第一章函数的极限与函数的连续性

第一章函数的极限与函数的连续性

一、学习目的与要求

1、了解函数极限的￡ —S定义，会用它证明一些简单函数的极限。

2、了解无穷小，无穷大的概念。掌握无穷小的比较。

3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。

4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。

5、了解在闭区间上连续函数的性质。

二、学习重点

函数极限的概念及计算

三、内容提要

1、数列极限与函数极限

（I）概念综述

设u,v表示数列变量X n或函数变量，在同一个极限过程中lim u二A,lim v = B,该极限过程可

1

2

商规则：lim _ =lim u / lim v(lim 0)

v

比较性质

(1) 若 u > v ，贝U lim u > lim v

(2) 若lim u > lim v ,则在某个范围 X 上有u >v

有界性质 (1) 若 {X n }收敛，则{X n }有界

(2) 若limu(x)=A ，则u(x)在某个范围X 上有界。 存在性质

(1) 单调有界准则：单调有界数列必是收敛数列。 (2) 夹逼准则：若u

v ,且u 、v 趋于A ，则⑷亦趋于A (三个

变量u 、v 、国极限过程相同)。

注 的形式与极限过程相关，当 U 、v 是数列时，X ={n|n > N} , 是某个自然数;

1

l

x

m o

xsin ;=

,

1

lim e x 不存在,

x

(IV )极限之间的联系

(1) lim f(x)=A ：= lim f(x)=A = lim f(x)

i x o 十

x T x o —

(2) lim f (x) = A lim f (x) lim f(x)二 A.

X -

X ) - .

X

(3) lim f (x) = —对任意趋于 X o 的数列 X n ，有 ”m_f(X n )二 A

v 是函数变量， 极限过程是X — xj 时,

X =(Xo - ：-,Xo),极限过程是

x > X o 时,X 二U(X o ,、J ，其余类推。

(III )基本极限公式

lim 0, n

t ：n

lim ( 一 n 1 — n) = 0,

n 「

1

lim (1 )n = e ,

+ n

lim Q n = lim =1(a > 0)

n

n j ：:

lim ( . n 2 n

n _.

lim (-1)不存在

n —jpc

1

lim (1 X )，=e,

X 0

lim (1 丄广=e, x r ：： x

X

n X

叫

X

Hx

lim 凶不存在。 x 10

x

2 ?无穷小量与无穷大量

(I)概念

无穷小量在指定极限过程中以零为极限的变量

无穷大量在指定极限过程中趋于无穷大的变量

u =o(v) 表示u是较v高阶的无穷小量，即limu/v=O

u =O(v)表示u与v是同阶的无穷小量，即limu/v = a,a是非零常数。

u?V 表示u与v是等价无穷小量，即limu/v=1

无穷小的主部设a,r为常数，a^O,r .0,若u(x)二ax r? o(x r)(x「. 0)，则说ax r是u(x)的

主部，x称作基本无穷小，r称作u关于x的阶数。

(II)运算性质

设u、v是无穷小量，B为有界变量，⑷为无穷大量，且在同一极限过程下考虑运算，

1

有(1) u二v,uB,u v,均是无穷小量。

1

(2)u…，，B…，,一(u =0)均是无穷大量。

u

(III)等价无穷小替换原理

设u ?v，则lim u = lim v，,lim — = lim —。

u v

(IV)常用等价替换公式

在寻求无穷小量u的等价基本无穷小时，可依据以下公式与结果(其中u、v可以是函

( _________________ 1 十n 数变量如sin ln x(x—? 1),e"(x—?「-')，也可以是数列，如x n - . n ? 1 - ?、n,x n = ln ----- 等

n

等)；

积与商若u?V,则u?'?v■/ ■/ u?/v

[u,若二o(u)

和u卜纣?u .

:右——l式一1,u?u ,们?时L ?*

常用公式设u》0 ,则

sin u ?tanu ?arcsinu ?arctanu ?ln(1 u)?e u「1 ?u

1 1

1 -cosu?u2, (1 u)a-1 ?au(a是常数),a u-1 ?uln a(a 0),u —sinu — u3

2 6

3?函数的连续性

(I)概念

f (x)在一点x0连续函数f (x)在x0的某个领域(X0-、：,x0■、：)上有定义，

且lim f (x) = f (x0)。

3

x )X)

f (x)在一点X o左(右)连续函数f (x)在X o的某个左(右)邻域

(X o-、.,X o)((X0,X0 、.))上有定义，且lim f(x)= f(x o)( lim f(x) = f (x o)).

f(x)在(a,b)连续函数f (X)在(a,b)内的每个点连续。

f (x)在［a,b］上连续函数f (x)在(a,b)连续，且在左端点a右连续，右端点b左连续。

间断点当lim f(x)二f(x0)不成立时，称f(x)于x = x°处间断，间断点X o可分为以下

x %

几种类型:

(1 )若f

(x),g(x)均在点X o连续，则 f (x) _ g(x), f (x) g(x), f (x)/g(x),(g(x°) = 0)也在点x o连续；若

f(「(t))有定义,:(t)在t=t o连续,f(x)在X o二(t o)连续，则f(「(t))在t =t o连续。

(2)局部保号性若f (x)在x o连续,f(x o) a则在x o的某邻域U(x or )上f(x) a

(3)若y = f (x)的反函数为x = f '(y)，且f (x)在X o 连续，则f ' (y)在y°= f (x°)连

续。

(4)基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续。

(III )闭区间上连续函数的性质

设函数f (x)在闭区间［a,b］上连续，则有

(1) f (x)在［a,b］上有界并取得最大值与最小值(最值定理) 。

(2) 若f(a)f(b) <0,则存在-(a,b)使f()=0 (零点存在定理)。

(3)若实数A在f(a), f(b)之间，则存在：(a,b)使f「)= A (介值定值)

4

(4) f (x)在［a,b］上一致连续，即任给；.0,存在—0,当x,y［a,b］满足|x —y|「

时便有| f (x) - f(y)|：：：；。

四、思考题

1、在函数极限lim f(x)二A的定义中，回答下列问题：

JX0

(1 )为什么￡要任意给定？

(2)对于给定的￡，对应的3是否唯一？若不唯一，是否要找其中最小的？

(3)定义中两个不等式0<丨x-x o | < 3 , | f(X)- A I < ￡各表示什么意思，它们之间有什么

联系？

2、若极限lim f (x)存在，问:

X—3x0

(1) f (x)在x=x0处是否一定有定义？( 2) f (x)在X=X0附近是否有界？

3、若lim f (x)存在，lim g(x)不存在，问:

X—^0 X—5X0

(1) lim[f (x) -g(x)]是否一定不存在？(2) lim[f (x) g(x)]是否一定不存在?

^^^0 ^?^X0

4、下列说法是否正确，为什么？

(1)若函数f (X)在点X0有极限，则f (X)在点X0连续;

(2)函数在定义域内必处处连续;

(3) 函数在一点处左右极限都存在而且相等，则此点一定是函数的可去间断点;

(4)若函数f (x)在(a,b)连续，则在(a,b)内函数f (x)存在着最大值和最小值。

5、设f (x)和g(x)在X0点处连续，问f(x) g(x)和f(x) g(x)在X0点是否连续?

五、典型例题分析

5

3

6

-1

1 lim

XY x -1

2

求lim 弊11

x 14

x-1

分析 在极限运算中，运用恒等变换是个重要的手段，尤其是分子分母的极限都是零时(称

3型),或都是无穷大时(称一型),不能直接用极限运算法则，总要先作恒等变换。本 0

题是“

”型的极限，可将原分子、分母有理化，再消去极限为零的因子。

(X-1)(坂 +1)(圾十1)|im (如 +1)&x +1)

(x -1)(3 x 2

3

x 1) (3 x 2 3 x 1)

仮-1 1 1

x-1| x —1 2 一 2(1 心? 证 对于任给的￡ >0，存在3 =2 ￡ ,当0< x —1 ------- 1

<名

2

例 1 设 f (x) = min( 4x 1, x - 2,4 一 2x)，求 f (x)的最大值. 解 这道题用作图法最简单，如图所示，在同一坐标系下，作三直线 y=4x ?1,y=x ，2, y=4-2x ，从图上可见

4x 1, - ：： ：： x _

1 /3 f (x)

2, 1/3 ：：x

_2/3 ，

因此，f(x)的最大值是f(?)=

8

3

3

利用定义证明 lim

X

1

x'x -1

1

1 1

X —1 2

仮+1 2

1 1 _x

2 (1 . x)2 x —1

< -----

，为使

2

x -1

，只需

-1

x -1 | <2 &，取 3 =2 ￡ 即可。

恒成立，所以 3

x -1 "m 1t x-1

分析

1 1 _ v x

2 1匸

7

分析 函数f (x)当X T x 0时极限存在的充要条件是左极限和右极限各自存在且相等,

lim f (x) = lim f (x)

X r 0 …

x >0 ■

这一结论是求极限以及证明极限不存在的有力工具，特别是求分段函数在分段点处的极 限时用得较多。

因为 lim f (x)二 lim e x

-1 ,

^0~

^0 —

所以当a

=.时，叫心胡

tan x — si n x sin 3 x

例 4 求 lim (x - 1 x 亠 x 2)

x —)::

分析 这是属于“：：一：：”型的极限，不能直接用极限的四则运算法则，而往往利用通分、

…、

ad

乘共轭因式或三角恒等变形等方法，

变为“

”型或“一”型，再求极限。

x

i .m(x

-J x x 2

)=lim —

(1

—x)

— ^^(x +^+x +x 2)

1 -(一1)

=lim -------- —x

X )： - I 1

1

1

2

1

1

例5判断函数丫 =e 当X T o 时极限的存在性 分析 当

X T 0

时，是以任何方式趋于零，所以应考虑

X T 0

-

, X T 0+两种情况，才能作出判断。

解当X T 0-

时,

1 -------

x

1 于

是

li

=lim = 0 x —P- J. e x

当X T 0+时,

1

——*

x

「于是！

in 0

e

1

:=

，所以E 不存在

例6求a 的值,

使函数 f (x) = ?

在x=0处的极限存

在。

lim . f (x) = lim (a x) = a

8

lim 竺=1。 x 0 x

在以上解题过程中，运用了等价无穷小替代以求极限，应熟记以下公式:

x 2

当 X T 0 时，sinx~x~tanx~arcsinx~ln(1+x)~e x -i l -cosx ~

, (1 x)"「「1 ?、￡X

， 2

另外必须注意的是，应该用分子或分母的整体或部分因子的等价无穷小进行代替。

例8求lim (匚丄)2x

X r X 7

1

分析 极限过程是XT ：：,属“ 1 ”型，因而容易想到应用重要极限

lim(1 )x

=e 。

十 x

分析 由于极限过程是

X T 0，分式含三角函数，属 ”型，因而想到应用重要极限

lim tanx-sinx

x _0

tanx - sinx

?3

sin x

lim

x _0

si rx(1 -c ox)

=x m 0(

i

cos x 1 -COSX 、 \ ——hrr 1 \ sin x 2 ) -

X

J 0 cosx X

2

x

2 2 x sin x x

9

解法1

:-

:--2.工

x +口 "一

(1

+—严

lim(-

)2x

=lim( x

)2x =lim

X 1： ： X …■

x .?

X

- ( 2-)

1—— (1—一 e 2；

e 4：

解法2

x 2x

X

im

「)

回

:(1

2-c x —a

2用 x-a

=阿

(1

； ]4、；一 (1 丄)2—e 4

： 1

x-?

=e 4'

例 9 求 lim ( ■ ( x -1)( x 3) - . x)

x —>-bc

分析 此题属“二-二”型，可先作恒等变换将其化为

”型或“

型, 再求极限。

x-ec

10

解 lim (.(乙匚1)(乙—3) _ x) = lim

( x

一

1)(、

x

3) - x x

宀

^= .( x-1)( x

3) x

例 10 求 lim x(— arctanx)

X TN 2

分析 当X T -：：时，arctanx i

，所以极限属“：：0 ”型，一时不知如何下手。如果利用

2

变量代换为三角函数的极限，也许有可能求得极限。 解 令 actanx=y ，贝U x=tany 。当 X T —：：时，- o

2

=1 ? (-1) = -1

例11求下列函数的间断点，并指出间断点的类型:

分析 如何求一个函数的间断点？如果所考虑的函数是初等函数，则其无定义的点(在此

点的任何邻域内总有异于它而属于函数定义域的点)就是间断点；如果是分段函数，贝U 分段点可能为间断点。如何判断间断点的类型？对于分段函数的分段点，常用左、右极 限去判断；如果间断点是使函数表达式中分式的分母为零的点，则要注意该点是否也使 分子为零，如果是这样，该点很可能是可去间断点。

解(1 )在x =0处，f (x)无定义，在x =0的任何邻域内均有异于 0而属于f (x)的定义域的

=lim _________________

x

宀(x -1)( x 3) x

=1

n

Ji

lim x( arctanx) = lim tany( y)

i ： 2

y 2 JI 2

lim

y >-2

( 2 y)siny

cosy JI

y

2

n

sin (2 y)

siny

lim 一一: y

_2sin JI

y

2 兀 |(

y) lim sin y y

匚

(1) f (x)二 2x -1

~1

2x 1

x(1 + x) ” 门 ———，x 兰0

兀X

「,、 cos —— (2) f(x) = < 2

JI

sin ------ ,x a 0 ? X 2

—4

11

点，所以x =0是f(x)的间断点。

(2)这是一个分段函数，x=0是分段点。

由于 lim f(x) = lim s i

X T O + 心十 x -4

2

lim f(x)二 lim x(1 x) =0 x _0 ? ? x _0 - 所以x=0是f (x)的第一类不可去间断点，即跳跃间断点。

的点，所以x=2是函数f (x)的间断点。又由lim si

n^— 不

存在，所以

x=2是函数f (x) T±

X 2_4

的第二类间断点。cos —

2

-5，…都是函数f (x)的无穷间断点。

1 — x 分析 由于函数f (x)是

2n

x 在n 》：：时的表达式，因此在求极限时，需要考虑

x 的取

1

舟工 2’ _1 1-2 x d 由于x^+—=四+—/，

2x 1

1

2, -1 --1

所以x=0是f (x)的第一类不可去间断点,

2x 1

即跳跃间断点。

兀x

cos —

2

当 x>0 时，f(x)二 sin

JI

x 2 -4

，它在x=2的任何邻域内均有异于 x=2而属于函数定义域 JI 当 x<0 时，f(x)=

x(1

x)

,显然

x

= -1 , -3, -5，…是函数f (x)的间断点，又由于

lim

x —. 1

x(1 x)

x 人兀

令 2(x 1)

-

cos 一

2

所以x= -1是

f (x)的可去间断点, u lim [- u

a sin u

又由于当 2u 2 1)]

—

H

x o = -3 , -5，…时,lim f (X )二：:,所以 x= -3 ,

1-x 2n

例12讨论函数f (x)二lim

x 的连续性, 若有间断点试判别其类型。

2n 1 x 2n

12

值情况，然后再考虑有无间断点。

X,

d _

x 2n

f (x) = lim ------ x =』0,

n

W + x

厂

x,

F 面判别函数的间断点。

lim f (x) - lim f (x),

x _1 …

x _1 ■

所以x=1是f (x)的第一类不可去间断点。

lim f (x) = lim (-x) = 1, l i m f (x) = I i mx = -1,

1 …

x _1…

x ■ J ■

x ?訂…

因为

lim f (x) = lim f (x),

x A —

x '

所以x= -1是f (x)的第一类不可去间断点。

例13 若函数f (x)在［a,b ］上连续，a

f(X 1) f(X 2)

f(X n )

f

()

：

n

分析 因为f (x)在［a,b ］上连续，所以f (X)在［X 1,X n ］上连续，且在［X 1,X n ］上f (X)取得最大值M

和最小值m ，并且m 岂f (X i )岂M , i 二1,2/ , n ，将以上各式对应相加，运用介值定 理即可得到证明。

证 设f (x)在［X 1,x n ］上的最大值为 M ，最小值为m ，则m < f(xj < M, m < f (X 2) < M ,…,

W f (X n ) W M 。将这n 个不等式对应相加，得

x 1

,

x =d

，

x>d

|im f (x) = lim x =1,

lim f (x) = lim (_x)=

因为

nm W f(xj f(x2)亠亠f(x n) W nM

即...f (X1)f(X2「f(X n)

m M

n

因为函数f (x)在［X1,X n］上连续，由介值定理推论得知，在［X1,X n］上必有一点，使

f()二f(Xi) f(X2)f(Xn)。

n

例14 证明方程x=sinx+2至少有一个不超过3的正根。

分析若能找到a,b两点，使f(a) ?f(b) ：：： 0,则利用闭区间上连续函数的零点定理，可知必有一点匚e (a,b)，使f( )=0，'就是方程f(x) =0的根。本题可取f (x) =x-sinx-2。因要

证明至少有一个不超过3的正根，故可在区间［0，3］上考虑。

证考虑函数f (x) =x-sinx-2,因为f (x)在［0,3］上连续，且f(0)= -2<0, f(3)=3-sin3-2>0，所以

f(0) ? f(3)<0 ,由闭区间上连续函数的零点定理知，在(0,3)内至少存在一点?，使f「)=0, 即方程x=sinx+2至少有一个不超过3的正根。

13