高三数学精准培优专题练习15：平行垂直关系的证明
培优点十五 平行垂直关系的证明
1．平行关系的证明
例1：如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ，11C D ，1AA 的中点．
求证：
（1）EG ∥平面11BB D D ；
（2）平面BDF ∥平面11B D H ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】证明（1）如图，取11B D 的中点O ，连接GO ，OB ，
因为1112
OG B C BE ∥∥，所以BE OG ∥，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB EG ∥，因为OB ?平面11BB D D ，EG ?平面11BB D D ，所以EG ∥平面11BB D D ．
（2）由题意可知11BD B D ∥．连接HB ，1D F ，因为1BH D F ∥
，所以四边形1HBFD 是平行四边形，故1HD BF ∥又1111=B D HD D I ，=BD BF B I ，所以平面BDF ∥平面11B D H ．
2．垂直关系的证明
例2：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．
=AB BC ，=2AC ，1AA ．
（1）求证：1B C ∥平面1A BM ；
（2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；
（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1
BN BB 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，12
．【解析】（1）证明：连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM
．
在1B AC △中，∵M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，∴1OM B C ∥，
又∵OM ?平面1A BM ，1B C ?平面1A BM ，∴1B C ∥平面1A BM ．
（2）证明：∵侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ?平面ABC ，∴1AA BM ⊥，
又∵M 为棱AC 的中点，=AB BC ，∴BM AC ⊥．
∵1=AA AC A ，1AA ，AC ?平面11ACC A ，∴BM ⊥平面11ACC A ，∴1BM AC ⊥∵=2AC ，∴=1AM
．又∵1AA ，∴在1Rt ACC △和1Rt A AM △
中，
11tan tan AC C A MA ∠==∴11AC C A MA ∠∠＝，
即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=?，∴11
A M AC ⊥∵1BM A M M = ，BM ，1A M ?平面1A BM ，∴1AC ⊥平面1A BM ．
（3）解：当点N 为1BB 的中点，即112
BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AA C C
证明如下：
设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，∵D ，M 分别为1AC ，AC 的中点，
∴1DM CC ∥，且112
DM CC =．又∵N 为1BB 的中点，∴DM BN ∥，且DM BN =，∴四边形BNDM 为平行四边形，∴BM DN ∥，
∵BM ⊥平面11ACC A ，∴DN ⊥平面11AA C C ．又∵DN ?平面1AC N ，
∴平面1AC N ⊥平面11AA C C ．
一、单选题
1．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①11m n m n ⊥?⊥；②11m n m n ⊥?⊥；③1m 与1n 相交m ?与n 相交或重合；④1m 与1n 平行m ?与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -
中：对点增分集训
对于说法①：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC ，BD ，m n ，分别为11A C BD ，，满足11m n ⊥，但是不满足m n ⊥，该说法错误；对于说法②：若取平面α为11ADD A ，1m ，1n 分别为111A D AD ，，m n ，分别为111A C BD ，，满足m n ⊥，但是不满足11m n ⊥，该说法错误；对于说法③：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC BD ，，m n ，分别为11AC BD ，，
满足1m 与1n 相交，但是m 与n 异面，该说法错误；对于说法④：若取平面α为11ADD A ，1m 、1n 分别为11A D AD ，，m 、n 分别为11A C BC ，，满足1m 与1n 平行，
但是m 与n 异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4．本题选择D 选项．
2．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A ．若l m ⊥，l n ⊥，且m n α?，，则l α
⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则αβ
∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α
∥D ．若m n ∥，n α⊥，则m α
⊥【答案】D
【解析】对于选项A ，若l m ⊥，l n ⊥，且m n α?，，则l 不一定垂直平面α，∵m 有可能和n 平行，
∴该选项错误；
对于选项B ，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α、β可能相交或平行，∴该选项错误；
对于选项C ，若m m n α⊥⊥，，则n 有可能在平面α内，∴该选项错误；
对于选项D ，由于两平行线中有一条垂直平面α，则另一条也垂直平面α，∴该选项正确，故答案为D ．
3．给出下列四种说法：
①若平面αβ∥，直线a b αβ??，，则a b ∥；
②若直线a b ∥，直线a α∥，直线b β∥，则αβ∥；
③若平面αβ∥，直线a α?，则a β∥；
④若直线a α∥，a β∥，则αβ∥．其中正确说法的个数为（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】D
【解析】若平面αβ∥，直线a b αβ??，，则a b ，可异面；
若直线a b ∥，直线a α∥，直线b β∥，则αβ，可相交，此时a b ，平行两平面的交线；若直线a α∥，a β∥，则αβ，可相交，此时a b ，平行两平面的交线；
若平面αβ∥，直线a α?，则a β与无交点，即a β∥；故选D ．
4．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）（1）m α?，n α?，m β∥，n βαβ
?∥∥（2）n m ∥，n m αα
⊥?⊥（3）αβ∥，m α?，n m n β??∥（4）m α⊥，m n n α
⊥?∥A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3【答案】B
【解析】由m α?，n α?，m β∥，n β∥，若a b ，相交，则可得αβ∥，若a b ∥，则α与β可能平行也可能相交，故（1）错误；
若m n ∥，n α⊥根据线面垂直的第二判定定理可得m α⊥，故（2）正确；
若αβ∥，m α?，n β?，则m n ∥或m n ，异面，故（3）错误；
若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n α?，故（4）错误；故选B ．
5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，
分别是1111C D BC A D ，，的中点，则下列命题正确的是（ ）
A ．MN AP
∥B ．1MN BD ∥C ．11MN BB D D
∥平面D ．MN BDP
∥平面【答案】C 【解析】A ：MN 和AP 是异面直线，故选项不正确；
B ：MN 和1BD 是异面直线，故选项不正确；
C ：记AC B
D O =I ．∵正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别11C D BC ，是的中点，
∴1ON D M CD ∥∥，112
ON D M CD ==，∴1MNOD 为平行四边形，∴1MN OD ∥，∵MN ?平面1BD D ，1OD ?平面1BD D ，∴MN ∥平面1BD D ．
D ：由C 知11MN BB D D ∥平面，而面11BB D D 和面BDP 相交，故选项不正确；故选C ．
6．已知m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A ．若αβ，垂直于同一平面，则αβ与平行
B ．若m n ，平行于同一平面，则m n 与平行
C ．若αβ，不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D ．若m n ，不平行，则m n 与不可能垂直于同一平面
【答案】D
【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A 不正确；
平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B 不正确；
平面不平行即相交，在一个平面内平行两平面交线的直线与另一平面平行，C 不正确；D 为直线与平面垂直性质定理的逆否命题，故D 正确．故选D ．
7．已知m n ，是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥；
②若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥；
③若m n m n αβ??，，∥，则αβ∥；
④若m n ，是异面直线，m m n n αββ
α??，∥，，∥，则αβ∥．其中真命题是（ ）A ．①和②
B ．①和③
C ．③和④
D ．①和④
【答案】D
【解析】逐一考查所给的命题：①由线面垂直的性质定理可得若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥，命题正确；
②如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面αβγ，，分别为平面
1111ABB A ADD A ABCD ，，，
满足αγβγ⊥⊥，，但是不满足αβ∥，命题错误；
③如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面αβ，分别为平面1111ABB A ADD A ，，直线m n ，分别为11BB DD ，，满足m n m n αβ??，，∥，但是不满足αβ∥，命题错误；
④若m n ，是异面直线，m m n n αββ
α??，∥，，∥，由面面平行的性质定理易知αβ∥，
命题正确；综上可得，真命题是①和④，本题选择D 选项．
8．如图，正方体的棱长为1，线段11A C 上有两个动点E F ，，且2EF =；则下列结论错误的是（ ）．
A ．BD CE
⊥B ．EF ABCD ∥平面C ．三棱锥E FBC -的体积为定值
D ．BEF △的面积与CEF △的面积相等
【答案】D 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，BD ⊥平面11A ACC ，
而CE ?平面11A ACC ，故BD CE ⊥，故A 正确．
又11A C ∥平面ABCD ，因此EF ∥平面ABCD ，故B 正确．
当EF 变化时，三角形CEF 的面积不变，点B 到平面CEF 的距离就是B 到平面11A CCC 的距离，它是一个定值，故三棱锥E FBC -的体积为定值（此时可看成三棱锥B CEF -的体积），故C 正确．
在正方体中，点B 到EF C 到EF 的距离为1，D 是错误的，故选D ．9．如图所示，AB 是圆O 的直径，VA 垂直于圆O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A B ，的任意一点，M N ，分别为VA VC ，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．MN AB
∥B ．MN 与BC 所成的角为45?C ．OC ⊥平面VAC D ．平面VAC ⊥平面VBC
【答案】D
【解析】对于A 项，MN 与AB 异面，故A 项错；
对于B 项，可证BC ⊥平面VAC ，故BC MN ⊥，∴所成的角为90?，因此B 项错；对于C 项，OC 与AC 不垂直，∴OC 不可能垂直平面VAC ，故C 项错；
对于D 项，由于BC AC ⊥，VA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，∴VA BC ⊥，
∵=AC VA A I ，∴BC ⊥平面VAC ，BC ?平面VBC ，∴平面VAC ⊥平面VBC ，故选D ．
10．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）
A ．1CC 与1
B E 是异面直线
B ．A
C ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线且11
AE B C ⊥D ．11A C ∥平面1AB E
【答案】C 【解析】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，∴A 错；
对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，∴B 错；对于C 项，∵AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，∴C 正确；
对于D 项，∵11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，
故11A C ∥平面1AB E 不正确，∴D 项不正确；故选C ．
11．设E F ，分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点，且21AB EF ==，，给出下列四个命题：
①三棱锥11D B EF -的体积为定值；②异面直线11D B 与EF 所成的角为45?；③11D B ⊥平面
1B EF ；④直线11D B 与平面1B EF 所成的角为60?．其中正确的命题为（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①②④
D ．①④
【答案】A
【解析】由题意得，如图所示，
①中，三棱锥的体积的为11111111112223323
D B EF B D EF D EF V V S B C EF --==??=????=△，∴体积为定值；
②中，在正方体中，11EF C D ∥，∴异面直线11D B 与EF 所成的角就是直线11D B 与11C D 所成的角，
即11145B D C ∠=?，∴这正确的；
③中，由②可知，直线11D B 与EF 不垂直，∴11D B ⊥面1B EF 不成立，∴是错误的；④中，根据斜线与平面所成的角，可知11D B 与平面1B EF 所成的角，即为11145B D C ∠=?，∴不正确．
12．如下图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，145AD AB AD AB BCD ==⊥∠=?，，
，将ABD △沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD ．给出下面四个命题：
①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-；③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '．其中正确命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
【答案】B 【解析】①∵90BAD AD AB ∠=?=，，∴45ADB ABD ∠=∠=?，
∵45AD BC BCD ∠=?∥，
，∴BD DC ⊥，∵平面A BD '⊥平面BCD ，且平面A BD 'I 平面BCD BD =，∴CD ⊥平面A BD '，∵A D '?平面A BD '，∴CD A D ⊥'，故A D BC '⊥不成立，故①错误；
②棱锥A BCD '-的体积为1132?=③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确；
④由①知CD ⊥平面A BD '，又∵A B '?平面A BD '，∴CD A B ⊥'，
又A B A D '⊥'，且A D '、CD ?平面A DC '，A D CD D '= ，
∴A B '⊥平面A DC '，又A B '?平面A BC '，
∴平面A BC '⊥平面A DC '，故④正确．故选B ．
二、填空题
13．设m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是________．(填序号)
①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，m β∥，则αβ∥；
③若m n ∥，m α⊥，则n α⊥；④若m α∥，αβ⊥，则m β⊥．
【答案】③
【解析】m α∥，n α∥，则m n ∥，m 与n 可能相交也可能异面，∴①不正确；m α∥，m β∥，则αβ∥，还有α与β可能相交，∴②不正确；
m n ∥，m α⊥，则n α⊥，满足直线与平面垂直的性质定理，故③正确；
m α∥，αβ⊥，则m β⊥，也可能m β∥，也可能m A β= ，∴④不正确；
故答案为③．
14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论
①AB EF ⊥；②AB 与CM 所成的角为60?；③EF 与MN 是异面直线；④MN CD ∥．以上四个命题中，正确命题的序号是_________．
【答案】①③
【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图：
则AB EF ⊥，EF 与MN 异面，AB CM MN CD ⊥∥，，只有①③正确．故答案为①③．
15．若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD AC BD AD BC ===，，
，给出下列结论：
①四面体ABCD 每组对棱相互垂直；
②四面体ABCD 每个面的面积相等；
③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大90?而小于180?；
④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分．
其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号）
【答案】②④
【解析】①将四面体ABCD 的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，
∴平行六面体为长方体．
由于长方体的各面不一定为正方形，∴同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不
一定相互垂直．①错误；
②四面体ABCD 的每个面是全等的三角形，面积是相等的．②正确；
③由②，四面体ABCD 的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180?．③错误；④连接四面体ABCD 每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分④正确，故答案为②④．
16．如图，一张矩形白纸ABCD ，10AB =，AD =，E F ，分别为AD BC ，的中点，现分别将ABE △，CDF △沿BE DF ，折起，且A C 、在平面BFDE 同侧，下列命题正确的是____________（写出所有正确命题的序号）．
①当平面ABE ∥平面CDF 时，AC ∥平面BFDE
②当平面ABE ∥平面CDF 时，AE CD
∥③当A C 、重合于点P 时，PG PD
⊥④当A C 、重合于点P 时，三棱锥P DEF -的外接球的表面积为150π
【答案】①④
【解析】在ABE △中，tan ABE ∠=，在ACD △中，tan CAD ∠=∴ABE DAC ∠=∠，由题意，将ABE
CDF △，△沿BE DF ，折起，且A C ，在平面BEDF 同侧，
此时A C G H ，，，四点在同一平面内，平面ABE I 平面AGHC AG =，
平面CDF I 平面AGHC CH =，当平面ABE ∥平面CDF 时，得到AG CH ∥，
显然AG CH =，∴四边形AGHC 是平行四边形，∴AC GH ∥，
进而得到AC ∥平面BFDE ，∴①正确的；
由于折叠后，直线AE 与直线CD 为异面直线，∴AE 与CD 不平行，∴②错误的；
折叠后，可得PG =10PD =，其中10GD =，222PG PD GD +≠，∴PG 和PD 不垂直，∴③不正确；
当,A C 重合于点P 时，在三棱锥P DEF -中，EFD △和FCD △均为直角三角形，
∴DF 为外接球的直径，即2DF R ==，
则三棱锥P DEF -的外接球的表面积为2244150R π=π?=π，∴④是正确，综上正确命题的序号为①④．
三、解答题
17．如图，四棱锥P ABCD -中，22AB AD BC ===，BC AD ∥，AB AD ⊥，PBD △为正三角形．
且PA =．
（1）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；
（2）若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且PB ∥平面ACE ，求四面体A CDE -的体积．
【答案】（1）见解析；（2）89
．
【解析】（1）证明：∵AB AD ⊥，且2AB AD ==，∴BD =，
又PBD △为正三角形，∴PB PD BD ===，又∵2AB =，PA =AB PB ⊥，
又∵AB AD ⊥，BC AD ∥，∴AB BC ⊥，PB BC B = ，
∴AB ⊥平面PBC ，又∵AB ?平面PAB ，
∴平面PAB ⊥平面PBC ．
（2）如图，连接BD ，AC 交于点O ，∵BC AD ∥，
且2AD BC =，∴2OD OB =，连接OE ，
∵PB ∥平面ACE ，∴PB OE ∥，则2DE PE =，
由（1）点P 到平面ABCD 的距离为2，
∴点E 到平面ABCD 的距离为24233
h =?=，∴111482233239
A CDE E ACD ACD V V S h --??==?=????= ???△，即四面体A CDE -的体积为89
．18．如图，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，4AB =，2AE =，1EF =．
（1）求证：BC AF ⊥；
（2）若点M 在线段AC 上，且满足14
CM CA =，求证：EM ∥平面FBC ；（3）求证：AF ⊥平面EBC ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）∵EF AB ∥，∴EF 与AB 确定平面EABF ，
∵EA ⊥平面ABCD ，∴EA BC ⊥．由已知得AB BC ⊥且=EA AB A I ，∴BC ⊥平面EABF ．又AF ?平面EABF ，∴BC AF ⊥．
（2）过M 作MN BC ⊥，垂足为N ，连接FN ，则MN AB ∥．又14CM AC =，∴MN AB =．又EF AB ∥且14
EF AB =，∴EF MN ∥且EF MN =，∴四边形EFNM 为平行四边形，∴EM FN ∥．又FN ?平面FBC ，EM ?平面FBC ，∴EM ∥平面FBC ．
（3）由（1）可知，AF BC ⊥．
在四边形ABFE 中，4AB =，2AE =，1EF =，90BAE AEF ∠=∠=?，∴1tan tan 2
EBA FAE ∠=∠=，则EBA FAE ∠=∠．设AF BE P =I ，∵90PAE PAB ∠+∠=?，
故90PBA PAB ∠+∠=?，则90APB ∠=?，即EB AF ⊥．
又∵EB BC B =I ，∴AF ⊥平面EBC ．
高三数学培优专练
高三培优专练 1．单调性的判断 例１：（1）函数()2 12 log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(0),-∞ C ．(2,)+∞ D ．(),2-∞- （2）2 23y x x +-+=的单调递增区间为________． 2．利用单调性求最值 例2：函数1y x x =+-的最小值为________． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时， ()()2121()0f x f x x x -?-????<恒成立，设12 a f ??=- ?? ? ，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．b a c >> （2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且10 2f ??= ???，则满足19log 0f x ??> ?? ?的x 的集合为________________． ４．奇偶性 例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ?? -< ??? 的x 的取值范围是（ ） A ．12,33?? ??? B ．12,33?? ? ??? C ．12,23?? ??? D ．12,23?? ? ??? ５．轴对称 例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804 C ．806 D ．402 ６．中心对称 例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()()2f x f x =+ D ．()3f x +是奇函数 ７．周期性的应用 例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-， 则()()20172019f f +的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．无法计算 一、选择题 培优点一 函数的图象与性质 对点增分集训
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数学（理） 培优点一函数的图象与性质01 培优点二函数零点06 培优点三含导函数的抽象函数的构造10 培优点四恒成立问题14 培优点五导数的应用18 培优点六三角函数23 培优点七解三角形29 培优点八平面向量33 培优点九线性规划36 培优点十等差、等比数列40
培优点十一数列求通项公式43 培优点十二数列求和47 培优点十三三视图与体积、表面积51 培优点十四外接球56 培优点十五平行垂直关系的证明59 培优点十六利用空间向量求夹角67 培优点十七圆锥曲线的几何性质76 培优点十八离心率81 培优点十九圆锥曲线综合86 培优点二十几何概型93
2019届高三好教育精准培优专练 1．单调性的判断 例１：（1）函数()2 12 log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(0),-∞ C ．(2,)+∞ D ．(),2-∞- （2）2 23y x x +-+=的单调递增区间为________． 2．利用单调性求最值 例2：函数y x =+________． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时， ()()2121()0f x f x x x -?-????<恒成立，设12 a f ??=- ?? ? ，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．b a c >> （2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ??= ? ??，则满足19log 0f x ??> ?? ?的x 的集合为________________． ４．奇偶性 例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ?? -< ??? 的x 的取值范围是（ ） A ．12,33?? ??? B ．12,33?? ???? C ．12,23?? ??? D ．12,23?? ???? ５．轴对称 例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804 C ．806 D ．402 培优点一 函数的图象与性质
高三数学精准培优专题练习8：平面向量
培优点八 平面向量 1．代数法 例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ， 所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法 例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系 例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________． 【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，
观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ， 下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ， 由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ． 一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训
高三数学培优资料用泰勒公式和拉格朗日中值定理来处理高中函数不等式问题(教师版)
2012级高三数学培优资料（教师版） 泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用 泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数 ] 31[-.所以泰勒 公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 泰勒公式知识：设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得： ()f x =()0f x +()0' f x 0(x -x )+()0f''x 2!02(x -x )+???+ ()()0 n f x n! 0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x = ()(1)(1)! n f n ξ++10)(+-n x x 称为余项，上式称为n 阶泰勒公式； 若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式， 即()f x = ()0f +()0' f x +()02!f''2x +???+()()0! n f n n x +0()n x . 利用泰勒公式证明不等式：若函数)(x f 在含有0x 的某区间有定义,并且有 直到)1(-n 阶的各阶导数,又在点0x 处有n 阶的导数)(0) (x f n ,则有公式 )()(! )()(!2)()(!1)()()()(00)(2 00000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 在上述公式中若0)(≤x R n (或0)(≥x R n ),则可得
高三数学课外培优练习
省始兴县风度数学 课外培优练习 2．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2 1A B ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1，B ，M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N. （Ⅰ）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1； （Ⅱ）求二面角B —A 1N —B 1的正切值.
1．解法一：PO ⊥平面ABCD ， PO BD ∴⊥ 又,2,2PB PD BO PO ⊥==， 由平面几何知识得：1,3,6OD PD PB == = （Ⅰ）过D 做//DE BC 交于AB 于E ，连结PE ，则PDE ∠或其补角为异面直线PD 与BC 所成的角， 四边形ABCD 是等腰梯形，1,2,OC OD OB OA OA OB ∴====⊥ 5,22,2BC AB CD ∴=== 又//AB DC ∴四边形EBCD 是平行四边形。 5,2ED BC BE CD ∴==== E ∴是AB 的中点，且2AE = 又6PA PB ==，PEA ∴?为直角三角形，22622PE PA AE ∴= -=-= 在PED ?中，由余弦定理得 222215cos 215235 PD DE PE PDE PD DE +-∠===??? 故异面直线PD 与BC 所成的角的余弦值为215 （Ⅱ）连结OE ，由（Ⅰ）及三垂线定理知，PEO ∠为二面角 P AB C --的平面角 2sin 2 PO PEO PE ∴∠==，045PEO ∴∠= ∴二面角P AB C --的大小为045 （Ⅲ）连结,,MD MB MO ， PC ⊥平面,BMD OM ?平面BMD ，PC OM ⊥ 又在Rt POC ?中， 3,1,2PC PD OC PO ====， 233,33PM MC ∴==，2PM MC ∴= 故2λ=时，PC ⊥平面BMD 解法二： PO ⊥平面ABCD PO BD ∴⊥
高一数学培优专题(已修正)
厦大附中高一数学培优专题（一） （2010-3-6/13） 知识要点梳理 本节公式中，,2a b c s ++=,r 为切圆半径，R 为外接圆 半径，Δ为三角形面积. （一). 三角形中的各种关系 设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角A 、B 、C ． 1．角与角关系：A +B +C = π， 2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ， a － b < c ，b －c < a ，c －a < b ． 3．边与角关系： 正弦定理； R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理； c 2 = a 2+b 2－2ba cos C ， b 2 = a 2+ c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ． 它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b a B A =sin sin ， bc a c b A 2cos 2 22-+=． 3）射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ， b ＝a ·cos C ＋ c ·cos A ， c ＝a ·cos B ＋b ·cos A ． 4 ）面积公式：11sin 224a abc S ah ab C rs R ?=====
（二）、关于三角形角的常用三角恒等式： 1.三角形角定理的变形 由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）． 而 2 22C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2 sin 2cos C B A +=． 2.常用的恒等式： （1）sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2 A cos 2 B cos 2 C ； （2）cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2 A sin 2 B sin 2 C ； （3）sin A ＋sin B －sin C ＝4sin 2 A sin 2 B cos 2 C ； （4）cos A ＋cos B －cos C ＝－1＋4cos 2 A cos 2 B sin 2 C ． 3．余弦定理判定法：如果c 是三角形的最大边，则有： a 2＋ b 2＞ c 2 ? 三角形ABC 是锐角三角形 a 2＋b 2＜c 2 ? 三角形ABC 是钝角三角形 a 2＋b 2=c 2 ? 三角形ABC 是直角三角形 (三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。
2018届高三文科数学培优资料(一)解析版
2018届高三文科数学培优资料（一） 圆锥曲线的方程与性质 一、知识整合 二、真题感悟： 1． (全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直 径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C 解析 由题意知：F ????p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2 ，则由抛物线的定义知，x M
＝5－p 2 ，设以MF 为直径的圆的圆心为????52，y M 2，所以圆的方程为????x －522＋????y －y M 22＝25 4 ，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ????5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C. 2． (全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5 2 ，则C 的渐近线方程为 ( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±1 2 x D ．y ＝±x 答案 C 解析 由e ＝c a ＝5 2知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)， 由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k . 所以b a ＝12 . 即渐近线方程为y ＝±1 2x .故选C. 3． (山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23 －y 2 ＝1的右焦点的连线交C 1于 第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( ) A.316 B.38 C.233 D.433 答案 D 解析 抛物线C 1的标准方程为：x 2＝2py ，其焦点F 为??? ?0，p 2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为：y ＝±3 3 x . 由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ????33 p ，p 6. 由F 、F ′、M 三点共线得p ＝43 3 . 4． (福建)椭圆Г：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3 (x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ________． 答案 3－1 解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )， 知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1， 所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2， 所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ， 所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝c a ＝3－1. 5． (浙江)设F 为抛物线C ：y 2 ＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两 点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________． 答案 ±1 解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x 0，y 0)．解方程组 ????? y ＝k (x ＋1) y 2 ＝4x .
高三数学培优
高三数学(文科)培优辅导(一) 三角函数专题之一 09.2.20 例1. 求函数x x x y cos 1sin 2sin -= 的最小值. 练习: 1. 求函数x x y cos 2)3 cos(2++=π 的最大值. 2. 已知?? ? ??-∈0,2πθ,,51cos sin =+θθ求 θθtan 1tan 1-+的值.
例2. 若022sin 2cos 2<--+m x m x 对R x ∈恒成立,求实数m 的取值范围. 练习: 1. 若,cos 2sin αα=求α αcos sin 1 的值. 2. 已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合,始边在x 轴正半轴上,终边经过点 )2,1(-P ,求)4 2cos(2π α- 的值. 3. 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数,,若)(x f 的最小正周期是π, 且当?? ? ???∈2,0πx 时,x x f sin )(=,求)35(πf 的值.
高三数学(文科)培优辅导(二) 三角函数专题之二 09.2.26 例1. 已知53)4sin(=+π α, 求α α αtan 1sin 22sin 2--的值. 练习: 1. 已知41log )sin(8=-απ,且),0,2 (π α-∈则)tan( πα+的值为( ) A. 25- B. 25 C. 25 ± D . 5 2- 2. 已知ααcos ,sin 是方程022=--m x x 的两根,则=m _____________; 3. 已知1tan 2sin )(++=x b x a x f ,且5)3(=-f ,则=+)3(πf _________; 4. 函数)23 sin(32)2316cos()2316cos( )(x x k x k x f ++--+++=π ππ ),(Z k R x ∈∈的值域是____________;最小正周期是____________.
(word完整版)高中数学培优补差计划
高一“培优补差”工作计划 一、指导计划 提高优生的自主和自觉学习能力，进一步巩固并提高中等生的学习成绩，帮助差生取得适当进步，让差生在教师的辅导和优生的帮助下，逐步提高学习成绩，并培养较好的学习习惯，形成基本能力。培养优秀计划要落到实处，发掘并培养一批尖子，挖掘他们的潜能，从培养能力入手，训练良好学习习惯，从而形成较扎实的基础和缜密的思维，并能协助老师进行辅导后进生活动，提高整个班级的素养和成绩。 二、工作目标： 在这个学期的培优补差活动中，坚持“抓两头、带中间、整体推进”的方针，培优对象能按照计划提高学生数学思维、数学思想方法的应用以及合作能力，学习成绩好的同学，能积极主动协助老师实施补差工作，帮助后进生取得进步。补差对象能按照老师的要求做好，成绩有一定的提高。特别是做题、考试这一基本的能力。并在课堂教学中不断引导学生熟悉并应用各种基本的数学思想方法，使学生形成缜密的逻辑思维，并喜欢上数学学习。 三、工作内容： （一）优等生：拓展高考知识，拓宽知识面，促进其能力持续发展。鼓励参与班级管理，自发组成各种兴趣小组，指导其他同学学习。鼓
励多作数学笔记及错题集，并和同学分享学习方法。 （二）学困生:补差的工作内容是教会学生敢于做题，会做题，安排比较基础的内容让他们掌握，鼓励他们大胆问问题，虚心向别人请教。多关心学困生的学习，老师对他们做到有耐心、有信心，同时也要多给他们布置任务，比如初中没学习懂的东西或者在新课学习中遗留下来的问题，要督促他们用更多的时间来完成这部分内容。除老师的版主外，还应调动起优等生辅助他们学习，让他们一起合作学习的效果更加明显。 （三）中等生：鼓励他们向优等生靠齐，多对学习方法和他们做一些交流。对该部分同学布置问题时应循序渐进，有易到难。在讲解题时，多他们灌输学学思想方法和解题技巧。 四、主要措施： l．课外辅导，利用课余时间。 2．采用一优生带一差生的一帮一行动。 3．请优生介绍学习经验，差生加以学习。 4．课堂上创造机会，用优生学习思维、方法来影响差生。 5．对差生实施多做多练措施。优生适当增加题目难度，并安排课外作品阅读，不断提高做题和写作能力。 6．采用激励机制，对差生的每一点进步都给予肯定，并鼓励其继续进取，在优生中树立榜样，给机会表现，调动他们的学习积极性和成功感。
高三数学精准培优专题练习6：三角函数
培优点六 三角函数 1．求三角函数值 例1：已知π3π044βα<< << ，π3 cos 45 α??-= ???，3π5sin 413β??+= ???，求()sin αβ+的值． 【答案】 5665 【解析】∵3πππ442 αββα??+= +--- ???， ()3ππ3πsin sin πcos π44244αββαβα???? ????∴+=+---=-+-- ? ? ? ????????? 3ππ3ππ=cos cos sin sin 4444βαβα?? ????????-+-++- ? ? ? ? ?????????? ? ∵π3π044βα<< <<，ππ024α∴-<-<，3π3π π44 β<+<， π4sin 45α?? ∴-=- ???，3π12cos 413β??+=- ???， ()1234556sin 13551365αβ??∴+=--?-?= ??? ． 2．三角函数的值域与最值 例2：已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??? ???=-+-+ ? ? ???? ???， （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间ππ,122?? -???? 的值域． 【答案】（1）πT =，对称轴方程：()ππ 32k x k = +∈Z ；（2）?????? ． 【解析】（1）()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??? ???=-+-+ ? ? ???? ??? 1cos 2222x x x x x x ?=+?????? 221cos22sin cos 2x x x x =++-
高三数学培优训练(一)(附答案)
高三数学培优训练(一) 1、设集合}5|||{},29|{≤∈=-≤≤-∈=x Z x x B x Z x x A 且且，则集合B A 的子集的 个数是： A ．11 B ．10 C ．15 D ．16 2、已知：函数)(x f ＝3 x x --，321,,x x x ∈R,且021>+x x ，032>+x x ，013>+x x ， 则)()()(321x f x f x f ++的值 A ．一定大于0 B.一定小于0 C.一定等于0 D.正负都有可能 3、在ΔABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，这个三角形的面积为3，则ΔABC 外接圆的直径是 A ．33 B. 3326 C. 2393 D. 3 39 2 4、已知：)(x f y =的反函数是)(1 x f y -=，将)12(-=x f y 的图像向左平移2个单位，再 关于x 轴对称后所得到的函数的反函数是 A ．2)(31x f y -+-= - B. 2)(31x f y ---=- C. 2)(31x f y --= D. 2 )(31 x f y --=- 5、奇函数]),2[)((a x x f y -∈=满足11)2(=-f ，则=)(a f ： A ．11 B ．－11 C ．2 D ．－2 6、一个学生通过某种英语听力测试的概率是1/2，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通 过的的概率大于0.9，那么他测试的次数n 的最小值为： A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 7、已知函数)10(,2)1()(2 ≤≤+-=x x x x f ，则函数)(x f 的最大值是： A ． 39 2 B ．274 C ．2758 D ． 2392+ 8、如图，液体从一个圆锥形漏斗漏入一圆柱桶中，开始时漏斗盛 满液体，经过3秒漏完，圆柱桶中液面上升速度是一个常量，则漏 斗中液面的高度h 与下落时间t 的函数关系的图像只可能是：
高三数学培优补差上(易错题分析)精品!!
高三培优补差（易错题分析）精品！！ 1. 集合与函数、导数部分易错题分析 2. 不等式单元易错题分析 3. 三角函数易错点解析 集合与函数、导数部分易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ [问题]:{ }1|2-= x y x 、{ }1|2-=x y y 、{} 1|),(2-=x y y x 的区别是什么？ 4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？ 5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？ [问题]:如何解不等式：( ) 0122>--b x a ？ 6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对称轴进行讨论了吗？ 7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？ [问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 什么是映射、什么是一一映射？ [问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 个A 到B 上的映射，那么可以作 个 A 到 B 上的一一映射. 9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？ [问题]：已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]() 22 x f x f y +=的单调递增区间.（你处理函数问题是 是否将定义域放在首位） [问题]：已知函数()()的函数x g y x x x f =-+=,1 32图象与()11 +=-x f y 的图象关于直线()的值对称，求11g x y =. 10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？ 11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗? [问题]：已知函数()[)+∞∈=,3log x x x f a 在上，恒有()1>x f ，则实数的a 取值范围是： 。 12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法） 13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒成 立问题）.这几种基本应用你掌握了吗？ [问题]：写出函数)0()(>+ =m x m x x f 的图象及单调区间.],[d c x ∈时,求函数的最值.这种求函数的最值的方
2021届高三数学精准培优专练 三角函数(文) 教师版
2021届高三精准培优专练 例1： sin 47sin17cos30cos17?-?? =? （ ） A ．32 - B ．12 - C ． 12 D ． 32 【答案】C 【解析】 sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17sin 30cos17cos17cos17?-???+?-???? ==??? 1sin 302 =?= ． 例2：将函数πsin(2)3 y x =+的图像上各点向右平移 π 6 个单位，再把每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，所得函数图像的一条对称轴方程是（ ） A ．π3 x = B ．π6 x = C ．π2 x = D ．π8 x = 【答案】D 【解析】向右平移 π6个单位，表达式变为ππsin 2()sin 263y x x ? ?=-+=??? ?， 再每一点的横坐标缩短到原来的一半，则表达式变为sin 4y x =， 而当π8x = 时，sin 41x =，知所得函数图像的一条对称轴方程是π 8 x =． 培优点 三角函数 一、简单的三角恒等变换 二、三角函数的图像
例3：若函数()sin ([0,2π])3x f x ? ?+=∈是偶函数，则?=（ ） A ． π2 B ． 2π3 C ． 3π2 D ．5π3 【答案】C 【解析】由()sin 3 x f x ? +=是偶函数，可得()()f x f x -=， 即sin sin 33x x ??+-+=，可得ππ32k ?=+，则3 3ππ2 k ?=+，k ∈Z ． 当0k =时，可得3 π2 ?=． 例4：设函数π()cos(2)3sin 223 f x x x a =+++． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）当π 04 x ≤≤ 时，()f x 的最小值为0，求a 的值． 【答案】（1）π π [ππ]3 6k k ，()k ∈Z ； （2）1 4a ． 【解析】（1）ππ cos 2cos sin 2sin 3sin 2233 f x x x x a 1 3 cos 2sin 22cos(2)222 3x x a x a ． 由π 2ππ22π3 k x k -≤-≤，得ππ ππ 3 6 k x k ()k ∈Z ． 三、三角函数的性质 四、三角函数的值域与最值
高三数学冲刺模拟试卷(培优卷含答案)
高考培优卷 （时间：120分钟，满分：150分） 第Ⅰ卷 选择题（共50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 请把答案填写在答题卡上） 1 若复数x 满足z (2-i )=11+7i (i 为虚数单位)，则z 为（ ） A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 2．已知(x ＋ 3 3 x )n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3.在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则22 2 ||||||PA PB PC +=（ ） A.2 B.4 C.5 D.10 4.已知x 、y 、z ∈[1，20]，且x 、y 、z ∈N ，则满足不等式组???≥-≥-34 y z x y 的不同组合（x ，y ，z ）共有（ ）组 A.72 B ．144 C ．216 D ．455 5．阅读如右图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（ ） A ．0 B C D ． 6．设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥?? ≤??+≤? 下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为 A ．（1 ，1 B ． （1+∞） C ．（1,3 ） D ．（3，） 7.已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞，都有2[()log ]3f f x x -=，则方 程()'()2f x f x -=的解所在的区间是 （ ） A ．（0， 1 2 ） B ．（1 ,12 ） C ．（1，2） D ．（2，3） 8．已知分段函数2 1,0(),0 x x x f x e x -?+≤?=?>??，则3 1 (2)f x dx ?-等于（ ） A ． 71 - B ．2e - C ．13+ D ．12-
高三数学 导数培优专题(含解析)
培优导数专题 1、（本大题满分12分） 设函数f （x ）= .cos 2sin x x + （Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）如果对任何,0≥x 都有f （x ）ax ≤，求a 的取值范围. 2．（本小题满分12分） 已知.)2()(,02 x e ax x x f a -=≥函数 （Ⅰ）当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设)(x f 在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围. 3、已知函数2 1()ln (1)(0).2 f x x ax a x a R a =-+-∈≠且 （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线C 上的不同两点． 如果在曲线C 上存在点M （x 0，y 0），使得：①12 02 x x x += ；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数F （x ）夺在“中值相依切线”， 试问：函数f （x ）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．
4、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点。如果函数 2()(,*)x a f x b c N bx c +=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1 (2)2 f -<-。 （1）试求函数()f x 的单调区间； （2）已知各项均为负的数列{}n a 满足1)1 ( 4=n n a f s ，求证：1111ln n n n a n a ++-<<-； （3）设1 n n b a =- ，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：201120101ln 2011T T -<<。 5、（12分）设函数f （x ） ＝ x 2 ＋bln （x ＋1）, （1）若对定义域的任意x ，都有f （x ）≥f （1）成立，求实数b 的值； （2）若函数f （x ）在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （3）若b ＝－1，证明对任意的正整数n ，不等式3 33 1 1 (312) 1 1)1(n k f n k +++ +∑=π都成立； 6、（12分）已知函数)()(R x kx e x f x ∈-= （1）若e k =，试确定函数)(x f 的单调区间； （2）若0>k 且对任意R x ∈，0|)(|>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：)()2()()2()1(2 1 *+∈+>?N n e n F F F n n Λ
高三数学精准培优专题练习15：平行垂直关系的证明
培优点十五 平行垂直关系的证明 1．平行关系的证明 例1：如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ，11C D ，1AA 的中点． 求证： （1）EG ∥平面11BB D D ； （2）平面BDF ∥平面11B D H ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】证明（1）如图，取11B D 的中点O ，连接GO ，OB ， 因为1112 OG B C BE ∥∥，所以BE OG ∥，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB EG ∥，因为OB ?平面11BB D D ，EG ?平面11BB D D ，所以EG ∥平面11BB D D ． （2）由题意可知11BD B D ∥．连接HB ，1D F ，因为1BH D F ∥ ，所以四边形1HBFD 是平行四边形，故1HD BF ∥又1111=B D HD D I ，=BD BF B I ，所以平面BDF ∥平面11B D H ． 2．垂直关系的证明 例2：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点． =AB BC ，=2AC ，1AA ．
（1）求证：1B C ∥平面1A BM ； （2）求证：1AC ⊥平面1A BM ； （3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1 BN BB 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，12 ．【解析】（1）证明：连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ． 在1B AC △中，∵M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，∴1OM B C ∥， 又∵OM ?平面1A BM ，1B C ?平面1A BM ，∴1B C ∥平面1A BM ． （2）证明：∵侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ?平面ABC ，∴1AA BM ⊥， 又∵M 为棱AC 的中点，=AB BC ，∴BM AC ⊥． ∵1=AA AC A ，1AA ，AC ?平面11ACC A ，∴BM ⊥平面11ACC A ，∴1BM AC ⊥∵=2AC ，∴=1AM ．又∵1AA ，∴在1Rt ACC △和1Rt A AM △ 中， 11tan tan AC C A MA ∠==∴11AC C A MA ∠∠＝， 即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=?，∴11 A M AC ⊥∵1BM A M M = ，BM ，1A M ?平面1A BM ，∴1AC ⊥平面1A BM ． （3）解：当点N 为1BB 的中点，即112 BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AA C C
高三数学培优补差辅导检测试卷
高三数学辅导检测试卷 一、选择题 1、已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5，7}，B={3，4，5}则( )()U U A B = A 、{1，6} B 、{4，5} C 、{2，3，4，5，7} D 、{1，2，3，6，7} 提示：运用韦恩图解决.选D 2、已知条件p ：2|1|>+x ，条件q ：a x >，且p ?是q ?的充分不必要条件，则a 的取 值范围可以是（ A ） A ，1≥a ； B ，1≤a ； C ，1-≥a ； D ，3-≤a ； 提示：p ?：|1|231x x +≤?-≤≤；q ?：x a ≤.据题意：p ?中的元素都是q ?中的元 素，反之不成立.运用数轴可直观得出选A 3、已知向量)3,2(=→ a ，)2,1(-=→ b ，若→→+b n a m 与 → →-b a 2共线，则 n m 等于( A ) A ，2 1 - ； B ，21； C ，2-； D ，2； 提示：两个向量共线，依据两个向量共线基本定理可得：有且只有一个非零实数λ，使得 因为,a b →→ 均为非零向量，所以01 20 2m m n n λλ-=??=-? +=? 也可以利用向量的坐标运算解决：由)3,2(=→ a ，)2,1(-=→ b 可得： ()()()22,321,24,1a b → →-=--=-.因为→→+b n a m 与 → →-b a 2共线， 所以()()1 432201472 m m n m n m n n ++-=?=-? =- 4、若函数()y f x =在[],a b 上单调，则使得()3y f x =+必为单调函数区间的是 A 、[],3a b + B 、[]3,3a b ++ C 、[]3,3a b -- D 、[]3,a b + 提示：本题考查函数的图象的左右平移变换.函数()3y f x =+的图象可由函数()y f x =的 图象向左平移3个单位得到，故()3y f x =+的单调区间可由函数()y f x =的单调区间向左平移3个单位.即[]3,3a b --.故选C 5、设n m ,是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题 ① γβγαβα//////????；②βαβα⊥????⊥m m //；③βαβα⊥????⊥//m m ；④αα////m n n m ?? ?? ?； 其中正确的命题是（ C ） Ａ，①④； Ｂ，②③； Ｃ，①③； Ｄ，②④； 提示：命题1：平行于同一个平面的两个平面互相平行，正确； 命题2：两个平面互相垂直，平行于其中一个平面的直线与第二个平面的位置关系有 “平行”、“相交且垂直”、“相交但不垂直”、“在第二个平面内等多种情况；” 命题3：直线//m β，依据直线与平面平行的性质定理，在平面β内一定存在一条直线//n m ，则因为m α⊥，所以n α⊥，由两个平面垂直的判定定理可得 αβ⊥.正确. 命题4：由直线与平面平行的判定定理知，不正确. 故选C 6、已知3 5 sin()cos cos()sin αβααβα---= ，那么2cos β的值为 （A ）
高三数学培优测试题(二十七)
高三数学培优测试题（二十七） 班次 姓名 1．设全集是实数集 R, {}{}1,1,2,3,4M x x x R N =≤∈=，则()R C M N 等于 （ ） A ．{}4 B ．{}3,4 C ． {}2,3,4 D ． {}1,2,3,4 2．设条件p ：x x =||；条件q ：20x x +≥，那么p 是q 的什么条件 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件 D ．非充分非必要条件 3．已知0,0a b >>，且双曲线22122:1x y C a b -=与椭圆22 222 :2x y C a b +=有共同的焦点，则双曲 1C 的离心率 为 A B ．2 C D （ ） 4．若m 是一个给定的正整数，如果两个整数,a b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对m 同余， 记作[mod()]a b m ≡，例如153[mod(2)]≡，若20082[mod(7)]r ≡，则r 的可能值为 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5．设12,l l 是两条直线，,αβ 是两个平面，A 为一点，有下列四个命题，其中正确命题的个数是（ ）①若1l α?，2A l α= ，则1l 与2l 必为异面直线； ②若1l ∥α，2l ∥1l ，则2 l ∥α； ③1l α?，2l β?，1l ∥β，2l ∥α，则α∥β； ④若αβ⊥，1l α?，则1l β⊥， A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ．3 6．等差数列{}n a 中,20082008,m a a m ==，且2008m ≠，则(2008)m n a n +>是 （ ） A ．一个正数 B ．一个负数 C ．零 D ．符号不能确定． 7．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述： （1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去； （2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌； （3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量； (4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是 （ ） A ．（1），（2），（3） B ．（1），（3），（4） C ．（2），（4） D ．（2），（3） 8．2 1(0,1)ax x y a a a -+=>≠在12(,)23 内满足对任意12 12 12 ()(),0f x f x x x x x -≠>-都有成立，则a 的取值范围为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．3(0,(1,)4 +∞ D ．3(0,][2,)4 +∞ 9．如图，点(3,4)P 为圆2 2 25x y +=上的一点，点,E F 为y 轴上的两点，PEF ?是以点P 为顶点的等腰三角形，直线,PE PF 交圆于,D C 两点，直线CD 交y 轴于点A ，则sin DAO ∠的值为（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D ． 15 10．函数22log 1()log 1 x f x x -=+，若12()(2)1f x f x +=（其中12,x x 均大于2），则12()f x x ?的最小值为 （ ） A ．35 B ．2 C ．45 D 11．在△ABC 中，A =15°cos()A B C -+的值为 ． 第9题图