高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题
第一章 解三角形
1、正弦定理:
在C ?AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ?AB 的外接圆的半径,则有:
2sin sin sin a b c
R C
===A B . 2、正弦定理的变形公式:
①2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =; ②sin 2a R A =
,sin 2b R B =,sin 2c
C R
=; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ; ④
sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===
A +
B +A B . 注意:正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。
2、已知两角和一边,求其
余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况)如:在三角形ABC 中,已知a 、b 、A (A 为锐角)求B 。具体的做法是:数形结合思想
画出图:法一:把a 扰着C
当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。
法二:是算出CD=bsinA,看a 的情况: 当a
注:当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式:
111
sin sin sin 222
C S bc ab C ac ?AB =A ==B .
4、余弦定理:
在C ?AB 中,有2222cos a b c bc =+-A , 2222cos b a c ac =+-B ,
2222cos c a b ab C =+-.
5、余弦定理的推论:
222
cos 2b c a bc
+-A =,
222
cos 2a c b ac
+-B =,
222
cos 2a b c C ab
+-=.
(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角)
6、如何判断三角形的形状:
设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边,则: ①若222a b c +=,则90C =; ②若222a b c +>,则90C <;
③若222a b c +<,则90C >. 7、正余弦定理的综合应用: 如图所示:隔河看两目标A 、B,
C 、
D 两点, 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O ,
∠ADB=45O (A 、B 、C 、D 在同一平面内),求两目标A 、B 之间的距离。
附:三角形的五个“心”;
重心:三角形三条中线交点.
外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心:三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心:三角形三边上的高相交于一点.
练习题
一、选择题
1、在△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,则c等于( B )
A.3
10+B.
()1
3
10-C.1
3+D.3
10
2、三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程2
5760
x x
--=的根,则三角形的另一边长为
A.52 B.
C.16 D.4
3、在△ABC中,若)
(
)
)(
(c
b
b
c
a
c
a+
=
-
+,则A
∠=( C )
A0
90 B0
60 C0
120 D0
150
4 、在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是( D )
A .b = 10,A = 45°,
B = 70° B .a = 60,c = 48,B = 100°
C .a = 7,b = 5,A = 80°
D .a = 14,b = 16,A = 45° 5、已知△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶3∶2,则A ∶B ∶C 等于( A ) A .1∶2∶3 B .2∶3∶1
C . 1:3:2
D .3:1:2
6、若△ABC 的周长等于20,面积是310,A =60°,则BC 边的长是( C )
A . 5
B .6
C .7
D .8 二、填空题(每题5分,共25分)
7、在ABC ?中,已知4:5:6sin :sin :sin =C B A ,则cosA =___________ 8、在△ABC 中,A =60°, b =1, 面积为3,则
sin sin sin a b c
A B C
++++=
9、在△ABC 中,已知AB=4,AC=7,BC 边的中线2
7
=AD ,那么BC= 10、在ABC △中,已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,边72
c =,且60C ?=,
又ABC △a b +=________________
三.解答题(2小题,共40分)
13、在?ABC 中,sin()1C A -=, sinB=1
3
.(I )求sinA 的值; (II)设求?ABC 的面积.
知识点巩固练习(一) 一、选择题
1.在△ABC 中,若0030,6,90===B a C ,则b c -等于( ) A .1 B .1- C .32 D .32-
2.若A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( ) A .A sin B .A cos C .A tan D .
A
tan 1
3.在△ABC 中,角,A B 均为锐角,且,sin cos B A > 则△ABC 的形状是( )
A .直角三角形
B .锐角三角形
C .钝角三角形
D .等腰三角形
4.等腰三角形一腰上的高是3,这条高与底边的夹角为060,
则底边长为( )A .2 B .
2
3
C .3
D .32
5.在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于( )
A .006030或
B .006045或
C .0060120或
D .0015030或 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A .090 B .0120 C .0135 D .0150 二、填空题
1.在Rt △ABC 中,090C =,则B A sin sin 的最大值是_______________。 2.在△ABC 中,若=++=A c bc b a 则,222_________。 3.在△ABC 中,若====a C B b 则,135,30,200_________。
4.在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13,则
C =_____________。
三、解答题
1. 在△ABC 中,若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么
2.在△ABC 中,求证:)cos cos (
a
A
b B
c a b b a -=-
3.在锐角△ABC 中,求证:C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。
知识点巩固练习(二) 一、选择题
1.在△ABC 中,::1:2:3A B C =,则::a b c 等于( )
A .1:2:3
B .3:2:1
C .2
D .2 2.在△ABC 中,若角B 为钝角,则sin sin B A -的值( ) A .大于零 B .小于零 C .等于零 D .不能确定
3.在△ABC 中,若B A 2=,则a 等于( ) A .A b sin 2 B .A b cos 2 C .B b sin 2 D .B b cos 2
4.在△ABC 中,若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ,则△ABC 的形状是( )
A .直角三角形
B .等边三角形
C .不能确定
D .等腰三角形 5.在△ABC 中,若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A .090 B .060 C .0135 D .0150 6.在△ABC 中,若1413
cos ,8,7=
==C b a ,则最大角的余弦是( ) A .5
1- B .61- C .7
1- D .8
1- 二、填空题
1.若在△ABC 中,
060,1,ABC A b S ?∠===则
C
B A c
b a sin sin sin ++++=_______。
2.若,A B 是锐角三角形的两内角,则B A tan tan _____1(填>或<)。 3.在△ABC 中,若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________。 4.在△ABC 中,若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。
5.在△ABC 中,若=+=
==A c b a 则,2
2
6,2,3_________。
三、解答题
1. 在△ABC 中,0120,,ABC
A c b a S
=>=,求c b ,。
2. 在锐角△ABC 中,求证:1tan tan tan >??C B A 。
3. 在△ABC
中,求证:2
cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++。
4. 在△ABC
中,若0120=+B A ,则求证:
1=+++c
a b c b a 。
5. 在△ABC
中,若2
23cos cos 222
C A b
a c +=
,则求证:2a c b +=
知识点巩固练习(三) 一、选择题
1.A 为△ABC 的内角,则A A cos sin +的取值范围是( ) A .)2,2( B .)2,2(- C .]2,1(- D .]2,2[- 2.在△ABC 中,若,900=C 则三边的比c
b
a +等于( ) A .2cos
2B A + B .2cos 2B A - C .2sin 2B A + D .2
sin 2B
A - 3.在△ABC 中,若8,3,7===c b a ,则其面积等于( )
A .12
B .
2
21
C .28
D .36 4.在△ABC 中,090C ∠=,00450< B .sin cos B A > C .sin cos A B > D .sin cos B B > 5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( ) A .090 B .060 C .0120 D .0150
6.在△ABC 中,若2
2
tan tan b a B A =,则△ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .等腰或直角三角形 C .不能确定 D .等腰三角形 二、填空题
1.在△ABC 中,若,sin sin B A >则A 一定大于B ,对吗填_________(对或错)
2.在△ABC 中,若,1cos cos cos 222=++C B A 则△ABC 的形状是______________。
3.在△ABC 中,∠C 是钝角,设,cos cos ,sin sin ,sin B A z B A y C x +=+== 则z y x ,,的大小关系是___________________________。 4
.
在
△ABC
中
,
若
b
c a 2=+,则
=+-+C A C A C A sin sin 3
1
cos cos cos cos ______。
5.在△ABC 中,若,tan lg tan lg tan lg 2C A B +=则B 的取值范围是_______________。
6.在△ABC 中,若ac b =2,则B B C A 2cos cos )cos(++-的值是_________。 三、解答题
1.在△ABC 中,若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+,请判断三角形的形状。
2. 如果△ABC
内接于半径为R 的圆,且,sin )2()sin (sin 222B b a C A R -=-
求△ABC 的面积的最大值。
3. 已知△ABC 的三边c b a >>且2
,2π
=
-=+C A b c a ,求::a b c
4.在△ABC 中,若()()3a b c a b c ac ++-+=,且tan tan 3A C +=AB 边
上的高为
,,A B C 的大小与边,,a b c 的长 答案
知识点巩固练习(一) 一、选择题
00tan 30,tan 302b b a c b c b a
=====-= 0,sin 0A A π<<>
cos sin()sin ,,2
2
A A
B A B ππ=->-都是锐角,则,,2
2
2
A B A B C πππ
->+<>
作出图形
01
2sin ,sin 2sin sin ,sin ,302
b a B B A B A A ====或0150
设中间角为θ,则22200005871
cos ,60,180601202582
θθ+-=
==-=??为所求 二、填空题
1.1
2 11sin sin sin cos sin 222
A B A A A ==≤
2.0
120 22201
cos ,12022
b c a A A bc +-=
=-=
3.26- 00sin 15,
,4sin 4sin154sin sin sin a b b A A a A A B B ====== 4. 0120 a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13,
令7,8,13a k b k c k === 22201
cos ,12022
a b c C C ab +-=
=-= 三、解答题
1.
解:cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+=
sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+=
cos 0A =或cos 0B =,得2
A π
=
或2
B π
=
所以△ABC 是直角三角形。
2. 证明:将ac b c a B 2cos 222-+=,bc
a c
b A 2cos 2
22-+=代入右边
得右边22222222
22()222a c b b c a a b c abc abc ab
+-+--=-=
22a b a b
ab b a
-==-=左边,
∴)cos cos (
a
A
b B
c a b b a -=- 3.证明:∵△ABC 是锐角三角形,∴,2
A B π+>即02
2
A B ππ
>>
->
∴sin sin()2
A B π
>-,即sin cos A B >;同理sin cos B C >;
sin cos C A >
∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++
知识点巩固练习(二) 一、选择题
1
2
,,,::sin :sin :sin :
:1:26
3
2
2
22
A B C a b c A B C π
π
π
====== ,A B A B ππ+<<-,且,A B π-都是锐角,sin sin()sin A B B π<-= sin sin 22sin cos ,2cos A B B B a b B === sin sin lg
lg 2,2,sin 2cos sin cos sin cos sin A A
A B C B C B C
===
sin()2cos sin ,sin cos cos sin 0,B C B C B C B C +=-=
sin()0,B C B C -==,等腰三角形
22()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-=
2222
2
2
01
3,cos ,6022
b c a b c a bc A A bc +-+-==
== 2222cos 9,3c a b ab C c =+-==,B 为最大角,1
cos 7
B =- 二、填空题
1.
3392
211sin 4,13,222
ABC S bc A c c a a ?==?====
sin sin sin sin a b c a A B C A ++===
++2.> ,22A B A B ππ+>>-,即sin()
2tan tan()2cos()2
B A B B π
ππ->-=-
cos 1sin tan B B B =
=,1
tan ,tan tan 1tan A A B B
>>
3. 2 sin sin tan tan cos cos B C
B C B C
+=+ sin cos cos sin sin()2sin 1cos cos sin sin 2
B C B C B C A
B C A A +++===
4.
锐角三角形 C 为最大角,cos 0,C C >为锐角
5. 060
2
2
2
823
1cos 22
b c a A bc ++
-+-====
三、解答题
1.
解:1sin 4,2
ABC S bc A bc ?===
2222cos ,5a b c bc A b c =+-+=,而c b >
所以4,1==c b
2. 证明:∵△ABC 是锐角三角形,∴,2
A B π+>即02
2
A B ππ
>>
->
∴sin sin()2
A B π
>-,即sin cos A B >;同理sin cos B C >;
sin cos C A >
∴sin sin sin sin sin sin cos cos cos ,1cos cos cos A B C
A B C A B C A B C
>>
∴1tan tan tan >??C B A
3. 证明:∵sin sin sin 2sin
cos sin()22
A B A B
A B C A B +-++=++ 2sin
cos 2sin cos
2222A B A B A B A B
+-++=+ 2sin (cos cos )222A B A B A B
+-+=+ 2cos 2cos cos 222C A B
=?
4cos cos cos 222
A B C
=
∴2
cos
2cos 2cos 4sin sin sin C B A
C B A =++
4.证明:要证1=+++c
a b
c b a ,只要证222
1a ac b bc ab bc ac c +++=+++, 即222a b c ab +-=
而∵0120,A B +=∴060C =
2222
220cos ,2cos 602a b c C a b c ab ab ab
+-=+-==
∴原式成立。
5.证明:∵2
23cos cos 222
C A b
a c +=
∴1cos 1cos 3sin sin sin 222
C A B
A C ++?
+?=
即sin sin cos sin sin cos 3sin A A C C C A B +++= ∴sin sin sin()3sin A C A C B +++=
即sin sin 2sin A C B +=,∴2a c b +=
知识点巩固练习(三) 一、选择题
sin cos ),4
A A A π
+=+
而50,sin()14
4
424
A A A ππ
ππ
π<<<+
<
?-<+≤
sin sin sin sin sin a b A B
A B c C
++==+
2sin
cos 222
A B A B A B
+--==
011
cos ,60,sin 2
2
ABC
A A S
bc A ==== 090A B +=则sin cos ,sin cos A B B A ==,00045,A << sin cos A A <,004590,sin cos B B B <<> 22222201,,cos ,1202
a c
b b
c b c a bc A A -=++-=-=-=
22sin cos sin cos sin ,,sin cos sin cos cos sin sin cos sin A B A B A
A A
B B A B B A B
?=== sin 2sin 2,2222A B A B A B π==+=或
二、填空题
1.
对 ,sin sin B A >则
22a b a b A B R R
>?>?> 2.
直角三角形 21(1cos 21cos 2)cos ()1,2
A B A B +++++=
21
(cos 2cos 2)cos ()0,2
A B A B +++= 2cos()cos()cos ()0A B A B A B +-++=
cos cos cos 0A B C =
3. z y x << ,,sin cos ,sin cos ,2
2
A B A B A B B A y z ππ
+<<-<<<
,sin sin sin ,,c a b C A B x y x y z <+<+<<<
高中数学必修五 知识点总结【经典】
《必修五 知识点总结》 第一章:解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理:在C ?AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,,则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式: ①2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =; ②sin 2a R A = ,sin 2b R B =,sin 2c C R =; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ; 3、三角形面积公式:111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B . 4、余弦定理:在 C ?AB 中,有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ,推论:bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=,推论: C ab b a c cos 22 2 2 -+=,推论:ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题,必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型,特别要多角度(几何作图,三角函数定义,正、余弦定理,勾股定理等角度)去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况,根据已知条件判断解的情况,并能正确求解 1、三角形中的边角关系 (1)三角形内角和等于180°; (2)三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边; ac b c a B 2cos 2 22-+=
(3)三角形中大边对大角,小边对小角; (4)正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ,其中R 是△ABC 外接圆半径. (5)在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. (6)三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中,h 是BC 边上高,P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 (1)已知两角及一边,求其它边角,常选用正弦定理. (2)已知两边及其中一边的对角,求另一边的对角,常选用正弦定理. (3)已知三边,求三个角,常选用余弦定理. (4)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角,常选用余弦定理. (5)已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是:①化边为角;②化角为边. 4、三角形中的三角变换 (1)角的变换 因为在△ABC 中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC ;cos(A+B)=-cosC ;tan(A+B)=-tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+; (2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。 r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半 (3)在△ABC 中,熟记并会证明:∠A ,∠B ,∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°;△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ,∠B ,∠C 成等差数列且a ,b ,c 成等比数列.
解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 2)化边为角: C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b < 第一章解三角形 .正弦定理: 2)化边为角: a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 )化边为角: a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 )化角为边: sin A sin B a ; sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 )化角为边:si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ① 已知两个角及任意一边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中,已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时,B 无解; ② a bsinA 或a b 时,B 有一个解; ③ bsinA a b 时,B 有两个解。 如:①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B (有一个解) ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B (有两个解) 注意:由正弦定理求角时,注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径, 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形:1) a b c a sin sin si sin 2R (其中R 是三角形外接圆的半径) b c sin sinC c 2R 沁;求出 sin C 1.正弦定理:在一个三角形中, bsin A 解三角形 一.三角形中的基本关系: (1)sin()sin ,A B C += cos()cos ,A B C +=- tan()tan ,A B C +=- (2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== (3)a>b 则A>B则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理: 2sin sin sin a b c R C ===A B .R 为C ?AB 的外接圆的半径) 正弦定理的变形公式: ①化角为边:2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =; ②化边为角:sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2c C R =; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ; ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B . 两类正弦定理解三角形的问题: ①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角,求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、无解)) 三.余弦定理: 222 2cos a b c bc =+-A 222 2cos b a c ac =+-B 222 2cos c a b ab C =+-. 注意:经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论: 222 cos 2b c a bc +-A = 222 cos 2a c b ac +-B = 2 2 2 cos 2a b c C ab +-= . 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 基础强化(8)——解三角形 1、①三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B); ②. 三角形三边关系:a+b>c; a-b 实用标准 —tanC。 例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6 第一章 解三角形 1、正弦定理: 在C ?AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ?AB 的外接圆的半径,则有: 2sin sin sin a b c R C ===A B . 2、正弦定理的变形公式: ①2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =; ②sin 2a R A = ,sin 2b R B =,sin 2c C R =; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ; ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 注意:正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。 2、已知两角和一边,求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况)如:在三角形ABC 中,已知a 、b 、A (A 为锐角)求B 。具体的做法是:数形结合思想 画出图:法一:把a 扰着C 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二:是算出CD=bsinA,看a 的情况: 当a 注:当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式: 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B . 4、余弦定理: 在C ?AB 中,有2222cos a b c bc =+-A , 2222cos b a c ac =+-B , 2222cos c a b ab C =+-. 5、余弦定理的推论: 222 cos 2b c a bc +-A =, 222 cos 2a c b ac +-B =, 222 cos 2a b c C ab +-=. (余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状: 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边,则: ①若222a b c +=,则90C =; ②若222a b c +>,则90C <; ③若222a b c +<,则90C >. 7、正余弦定理的综合应用: 如图所示:隔河看两目标A 、B, C 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O , 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 第十二讲 解三角形 1 、三角形三角关系: A+B+C=180 °; C=180 °— (A+B) ; 3 、三角形中的基本关系: sin( A B) sin C , cos( A B) cosC , tan(A B) tanC , sin A B cos C ,cos A B sin C , tan A B cot C 2 2 2 2 2 2 4 、正弦定理:在 C 中, a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边, R 为 C 的外接圆的半 径,则有 a b c 2R . sin sin C sin 5 、正弦定理的变形公式: ①化角为边: a 2Rsin , b 2Rsin , c 2R sin C ; ②化边为角: sin a , sin b c ; , sin C 2R 2R 2R ③ a : b: c sin :sin :sin C ;④ a b c a b c . sin sin sin C sin sin sin C 7 、余弦定理:在 C 中,有 a 2 2 c 2 2bc cos 等,变形: cos b 2 c 2 a 2 b 等, 2bc 8 、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角,求其余的量。②已知三边求角) 9 、三角形面积公式: 1 1 1 S C bc sin ab sin Cac sin . 2 2 2 10 、如何判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形 式或角的形式设 a 、 b 、 c 是 C 的角 、 、 C 的对边,则: ①若 a 2 b 2 c 2 ,则 C 90o ;②若 a 2 b 2 c 2 ,则 C 90o ;③若 a 2 b 2 c 2 ,则 C 90o . 11 、三角形的四心: 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异 于原点),它与原点的距离是 0r =>,那么 sin ,cos y x r r αα= =, () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦) + + - + - + - - - + + - sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= (2)商数关系: sin tan cos α αα= (用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式(把角写成α π±2k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin( 第一章解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 2)化边为角: C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a =;sin sin C B c b =;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A =;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边:R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题:①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b =;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正 弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b < 三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意 一点(异于原点),它与原点的距离是0r =>,那么 sin ,cos y x r r αα= =,()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦) + + - + - + - - - + + - sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系:22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= (2)商数关系:sin tan cos α αα = (用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式(把角写成 απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 欢迎阅读 第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B . 2)化边为角:C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b < 三角函数和解三角形知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点及原点重合,角的始边及x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α 为第几象限 角.第一象限角的集合为 {}360 36090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为 {}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为 {}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为 {}360270 360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为 {}180,k k αα=?∈Z 终边在 y 轴上的角的集合为{ }18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为 {}90,k k αα=?∈Z 3、及角α终边相同的角的集合为 {}360,k k ββα=?+∈Z 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是. 6、弧度制及角度制的换算公式:2360 π=,,. 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=, 2C r l =+, . 8、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是 (),x y ( ) r r =>,则,,. 9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11 、 角 三 角 函 数 的基本关系:()221sin cos 1 αα+=() 2 222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-; z 第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B . 2)化边为角:C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解;③b a A b < - 1 - 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 必修五不等式 1、0a b a b ->?>;0a b a b -=?=;0a b a b -<. 2、不等式的性质: ①a b b a >?<; ②,a b b c a c >>?>; ③a b a c b c >?+>+; ④,0a b c ac bc >>?>,,0a b c ac bc ><;⑤,a b c d a c b d >>?+>+; ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>; ⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >; ⑧)0,1a b n n >>?>∈N >. 小结:代数式的大小比较或证明通常用作差比较法:作差、化积(商)、判断、结论。 在字母比较的选择或填空题中,常采用特值法验证。 3、一元二次不等式解法: (1)化成标准式:2 0,(0)ax bx c a ++>>;(2)求出对应的一元二次方程的根; (3)画出对应的二次函数的图象; (4)根据不等号方向取出相应的解集。 线性规划问题: 1.了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解 2.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 3.解线性规划实际问题的步骤: (1)将数据列成表格;(2)列出约束条件与目标函数;(3)根据求最值方法:①画:画可行域;②移:移与目标函数一致的平行直线;③求:求最值点坐标;④答;求最值; (4)验证。 两类主要的目标函数的几何意义: ①z ax by =+-----直线的截距;②22()()z x a y b =-+------两点的距离或圆的半径; 4、均值定理: 若0a >,0b >,则a b +≥,即2a b +≥. ()20,02a b ab a b +??≤>> ???; 2a b +称为正数a 、b a 、b 的几何平均数. 5、均值定理的应用:设x 、y 都为正数,则有 ⑴若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值24s . ⑵若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值. 注意:在应用的时候,必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。 第一章解三角形 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意一边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180,求角A,由正弦定理a =sinA ; b =sin B ; a =sin A :求出匕与。 b sin B c sin C c sin C ②已知两边和其中一边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理生二业求出角B ,由A+B+C=180求出角C,再使用正弦定理弓二sinA b sin B 4. △ ABC 中,已知锐角A,边b,贝U ① a :: bsinA 时,B 无解; ② a = bsin A 或a _ b 时,B 有一个解; ③ bsin A ::: a ::: b 时,B 有两个解。 如:①已知A = 60 Y a = 2, b = 2 3 ,求B (有一个解) ②已知A = 60 Y b =2,a = 2、、3,求B (有两个解) 注意:由正弦定理求角时,注意解的个数。 二. 三角形面积 1 1 1 1. S ABC absi nC bcsi nA acsi nB 2 2 2 .正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直径,即 — b — =2R (其中R 是三角形外接圆的半径) sin A sin B sin C abc 2.变形: 1) a b c a b sin A+si n E+si nC si n A si n E sinC 2)化边为角: a : b : c = sin A: sin B :sin C ; 7 a sin A ; b sin B a sin A b sin B c sin C ' c sin C )化边为角: a = 2Rsin A, b=2Rsin B, c = 2RsinC )化角为边: )化角为边: sin A a ; ; sin B b sin A =— 2R si n B b si nA a sin C c sin C c ' si nB=2, si 门。=£ 2R 2R 求 c sin C解三角形知识点归纳总结
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