )(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 22)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 （3）、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：

) 04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c （4）、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 （5）、韦达定理 若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则 a b x x -=+21，a c x x =21。以上的就称为韦达定理（或称为根与系数的关系）利用 韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=a b -，二根之积 =a c 也可以表示为a b x x -=+21,a c x x =21。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 3、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?

一元二次方程经典题型汇总

一元二次方程经典题型汇总 一、一元二次方程的概念 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 一．填空题： 1．关于x 的方程mx 2-3x= x 2-mx+2是一元二次方程,则m___________． 2．方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是_______________,二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是______. 3．关于x 的一元二次方程(m+3) x 2+4x+ m 2- 9=0有一个解为0 , 则m=______. 4、.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是_____ 5、当m 时，方程()05122=+--mx x m 不是一元二次方程，当m 时，上述方程是一元二次方程。 二．选择题： 6．在下列各式中 ①x 2+3=x; ②2 x 2- 3x=2x(x- 1) – 1 ; ③3 x 2- 4x – 5 ; ④x 2=- x 1+2 是一元二次方程的共有( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 7、下列方程中，一元二次方程是（ ） （A ） 221 x x +（B ） bx ax +2（C ） ()()121=+-x x （D ） 052322=--y xy x 8．一元二次方程的一般形式是( ) A x 2+bx+c=0 B a x 2+c=0 (a ≠0 ) C a x 2+bx+c=0 D a x 2+bx+c=0 (a ≠0) 9．方程6 x 2- 5=0的一次项系数是( ) A 6 B 5 C -5 D 0 10、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、1 2 三、.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项