初中生平面几何解题困难分析和教学反思
初中生平面几何解题困难分析
【摘要】：平面几何是初中数学学习的一个重要组成部分，众多的定理常常令学生混淆，多变的图形似曾相识却又大相径庭，巧妙的辅助线更是让人绞尽脑汁也无从下手。平面几何对许多初中生来说是难点，很多学生还会惧怕学习几何。然而，随着数学教育的改革，对几何的要求不再仅仅局限于简单的证明及求解，而是侧重于学生分析问题、解决问题的能力。通过在实验中学为期六个周的教育实习，对学生解题困难的原因进行调查和分析，在此基础上，通过和数学教研组的其他教师的交流以及对相关文献资料的学习和整理，对初中生平面几何的教学提出一些建设性的建议。
【关键词】：初中平面几何困难分析数学教学
Analysis on the Causes of the Difficulty in Plane Geometry
Problem-solving of Junior Middle School Students [Abstract]:Plane geometry is an important part of learning mathematics in junior middle school . The many theorems ofen make students confused , the changing graphics maybe familiar but very different , and the clever auxiliary lines are or even impossible to start . Plane geometry is a diffculty for many junior middle school students , and some students are afraid to learn it . However , with the refom of mathematics education,the geometry is no longer just limited to a simple proof and solving,but rather focuses on the abillity of students to analyze and solve problems.During the educational practice in Expermental Middle Junior School for a period of six weeks ,I have finished the students’problem-solving difficult research and analysis.On this basis ,through exchanging with other teachers of mathematics teaching ,and reseraching and the study of relevant literatures,I make some constructive suggertions on the junior middle school for the plan geometry teaching. [Keywords]: Junior Middle School Plane Geometry Difficulty Analysis Mathematics Teaching
目录
一、引言----------------------------------------------------------4
二、初中生平面几何解题困难的原因分析------------------------------5
1、死记硬背，费时费力-----------------------------------------5
2、数和形不能很好的结合---------------------------------------5
3、阅读文字和理解文字能力的欠缺-------------------------------6
三、初中生平面几何典型例题归总------------------------------------7
例1、---------------------------------------------------------7
例2、---------------------------------------------------------8
例3、---------------------------------------------------------8
例4、---------------------------------------------------------9
四、初中生平面几何教学反思----------------------------------------11
1、让学生在主动参和中获取对图形的认识-------------------------11
2、重视对学生识图、作图能力培养-------------------------------11
3、利用利用多媒体信息技术-------------------------------------12
4、扎实学生的的基础知识---------------------------------------12
5、观察和思考相结合-------------------------------------------12
6、数学思想的重要使用-----------------------------------------12
五、总结----------------------------------------------------------12
附录：参考文献----------------------------------------------------14
一、引言
数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学和人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛使用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言和工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学和社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪以来，数学和计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。
数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识和技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。
众所之知，数学知识和技能的学习，离不开数学解题，即使学生理解了数学概念、定理等，对于数学知识未必熟练掌握，也不一定能具有计算能力、数据处理能力、推理能力等。数学知识和技能的巩固只有在相应的数学问题情境中才能体现，学生必须
通过处理相应的问题，将数学知识和技能内化，才能真正掌握。
数学是一门基础科学，任何一门自然科学和工程技术都离不开数学这一基础。而数学的产生和发展总是在提出问题和解决问题的过程中进行的。正如美国数学家哈尔莫斯（P.R.Halmos）认为，问题是数学的心脏，数学的真正的组成部分是问题和解。无独有偶著名数学家及数学教育家乔治·波利亚（G.Polya）也强调指出，“中学数学教学首要的任务就是加强解题训练，掌握数学就是意味着善于解题”。
我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》，在各学段中，安排了四个部分的课程内容：“数和代数”、“图形和几何”、“统计和概率”、“综合和实践”。其中，“综合和实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识和方法解决实际问题，培养学生的问题意识、使用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力；初中阶段的图形和几何课程内容主要是以平面几何为主。
随着人们对数学问题解决研究的深入，数学解题困难的研究逐渐被人们所熟知并成为人们所关注的一个重要的课题。并且在所有的解题困难的研究中，解题困难的原因深受人们的重视，本文在整理相关研究成果的基础上，试将结合初中日常的数学教学中的平面几何典型例题给和详细论述，并提出相应的意见和建议。根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》，平面几何涉及到的内容有：图形的性质、图形的变化、图形和坐标。
二、初中生平面几何解题困难的原因分析
1、死记硬背，费时费力
平面几何涉及内容广泛，从大的方面说包括图形的性质、图形的变化、图形和坐标，从小的方面说有“点、线、面、角”“相交线和平行线”“三角形”“四边形”“圆”“尺规作图”“图形的对称轴”“图形的旋转”“图形的平移”“图形的相似”“图形的投影”“坐标和图形的位置”“坐标和图形的运动”，据不完全统计，初中阶段教材中的定理、性质、推论、判定多达150个，如果要求每个定理一字不错的记住，一天两天可以，一周两周呢？一个月两个月呢？
在日常的教学中经常会有这样的情况，本节的定理当堂提问都没有问题，可是到下一堂课时，就只能有一半的学生能够回想起来，如果隔上一个星期再小测一下，就剩下寥寥无几的几个人而已。原因为何？就是记忆的方法有误，简单的依靠字面的意思去记忆，结果只会是“事倍功半”。试想一下，如果一个学生连最基本的定义定理都记不住，老师又有什么理由去相信他们会做题呢？
另一个在教学实践中经常出现的问题就是，如此多的定义定理，往往使许多学生在进行第一遍记忆的时候就混淆、弄不清楚谁是谁，就拿四边形性质定理来说，对于菱形、矩形、正方形性质的异同点常常分不清，这就导致，在进行判定记忆的时候，又出现了混乱。
由此可见，熟练掌握基本的概念知识是做对题的第一步。
2、数和形不能很好的结合
众所周知，图形在平面几何解题中起到很重要的作用，有些几何问题在没有图形辅助的情况下，解题思维几乎无法展开。图形在解题中到底起到什么作用呢？华罗庚先生说“数无形时少直观，形离数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。其实，图形给解题者一个直观的关于问题中基本元素间的位置关系图示，使解题者能够较容易地将当前问题和已有的熟悉问题图示联系起来，这个位置关系图示进一步给解题者一种导向，引导解题思路，有助于问题解决者回忆和寻找解题途径和策略，有助于解题者直观发现问题中可能存在的关系。
在《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程设计思路中有写到，“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想”，其中提到的“几何直观”主要是指：利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
用数形结合的思想方法处理问题通常有两种途径，分别是“以形助数”、“以数解形”，即通过抽象思维和形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。通常在平面几何题中也会有相应的两类题目：一类是已经画好图形，并配有文字解说，让学生计算某些量的值或是证明某种关系；另一类就没有给图形，需要学生自己根据文字叙述画出图形，并进行相应的解答。
两类题目相比之下，第二类题目比第一类题目难度增加，学生解答起来困难较大，主要是无法准确的依据提示画出图形，比如梯形中平行的两底，到底谁平行谁经常弄颠倒，得出的结果也就大相径庭。
出现这种错误的原因有四：
（1）读题不够仔细，粗略而过，导致字母或数字错误，无法正确画出所需图形。
（2）对于文字题中经常会出现“任意”的字眼，这时候很多同学没有会出现多种
情况的意识，通常只画了一种情况，考虑不周。
（3）自己画出来的图形有较大的误差，无形中加大了分析和解题的难度。
（4）面对需要自己画图的几何题，很多同学不敢下笔，从心理上就给自己很大压力，不敢去尝试做新题。
相比之下，对于第一类题目，在已经给出图形的情况下，学生解题的困难主要在两个方面：
（1）如何能快速的将已知条件和图形进行一一对应。许多同学要来来回回好几遍才能找全所有的关系。从根本上来说还是没有将数形结合起来，读题时看字和看图分开来研究，一旦文字中出现过多的数据和字母，这样的方法就显得麻烦的多，而且很容易漏了条件和记错数据。
（2）在给出图形的情况下，很多同学容易被误导，没有进行严格的验证粗略得到的解。
3、阅读文字和理解文字能力的欠缺
由于受网络、媒体的影响和冲击，当今初中学生喜爱读书的人数较少，阅读文字的意识不强，尤其理解文字的能力较弱，受年龄和感悟能力的限制，学生对生动的图像和画面比较感兴趣，对枯燥代办的文字比较麻木，造成大部分初中学生语感也比较差，对文字感悟和理解层次不高，尤其是遇到文字量较大的几何题，学生很容易视觉疲劳，多旋转几次就晕头转向了。现在课程标准里面也明确提出了要加强学生解决实际问题的能力，从近几年的中考题来看，不乏很多背景较新颖、文字较长、和动手操作有关的几何题，往后这应该成为学生和老师关注的重点。
阅读和理解文字的能力的欠缺直接反映了学生在分析问题上的弱点，无法对材料进行充分的理解，也就很难使用所学到的数学知识、思想、方法解决问题，并用数学语言正确地加以表述。
所以，如果有人说数学是基础，那么我们就得承认语文是基础的基础。可是，在现实生活中往往会出现这样的情况，学生数学成绩非常优秀而语文成绩却是不及格，也不乏有家长、学生，甚至是学校的老师都会有重理轻文的思想，认为“学好数理化，走遍全天下”，这就使得人们更加忽视对语文的学习。苏步青老先生曾经说过一句话，“如果语文不及格，数学再好也不能录取”，苏老先生是我国数学界的大师，他极为重视学生对语文的学习，目的就是提高学生对文字的分析和理解的能力。
三、初中生平面几何典型例题归总
本部分将结合平面几何典型例题，对上述的分析进行具体的一一对应的阐述。
例1、下列判断正确的有（）
①顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一定构成正方形；
②两组邻边相等的四边形是菱形；
③一组对边平行且一组对角相等的四边形式平行四边形；
④四个角都相等的四边形是矩形。
A、4个
B、3个
C、2个
D、1个
【答案】B。
【考点】平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定。
【分析】根据相关知识逐一判断：
①顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一
定构成正方形，此命题正确，理由如下：
如图，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，根据
三角形中位线定理，得EF AC，HG AC，HE DB，GF DB。
由AC=BD，AC⊥BD，根据正方形的判定可知四边形EFGH是正方形。故①正确。
②是错误的，可以举出反例，如筝形，可以满足两组邻边相
等但不是菱形。
③是正确的。如图，已知AB//CD,∠A=∠C，所以∠C+∠
B=180°，所以∠A+∠B=180°，所以AD//BC,故四边形ABCD是
平行四边形。
④是正确的。因为四边形的内角和是360°，既然四个内角都相等，那么四边形的四个角都是90°，所以符合矩形的判定，三个角都是直角的四边形是矩形。
故选B。
例2、
已知：AB和CD为⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为5cm，
AB=8cm，CD=6cm，求AB、CD间的距离是。
【答案】填：7㎝或1㎝
【考点】本题考查圆中弦、弦心距等和弦有关的计算问题。
【分析】由于圆内的的两条弦均小于圆的直径，因此可确定出圆
B A
(A)(B) C D
E
F
中的两条平行弦的位置关系有两种：一是位于圆心的同侧；二是位于圆心的异侧。如图：过O 作EF ⊥AB ，分别交AB 、CD 于E 、F ，则AE=4㎝，CF=3㎝，由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝。故当AB 、CD 在圆心异侧时，距离为7㎝，在圆心同侧时，距离为1㎝。
【错误答案】只写了一种情况，没有考虑到会有多种情况。
例3、
如图，正方形ABCD ，且EF ⊥AC,CE=CD,那么( )
A.AE=EF=FD
B.AE=EF ≠FD
C.AE ≠EF=FD
D.AE ≠EF ≠FD
【答案】：选A
【分析】：在正方形ABCD 中, ∠DAE=45°，且EF ⊥AC,
所以AE=EF, 连结C 、F,在中Rt △EFC 和Rt △CDF 中，
有
EC=DC,CF=CF, 所以Rt △EFC ≌Rt △CDF, 所以EF=DF
综上所述，AE=EF=FD
【错误答案】：选B 。关键在于学生只从所给出的图形上找关系、“望图生意 ”，由于给出的图形有一定的误差准确度不高，如果只是从图上来看，EF 明显和FD 不相等，但是数学讲究的是严谨的逻辑性，不是光用眼睛看就可以的，一定要进行严格的逻辑推理才能下结论，任何一个结论的得出都得有理有据。
例4、
如图①,小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB ）放在直线1l 上，OA 边和直线1l 重合，然后将三角形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转120°，此时点O 运动到了点处，点运动到了点1O 处；点B 运动到了点1B 处；小慧又将三角形纸片A 1O 1B 绕点1B 按顺时针方向旋转120°，此时点A 运动到了点1A 处，点1O 运动到了点2O 处（即顶点O 经过上述两次旋转到达2O ）。
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O 运动所形成的图形是两段圆弧，即1OO 和12O O ，顶点O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧和直线1l 围成的图形面积等于扇形AO 1O 的面积、△A 1O 1B 的面积和扇形1B 1O 2O 的面积之和。
小慧精心类比研究：如图②她把边长为1的正方形纸片OABC 放在直线2l 上，OA
边和直线2l 重合，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时点O 运动到了点1O 处（即点B 处），点C 运动到了点1C 处，点B 运动到了点1B 处；小慧又将正方形纸片A 1O 1C 1B 绕顶点1B 按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
问题1：若正方形纸片OABC 按上述方法经过3次旋转，求顶点O 经过的路程，并求顶点O 在此运动过程中所形成的图形和直线2l 围成图形的面积；若正方形纸片OABC 按上述方法经过5次旋转，求顶点O 经过的路程；
问题2：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是412022
π+？ 请你解答上述两个问题。
【答案】：222π+ 1π+ 322
π+ 81 【考点】：对于文字的阅读及理解能力、旋转问题、及圆的面积和周长计算。
C B(1O ) 1C (1A ) 2O (2B ) 2A (3C ) 3B
【分析】：
2l
O A (1次) 1B (2次) 2C (3次) 3O (4次）3A
如图所示，是根据题意画出的四边形OABC 旋转4次的示意图，而弧线表示的是
O 点每次旋转的路径，虚线表示的是是每一次旋转的半径。
第一次： 绕点A ， 1r =1， 21144
OAB s r ππ==扇 ,11122l r ππ==；
第二次 ：绕点1B ，22r =，11221142
O B O s r ππ==扇 ，21222l r ππ== ； 第三次： 绕点2C ，3r =1，14
OAB s s π==223扇O C O 扇，3212l l π== ； 第四次：绕点 3O ，恢复到第一次旋转之前的原始状态。
所以从第五次开始，又变到旋转第一次的状态，周而复始。
有了上面的认识，现在我们就可以来解答小慧的两个问题了。
问题1、
（1）旋转三次，O 点经过的路程1232(1)2
L l l l π=++=+， （2）顶点O 在此运动过程中所形成的图形和直线2l 围成图形的面积包括扇形OAB 、扇形1O 1B 2O 、扇形2O 2C 3O 、和△BA 1B 、△1B 2O 2C ，所以
12341S s s s s π=+++=+ （其中，4s 表示的是两个直角三角形的面积。）
（3）经过5次旋转，顶点O 经过的路程：第四次没有移动，第五次又移动了1l ，所以132'2
L l L π+=+=. 问题2：正方形纸片OABC 按上述方法经过81次旋转，顶点O 经过的路程是412022π+。每四次作为一个回合，经过的路程是1232(1)2L l l l π=++=+，20个这样的回合后再走一个1l （即旋转一次）即可。
【学生表现】：学生在这道题目上的表现不佳。当出现大量的文字、复杂的图形，学生首先就会从心理上畏惧它，不敢动手解决，实际上，越是这样看似庞大的题解决起来反而会比较容易，关键还是看学生能否明白题目说的什么意思，让解决什么问题，一旦弄清楚这两点，处理起来就会方便很多。其次，对于这样有着过程的几何题，在不同的阶段各点的位置是会变化的，而这也恰恰是学生做题的弱点，没有运动的概念，或者运动时的位置关系理不清楚，往往最后都把自己都绕进去了。最后，这也是一道很有规律的题目，因为到第四次旋转之后，四个点的位置关系恢复到原始状态，这表明之后第五次旋转会像第一次，第六次就仿照第二次……以此类推，但是不少同学找不到这个规律，做起来极为麻烦。
四、初中生平面几何教学反思
几何课程不同于代数、统计类的课程，几何图形在我们的生活中随处可见，相较于枯燥的数字以及公式，灵活多变的几何图形应该时时刻刻体现在我们的几何教学中。
1、让学生在主动参和中获取对图形的认识
教学中关注学生的基本生活经验和生活经历，注重引导学生把生活中对图形的感受和有关知识建立联系，在学生积极主动的参和学习中，学习直观几何，就像书上所说采用学生喜爱的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、摆一摆、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视觉、听觉、触觉、动觉等协同起来，强有力地促进心理活动的内化，从而使学生掌握图形特征，形成空间观念。
2、重视对学生识图、作图能力培养
图形是几何的灵魂，识图、作图更是学习几何最基本的素养，在讲授时教师需要亲自示范，强调图形名称、细节和注意问题，让学生在实际问题中动手练习去作图，同桌之间互相纠正，比一比谁画的更好，学生们在画图时无形会更加认真、标准，在彼此纠正过程再次巩固基本的画图方法，一举两得。
3、利用利用多媒体信息技术
多媒体技术除了给学生展现丰富多彩的图形世界外，也多了一条解决问题的途径。例如，学生在动手探究过一点有多少条直线时，虽然发现有无数条直线这一结论，但多媒体为学生展示其不易想像的图形，扩大其空间视野，真正体会过一点有无数条直线。
4、扎实学生的的基础知识
扎实的基础是产生直觉的源泉，没有深厚的功底，是不会迸发出直觉的思维，也就无法提高学生直观洞察力，教学中严格要求学生理解定义，熟练掌握图形的性质和定理，如学生探究出菱形判定定理后，规范学生的语言，牢记菱形判定的内容，通过判断训练、和平行四边形的比较和实际问题的解决，再次强化重要的知识点。
5、观察和思考相结合
克服粗心大意，走马观花，做事不求甚解的毛病，要细心的去观察，用心的去思考，发现问题和解决问题。如在直线上取一点C，共有几条线段，取n点又会有几条线段；如寻找线段、射线、直线的区别，既需要知识点的准确，又需要语言叙述的严密。
6、数学思想的重要使用
几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿几何教学的始终，在几何教学中占有很重要的地位。我们常常把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单，把抽象转化为具体，如票价问题，转化为数线段的条数，再次强化单、双循环问题。我们可以将数学方法传递给学生，而数学眼光却无法传递，故应着重把握好对数学思想的教学，这样有利于学生主动探索解决问题的方法，体会解决问题的策略，提高数学的使用意识。
五、总结
总之，“用图形说话”，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是一种基本的数学素质。
附录：
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《几何体的三视图》教学反思
《几何体的三视图》教学反思 为了让学生通过体验图形与视角的相互关系，形成三视图概念，进而形成画三视图的技能，我在课前，做了大量的准备工作，通过查找相关书籍、资料，查阅互联网等手段，结合课标和教材的要求，精心组织了一份文图并茂的材料，作为辅助教材，并在教学电脑上，并充分利用学具和多媒体，在教学中创设丰富的情境及层层递进的观察活动吸引学生主动参与，并引导学生采用动手实践与思考体验相结合的学习方法，以自主探索与合作交流的学习方式积极参与学习过程，从中获得知识、形成技能、发展思维、学会学习。就此针对我的教学实践，以及本节课的得失与收获做深入地反思。 学生不但要学会识读三视图，而且还要学会绘制简单的三视图，并且在今后的设计实践中，能够运用三视图来表达自己的设计构思，与他人交流设计方案，从而获得全面的评价，优化设计方案。于是针对此教学内容，如何进行有效的教学；以及在教学中常遇到的一些问题，有哪些可供参考的解决办法，我进行了尝试性教学实践。首先是直接引入课题。因为这部分内容学生初中已经学过，再以我们熟悉的生活空间为话题，引入三维空间，并且指出我们看一个物体有六个方位：前后、左右、上下。为了更全面的研究周围的物体，我们通常从三个方位入手：前面、左面、上面，研究其投影，从而获得周围物体的结构特征。这就是空间几何体的三视图。这就很自然地介绍了空间几何体三视图的作用。 接着以复习的方式引出三视图的概念，这样一方面帮助学生回忆初中所学相关知识，另一方面也节省了课堂时间。 在教学中设计的实验：从生活中的实物入手创设吸引人的情境，让学生亲身想像、体验、验证以培养学生的空间想像能力并在活动中初步体会从不同方向观察同一物体看到了不同的图形，这样得出的结论更接近学生的生活和经验也更容易被学生所接受。 “判别观察方向”让学生的思维在三维实物与二维图片间不断地进行切换想像，从而完成思维过程的第一次抽象，学生的空间想像能力得到培养训练。 通过数学活动教学，学生接触的情境已经逐步“数学化”（从观察实物到摆放规则的几何体再到相应的图片），目的是让学生借助图形来反映并思考思维的空间形式及位置关系，并用合理、清晰的语言表达出来，这是学生空间想像能力、语言表达能力得到再次培养训练的过程，也是积累数学活动经验的重要过程。 课件的演示将难以用语言解释说明的抽象思维过程动态直观地展现在学生面前，使学生的感知能力、空间想像能力得到训练培养，并突破教学难点。 从观察可触摸的实物，到摆放可从不同方向亲身体验的几何体再到现在只能完全靠发挥想像的图片，学生接触的情境逐步抽象化、数学化，使学生在不断地分析、解决问题的氛围中发展空间观念。心理学认为概念一旦获得若不及时巩固就会遗忘，识图画图和真假视图题
初中几何经典例题及解题技巧精编版
初中几何证明技巧及经典试题 证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 *9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 *10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 *12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 *6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 *9.圆的内接四边形的外角等于内对角。 10.等于同一角的两个角相等。 证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 *10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 *11.利用半圆上的圆周角是直角。 证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
初中数学几何辅助线技巧
几何常见辅助线口诀三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，倍长中线得全等。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形问题巧转换，变为三角或平四。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。 如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆形
半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径联。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等： 如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自己试一试。 二、角分线上点向两边作垂线构全等： 如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180 分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。 三、三线合一构造等腰三角形： 如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。 分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。四、角平分线+平行线： 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。
(word完整版)初中数学几何证明题技巧
初中数学几何证明题技巧 几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。 一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。 二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。 三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论（就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单），然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。 四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有（1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换
六年级数学下册《平面图形的认识》教学反思
“认识平面图形”是在“认识立体图形”的基础上进行学习的，平面图形的认识要比立体图形抽象。因此，我在设计这节课时从学生的已有知识和生活经验出发，将体和面有机结合起来，让学生在充分感知的基础上，再抽象出平面图形，便于学生较好地理解和把握新知。通过教学，现将反思如下： 一、从学生熟悉的、感兴趣的生活情境引入，能充分调动学生的学习积极性。 由于一年级学生爱玩玩具，抓住学生的这一年龄特征，我将本节课要学的数学知识设计成一辆学生喜欢的动态玩具车，学生看到漂亮的玩具车，马上对它产生浓厚的兴趣。当学生明白这辆车是由一些简单的图形组成时，他们觉得这些图形很神奇，激发学生认识这些图形的求知欲，促使学生积极、主动地参与学习。 二、从学生的已有知识出发，将新旧知识有机结合起来。高复习总复习总复习 由于立体图形学生已认识，请学生从立体图形中找出平面图形，并将它画在纸上，然后同立体图形进行比较。通过这一系列的数学活动，学生从中深刻领悟到面就在体上以及面和体的不同之处，将面和体有机结合起来。既巩固了旧知，又能为学习新知做好了铺垫。 三、让学生在动手操作中自主探索平面图形的特征。 由于平面图形的特征比较抽象，而一年级学生又是以形象思维为主的。因此只有借助直观、形象的图形，让学生通过看一看、数一数、折一折等活动，从中理解平面图形的特征。这样组织教学，让学生亲历新知的形成过程，既能较好地落实本节课的教学重点，又能使学生的观察能力、动手操作能力得到培养。 四、注重数学知识生活化。 学生初步认识了平面图形的特征之后，组织学生找生活中的长方形、正方形、三角形和圆形，将数学知识与生活实际紧密联系在一起。这样，既能巩固平面图形的特征，让学生进一步理解和掌握新知，又能让学生从中体会到数学就在生活中，学习数学是为生活服务的，帮助学生树立学好数学的信心。 1
浅谈初中几何教学的几点想法
浅谈初中几何教学的几点想法 从初一到初四，对我来说是质的飞跃。在这四年中我竭尽所能地做好教学工作。在这四年中，初中几何教学是我碰到的最大的困难。在全面倡导素质教育的今天，初中几何在提高学生的 基本技能，培养学生的逻辑思维能力方面有着非常重要的作用，对于初中学生来说，在数学 学习过程中，数学水平明显出现两极分化现象，这种情况一般出现在刚接触几何的教学中， 这种分化并不仅仅是由学生的智力造成的，而与几何教学工作有着很大关系，研究初中几何 教学工作有关问题，对防止两极分化，提高初中数学教学质量，有着重要的意义，本文就此 谈几点想法： 一、认识初中几何教学的目的、地位、作用 中学数学教学大纲明确指出：初中数学教学目的是使学生掌握几何的基础知识和基本技能， 进一步培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念。大纲还特别指出：发展学生的思维能 力是培养能力的核心。 初中几何的教学目的：掌握初中几何的基本知识以及应用这些知识解决有关几何计算和有关 几何作图的基本技能；培养与发展学生的由实践到理论、由具体到抽象以及进行推理论证的 逻辑思维能力；培养与发展学生的观察、想象与表达几何形象的空间想象能力。 由此可见，发展学生的思维能力在整个中学数学教学中占有非常重要的地位。 二、注意培养学生学习几何的兴趣 1.高度重视几何导言课的教学，精心设计并以极大的热情备好、讲好导言课，使学生产生一 种要学好几何的良好愿望这对培养学生的学习兴趣起到了奠基作用。 2.要善于挖掘教材的实质，联系学生感兴趣的生活原型使抽象的几何知识变得具体形象，从 而激发学生的求知欲。 3.配合教材内容介绍中外数学家在几何方面的成就，使学生了解有关的数学史知识，使他们 把几何学习与祟高的理想结合起来，以此激励学生产生学习的兴趣，使学习兴趣化为主动学 习的内驱力。 三、认真抓好几何的入门教学 几何的入门教学，就内容而言，一般指几何的基本概念、相交线、平行线和三角形这三章 （即初中几何第一册），现行初中几何教材的这三章的内容已涉及概念、命题、推理论证、 作图等几何作图的基本问题。这些内容既是入门教学的重点又是难点。形成初中几何入门难 的主要原因是： 1.学科内容从代数到几何发生了由数到形、由计算到推理的转变，学生一时难以适应。 2.几何的入门概念多，而学生开始又不能正确理解和掌握几何语言。 3.教学方法不适应，教师驾驭教材的能力较差。 为解决初中几何入门难的问题，人们已做了许多有益的探讨取得了一定的成效。充分重视几 何入门的教学，根椐教材内容与学生的实际定出几何入门教学的整体计划及具体措施，是解 决入门难的前题；选用符合几何认识规律的教学方法，适当放慢进度，分散难点，逐步提高 要求是入门教学阶段的原则；加强几何概念教学，注重几何语言训练与数学思想方法的教学，是搞好几何入门教学的有效途径。 四、运用多媒体技术
人教版一年级数学下册1 认识图形(二)《图形的拼组》教学反思
《图形的拼组》教学反思 《图形的拼组》是一节可视性、操作性很强的课。主要是让学生通过参与活动来体会平面图形的特征、平面图形之间的关系。针对教材，我在设计时力求体现《标准》精神，把新理念融入课堂当中。整堂课都以活动为主，让学生亲身体验，实际操作，合作交流，让学生在充分参与中真真认识图形的特征，体会各种图形之间的关系，获得对数学的体验。 1、充分参与，形式多样。 学生的参与是他们学习空间和图形的基础，对于图形的认识也是由动手操作得来得。在感知长方形、正方形边的特征时，先让学生观察长方形、正方形，让他们猜猜有什么秘密？再通过动手折一折，验证刚才的猜想，得出初步的结论。在感知图形之间的关系时，设计了：“魔术游戏”、“拼图游戏”富有挑战性的实践活动，尽可能地让学生多尝试、多动手，让他们在活动中体会图形之间的转换和联系，感知平面图形之间的关系，发展学生的空间想象力和创新意识。 2、让学生进行自主性的操作活动，体现自主探究、多元开放的设计思路。 探索长方形、正方形边的特征时，没有让学生简单的模仿，思维停留在老师规定的套路中，而是让学生自己想办法把长方形、正方形折一折来证明。 在“拼图游戏”时，也没有规定先拿什么拼一拼，再拿什么拼一拼。而是让学生自主选择材料，（可以选2个相同的长方形拼一拼，也可以选4个正方形拼一拼，也可以选几个相同的三角形拼一拼，）创造性地去完成，在自主性的操作活动中成为学习的主人。 学生在探究中遇到困难时，老师如何适时引导好学生解决困难；当学生尝试失败后，老师如何引导学生走出失败，再尝试，获得成功，体验成功的快乐。 学生的学习方式转变了，老师如何真正成为引导者、组织者、合作者，有待今后在实践中再摸索。 1
初中数学几何证明题解题方法--
初中数学几何证明题解题方法--
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浅谈初中数学几何证明题解题方法 内容摘要：几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标组成。做几何证明题的一般步骤：审题，寻找证明的思路，书写证明过程 关键词：几何证明 条件 结论 .执因索果 执果索因 辅助线 初中学生正处于自觉形象思维向逻辑思维的过度阶段，几何证明，是学生逻辑思维的起步。这种思维方式学生刚接触，会遇到一些困难。许多学生在几何证明这里“跌倒了”，丧失了信心，以至于几何越学越糟。为此，我根据自己几年的数学教学实践，就初中数学中几何证明题的一般结构，解题思路进行初步探讨。 学好几何证明，起步要稳，要求学生在学习几何时要扎扎实实，一步一个脚印，在掌握好几何基础知识的同时，还要培养学生的逻辑思维能力。 一、几何证明题的一般结构 初中几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标两部分（即前提和结论）组成。已知条件是几何证明的前提，指题目中用文字和符号直接给出的明确条件，也包括所给图形中暗含的条件。求证指题目要求的经过推理最终得出的结论。已知条件是题目既定成立的、毋庸置疑而且必然正确的。求证是几何证明题的最终目标，就是根据题目给出的已知条件，利用数学中的公理、定理、性质，用合理的推理形式推导出的最后结果，而且只能出现在证明过程的最后。 例如：如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ． 求证：△ABC ≌△DCB ； 已知条件：文字给出的有：△ABC 和△DCB ，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M 图形给出的有：BC=CB,∠BMA 与∠CMD 是对顶角等等 求证目标是：△ABC ≌△DCB 注意，已知条件除了上面列出的，就没有其它的了，不可随意出现AM=DM ,BN=CN 等等 二、做几何证明题的一般步骤 （一）、审题 审题就是读题，这一步是解决几何证明题的关键，非常重要。许多学生读几何证明题时讲快，常常忽略了题目中蕴含的重要信息。和读其它类型的题有所不同，读几何证明题要求 B A M N
浅谈初中几何入门教学
浅谈初中几何入门教学 学生学习几何学得好与否,与教师对几何入门的教学有着最直接的联系。我们教师在教学的过程中倘若稍有不注意，就会导致学生的成绩两极分化，以致使学生丧失学习几何的兴趣和信心。相反，如果教师处理得当，不仅会引起学生学习数学的浓厚兴趣，还可以培养学生解决 和分析问题的能力。适应不了初中几何题目对抽象思维能力的要求，但是几何证明、计算题 在升学考试中又占有相当高的比重，这就需要学生真正领会与掌握。往往在不同的已知条件、图形的情况下，有截然不同的解法，也需要学生具备敏锐的观察能力和一定的逻辑推理能力。以下是我从学生在课堂、作业以及测试中表现出来的问题进行了分析归纳，发现学生学习几 何存在的几个困难之处： 1.逻辑推理过程有一定的难度。学生对数学定义、定理、公理、判定、性质、法则等理解肤浅，全凭感性认识，思维不严谨，推理不严密，不会灵活运用它来解决或证明一些数学问题，以至于无法形成较好的逻辑推理能力。 2.语言表述方面的困难。几何讲究思维严密性，往往过分专业而严密的叙述要求使学生无法 逾越语言表述的障碍，仿佛就像一座无法逾越的“城墙”。 3.证明过程及分析条理的困难。面对几何证明题无从下手，不知道哪些步骤该写，哪些步骤 可以省略，最终导致关键步骤缺失。 4.解图能力的困难。针对于一些复杂的图形看成是由一些简单图形组合而来的。不会由有关 图形联想到相关的数量关系，挖掘隐含条件。 5.结合实际生活的能力。几何来源于生活，在生活中几何无处不在，学生学习时不善于与周 围实际生活联系起来展开丰富想象。 教师对入门教学的成败,对学生学习几何知识,起着特殊作用。因此几何入门的教学在几何教 学中占有很重要的地位,值得我们教师认真去探索。针对学生学习几何的以上困难，我认为， 教师在几何“入门”教学时应转变教学思路，把严密的逻辑推理和合情推理有机的结合起来， 通过猜想、观察、归纳等合情推理，让学生消除对几何学习的恐惧心理。要在数学活动中来 学习几何，即“做数学”。还要加强学生探究性学习，结合图形理解运用。读图、识图要遵循 由简到繁的规律，先从简单的图形开始，逐步向复杂的图形过渡。作辅助线要根据已知条件 以及与其有关的定理作辅助线或者进行逆向思维，从结论出发，结合已知条件缺什么补什么。教师是学生学习过程中的引导者，至此在教学过程中我认为要始终坚持做到以下几点： 一、教师本身熟透教学目标和教学重点。 如果不精通教材,对教学目的要求把握不好,那么,在教学过程出现盲目性,这样,教学效果肯定不理想,更谈不上达到什么教学目的,所以,教者应该知道每一部分内容应该教给学生什么知识。学生对这部分内容的知识应该掌握到什么程度才算是达到教学目的。如在讲同位角、内 错角、同旁内角的概念时，可以从这些角产生的过程入手，根据‘三线八角’并对其具有的特 殊位置关系的角加以命名。在教学中不必给出严格的定义，重在会认。 二、注意培养学生学习几何的兴趣 初中数学从研究数式到研究图形，从数式计算到逻辑推理，是一个大的飞跃。所以初学平面 几何的学生会遇到各种障碍。激发学生学习几何的兴趣，是几何入门教学的一个重要环节。 为此在刚开始几何教学中，我常常拿一些实物教具，如：三角板、圆规等进行线、角教学， 消除学生对几何的陌生感、恐惧感，然后精心设计一些实例，说明几何知识及图形在实际生 活中的应用。如：飞机螺旋桨的外端连接是什么？为什么利用勾股定理可以计算一些边长等等？。这样充分利用几何本身的趣味性和实用性，改变几何教学枯燥无味的现象，形成积极 的学习态度，形成良好的学习循环，同时也培养了学生的直觉思维能力。
数学几何解题技巧
初中数学教学中几何解题思路分析 【摘要】平面几何在初中数学中一直占据着很重要的位置。而学生在对几何知识进行学习和掌握的过程中，最重要的一个部分就是能够应用到实践中进行解题。正像美国一位著名的数学家曾经所说过的那样：“数学这门学科，真正的组成部分就是问题和解题，在问题与解题中，解题就是数学的心脏所在。”学生在学习的过程中是否会解题，能否对一定的解题技巧与方法进行掌握对学生学习效果有直接的影响。对教师来说，学生对基本的解题能力进行掌握，也是“双基”教学的一个方面。在数学中对基本的解题方法和技巧进行注意，对学生的学习能力的提高无疑有着重要的促进作用，与此同时还能够对学生良好学习习惯的形成有推动作用。 【关键词】初中数学；教学；几何；解题思路； 对初中的几何教学来说，初中几何中的重要部分是解题技巧与规律教学。尤其是在初中几何的后期与复习阶段，通过对学生的几何解题技巧的培养，能够使学生对知识有系统性的掌握，同时能够培养其对知识进行灵活应用的能力。当然，处了解题技巧与规律的培养，还应该注意对学生思维能力的培养。只有思维能力得到提高，才能更好地掌握解题技巧与规律。下面我们通过具体的实例进行详细分析初中数学几何题的解题思路， 一、初中数学几何的解题技巧 1、对常见的题型与解题方法进行归纳总结 初中的几何题中，其实常见的题型并不多，所以这对经常见的几何题型与解题方法进行归纳与总结，是初中几何解题一个和实用的解题技巧。初中几何，证明题是最常见的，而证明题中，又以线段或角的一些关系的证明最为常见。对线段的关系的证明通常包括相等及其和差关系等的证明。在这些中，相等关系的证明是学生应该进行的基本掌握，对线段相等关系的证明，在思路与方法上常用的包括“三角形全等”、“比例线段”以及“等角对等边”和对中间量的过渡进行选取等思路。在这些方法中，“三角形全等”是最常用的，也是应该掌握的基本解题方法。对线段不等关系则一般常用“线段公理”，而对线段的和差及其它（如倍、分）关系，在解题过程中要注意使用截长、补短等技巧。对常见技巧进行掌握，能有效提高学生的解题效率。 2、注意对辅助线进行添加和使用 在对初中几何进行解题的过程中，除了要对常用的解题方法与规律进行掌握外，还要对辅助线的添加与使用加以关注。在初中几何题中，当直接解题出现障碍使，添加辅助线是常见的解题技巧，往往会让人产生一种“柳暗花明又一村”的感觉。对常见技巧进行掌握，能有效提高学生的解题效率。下面我们通过一道例题详细进行分析几何证明题的解题方法及技巧： 如下图所示，已知：在ABC ?中，?=∠90C ，BC AC =,DB AD =,BF AE =,求证：DF DE =，
初中几何入门教学的困难及突破口
初中几何入门教学的困难及突破口 发表时间：2013-04-17T14:52:57.077Z 来源：《少年智力开发报》2013学年29期供稿作者：王旭 [导读] 几何是初中生普遍认为难学，任课教师认为难教的一门学科。 王旭云南省镇雄县长风中学 几何是初中生普遍认为难学，任课教师认为难教的一门学科。如果任课教师在教学的过程中倘若稍有不注意，就会导致学生的成绩两极分化，以致使学生丧失学习几何的兴趣和信心。相反，如果教师处理得当，不仅会激发学生学习数学的浓厚兴趣，还可以培养学生分析和解决问题的能力。 近期本人在七年级的几何教学中发现，学生刚学习几何，头脑中形的概念特别差，部分学生没有真正接受老师的指导，适应不了初中几何题目对抽象思维能力的要求，但是几何证明、计算题在升学考试中又占有相当高的比重，这就需要学生真正领会与掌握。往往在不同的已知条件、图形的情况下，有截然不同的解法，也需要学生具备敏锐的观察能力和一定的逻辑推理能力。以下是我从学生在课堂、作业以及测试中表现出来的问题进行了分析归纳，发现学生学习几何存在五大困难： （1）读图、识图、画图难。不会将一些“复合”图形进行拆分，看成一些简单图形组合。不会由有关图形联想到相关的数量关系，挖掘隐含条件。 （2）几何语言表述难。几何讲究思维严密性，往往过分专业而严密的叙述要求使学生无法逾越语言表述的障碍，仿佛就像一道难以跨越的“鸿沟”。 （3）几何逻辑推理难。学生对数学定义、定理、公理、判定、性质、法则等理解肤浅，全凭感性认识，思维不严谨，推理不严密，不会灵活运用它来解决或证明一些数学问题，以至于无法形成较好的逻辑推理能力。 （4）几何证明过程难。面对几何证明题无从下手，不知道哪些步骤该写，哪些步骤可以省略，最终导致关键步骤缺失。 （5）联系生活实际难。几何就是为自然生活服务而存在的，在生活中几何无处不在，学生学习时不善于与周围实际生活联系起来展开丰富想象。 针对学生学习几何的以上困难，我认为，教师在几何“入门”教学时应转变教学思路，把严密的逻辑推理和合情推理有机的结合起来，通过猜想、观察、归纳等合情推理，让学生消除对几何学习的恐惧心理。要在数学活动中来学习几何，即“做数学”。还要加强学生探究性学习，结合图形理解运用。读图、识图要遵循由简到繁的规律，先从简单的图形开始，逐步向复杂的图形过渡。要根据已知条件以及与其有关的定理作辅助线或者进行逆向思维，从结论出发，结合已知条件缺什么补什么。教师是学生学习过程中的引导者，至此在教学过程中我主要围绕以下几个方面去开展教学： 一、注重培养读图、识图、画图能力 首先要求学生掌握基本图形的画法，如画直线、射线、线段、角。然后学习几个基本作图，如作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作角的平分线、作线段的垂直平分线。观察图形时，指导学生对图形进行拆分，把一个复杂的图形分成几个简单的图形来处理，从而提高识图能力。充分利用教材编排特点：量一量、摆一摆、画一画、折一折、填一填转移学生的注意力，培养学生的动手动脑能力。 二、加强几何语言表达训练 首先，结合图形让学生掌握直线、射线、线段、角的多种表示方法，认真理解数学定义、定理、公理、判定、性质，用简单的符号表达出因果关系，然后用到综合问题中，让学生大胆的猜想并描述出来，教师再加以指导，以此克服学生“怕几何”的心理。 三、重视几何学习的逻辑推理过程 要解决几何的证明问题，就要学会逻辑推理。几何证明过程的描述，是初学几何的学生很难入门的事情。我在教学时着重于方法的指导，重点介绍了“执果索因”的分析方法，让学生从结果入手，逐层剥笋，寻找原因，找到源头，明白已知条件的用处，然后再由条件到结论，把过程写出来。学生在学习中强调“一看、二悟、三对照”，一看，看课本例题，看老师的板书；二悟，通过对例题和教师板书的观察，悟出其中的道理，形成一个清晰的思路；三对照，就是写出解题过程后与他人对照，请老师指点。 四、联系生活实际 数学来源于生活，也服务于生活。我在教学过程中把几何与生活紧密联系起来，如利用在墙上钉木条的事例理解“两点确定一条直线”，利用测量跳远成绩理解“垂线段最短”，利用木工师傅做门框时钉斜条理解“三角形的稳定性”等等。让学生把感性认识与理性认识结合起来，真正做到学以致用。 总之，初中几何入门教学应不拘一格，每位教师可根据自己的实际情况和学生的实际情况，制定切实可行的教学方案，以帮助和引导学生转变旧的思维方式为主线，以培养推理论证能力为重点，以提高教育教学质量为目的，加强初中几何入门的教学工作。
初中几何题解题技巧(带例题)
初中几何题解题技巧 (带例题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中几何题解题技巧 在小学阶段，我们学过许多关于几何图形面积计算的知识。在计算几何图形面积时，除了能正确运用面积计算公式外，还需要掌握一定的解题技巧。 一、割补法 割补法是指将一些不规则的、分散的几何图形经过分割、移补，拼成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。 例1如图1，已知正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积。 分析与解：如图2所示，连接正方形的对角线，可以将阴影I分割成I1和I2两部分，然后将阴影I1移至空白I1′处，将阴影I2移至空白I2′处，这样阴影部分就拼成了一个等腰直角三角形。要求阴影部分的面积，只要求出这个等腰直角三角形的面积即可，列式为：6×6÷2＝18（平方厘米）。 练一练1：如图3，已知AB＝BC＝4厘米，求阴影部分的面积。 二、平移法 平移法是指把一些不规则的几何图形沿水平或垂直方向移动，拼成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。 例2如图4，已知长方形的长是12厘米，宽是6厘米，求阴影部分的面积。 分析与解：如图5所示，连结长方形两条长的中点，把阴影部分分成左右两部分，然后把左边的阴影部分向右平移至空白处，这样阴影部分就转化成了一个边长为6厘米的正方形。要求阴影部分的面积，只要求出这个正方形的面积，列式为：6×6＝36（平方厘米）。 练一练2：如图6，求阴影部分的面积（单位：分米）。 三、旋转法 旋转法是指把一些几何图形绕某一点沿顺时针（或逆时针）方向转动一定的角度，使分散的、不规则的几何图形合并成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。 例3如图7，已知ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝20厘米，D是AB的中点，扇形DAE和DBF都是圆的，求阴影部分的面积。 分析与解：如图8所示，把扇形DBF绕D点沿顺时针方向旋转180°后，扇形DBF与扇形DAE就合并成了一个半径为10厘米的半圆，两个空白三角形也合并成了一个直角边为10厘米的等腰直角三角形，要求阴影部分的面积，只要用半圆的面积减去空白部分的面积即可，列式为：3.14×（20÷2）2÷2－ （20÷2）2÷2＝107（平方厘米）。 练一练3：如图9，在直角三角形ABC中有一个正方形BDEF，E点正好落在直角三角形的斜边AC上，已知AE＝8厘米，EC＝12厘米，求图中阴影部分的面积。
浅谈初中几何的入门教学
浅谈初中几何的入门教学 初中学生刚接触到几何时，都觉得很难，如何将他们引入门，使他们产生兴趣，养成良好的逻辑思维能力，这里教师的教学方法将起着关键作用。实践证明，要全面提高中学数学几何教学的质量，关键取决于教师的业务素质与教学水平。初中学生数学学习水平有明显的两级分化，一般出现在几何中。这种分化的原因不仅是由学生的智力因素造成的，还有是教师教学的方法问题。因此，研究几何教学应多引导学生的思维能力对全面提高中学数学几何教学质量有着十分重要的意义。怎样抓好几何入门教学呢？本人结合多年的中学数学几何教学的经验，谈几点看法： 一、充分重视几何的教学作用 中学数学教学大纲明确指出：初中数学教学目的是使学生掌握几何的基础知识和基本技能，进一步培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念。大纲还特别指出：培养学生的逻辑思维能力是培养能力的核心。由此可见，培养学生的逻辑思维能力在整个中学数学教学中占有突出地位。 所谓数学的逻辑思维能力，就是根据正确思维规律和形式，对数学对象的属性进行分析、综合、抽象、概括、推理证明的能力。逻辑思维能力是几何基本能力的核心。教学中，尽管可以通过数学各科和其它学科来发展学生的逻辑思维能力，但几何对此所起的作用是独到的。因为几何知识必须按一定的逻辑顺序编排，即应用前面学过的图形知识，通过逻辑推理得到有关的新图形及性质。这种逻辑关系的本身就是发展学生逻辑思维能力的极好教材。只有认清并高度重视几何的这种独特作用，搞清传授知识与发展能力的关系，才能把培养学生的逻辑思维能力更好地落实在几何教学中。 二、精心培养学生的学习兴趣 兴趣往往是推动人们去探求知识、理解事物的积极力量。古今中外的学者之所以能走向科学的殿堂，正是由于他们对科学产生了浓厚的兴趣。罗素曾说过，他对科学的兴趣来自数学，而对数学的兴趣又来自欧几里德几何。这说明欧氏几何中蕴含着激发兴趣启迪思维的极有利因素．因此，在几何教学中，要注意以下几点： 1、高度重视几何导言课的教学，精心设计并以极大的热情讲好导言课，使学生产生一种要学好几何的良好愿望。这对培养学生学习兴趣起奠基作用。 2、要善于挖掘教材的实质，联系学生感兴趣的生活原型，使抽象的几何知识变得直观具体形象，例如学生们爱玩的智力游戏一个桌子四个角砍掉一个还有多
初二数学几何解题技巧
初二数学几何解题技巧 【知识梳理】 1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法： (1)综合法(由因导果)，从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决; (2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止; (3)两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
【专题一】证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 【专题二】证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 【专题三】证明线段和的问题 (一)在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。(截长法) (二)延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。(补短法)
几何图形课后反思
4.1.1《几何图形》教学反思 阳泉三中王玮 一、教材内容及地位 初中数学主要由三部分内容组成：一、数与代数.二、空间与图形.三、统计与概率。而图形认识初步是我们进入初中阶段学习空间与图形的开始，它对整个初中几何起着奠基的作用，是今后学习几何知识的重要基础。本节从生活中存在的大量图形入手，认识立体图形与平面图形。由于本节是初中几何学习的入门课，如何使学生从一开始就产生学习兴趣是本节教学的关键。 二、学情分析 学生在小学已经学过了一些空间与图形的知识，具有一定的认知基础，也有一定的知识背景，但学习相对零散，不系统。在今后学习中要系统学习空间与图形，探索图形的性质及其相互关系，丰富对图形与几何的认知和感受，发展空间概念，培养数学思维。 三、教学目标 知识与技能：通过观察生活中的大量图片或实物，能从现实世界中抽象出简单的几何图形，并能识别这些几何图形． 过程与方法：经历探索平面图形与立体图形之间的联系与区别，培养学生观察、概括、动手操作的能力，培养学生的空间观念。 情感态度与价值观：积极参与教学活动，感受多姿多彩的图形世界，激发学生学习空间和图形的兴趣，初步形成自主学习习惯，体会合作学习的重要性。
四、教学重点难点 教学重点：识别一些基本的几何体，能用自己的语言描述几何体的特征。 教学难点：从具体事物中抽象出几何图形，归纳出几何体的分类。 五、教法与学法 教学中多注意从实物出发，让学生感受到几何知识的应用无处不在，因此，充分利用多媒体手段教学。利用“问题情境，合作探究的方法”，让学生在自主学习的过程中体会到学习数学的乐趣，从而实现教学目标。 六、教学程序与设想 本节课我主要安排以下环节： (1)创设情境，提出问题 播放多媒体课件，通过观察图片让学生回忆小学学习有关图形的知识，同时了解生活中衣食住行都离不开图形，从而引出课题。（2）探索新知，解决问题 从大量的实物当中抽象出各种图形，引出几何图形的概念，进而给出立体图形，平面图形的概念，举出日常生活当中图形的例子。能由实物想象出几何图形，同时由几何图形想象出实物形状，进一步丰富对几何形状的感性认识。再比较平面图形与立体图形的联系与区别。最后让学生自己通过合作学习讨论得出几何图形的分类。 （3）练习设计 第一个题目将实物与对应立体图形连线，目的是加深对几何体的
最新初中数学几何题解题技巧
最新初中数学几何题解题技巧 初中数学几何题解题技巧一.添辅助线有二种情况 1按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此"添线"应该叫做"补图"!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下： (1)平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线
(2)等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 (3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 (4)直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 (5)三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整
时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 (6)全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 (7)相似三角形： 相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。 (8)特殊角直角三角形
初中数学代数几何解题技巧
如何用好题目中的条件暗示 有一类题目，我们在解前面几小题时，其解题思路和方法往往对解后面问题起着很好的暗示作用，现以一次函数中出现的两道题目为例予以说明，供同学们在学习过程中参考。 【例1】直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，如图1。 图1 （1）求B、A两点的坐标； （2）把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD。求D点的坐标。 解析：（1）容易求得，A（0，1）。 （2）如图2， 图2 ∵，A（0，1）， ∴OB=，OA=1。 ∴在Rt△AOB中，容易求得∠OBA=30° ∵把△AOB以直线AB为轴翻折， ∴∠OBC=2∠OBA=60°，BO=BC。 ∴△OBC是等边三角形 以BC为一边作等边△BCD，则D的落点有两种情形，可分别求得D的坐标为（0，0），。 反思：在求得第（1）小题中B、A两点的坐标分别为B（，0），A（0，1），实质上暗示着Rt△AOB中，OA=1，OB=，即暗示着∠OBA=30°，为解第（2）小题做了很好的铺垫。
【例2】直线与x轴、y轴分别交于A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点，如图3。 图3 （1）求三解形ABC的面积。 （2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数； （3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值。 解析：（1）容易求得：A（，0），B（0，1）， ∴。 （2）如图4，连接OP、BP，过点P作PD垂直于y轴，垂足为D，则三角形BOP的面积为，故不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数。 图4 （3）如图4，①当点P在第四象限时由第（2）小题中的结果：，和第（3）小题的条件可得： ∴， ∵，
论初中平面几何的入门教学
论初中平面几何的入门教学 从学习代数转到学习平面几何，产生了三个变化：学习的内容从以“数”为主变为以“形”为主；培养的能力从以“运算”为主变为以“推理”为主；使用的语言从以“代数语言”为主变为以“几何语言”为主。 因此学生在开始学习平面几何时，往往会感到困难。表现在对图形不太熟悉，语言不太习惯，概念不易理解，推理论证更是不易掌握。为了使学生能学好平面几何，抓好平面几何的入门教学是非常重要的。解决好以下三个问题是搞好平面几何的入门教学的关键。 第一．激发学生学习平面几何的兴趣，是搞好入门教学的前提。 一开始学习平面几何就要让学生对它产生浓厚的兴趣，上好引言课是非常 重要的，要用生动的 语言介绍平面几何 发展的历史，选择一 些有趣的几何问题 让学生思考和操作， 举一些容易产生视 错觉的例子让学生 观察，发现问题（如上图）。还可以介绍平面几何在生产和
生活实际中的应用，以提高学生学好平面几何积极性和自觉性。 在学习平面几何知识时注意联系日常生活实际，结合几何图形举一些生活有趣味的例子，让学生观察、思考和动手操作，还可以设计一些教具和学具进行演示和实验，帮助学生理解所学的知识，选择一些内容启发学生自己猜想和探索，这些都有助于提高学生学习的兴趣，为搞好入门教学奠定基础。 第二．重视几何概念教学是搞好入门教学的关键。 平面几何入门教学的特点之一，是概念多，一下子出来很多概念，学生不容易理解和掌握，因此抓好概念教学对于进一步学习平面几何是至关重要的。要注意以下几点： ⒈区别情况，分别对待 ⑴不加定义的原始概念，如点、直线、连结、延长等，只要求学生正确理解，准确地运用于画图或表述。 ⑵虽有定义但涉及内容较少的概念，如端点、角的边和顶点等，这些概念比较简单，不是教学的重点。 ⑶一些基本的、常用的概念，既有定义，还有判定定理和性质，如平行线、等腰三角形等，这些概念比较重要，对以后的学习影响较大，必须要求学生在理解的基础上，较熟练地掌握，并能正确运用。 ⒉从实例引入，在丰富感知的基础上，抽象出概念的本